3.6：求解具有线性不等式的应用程序
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- 求解具有线性不等式的应用程序
求解具有线性不等式的应用程序
许多现实生活中的情况要求我们解决不平等问题。 事实上，不等式应用非常普遍，以至于我们常常没有意识到自己在做代数。 例如，花20美元可以在车里放多少加仑的汽油？ 公寓的租金负担得起吗？ 上课前有足够的时间去吃午饭、吃完然后回来吗？ 在不超出预算的情况下，每个家庭成员的节日礼物应该花多少钱？
我们将用来求解具有线性不等式的应用程序的方法与我们在使用方程求解应用程序时使用的方法非常相似。 我们将阅读问题并确保所有单词都被理解。 接下来，我们将确定要查找的内容，并分配一个变量来表示它。 我们将用一句话重述这个问题，以便于将其转化为不平等。 然后，我们将解决不平等问题。
艾玛找到了一份新工作，必须搬家。 她的月收入将为5,265美元。 要获得租房资格，艾玛的月收入必须至少是租金的三倍。 艾玛有资格获得的最高租金是多少？
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\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the highest rent Emma will qualify for}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let r = rent}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate} \text{ into an inequality.}} &{} \\{} &{\text{Emma’s monthly income must be at least}} \\ {\text{First write a sentence that gives the information}} &{\text{three times the rent.}} \\ {\text{to find it.}} &{} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{5265 \geq 3r} \\ {\text{Remember, } a > x\text{ has the same meaning}} &{1755 \geq r} \\ {\text{as }x < a} &{r \leq 1755} \\ {\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{A maximum rent of \$1,755 seems}} &{} \\ {\text{reasonable for an income of \$5,265.}} &{} \\ {\textbf{Step 7. Answer} \text{ the answer in the problem}} &{\text{the question with a}} \\ {\text{complete sentence.}} &{\text{The maximum rent is \$1,755.}} \end{array}\)
艾伦正在装一个托盘，里面装有每个重达 45 磅的箱子。 托盘可以安全地承受不超过 900 磅的重量。 他可以安全地将多少箱子装到托盘上？
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盒子不能超过 20 个。
Yehire 公寓楼的电梯有一个标志，上面写着最大重量为 2,100 磅。 如果一个人的平均体重为 150 磅，那么有多少人可以安全地乘坐电梯？
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最多 14 人可以安全地乘坐电梯。
有时应用程序要求解为整数，但不等式的代数解不是整数。 在这种情况下，我们必须将代数解四舍五入到一个整数。 应用程序的上下文将决定我们是向上还是向下四舍五入。 要检查这样的应用程序，我们会将答案四舍五入为一个易于计算的数字，并确保该数字使不等式成真。
黎明赢得了4,000美元的小额补助金，用于为她的教室购买平板电脑。 她想购买的平板电脑每台售价为254.12美元，包括税费和运费。 Dawn 可以购买的最大平板电脑数量是多少？
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\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the maximum number of tablets Dawn can buy}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let n = the number of tablets.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{$254.12\text{ times the number of tablets is no}} \\ {} &{\text{more than \$4000.}} \\ {\text{Translate into an inequality.}} &{254.12n \leq 4000} \\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{n \leq 15.74} \\ {\text{But n must be a whole number of tablets,}} &{} \\ {\text{so round to 15.}} &{n \leq 15}\\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Rounding down the price to \$250,}} &{} \\ {\text{15 tablets would cost \$3750, while}} &{} \\ {\text{16 tablets would be \$4000. So a}} &{} \\{\text{maximum of 15 tablets at \$254.12}} &{} \\ {\text{seems reasonable.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the answer in the problem}} &{\text{the question with a}} \\ {\text{complete sentence.}} &{\text{Dawn can buy a maximum of 15 tablets.}} \end{array}\)
安吉有20美元可以花在果汁盒上，用于儿子的学前野餐。 每包果汁盒的价格为2.63美元。 她最多可以购买多少包？
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七包
丹尼尔想在她最喜欢的餐厅举办生日派对，给女友一个惊喜。 每人晚餐费用为42.75美元，包括小费和税费。 他为该党编列的预算是500美元。 丹尼尔最多能参加派对的人数是多少？
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11 个人
皮特在一家电脑商店工作。 他的每周工资将为固定金额，即925美元，或500美元加上总销售额的12％。 如果他的可变薪酬选项超过925美元的固定金额，他的总销售额应该是多少？
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\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the total sales needed for his variable pay}} \\ {} &{\text{option to exceed the fixed amount of \$925}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let s = the total sales.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{$500\text{ plus 12% of total sales is more than \$925.}} \\ {\text{Translate into an inequality. Remember to}} &{500 + 0.12s > 925} \\{\text{convert the percent to a decimal.}} &{} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{0.12s > 425} \\ {} &{s > 3541.\overline{66}} \\ \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Rounding down the price to \$250,}} &{} \\ {\text{15 tablets would cost \$3750, while}} &{} \\ {\text{If we round the total sales up to}} &{} \\{\text{\$4000, we see that}} &{} \\ {\text{500+0.12(4000) = 980, which is more}} &{} \\ {\text{than \$925.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{The total sales must be more than \$3541.67}} \end{array}\)
蒂芙尼刚大学毕业，她的新工作每年将为她支付20,000美元，外加所有销售额的2％。 她想每年至少赚100,000美元。 她能以多少总销售额实现目标？
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至少 4000000 美元
克里斯蒂安获得了一份新工作，年薪为24,000美元，外加销售额的3％。 这份新工作比他目前的薪水为6万美元的工作高出多少总销售额？
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至少 120万美元
塞尔吉奥和利泽斯的度假预算非常紧张。 他们计划从一家公司租一辆汽车，每周收费75美元，外加每英里0.25美元。 他们可以行驶多少里程但仍保持在 200 美元的预算范围内？
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\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of miles Sergio and Lizeth can travel}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let m = the number of miles.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{\text{\$75 plus 0.25 times the number of miles is}} \\{\text{gives the information to find it.}} &{\text{ less than or equal to \$200.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{75 + 25m \leq 200} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{0.25m \leq 125} \\ {} &{m \leq 500 \text{ miles}} \\ \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Yes, 75 + 0.25(500) = 200.}} & {}\\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Sergio and Lizeth can travel 500 miles}} \\ {} &{\text{and still stay on budget.}} \end{array}\)
Taleisha的电话套餐每月花费28.80美元，外加每条短信0.20美元。 她可以使用多少条短信，并且每月的电话账单不超过50美元？
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不超过 106 条短信
Rameen的取暖费为每月5.42美元，加上每热1.08美元。 如果 Rameen 想让自己的取暖费最高为 87.50 美元，他能使用多少保温器？
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不超过 76 个温度
大多数企业的共同目标是获利。 利润是指从赚取的钱中减去费用后剩下的钱。 在下一个例子中，我们将找到一个小商人为了赚取一定利润每个月需要做多少工作。
艾略特经营景观维护业务。 他每月的开支为1,100美元。 如果他每份工作收取60美元的费用，那么他必须做多少工作才能赚取每月至少4,000美元的利润？
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\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of jobs Elliot needs}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent it}} &{\text{Let j = the number of jobs.}} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{\text{\$60 times the number of jobs minus \$1,100 is at least \$4,000.}} \\{\text{gives the information to find it.}} &{\text{ less than or equal to \$200.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{60j - 1100 \geq 4000} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{60j \geq 5100} \\ {} &{j \geq 85\text{ jobs}} \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{If Elliot did 90 jobs, his profit would be}} & {}\\ {\text{60(90)−1,100,or \$4,300. This is}} &{} \\ {\text{more than \$4,000.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Elliot must work at least 85 jobs.}} \end{array}\)
Caleb 有一家宠物看护公司。 他每小时收费32美元。 他每月的开支为2272美元。 他必须工作多少小时才能赚取每月至少800美元的利润？
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至少 96 个小时
Felicity 有一家书法生意。 她每张结婚请柬收取2.50美元的费用。 她每月的开支是650美元。 她必须写多少邀请函才能赚取每月至少2800美元的利润？
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至少 1380 份邀请
有时候生活会变得复杂！ 在许多情况下，多个数量会占总支出。 当我们解决这样的问题时，我们必须确保将所有个人开支考虑在内。
布伦达最好的朋友正在举行目的地婚礼，活动将持续3天。 布伦达有500美元的储蓄，每小时可以赚15美元的保姆服务。 她预计将支付350美元的机票，375美元的食物和娱乐费用以及每晚60美元的酒店房间份额。 她必须照顾多少小时才能有足够的钱支付旅行费用？
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\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of hours Brenda must babysit}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{\text{Let h = the number of hours.}} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{} \\ {} &{\text{The expenses must be less than or equal to}} \\ {} &{\text{the income. The cost of airfare plus the}} \\ {} &{\text{cost of food and entertainment and the}} \\ {} &{\text{hotel bill must be less than or equal to the savings}} \\ {} &{\text{plus the amount earned babysitting.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{\$350 + \$375 + \$60(3) \leq \$500 + \$15h} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{905 \leq 500 + 15h} \\{} &{405 \leq 15h} \\ {} &{27 \leq h} \\ {} &{h \geq 27} \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{We substitute 27 into the inequality.}} & {}\\{905 \leq 500 + 15h} &{} \\ {905 \leq 500 + 15(27)} &{} \\ {905 \leq 905} &{} \\ \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Brenda must babysit at least 27 hours.}} \end{array}\)
马利克正在计划为期6天的暑假旅行。 他有840美元的储蓄，每小时的辅导收入为45美元。 这次旅行将花费他525美元的机票，780美元的食物和观光费用，每晚95美元的酒店费用。 他必须辅导多少小时才能有足够的钱支付旅行费用？
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至少 23 个小时
Josue想在明年春天进行为期10天的公路旅行。 他将花费180美元购买汽油，450美元购买食物，每晚花费49美元。 他有520美元的储蓄，每条车道铲雪可以赚30美元。 他必须铲多少车道才能有足够的钱支付旅行费用？
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至少 20 条车道
关键概念
- 解决不平等问题
- 阅读问题。
- 确定我们在寻找什么。
- 说出我们要找的东西。 选择一个变量来表示该数量。
- 翻译。 写一句话，给出找到它的信息。 转化为不平等。
- 解决不平等问题。
- 检查问题中的答案并确保答案合理。
- 用完整的句子@@ 回答问题。