5.3：通过消除求解方程组

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 通过消除求解方程组
• 通过消除求解方程组的应用
• 选择最方便的方法来求解线性方程组

注意

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 简化 −5 (6−3a)。
   如果您错过了此问题，请查看练习 1.10.43。
2. 求解方程\(\frac{1}{3}x+\frac{5}{8}=\frac{31}{24}\)。
   如果您错过了此问题，请查看练习 2.5.1。

我们已经通过绘图和替换求解了线性方程组。 当变量系数很小且解具有整数值时，绘图效果很好。 当我们可以轻松地为其中一个变量求解一个方程并且生成的表达式中没有太多分数时，替换效果很好。

求解线性方程组的第三种方法称为消除法。 当我们通过替换求解一个系统时，我们从两个方程和两个变量开始，然后将其简化为一个带有一个变量的方程。 这也是我们要用淘汰法做的事情，但我们会有不同的方法来实现目标。

通过消除求解方程组

消除法基于 “相等” 的加法属性。 平等的加法属性说，当你将相同的量添加到方程的两边时，你仍然相等。 我们将扩展相等的加法属性，即当你向方程的两边添加相等的量时，结果是相等的。

对于任何表达式 a、b、c 和 d，

\[\begin{array}{lc} \text{ if } & a=b \\ \text { and } & c=d \\ \text { then } &a+c =b+d \end{array}\]

要通过消除求解方程组，我们从两个标准形式的方程开始。 然后我们决定哪个变量最容易消除。 我们如何决定？ 我们希望一个变量的系数相对，这样我们就可以将方程加在一起并消除该变量。

注意当我们将这两个方程相加时它是如何工作的：

\[\begin{array}{l} 3x+y=5 \\ \underline{2x-y=0} \\ 5x\quad\quad=5\end{array}\]

y 相加为零，我们有一个方程和一个变量。

让我们再试一个：

\[\left\{\begin{array}{l}{x+4 y=2} \\ {2 x+5 y=-2}\end{array}\right.\]

这次我们看不到添加方程后可以立即消除的变量。

但是，如果我们将第一个方程乘以 −2，我们将得出 x 对立面的系数。 我们必须将方程两边的每个项乘以 −2。

现在我们看到 x 项的系数是相反的，所以当我们将这两个方程相加时 x 将被消除。

自己添加方程——结果应为 −3 y = −6。 这看起来很容易解决，不是吗？ 这是它的样子。

我们再做一个：

\[\left\{\begin{array}{l}{4 x-3 y=10} \\ {3 x+5 y=-7}\end{array}\right.\]

除非我们使用分数，否则看来我们无法通过将其中一个方程乘以一个常量来使一个变量的系数相对。 因此，我们必须将两个方程乘以一个常数。

如果我们将第一个方程乘以 3，将第二个方程乘以 −4，我们可以得到 12 x 和 −12 x。

这给了我们这两个新的方程式：

\[\left\{\begin{aligned} 12 x-9 y &=30 \\-12 x-20 y &=28 \end{aligned}\right.\]

当我们添加这些方程时，

\[\[\left\{\begin{array}{r}{12 x-9 y=30} \\ {\underline{-12 x-20 y=28}} \\\end{array}\right.\\\quad\qquad {-29 y=58}\]\]

x 被消除，我们只有 −29 y = 58。

一旦我们得到一个只有一个变量的方程，我们就求解它。 然后，我们将该值替换为原始方程之一，以求解剩余的变量。 而且，与往常一样，我们会检查答案以确保它是两个原始方程的解。

现在我们将看看如何使用消除来求解我们通过绘图和替换求解的相同方程组。

练习\(\PageIndex{1}\): How to Solve a System of Equations by Elimination

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{2 x+y=7} \\ {x-2 y=6}\end{array}\right.\)

回答

练习\(\PageIndex{2}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{3 x+y=5} \\ {2 x-3 y=7}\end{array}\right.\)

回答

(2, −1)

练习\(\PageIndex{3}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{4 x+y=-5} \\ {-2 x-2 y=-2}\end{array}\right.\)

回答

(−2,3)

下面列出了这些步骤以便于参考。

如何通过消除求解方程组。

1. 用标准形式写下两个方程式。 如果有任何系数是分数，请将其清除。
2. 使一个变量的系数成对立面。
   • 决定要消除哪个变量。
   • 将一个或两个方程相乘，使该变量的系数相对。
3. 将步骤 2 得出的方程相加，以消除一个变量。
4. 求解剩余变量。
5. 将步骤 4 中的解替换为原始方程之一。 然后求解另一个变量。
6. 将解写成有序对。
7. 检查有序对是否是两个原始方程的解。

首先我们举一个例子，我们可以立即消除一个变量。

练习\(\PageIndex{4}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{x+y=10} \\ {x-y=12}\end{array}\right.\)

回答

两个方程都是标准形式。
y 的系数已经对立了。
将两个方程相加以消除 y。 由此产生的方程只有 1 个变量 x。
求解 x，剩下的变量。 将 x = 11 替换为原始方程之一。
求解另一个变量 y。
将解写成有序对。	有序对是 (11, −1)。
检查有序对是否是两个原始方程的解。 \(\begin{array}{rllrll} x+y &=&10 &x-y&=&12\\ 11+(-1) &\stackrel{?}{=}&10 & 11-(-1) &\stackrel{?}{=}&12\\ 10 &=&10 \checkmark & 12 &=&12 \checkmark \end{array}\)
	解是 (11, −1)。

练习\(\PageIndex{5}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{2 x+y=5} \\ {x-y=4}\end{array}\right.\)

回答

(3, −1)

练习\(\PageIndex{6}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{x+y=3} \\ {-2 x-y=-1}\end{array}\right.\)

回答

(−2,5)

在练习中\(\PageIndex{7}\)，我们将能够通过将一个方程乘以一个常数得出一个对立变量的系数。

练习\(\PageIndex{7}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{3 x-2 y=-2} \\ {5 x-6 y=10}\end{array}\right.\)

回答

两个方程都是标准形式。
没有一个系数是相反的。
我们可以通过将第一个方程乘以 −3 来得出 y 对立面的系数。
简化。
将两个方程相加以消除 y。
求解剩余变量 x。 将 x = −4 替换为原始方程之一。
求解 y。
将解写成有序对。	有序对是 (−4, −5)。
检查有序对是否是 两个原始方程的解。 \(\begin{array}{rllrll} 3x-2y &=&-2 &5x-6y&=&10\\ 3(-4)-2(-5) &\stackrel{?}{=}&-2 & 5(-4)-6(-5) &\stackrel{?}{=}&10\\ -12+10&\stackrel{?}{=}&-2 &-20+30&\stackrel{?}{=}&10\\-2 &=&-2 \checkmark & 10 &=&10 \checkmark \end{array}\)
	解是 (−4, −5)。

练习\(\PageIndex{8}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{4 x-3 y=1} \\ {5 x-9 y=-4}\end{array}\right.\)

回答

(1,1)

练习\(\PageIndex{9}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{3 x+2 y=2} \\ {6 x+5 y=8}\end{array}\right.\)

回答

(−2,4)

现在我们举一个例子，我们需要将两个方程乘以常量，以便使一个变量的系数对立。

练习\(\PageIndex{10}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{4 x-3 y=9} \\ {7 x+2 y=-6}\end{array}\right.\)

回答

在这个例子中，我们不能仅将一个方程乘以任何常量来获得相反的系数。 因此，我们将策略性地将两个方程乘以一个常数得出对立面。

两个方程都是标准形式。 为了得到 y 的相反 系数，我们将第一个方程乘以 2 ，将第二个方程乘以 3。
简化。
将两个方程相加以消除 y。
求解 x。 将 x = 0 替换为原始方程之一。
求解 y。
将解写成有序对。	有序对为 (0, −3)。
检查有序对是否是 两个原始方程的解。 \(\begin{array}{rllrll} 4x-3y &=&9 &7x+2y&=&-6\\ 4(0)-3(-3) &\stackrel{?}{=}&9 & 7(0)+2(-3) &\stackrel{?}{=}&-6\\9 &=&9 \checkmark & -6 &=&-6 \checkmark \end{array}\)
	解是 (0, −3)。

练习\(\PageIndex{11}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{3 x-4 y=-9} \\ {5 x+3 y=14}\end{array}\right.\)

回答

(1,3)

练习\(\PageIndex{12}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{7 x+8 y=4} \\ {3 x-5 y=27}\end{array}\right.\)

回答

(4, −3)

当方程组包含分数时，我们将首先通过将每个方程乘以其 LCD 来清除分数。

练习\(\PageIndex{13}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2} y=6} \\ {\frac{3}{2} x+\frac{2}{3} y=\frac{17}{2}}\end{array}\right.\)

回答

在此示例中，两个方程都有分数。 我们的第一步是将每个方程乘以其 LCD 以清除分数。

要清除分数，请将每个方程乘以其 LCD。
简化。
现在我们已经准备好消除其中一个变量了。 请注意， 两个方程都是标准形式。
我们可以将 y 乘以顶部方程 −4 来消除。
简化并添加。 将 x = 3 替换为原始方程之一。
求解 y。
将解写成有序对。	订购的对是 (3, 6)。
检查有序对是否是两个原始方程的解。 \(\begin{array}{rllrll} x+\frac{1}{2}y &=&6 &\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y&=&\frac{17}{2}\\ 3+\frac{1}{2}(6) &\stackrel{?}{=}&6 &\frac{3}{2}(3) + \frac{2}{3}(6)&\stackrel{?}{=}&\frac{17}{2}\\ 3 + 3 &\stackrel{?}{=}&6 & \frac{9}{2 }+4 &\stackrel{?}{=} & \frac{17}{2}\\ 6 &=&6 \checkmark & \frac{9}{2} + \frac{8}{2} &\stackrel{?}{=} & \frac{17}{2}\\ && & \frac{17}{2} &=&\frac{17}{2} \checkmark \end{array}\)
	解决方案是 (3, 6)。

练习\(\PageIndex{14}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3} x-\frac{1}{2} y=1} \\ {\frac{3}{4} x-y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.\)

回答

(6,2)

练习\(\PageIndex{15}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{3}{5} y=-\frac{1}{5}} \\ {-\frac{1}{2} x-\frac{2}{3} y=\frac{5}{6}}\end{array}\right.\)

回答

(1, −2)

在 “通过图形求解方程组” 中，我们看到并非所有的线性方程组都有单个有序对作为解。 当两个方程实际上是同一条线时，有无限多的解。 我们称之为一致的系统。 当两个方程描述平行线时，没有解。 我们称之为不一致的系统。

练习\(\PageIndex{16}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{3 x+4 y=12} \\ {y=3-\frac{3}{4} x}\end{array}\right.\)

回答

\(\begin{array} {ll} & \left\{\begin{aligned} 3 x+4 y &=12 \\ y &=3-\frac{3}{4} x \end{aligned}\right. \\\\\text{Write the second equation in standard form.} & \left\{\begin{array}{l}{3 x+4 y=12} \\ {\frac{3}{4} x+y=3}\end{array}\right.\\ \\ \text{Clear the fractions by multiplying thesecond equation by 4.} & \left\{\begin{aligned} 3 x+4 y &=12 \\ 4\left(\frac{3}{4} x+y\right) &=4(3) \end{aligned}\right. \\\\ \text{Simplify.} & \left\{\begin{array}{l}{3 x+4 y=12} \\ {3 x+4 y=12}\end{array}\right.\\\\ \text{To eliminate a variable, we multiply thesecond equation by −1.} & \left\{\begin{array}{c}{3 x+4 y=12} \\ \underline{-3 x-4 y=-12} \end{array}\right.\\ &\qquad\qquad\quad 0=0 \\ \text{Simplify and add.} \end{array}\)

这是真实的陈述。 这些方程是一致的，但相互依存。 他们的图形将是同一条线。 该系统有无限多的解决方案。

在我们清除了第二个方程中的分数之后，你有没有注意到这两个方程是相同的？ 这意味着我们有重合的线。

练习\(\PageIndex{17}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{5 x-3 y=15} \\ {y=-5+\frac{5}{3} x}\end{array}\right.\)

回答

无限多的解决方案

练习\(\PageIndex{18}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{x+2 y=6} \\ {y=-\frac{1}{2} x+3}\end{array}\right.\)

回答

无限多的解决方案

练习\(\PageIndex{19}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{-6 x+15 y=10} \\ {2 x-5 y=-5}\end{array}\right.\)

回答

\(\begin{array} {ll} \text{The equations are in standard form.}& \left\{\begin{aligned}-6 x+15 y &=10 \\ 2 x-5 y &=-5 \end{aligned}\right. \\\\ \text{Multiply the second equation by 3 to eliminate a variable.} & \left\{\begin{array}{l}{-6 x+15 y=10} \\ {3(2 x-5 y)=3(-5)}\end{array}\right. \\\\ \text{Simplify and add.} & \left\{\begin{aligned}{-6 x+15 y =10} \\ \underline{6 x-15 y =-15} \end{aligned}\right. \\ & \qquad \qquad \quad0\neq 5 \end{array}\)

这种说法是错误的。 这些方程不一致，因此它们的图形将是平行线。

系统没有解决方案。

练习\(\PageIndex{20}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{-3 x+2 y=8} \\ {9 x-6 y=13}\end{array}\right.\)

回答

没有解决办法

练习\(\PageIndex{21}\)

通过消除来解决系统。 \(\left\{\begin{array}{l}{7 x-3 y=-2} \\ {-14 x+6 y=8}\end{array}\right.\)

回答

没有解决办法

通过消除求解方程组的应用

一些应用问题直接转化为标准形式的方程式，因此我们将使用消除法来求解这些问题。 和以前一样，我们使用问题解决策略来帮助我们保持专注和井井有条。

练习\(\PageIndex{22}\)

两个数字的总和为 39。 它们的区别是 9。 找到数字。

回答

\(\begin{array} {ll} \textbf{Step 1. Read}\text{ the problem}& \\ \textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.} & \text{We are looking for two numbers.} \\\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.} & \text{Let n = the first number.} \\ & \text{ m = the second number} \\\textbf{Step 4. Translate} \text{ into a system of equations.}& \\ & \text{The sum of two numbers is 39.} \\ & n+m=39\\ & \text{Their difference is 9.} \\ & n−m=9 \\ \\ \text{The system is:} & \left\{\begin{array}{l}{n+m=39} \\ {n-m=9}\end{array}\right. \\\\ \textbf{Step 5. Solve} \text{ the system of equations. } & \\ \text{To solve the system of equations, use} \\ \text{elimination. The equations are in standard} \\ \text{form and the coefficients of m are} & \\ \text{opposites. Add.} & \left\{\begin{array}{l}{n+m=39} \\ \underline{n-m=9}\end{array}\right. \\ &\quad 2n\qquad=48 \\ \\\text{Solve for n.} & n=24 \\ \\ \text{Substitute n=24 into one of the original} &n+m=39 \\ \text{equations and solve form.} & 24+m=39 \\ & m=15 \\ \textbf{Step 6. Check}\text{ the answer.} & \text{Since 24+15=39 and 24−15=9, the answers check.}\\ \textbf{Step 7. Answer} \text{ the question.} & \text{The numbers are 24 and 15.} \end{array}\)

练习\(\PageIndex{23}\)

两个数字的总和为 42。 它们的区别是 8。 找到数字。

回答

这两个数字分别为 25 和 17。

练习\(\PageIndex{24}\)

两个数字的总和为 −15。 它们的区别是 −35。 找到数字。

回答

这两个数字分别为 −25 和 10。

练习\(\PageIndex{25}\)

Joe 每天上班途中都会在汉堡餐厅停留。 星期一他订购了一份中等大小的薯条和两杯小苏打水，总共含有620卡路里的热量。 周二他订购了两份中等大小的薯条和一杯小苏打水，总共消耗了820卡路里的热量。 一份中等大小的薯条中有多少卡路里？ 一小苏打有多少卡路里？

回答

第 1 步。 阅读问题。
第 2 步。 确定我们在寻找什么。	我们正在寻找一份中等大小的薯条 和一份小苏打水中的 卡路里数量。
第 3 步。 说出我们要找的东西。	假设 f = 1 个中等大小的薯条中的卡路里数量。 s = 1 小苏打水中的卡路里数量。
第 4 步。 翻译成方程组：	一个中等大小的薯条和两个小苏打水 总共含有 620 卡路里的热量
	两个中等大小的薯条和一个小苏打水 总共含有 820 卡路里的热量。
我们的系统是：
第 5 步。 求解方程组。 要求解方程组，请使用 消除。 方程采用标准 形式。 要得到 f 的相反系数， 请将顶部方程乘以 −2。
简化并添加。
为 s 求解。
将 s = 140 替换为原始方 程之一，然后求解 f。
第 6 步。 检查答案。	验证这些数字在问题 中是否有意义，并且它们是 两个方程的解。 我们把这个留给你！
第 7 步。 回答问题。	小苏打含有140卡路里的热量 ，薯条含有340卡路里的热量。

练习\(\PageIndex{26}\)

马利克在杂货店停下来买一袋尿布和两罐配方奶粉。 他总共花费了37美元。 下周他停下来买了2袋尿布和5罐配方奶粉，总价为87美元。 一袋尿布要多少钱？ 一罐配方奶粉多少钱？

回答

一袋尿布的价格为11美元，一罐配方奶粉的价格为13美元。

练习\(\PageIndex{27}\)

为了获得当天每天的水果摄入量，萨莎在周三吃了一根香蕉和8个草莓，卡路里计数为145卡路里。 在接下来的星期三，她吃了两根香蕉和五颗草莓，水果总共消耗了235卡路里的热量。 香蕉里有多少卡路里？ 草莓中有多少卡路里？

回答

香蕉中有 105 卡路里，草莓中有 5 卡路里。

选择最方便的方法来求解线性方程组

当你必须在以后的数学课中求解线性方程组时，通常不会被告知要使用哪种方法。 你需要自己做这个决定。 因此，您需要选择最容易做到、最大限度地减少出错机会的方法。

练习\(\PageIndex{28}\)

对于每个线性方程组，决定通过替换还是消除来求解更方便。 解释你的答案。

1. \(\left\{\begin{array}{l}{3 x+8 y=40} \\ {7 x-4 y=-32}\end{array}\right.\)
2. \(\left\{\begin{array}{l}{5 x+6 y=12} \\ {y=\frac{2}{3} x-1}\end{array}\right.\)

回答

1。 \(\left\{\begin{array}{l}{3 x+8 y=40} \\ {7 x-4 y=-32}\end{array}\right.\)

由于两个方程都是标准形式，因此使用消除将最为方便。

2。 \(\left\{\begin{array}{l}{5 x+6 y=12} \\ {y=\frac{2}{3} x-1}\end{array}\right.\)

由于 y 已经求解了一个方程，因此使用替换将最为方便。

练习\(\PageIndex{29}\)

对于每个线性方程组，决定通过替换还是消除来求解更方便。 解释你的答案。

1. \(\left\{\begin{array}{l}{4 x-5 y=-32} \\ {3 x+2 y=-1}\end{array}\right.\)
2. \(\left\{\begin{array}{l}{x=2 y-1} \\ {3 x-5 y=-7}\end{array}\right.\)

回答

1. 由于两个方程都是标准形式，因此使用消除将最为方便。
2. 由于已经求解了 xx 的一个方程，因此使用替换将最为方便。

练习\(\PageIndex{30}\)

对于每个线性方程组，决定通过替换还是消除来求解更方便。 解释你的答案。

1. \(\left\{\begin{array}{l}{y=2 x-1} \\ {3 x-4 y=-6}\end{array}\right.\)
2. \(\left\{\begin{array}{l}{6 x-2 y=12} \\ {3 x+7 y=-13}\end{array}\right.\)

回答

1. 由于 yy 已经求解了一个方程，因此使用替换将最为方便；
2. 由于两个方程都是标准形式，因此使用消除将最为方便。

注意

访问这些在线资源，获取有关通过消除求解线性方程组的更多指导和练习。

• 教学视频-通过消除求解方程组
• 教学视频通过淘汰求解
• 淘汰教学视频解答系统

关键概念

• 通过消除求解方程组
  1. 用标准形式写下两个方程式。 如果有任何系数是分数，请将其清除。
  2. 使一个变量的系数成对立面。
     • 决定要消除哪个变量。
     • 将一个或两个方程相乘，使该变量的系数相对。
  3. 将步骤 2 得出的方程相加，以消除一个变量。
  4. 求解剩余变量。
  5. 将步骤 4 中的解替换为原始方程之一。 然后求解另一个变量。
  6. 将解写成有序对。
  7. 检查有序对是否是两个原始方程的解。