2.7: 求解线性不等式

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 在数字线上绘制不等式图
• 使用不等式的减法和加法属性求解不等式
• 使用不等式的除法和乘法属性求解不等式
• 解决需要简化的不等式
• 转化为不等式然后解决

注意

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 从代数翻译成英语:$15>x$.
   如果您错过了此问题，请查看练习 1.3.1。
2. 解决：$n−9=−42$。
   如果您错过了此问题，请查看练习 2.1.7。
3. 解决：$−5p=−23$。
   如果您错过了此问题，请查看练习 2.2.1。
4. 解决：$3a−12=7a−20$。
   如果您错过了此问题，请查看练习 2.3.22。

在数字线上绘制不等式图

你还记得一个数字成为方程的解意味着什么吗？ 方程的解是一个变量的值，当它被替换到方程中时，该变量的陈述是真实的。

那么不平等的解决方案呢？ 什么数字能使不平等成为$x > 3$现实？ 你在想 “x 可能是 4” 吗？ 没错，但是 x 也可能是 5，或者 20，甚至是 3.001。 任何大于 3 的数字都是不等式的解$x > 3$。

我们通过在 3 右边的所有数字$x > 3$上加阴影来显示数字线上不等式的解，以表明所有大于 3 的数字都是解。 因为数字 3 本身不是解，所以我们在 3 处加了一个左括号。 的图表$x > 3$如图所示$\PageIndex{1}$。 请注意，使用以下惯例：浅蓝色箭头指向正方向，深蓝色箭头指向负方向。

图$\PageIndex{1}$：在这条数字线上绘制了不等式$x > 3$。

不等式的图$x \geq 3$很像的图$x > 3$，但现在我们需要证明3也是一个解。 我们通过在方括号处加上方括号来做到这一点$x = 3$，如图所示$\PageIndex{2}$。

图$\PageIndex{2}$：在这条数字线上绘制了不等式$x \geq 3$。

请注意，左括号符号 (，表示不等式的端点不包括在内。 开括号符号 [表示包含端点。

练习$\PageIndex{1}$

数字行上的图表：

1. $x\leq 1$
2. $x<5$
3. $x>−1$

回答

1。 $x\leq 1$这意味着所有数字小于或等于 1。 我们用 1 左边的数字行上的所有数字加上阴影，然后在 x=1 处加上方括号以表明它包含在内。

2。 $x<5$这意味着所有数字都小于 5，但不包括 5。 我们用 5 左边的数字行上的所有数字加上阴影，然后在 x=5 处加上圆括号，表示它不包括在内。

3。 $x>−1$这意味着所有大于 −1 的数字，但不包括 −1。 我们用 −1 右边的数字行上的所有数字加上阴影，然后在 x=−1 处加上圆括号，表示它不包括在内。

练习$\PageIndex{2}$

数字行上的图表：

1. $x\leq −1$
2. $x>2$
3. $x<3$

回答

1. 
2. 
3. 

练习$\PageIndex{3}$

数字行上的图表：

1. $x>−2$
2. $x<−3$
3. $x\geq −1$

回答

1. 
2. 
3. 

我们也可以使用区间表示法来表示不等式。 正如我们在上面看到的，不等$x>3$式意味着所有大于 3 的数字。 这种不平等的解决方案没有上限。 在间隔表示法中，我们表示$x>3$为$(3, \infty)$。 该符号被读$\infty$为 “无限”。 这不是一个实际的数字。 图中同时$\PageIndex{3}$显示了数字线和间隔符号。

图$\PageIndex{3}$：在这条数字行上绘制了不等式$x>3$，并用间隔符号书写。

不等$x\leq 1$式表示所有小于或等于 1 的数字。 这些数字没有下限。 我们用间隔表示法写$x\leq 1$成$(-\infty, 1]$。 该符号$-\infty$被读为 “负无穷大”。 图中同时$\PageIndex{4}$显示了数字行和间隔符号。

图$\PageIndex{4}$：在这条数字行上绘制了不等式$x\leq 1$，并用间隔符号书写。

不等式、数字线和间隔记法

你注意到间隔符号中的括号或方括号与箭头端点的符号如何匹配吗？ 这些关系如图所示$\PageIndex{5}$。

图$\PageIndex{5}$：数字线和区间记法中的不等式表示法使用相似的符号来表示间隔的端点。

练习$\PageIndex{4}$

在数字行上绘制图形并用间隔符号书写。

1. $x \geq -3$
2. $x<2.5$
3. $x\leq \frac{3}{5}$

回答

1。

在 −3 的右侧加上阴影，并在 −3 处加上方括号。
用间隔符号书写。

2。

在 2.5 的左边加上阴影，然后在 2.5 处加上一个括号。
用间隔符号书写。

3。

将阴影移到左边$-\frac{3}{5}$，然后在上面放一个括号$-\frac{3}{5}$。
用间隔符号书写。

练习$\PageIndex{5}$

在数字行上绘制图形并用间隔符号书写：

1. $x>2$
2. $x\leq −1.5$
3. $x\geq \frac{3}{4}$

回答

1. 
2. 
3. 

练习$\PageIndex{6}$

在数字行上绘制图形并用间隔符号书写：

1. $x\leq −4$
2. $x\geq 0.5$
3. $x<-\frac{2}{3}$

回答

1. 
2. 
3. 

使用不等式的减法和加法属性求解不等式

相等的减法和加法属性指出，如果两个量相等，当我们从两个量中相加或减去相同的数量时，结果将相等。

平等的性质

$$\begin{array} { l l } { \textbf { Subtraction Property of Equality } } & { \textbf { Addition Property of Equality } } \\ { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c , } & { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c } \\ { \text { if } \qquad \quad a = b , } & { \text { if } \qquad \quad a = b } \\ { \text { then } a - c = b - c . } & { \text { then } a + c = b + c } \end{array}$$

对于不等式，类似的属性也适用。

桌子$\PageIndex{1}$

例如，我们知道 −4 小于 2。
如果我们从两个数量中减去 5，左边还小于右边吗？
我们在左边得到 −9，右边得到 −3。
而且我们知道 −9 小于 −3。
	不平等的迹象保持不变。

同样，我们可以证明加法的不等式也保持不变。

这使我们想到了不等式的减法和加法属性。

不等式的性质

$$\begin{array} { l l } { \textbf { Subtraction Property of Inequality } } & { \textbf { Addition Property of Inequality } } \\ { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c , } & { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c } \\ { \text { if }\qquad \quad a < b } & { \text { if } \qquad \quad a < b } \\ { \text { then } a - c < b - c . } & { \text { then } a + c < b + c } \\\\ { \text { if } \qquad \quad a > b } & { \text { if } \qquad \quad a > b } \\ { \text { then } a - c > b - c . } & { \text { then } a + c > b + c } \end{array}$$

我们使用这些属性来求解不等式，所采用的步骤与求解方程的步骤相同。 解决不平等问题$x+5>9$，步骤将如下所示：

$$\begin{array}{rrll} {} &{x + 5} &{ >} &{9} \\ {\text{Subtract 5 from both sides to isolate }x.} &{x + 5 - 5} &{ >} &{9 - 5} \\{} &{x} &{ >} &{4} \\ \end{array}$$

任何大于 4 的数字都是这种不等式的解法。

练习$\PageIndex{7}$

求解不$n - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{8}$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

再$\frac{1}{2}$加上不平等的两面。
简化。
在数字行上绘制解法。
用间隔表示法写出解。

练习$\PageIndex{8}$

求解不等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

$p - \frac{3}{4} \geq \frac{1}{6}$

回答

练习$\PageIndex{9}$

求解不等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

$r - \frac{1}{3} \leq \frac{7}{12}$

回答

使用不等式的除法和乘法属性求解不等式

相等的除法和乘法属性指出，如果两个量相等，当我们将两个量除以或乘以相同的量时，结果也将相等（前提是我们不除以 0）。

平等的性质

$$\begin{array}{ll} {\textbf{Division Property of Equality}} &{\textbf{MUltiplication Property of Equality}} \\ {\text{For any numbers a, b, c, and c} \neq 0} &{\text{For any numbers a, b, c}} \\ {\text{if } \qquad a = b} &{\text{if} \qquad \quad a = b} \\ {\text{then }\quad \frac{a}{c} = \frac{b}{c}} &{\text{then } \quad ac = bc} \end{array}$$

不等式有类似的特性吗？ 当我们将两边除以或乘以一个常数时，不等式会发生什么？

考虑一些数字示例。

桌子$\PageIndex{2}$

将两边除以 5。		将两边乘以 5。
简化。
填写不等式标志。

不平等迹象保持不变。

当我们除以或乘以负数时，不等式是否保持不变？

桌子$\PageIndex{3}$

将两边除以 -5。		将两边乘以 -5。
简化。
填写不等式标志。

不平等的迹象扭转了方向。

当我们将不等式除以或乘以正数时，不等式符号保持不变。 当我们将不等式除以或乘以负数时，不等式符号反转。

以下是不等式的除法和乘法属性，便于参考。

不等式的除法和乘法特性

对于任何实数 a、b、c

$$\begin{array}{ll} {\text{if } a < b \text{ and } c > 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \text{ and } ac < bc} \\ {\text{if } a > b \text{ and } c > 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \text{ and } ac > bc} \\ {\text{if } a < b \text{ and } c < 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \text{ and } ac > bc} \\ {\text{if } a > b \text{ and } c < 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \text{ and } ac < bc} \end{array}$$

当我们将不等式除以或乘以 a 时：

• 正数，不等式保持不变。
• 负数，不等式反转。

练习$\PageIndex{10}$

求解不$7y<​​42$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

将不等式的两边除以 7。 因为$7>0$，不等式保持不变。
简化。
在数字行上绘制解法。
用间隔表示法写出解。

练习$\PageIndex{11}$

求解不等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

$9c>72$

回答

$c>8$

$(8, \infty)$

练习$\PageIndex{12}$

求解不等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

$12d\leq 60$

回答

$d\leq 5$

$(-\infty, 5]$

练习$\PageIndex{13}$

求解不$−10a\geq 50$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

将不等式的两边除以 −10。 从那以后$−10<0$，这种不平等性发生了逆转。
简化。
在数字行上绘制解法。
用间隔表示法写出解。

练习$\PageIndex{14}$

求解每个不等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

$−8q<32$

回答

$q>−4$

练习$\PageIndex{15}$

求解每个不等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

$−7r\leq −70$

回答

解决不平等问题

有时，在求解不等式时，变量最终会出现在右边。 我们可以反向重写不等式，将变量放在左边。

$$\begin{array}{l} x > a\text{ has the same meaning as } a < x \end{array}$$

可以把它当作 “如果泽维尔比亚历克斯高，那么亚历克斯比泽维尔短。”

练习$\PageIndex{16}$

求解不$-20 < \frac{4}{5}u$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

将不等式的两边乘以$\frac{5}{4}$。 因为$\frac{5}{4} > 0$，不等式保持不变。
简化。
重写左边的变量。
在数字行上绘制解法。
用间隔表示法写出解。

练习$\PageIndex{17}$

求解不等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

$24 \leq \frac{3}{8}m$

回答

练习$\PageIndex{18}$

求解不等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

$-24 < \frac{4}{3}n$

回答

练习$\PageIndex{19}$

求解不$\frac{t}{-2} \geq 8$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

将不等式的两边乘以 −2。 从那以后$−2<0$，这种不平等性发生了逆转。
简化。
在数字行上绘制解法。
用间隔表示法写出解。

练习$\PageIndex{20}$

求解不等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

$\frac{k}{-12}\leq 15$

回答

练习$\PageIndex{21}$

求解不等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

$\frac{u}{-4}\geq -16$

回答

​​​​​

解决需要简化的不等式

大多数不平等需要不止一个步骤才能解决。 我们遵循与求解线性方程的通用策略相同的步骤，但是在乘法或除法时一定要密切注意。

练习$\PageIndex{22}$

求解不$4m\leq 9m+17$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

从两边减去 9m 以收集左边的变量。
简化。
将不等式的两边除以 −5，然后反转不等式。
简化。
在数字行上绘制解法。
用间隔表示法写出解。

练习$\PageIndex{23}$

求解不$3q\geq 7q−23$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

练习$\PageIndex{24}$

求解不$6x<10x+19$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

练习$\PageIndex{25}$

求解不等式$8p+3(p−12)>7p−28$图解在数字线上绘制解，然后用区间表示法写出解。

回答

尽可能简化每一面。	8p+3 (p−12) >7p−28
分发。	8p+3p−36>7p−28
将相似的术语组合在一起。	11p−36>7p−28
从两边减去 7p 以收集左边的变量。	11p−36−7p>7p−28−7p
简化。	4p−36>−28
在两边加上 36 以收集右边的常量。	4p−36+36>−28+36
简化。	4p>8
将不等式的两边除以 4；不等式保持不变。	$\frac{4p}{4}>84$
简化。	$p>2$
在数字行上绘制解法。
用间隔表示法写出解。	$(2, \infty)$

练习$\PageIndex{26}$

求解不$9y+2(y+6)>5y−24$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

练习$\PageIndex{27}$

求解不$6u+8(u−1)>10u+32$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

就像有些方程是身份而有些是矛盾一样，不平等也可能是身份或矛盾。 当我们在解决不等式时只剩下常量时，我们就会认出这些形式。 如果结果是真实的陈述，那么我们就有了身份。 如果结果是虚假陈述，那么我们就有矛盾了。

练习$\PageIndex{28}$

求解不$8x−2(5−x)<4(x+9)+6x$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

尽可能简化每一面。	8x−2 (5−x) <4 (x+9) +6x
分发。	8x−10+2x<4x+36+6x
将相似的术语组合在一起。	10x−10<10x+36
从两边减去 10 倍以收集左边的变量。	10x−10−10x<10x+36−10x
简化。	−10<36
xx 不见了，我们有了一个真实的陈述。	不平等是一种身份。 解决方案都是实数。
在数字行上绘制解法。
用间隔表示法写出解。	$(-\infty, \infty)$

练习$\PageIndex{29}$

求解不$4b−3(3−b)>5(b−6)+2b$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

练习$\PageIndex{30}$

求解不$9h−7(2−h)<8(h+11)+8h$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

练习$\PageIndex{31}$

求解不$\frac{1}{3}a - \frac{1}{8}a > \frac{5}{24}a + \frac{3}{4}$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

将两边乘以液晶屏 24 以清除分数。
简化。
将相似的术语组合在一起。
从两边减去 5a 以收集左边的变量。
简化。
这个说法是错误的！	不平等是矛盾的。
	没有解决办法。
在数字行上绘制解法。
用间隔表示法写出解。	没有解决办法。

练习$\PageIndex{32}$

求解不$\frac{1}{4}x - \frac{1}{12}x > \frac{1}{6}x + \frac{7}{8}$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

练习$\PageIndex{33}$

求解不$\frac{2}{5}z - \frac{1}{3}z < \frac{1}{15}z - \frac{3}{5}$等式，在数字线上绘出解，然后用区间表示法写出解。

回答

转化为不等式并求解

要将英语句子翻译成不等式，我们需要识别表示不平等的短语。 有些词很简单，比如 “大于” 和 “小于”。 但是其他的并不那么明显。

想想 “至少” 这个词—— “至少 21 岁” 是什么意思？ 这意味着 21 或更多。 短语 “至少” 与 “大于或等于” 相同。

该表$\PageIndex{4}$[1]显示了一些表示不平等的常用短语。

桌子$\PageIndex{4}$

>	$\geq$	<	$\leq$
“data-valign= “middle” class= “lt-math-15134” > 大于	\ (\ geq\)” data-valign= “middle” class= “lt-math-15134” > 大于或等于	小于	\ (\ leq\)” data-valign= “middle” class= “lt-math-15134” > 小于或等于
“data-valign= “middle” class= “lt-math-15134” > 超过	\ (\ geq\)” data-valign= “middle” class= “lt-math-15134” > 至少是	小于	\ (\ leq\)” data-valign= “middle” class= “lt-math-15134” > 最多是
“data-valign= “middle” class= “lt-math-15134” > 大于	\ (\ geq\)” data-valign= “middle” class= “lt-math-15134” > 不少于	少于	\ (\ leq\)” data-valign= “middle” class= “lt-math-15134” > 不超过
“data-valign= “middle” class= “lt-math-15134” > 超过	\ (\ geq\)” data-valign= “middle” class= “lt-math-15134” > 是最小值	低于	\ (\ leq\)” data-valign= “middle” class= “lt-math-15134” > 是最大值

练习$\PageIndex{34}$

翻译并解决。 然后用区间表示法在数字行上写下解和图形。

十二倍 c 不超过 96。

回答

翻译。
求解-将两边除以 12。
简化。
用间隔符号书写。
数字线上的图形。

练习$\PageIndex{35}$

翻译并解决。 然后用区间表示法在数字行上写下解和图形。

二十倍 y 最多为 100

回答

练习$\PageIndex{36}$

翻译并解决。 然后用区间表示法在数字行上写下解和图形。

九倍 z 不小于 135

回答

练习$\PageIndex{37}$

翻译并解决。 然后用区间表示法在数字行上写下解和图形。

比 x 小三十至少等于 45。

回答

翻译。
求解-两边加 30。
简化。
用间隔符号书写。
数字线上的图形。

练习$\PageIndex{38}$

翻译并解决。 然后用区间表示法在数字行上写下解和图形。

小于 p 的十九不小于 47

回答

练习$\PageIndex{39}$

翻译并解决。 然后用区间表示法在数字行上写下解和图形。

比 a 多四个最多为 15。

回答

关键概念

• 不等式的减法属性
  对于任何数字 a、b 和 c，
  如果 a<b 然后是 a−c<b−c；
  如果 a>b 则是 a−c>b−c。
• 不等式@@ 的加法属性
  对于任何数字 a、b 和 c，
  如果 a<b 然后是 a+c<b+c；
  如果 a>b 则是 a+c>b+c。
• 不等式 y 的除法和乘法属性
  对于任何数字 a、b 和 c，
  如果 a <b and c>0，则为 ac <bc and ac>bc。
  如果 a>b 和 c>0，那么 ac>bc 和 ac>bc。
  如果 a<b 和 cbc<0, then ac> 和 ac>bc。
  如果 a>b 和 c<0，那么 ac<bc 和 ac<bc。
• 当我们将不等式除以或乘以 a 时：
  • 正数，不等式保持不变。
  • 负数，不等式反转。