5.4：使用方程组求解应用程序
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- 204407
在本节结束时，您将能够：
- 转换为方程组
- 解决直接翻译应用程序
- 求解几何应用程序
- 解决均匀运动应用程序
在本章的前面部分，我们使用线性方程组解决了几个应用程序。 在本节中，我们将介绍一些与两个数量相关的特定类型的应用程序。 我们将把单词翻译成线性方程，决定哪种是最方便使用的方法，然后求解它们。
我们将使用我们的线性方程组问题解决策略。
对线性方程组使用问题解决策略。
- 阅读问题。 确保所有文字和想法都被理解。
- 确定我们在寻找什么。
- 说出我们要找的东西。 选择变量来表示这些数量。
- 转化为方程组。
- 使用良好的代数技巧求解方程组。
- 检查问题中的答案并确保答案合理。
- 用完整的句子@@ 回答问题。
转换为方程组
我们在之前的应用程序中解决的许多问题都与两个数量有关。 以下是数学模型章节中的两个示例。
- 两个数字的总和为负十四。 一个数字比另一个数字小四个。 找到数字。
- 一对已婚夫妇每年的总收入为110,000美元。 妻子的收入少16,000美元，不到丈夫收入的两倍。 丈夫挣多少钱？
在那一章中，我们仅使用一个变量将每种情况转换为一个方程。 有时候想出如何命名这两个数量有点困难，不是吗？
让我们看看如何将这两个问题转化为具有两个变量的方程组。 我们将重点介绍问题解决策略的第 1 步到第 4 步。
转换为方程组：
两个数字的总和为负十四。 一个数字比另一个数字小四个。 找到数字。
- 回答
-
转换为方程组：
两个数字的总和为负二十三。 一个数字比另一个数字小 7。 找到数字。
- 回答
-
\(\left\{\begin{array}{l}{m+n=-23} \\ {m=n-7}\end{array}\right.\)
转换为方程组：
两个数字的总和为负十八。 一个数字比另一个数字多 40。 找到数字。
- 回答
-
\(\left\{\begin{array}{l}{m+n=-18} \\ {m=n+40}\end{array}\right.\)
我们再举一个例子，在写完方程组之后停下来。
转换为方程组：
一对已婚夫妇每年的总收入为110,000美元。 妻子的收入少16,000美元，不到丈夫收入的两倍。 丈夫挣多少钱？
- 回答
-
\(\begin{array}{ll}{\text {We are looking for the amount that }} & {\text {Let } h=\text { the amount the husband earns. }} \\ {\text {the husband and wife each earn. }} & { w=\text { the amount the wife earns }} \\ {\text{Translate.}} & {\text{A married couple together earns \$110,000.} }\\ {} & {w+h=110000} \\ & \text{The wife earns \$16,000 less than twice what} \\ & \text{husband earns.} \\ & w=2h−16,000 \\ \text{The system of equations is:} & \left\{\begin{array}{l}{w+h=110,000} \\ {w=2 h-16,000}\end{array}\right.\end{array}\)
转换为方程组：
一对夫妇的家庭总收入为84,000美元。 丈夫的收入少18,000美元，不到妻子收入的两倍。 妻子挣多少钱？
- 回答
-
\(\left\{\begin{array}{l}{w+h=84,000} \\ {h=2 w-18,000}\end{array}\right.\)
转换为方程组：
高级员工的收入低于新员工每小时收入的两倍 5美元。 他们每小时共赚43美元。 每位员工每小时的收入是多少？
- 回答
-
\(\left\{\begin{array}{l}{s=2 n-5} \\ {s+n=43}\end{array}\right.\)
解决直接翻译应用程序
我们在练习\(\PageIndex{1}\)和练习中设置了方程组，但没有求解\(\PageIndex{4}\)现在我们将情境转换为方程组，然后求解。
转换为方程组然后求解：
德文比他的儿子库珀大26岁。 他们的年龄总和为 50。 找出他们的年龄
- 回答
-
第 1 步。 阅读问题。 第 2 步。 确定我们在寻找什么。 我们正在寻找德文和库珀的时代。 第 3 步。 说出我们要找的东西。 让 d= 德文郡的年龄。
c= 库珀的年龄第 4 步。 转换为方程组。 德文郡比库珀大26岁。 
他们的年龄总和为 50。 
该系统是： 
第 5 步。 求解方程组。
通过替换求解。
用 c + 26 代入第二个方程。 
求解 c。 
用 c = 12 代入第一个方程，然后求解 d。 
第 6 步。 检查问题中的答案。 德文郡的26岁比库珀的年龄高吗？
是的，38 比 12 多 26。
他们的年龄总和是50吗？
是的，38 加 12 等于 50。第 7 步。 回答问题。 德文是 38 岁，库珀是 12 岁。
转换为方程组然后求解：
阿里比他最小的妹妹贾米拉大12岁。 他们的年龄总和为40岁。 找出他们的年龄
- 回答
-
阿里 26 岁，贾米拉是 14 岁。
转换为方程组然后求解：
杰克的爸爸是杰克年龄的三倍多 6 倍。 他们的年龄总和为42岁。 找出他们的年龄
- 回答
-
杰克 9 岁，爸爸 33 岁。
转换为方程组然后求解：
当 Jenna 在椭圆训练器上花了 10 分钟，然后进行了 20 分钟的循环训练时，她的健身应用程序显示她消耗了 278 卡路里的热量。 当她在椭圆机训练器上花 20 分钟和 30 分钟循环训练时，她消耗了 473 卡路里的热量。 在椭圆训练机上，她每分钟消耗多少卡路里？ 她每分钟循环训练消耗多少卡路里？
- 回答
-
第 1 步。 阅读问题。 第 2 步。 确定我们在寻找什么。 我们正在寻找
椭圆训练器每分钟
消耗的卡路里数量，以及每分钟循环训练消耗的卡
路里数量。第 3 步。 说出我们要找的东西。 假设 e= 椭圆训练机每分钟消耗的卡路里数。
c= 循环训练时每分钟消耗的卡路里数第 4 步。 转换为方程组。 在椭圆机上进行 10 分钟和循环
训练 20 分钟，消耗
278 卡路里
在椭圆机上 20 分钟和
30 分钟的循环训练消耗了
473 卡路里的热量
该系统是： 
第 5 步。 求解方程组。 将第一个方程乘以 −2 得到 e 的相反系数。 
简化并添加方程。
求解 c。
将 c = 8.3 替换为原始方程之一来求解 e。 
第 6 步。 检查问题中的答案。 自己检查数学。 
第 7 步。 回答问题。 Jenna 在使用椭圆机训练时每分钟
消耗 8.3 卡路里的热量，每
分钟消耗 11.2 卡路里的热量。
转换为方程组然后求解：
Mark 去健身房做了 40 分钟的 Bikram 热瑜伽和 10 分钟的跳千斤顶。 他消耗了 510 卡路里的热量。 下次他去健身房时，他做了 30 分钟的 Bikram 热瑜伽和 20 分钟的跳千斤顶，消耗 470 卡路里的热量。 瑜伽每分钟消耗多少卡路里？ 每跳千斤顶消耗多少卡路里？
- 回答
-
Mark 每分钟瑜伽消耗 11 卡路里的热量，每分钟跳千斤顶消耗 7 卡路里的热量。
转换为方程组然后求解：
艾琳花了 30 分钟在划船机上，在健身房举重 20 分钟，消耗了 430 卡路里的热量。 下次去健身房时，她在划船机上花了50分钟，举重花了10分钟，消耗了600卡路里的热量。 她在划船机上每分钟消耗多少卡路里？ 她每举重一分钟消耗多少卡路里？
- 回答
-
艾琳在划船机上每分钟消耗 11 卡路里的热量，每举重一分钟消耗 5 卡路里的热量。
求解几何应用程序
当我们学习数学模型时，我们使用三角形和矩形的属性求解了几何应用程序。 现在，我们将在列表中添加一些角度的属性。
两个互补角度的测量值相加为 90 度。 两个补充角度的测量值相加为 180 度。
如果两个角度的测量值之和为 90 度，则这两个角度是互补的。
如果两个角度的测量总和为 180 度，则两个角度是补充的。
如果两个角度是互补的，我们说一个角度是另一个角度的补充。
如果两个角度是互补的，我们说一个角度是另一个角度的补充。
转换为方程组然后求解：
两个互补角的差为 26 度。 找到角度的测量值。
- 回答
-
\(\begin{array}{ll}{\textbf {Step 1. Read}\text{ the problem. }} & {} \\ {\textbf {Step 2. Identify}\text{ what we are looking for.}} & {\text {We are looking for the measure of each angle.}} \\ \\ {\textbf{Step 3. Name}\text{ what we are looking for.}} & {\text{Let x = the measure of the first angle.} }\\ {} & \text{y = the measure of the second angle} \\ \textbf{Step 4. Translate}\text{ into a system of equations.}& \text{The angles are complementary.} \\ & \text{x+y=90} \\ & \text{The difference of the two angles is 26 degrees.} \\ & \text{x−y=26} \\ \\ \text{The system is} & {\left\{\begin{array}{l}{x+y=90} \\ {x-y=26}\end{array}\right.} \\ \textbf{Step 5. Solve}\text{ the system of equations by elimination.} \\& \left\{\begin{array}{l}{x+y=90} \\ \underline{x-y=26}\end{array}\right. \\ & \quad2x\quad=116 \\ \text{Substitute x = 58 into the first equation.}& \begin{array}{lrll} &x&=&58 \\ &x+y&=&90 \\ &58+y&=&90 \\ &y&=&32\end{array} \\ \textbf{Step 6. Check}\text{ the answer in the problem.} & \\ 58+32=90\checkmark\\ 58-32=36\checkmark \\ \\ \textbf{Step 7. Answer}\text{ the question.} & \text{The angle measures are 58 degrees and 32 degrees.}\end{array}\)
转换为方程组然后求解：
两个互补角度的差为 20 度。 找到角度的测量值。
- 回答
-
角度测量值为 55 度和 35 度。
转换为方程组然后求解：
两个互补角的差为 80 度。 找到角度的测量值。
- 回答
-
角度测量值为 5 度和 85 度。
转换为方程组然后求解：
两个角度是补充的。 较大角度的测量值比小于小角度的五倍。 找出两个角度的测量值。
- 回答
-
第 1 步。 阅读问题。 第 2 步。 确定我们在寻找什么。 我们正在寻找每个角度的测量方法。 第 3 步。 说出我们要找的东西。 假设 x= 第一个角度的度量。
y = 第二个角度的度量第 4 步。 转换为方程组。 角度是补充性的。 
较大的角度为十二小于较小角度的五倍 
系统是：
步骤 5。 求解方程替换系统。
在第一个方程中用 5 x − 12 代替 y。 
求解 x。 
在第二个方程中用 32 代替，然后求解 y。 
第 6 步。 检查问题中的答案。
\(\begin{aligned} 32+158 &=180 \checkmark \\ 5 \cdot 32-12 &=147 \checkmark \end{aligned}\)第 7 步。 回答问题。 角度测量值为 148 和 32。
转换为方程组然后求解：
两个角度是补充的。 较大角度的测量值是小角度的三倍多 12 度。 找到角度的测量值。
- 回答
-
角度测量值为 42 度和 138 度。
转换为方程组然后求解：
两个角度是补充的。 较大角度的测量值为 18 小于较小角度的两倍。 找到角度的测量值。
- 回答
-
角度测量值为 66 度和 114 度。
转换为方程组然后求解：
兰德尔有 125 英尺的围栏来围住他家旁边后院的矩形部分。 他只需要围绕三面围栏，因为第四面将是房屋的墙壁。 他希望围栏院子（与房屋墙壁平行）的长度是宽度的四倍多 5 英尺。 找出长度和宽度。
- 回答
-
第 1 步。 阅读问题。 第 2 步。 确定你在找什么。 我们正在寻找长度和宽度。 
第 3 步。 说出我们要找的东西。 假设 L = 围栏码的长度。
W = 围栏院子的宽度第 4 步。 转换为方程组。 一个长度和两个宽度等于 125。 
长度将比宽度的四倍多 5 英尺。 
系统是：
步骤 5。 通过替换求解方程组。
用 L = 4 W + 5 代入第一个
方程，然后求解 W。
在第二个
方程中用 20 代替 W，然后求解 L。
第 6 步。 检查问题中的答案。
\(\begin{array}{rll} 20+28+20&=&125\checkmark \\ 85 &=&4\cdot 20 + 5\checkmark\end{array}\)第 7 步。 回答方程式。 长度为 85 英尺，宽度为 20 英尺。
转换为方程组然后求解：
马里奥想在他后院的游泳池周围放一个矩形围栏。 由于一侧与房屋相邻，他只需要将三面围起来。 有两个长边，一个较短的一边与房子平行。 他需要 155 英尺的围栏来封闭游泳池。 长边的长度小于 10 英尺，小于宽度的两倍。 找出要封闭的泳池区域的长度和宽度。
- 回答
-
长度为 60 英尺，宽度为 35 英尺。
转换为方程组然后求解：
亚历克西斯想在邻居围栏旁边的院子里建造一只矩形的狗跑道。 她将使用 136 英尺的围栏将矩形狗跑道完全封闭。 狗沿着邻居围栏奔跑的长度将小于宽度的两倍16英尺。 找出狗跑的长度和宽度。
- 回答
-
长度为 60 英尺，宽度为 38 英尺。
求解均匀运动应用程序
前面介绍均匀运动问题时，我们使用表格来整理这些问题的信息。 我们将继续使用此表。 基本方程为 D = r t，其中 D 是行进距离，r 是速率，t 是时间。
我们的第一个均匀运动应用示例将针对类似于我们已经看到的情况，但现在我们可以使用两个变量和两个方程了。
转换为方程组然后求解：
乔尼在州际公路上离开圣路易斯，以每小时 65 英里的速度向西行驶向丹佛。 半小时后，凯利以与乔尼相同的路线离开圣路易斯，每小时行驶78英里。 凯利要多久才能赶上 Joni？
- 回答
-
图表有助于我们直观地了解情况。
识别并命名我们要找的东西。
图表将帮助我们整理数据。
我们知道 Joni 和 Kelly 的汇率，因此
我们在图表中输入了它们。我们正在寻找 Kelly、
k 和 Joni、j 各自开车的时间长度。
由于 d=r·t 我们可以填写 “距离” 列。
转化为方程组。
要形成方程组，我们必须认识到 Kelly 和 Joni 的行驶距离相同。 所以，65j=78k。
此外，由于凯利稍后离开，她的时间将比乔尼的时间少1212小时。
所以，k=j−12。现在我们有了系统。 
通过替换求解方程组。 
用 k=j−12 代入第二个方程，然后求解 j。 
要找出 Kelly 的时间，用 j = 3 代入第一个方程，然后求解 k。 
检查问题中的答案。
Joni 3 小时（65 英里/小时）= 195 英里。
凯利\(2\frac{1}{2}\)时长（78 英里/小时）= 195 英里。
是的，他们相遇
时会走同样的距离。回答问题。 凯利会在\(2\frac{1}{2}\)几个小时内赶上 Joni。
到那时，乔尼已经旅行了 3 个小时。
转换为方程组然后求解：米切尔在州际公路上离开底特律，向南行驶至奥兰多，时速为每小时 60 英里。 一小时后，克拉克以每小时 75 英里的速度离开底特律，沿着与米切尔相同的路线行驶。 克拉克要花多长时间才能抓住米切尔？
- 回答
-
克拉克要花4个小时才能抓到米切尔。
翻译成方程组然后求解：查理以平均每小时 36 英里的速度离开了母亲的房子。 他的妹妹 Sally 在 15 分钟（1/4 小时）后离开，沿着同一条路线行驶，平均时速为 42 英里。 莎莉要等多久才能赶上查理？
- 回答
-
莎莉要花\(1\frac{1}{2}\)几个小时才能赶上查理。
许多现实世界中均匀运动的应用之所以出现，是因为水流或空气流对车辆实际速度的影响。 由于风流盛行，在美国，越野飞机向西飞行所需的时间通常比向东飞行更长。
让我们来看看在河上行驶的船。 根据船的行驶方向，水流要么减慢船速，要么加速。
图\(\PageIndex{1}\)和图\(\PageIndex{2}\)显示了河流如何影响船只的实际行驶速度。 我们将船在静止水中的速度 b 和河流的速度称为 c。
在图\(\PageIndex{1}\)中，船正在向下游行驶，方向与河流的方向相同。 潮流有助于推动船只，因此船的实际速度比在静水中的速度快。 船的实际移动速度为 b + c。
在图\(\PageIndex{2}\)中，船正在向上游行驶，与河流相反。 潮流不利于船，因此船的实际速度比它在静水中的速度慢。 船的实际速度为 b−c。
我们将在练习中为这种情况提供一些数字\(\PageIndex{25}\)。
转换为方程组然后求解：
一艘内河游轮在下游航行了 60 英里，行驶了 4 个小时，然后花了 5 个小时向上游航行才返回码头。 找出船在静水中的速度和河流的速度。
- 回答
-
阅读问题。
这是一个均匀的运动问题，一张照片可以帮助我们直观地看到情况。
确定我们在寻找什么。 我们正在寻找飞船在静止水
中的速度和潮流的速度。说出我们要找的东西。 假设 s=s= 飞船在静止水中的速度。
c=c= 当前的速率图表将帮助我们整理信息。
这艘船先下游，然后再往上游行驶。
下游，潮流对
船舶有帮助；因此，船舶的实际费率为 s + c。
向上游移动，潮流会减慢船的速度；
因此，实际速率为 s − c。
下游需要 4 个小时。
上游需要 5 个小时。
单程距离为 60 英里。转化为方程组。
由于速率时间就是距离，我们可以
编写方程组。
求解方程组。
Distribute 使两个方程都
采用标准形式，然后通过消法求解。
将顶部方程乘以 5，将底部方程乘以 4。
将方程相加，然后求解 s。
将 s = 13.5 替换为原始方程之一。 
检查问题中的答案。
下游速度将为
13.5 + 1.5 = 15 英里/小时。
在 4 小时内，船将行驶
15 · 4 = 60 英里。
上游速度将为
13.5 − 1.5 = 12 英里/小时。
在 5 个小时内，船将行驶
12 · 5 = 60 英里。回答问题。 飞船的速度为13.5英里/小时
，目前的速度为1.5英里/小时。
转换为方程组然后求解：密西西比河游船向上游航行 120 英里，行驶 12 个小时，然后花了 10 个小时才返回码头。 找出河船在静水中的速度和河流的速度。
- 回答
-
船的速度为11英里/小时，目前的速度为1英里/小时。
转换为方程组然后求解：Jason 在上游 24 英里处划独木舟 4 个小时。 他花了 3 个小时才往后划桨。 找出独木舟在静水中的速度和河流的速度。
- 回答
-
独木舟的速度为7英里/小时，当前的速度为1英里/小时。
风流影响飞机速度的方式与水流影响船速的方式相同。 我们将在练习中看到这一点\(\PageIndex{28}\)。 与飞机飞行方向相同的风流称为顺风。 向飞机方向吹来的风流称为逆风。
转换为方程组然后求解：
私人飞机可以在三个小时内顺风飞行1095英里，但在逆风后的三个小时内只能飞行987英里。 找出喷气机在静止空气中的速度和风速。
- 回答
-
阅读问题。
这是一个均匀的运动问题，一张图片可以帮助我们进行可视化。
确定我们在寻找什么。 我们正在寻找喷气式飞机
在静止空气中的速度和风速。说出我们要找的东西。 让 j= 喷气机在静止空气中的速度。
w = 风速图表将帮助我们整理信息。
喷气式飞机进行了两次飞行，一次在顺风中
，一次在逆风中。
在顺风中，风有助于喷气式飞机，因此
速率为 j + w。
在逆风中，风会减慢喷气机的速度，
因此速率为 j − w。
每次旅行需要 3 个小时。
飞机顺风飞行 1095 英里。
在逆风中，喷气式飞机飞行了987英里。转化为方程组。
由于速率时间就是距离，所以我们得到方
程组。
求解方程组。
分发，然后通过消除求解。
相加，然后求解 j。
将 j = 347 替换为原始方
程之一，然后求解 w。
检查问题中的答案。
顺风下，
喷气式飞机的实际速度将为
347 + 18 = 365英里/小时。
飞机将在 3 小时内行驶
365 · 3 = 1095 英里。
进入逆风时，喷气式飞机的实际
速度将为
347-18 = 329英里/小时。
飞机将在 3 小时内行驶
329 · 3 = 987 英里。回答问题。 喷气式飞机的速度为 347 英里/小时，风
速为 18 英里/小时。
转换为方程组然后求解：一架小型喷气式飞机在顺风下可以在5小时内飞行1,325英里，但在逆风的5小时内只能飞行1025英里。 找出喷气机在静止空气中的速度和风速。
- 回答
-
喷气式飞机的速度为 235 英里/小时，风速为 30 英里/小时。
转换为方程组然后求解：一架商用飞机在顺风下可以在4小时内飞行1728英里，但在逆风的4小时内只能飞行1536英里。 找出喷气机在静止空气中的速度和风速。
- 回答
-
喷气式飞机的速度为 408 英里/小时，风速为 24 英里/小时。
词汇表
- 互补角度
- 如果两个角度的测量值之和为\(90\)度，则两个角度是互补的。
- 补充角度
- 如果两个角度的测量值之和为\(180\)度，则两个角度是补充的。