2.4：使用通用策略求解线性方程

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 使用一般策略求解方程
• 对方程进行分类

注意

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 简化：$−(a−4)$。
   如果你错过了这个问题，请查看练习 1.10.46
2. 乘法：$\frac{3}{2}(12x+20)$
   如果你错过了这个问题，请查看练习 1.10.34。
3. 简化：$5−2(n+1)$
   如果您错过了此问题，请查看练习 1.10.49。
4. 乘法：$3(7y+9)$
   如果你错过了这个问题，请查看练习 1.10.34。
5. 乘法：$(2.5)(6.4)$
   如果你错过了这个问题，请查看练习 1.8.19。

使用一般策略求解方程

到目前为止，我们已经解决了求解线性方程的一种特定形式。 现在是制定一种可用于求解任何线性方程的总体策略的时候了。 我们求解的某些方程不需要所有这些步骤即可求解，但许多方程需要解决。

从简化方程的每一面开始，其余步骤就更容易了。

练习$\PageIndex{1}$: How to Solve Linear Equations Using the General Strategy

解决：$-6(x + 3) = 24$。

回答

练习$\PageIndex{2}$

解决：$5(x + 3)=35$

回答

$x = 4$

练习$\PageIndex{3}$

解决：$6(y - 4) = -18$

回答

$y = 1$

求解线性方程的通用策略。

1. 尽可能简化方程的每一面。
   使用分布属性删除所有括号。
   将相似的术语组合在一起。
2. 收集方程一侧的所有变量项。
   使用等式的加法或减法属性。
3. 收集方程另一侧的所有常量项。
   使用等式的加法或减法属性。
4. 使变量项的系数等于 1。
   使用等式的乘法或除法属性。
   陈述方程的解。
5. 检查解决方案。 将解替换为原始方程以确保结果是真实的陈述。

练习$\PageIndex{4}$

解决：$-(y + 9) = 8$

回答

通过分布尽可能简化方程的每一面。
唯一的 y 项位于左侧，因此所有变量项都在方程的左侧。
将两边加上 9 以获得方程右侧的所有常量项。
简化。
将 −y 重写为 −1y。
通过将两边除以 −1，使变量项的系数等于 1。
简化。
查看：
让 y=−17。

练习$\PageIndex{5}$

解决：$-(y + 8) = -2$

回答

$y = -6$

练习$\PageIndex{6}$

解决：$-(z + 4) = -12$

回答

$z = 8$

练习$\PageIndex{7}$

解决：$5(a - 3) + 5 = -10$

回答

尽可能简化方程的每一面。
分发。
将相似的术语组合在一起。
唯一的 a 项位于左侧，因此所有变量项都在方程的一侧。
将两边加上 10 以获得方程另一侧的所有常量项。
简化。
通过将两边除以 55，使变量项的系数等于 11。
简化。
查看：
让 a=0。

练习$\PageIndex{8}$

解决：$2(m - 4) + 3 = -1$

回答

$m = 2$

练习$\PageIndex{9}$

解决：$7(n - 3) - 8 = -15$

回答

$n = 2$

练习$\PageIndex{10}$

解决：$\frac{2}{3}(6m - 3) = 8 - m$

回答

分发。
添加 m 以仅获得左边的变量。
简化。
添加 2 可仅在右侧获得常量。
简化。
除以 5。
简化。
查看：
让 m=2。

练习$\PageIndex{11}$

解决：$\frac{1}{3}(6u + 3) = 7 - u$

回答

$u = 2$

练习$\PageIndex{12}$

解决：$\frac{2}{3}(9x - 12) = 8 + 2x$

回答

$x = 4$

练习$\PageIndex{13}$

解决：$8 - 2(3y + 5) = 0$

回答

简化-使用分布属性。
将相似的术语组合在一起。
向两边添加 2 以收集右侧的常量。
简化。
将两边除以 −6−6。
简化。
查看：让 y=−13。

练习$\PageIndex{14}$

解决：$12 - 3(4j + 3) = -17$

回答

$j = \frac{5}{3}$

练习$\PageIndex{15}$

解决：$-6 - 8(k - 2) = -10$

回答

$k = \frac{5}{2}$

练习$\PageIndex{16}$

解决：$4(x - 1)-2=5(2x+3)+6$

回答

分发。
将相似的术语组合在一起。
减去 4 倍以后只能得到右侧的变量$10>4$。
简化。
减去 21 得到左边的常量。
简化。
除以 6。
简化。
查看：
让$x=-\frac{9}{2}$。

练习$\PageIndex{17}$

解决：$6(p-3)-7=5(4p+3)-12$

回答

$p = -2$

练习$\PageIndex{18}$

解决：$8(q +1)-5=3(2q-4)-1$

回答

$q = -8$

练习$\PageIndex{19}$

解决：$10[3 - 8(2s-5)] = 15(40 - 5s)$

回答

首先从最里面的圆括号中进行简化。
在方括号中组合相似的术语。
分发。
添加 160 以使 s 向右移动。
简化。
减去 600 得出左边的常量。
简化。
除以。
简化。
查看：
替换 s=−2。

练习$\PageIndex{20}$

解决：$6[4−2(7y−1)]=8(13−8y)$。

回答

$y = -\frac{17}{5}$

练习$\PageIndex{21}$

解决：$12[1−5(4z−1)]=3(24+11z)$。

回答

$z = 0$

练习$\PageIndex{22}$

解决：$0.36(100n+5)=0.6(30n+15)$。

回答

分发。
减去 18n 得出左边的变量。
简化。
减去 1.8 得出右边的常量。
简化。
除以。
简化。
查看：
让 n=0.4。

练习$\PageIndex{23}$

解决：$0.55(100n+8)=0.6(85n+14)$。

回答

$n = 1$

练习$\PageIndex{24}$

解决：$0.15(40m−120)=0.5(60m+12)$。

回答

$m = -1$

对方程进行分类

以我们在上一节开头求解的方程为例，7x+8=−13。 我们找到的解是 x=−3。 这意味着当我们将变量 x 替换为值 −3 时，方程 7 x +8=−13 是正确的。 我们在检查解 x=−3 并对 x=−3 求解 7x+8=−13 时证明了这一点。

如果我们将 7x+8 计算为不同的 x 值，则左侧不会为 −13。

当我们将变量 x 替换为值 −3 时，方程 7x+8=−13 是正确的，但是当我们用任何其他值替换 x 时则不正确。 方程 7x+8=−13 是否为真取决于变量的值。 像这样的方程被称为条件方程。

到目前为止，我们求解的所有方程都是条件方程。

条件方程

如果变量的一个或多个值为 true，而变量的所有其他值均为 false 的方程即为条件方程。

现在让我们考虑方程式 2y+6=2 (y+3)。 你知道左边和右边是等同的吗？ 让我们看看当我们求解 y 时会发生什么。

分发。
减去 2y，将 y 变为一边。
Simplify—y 不见了！

但是 6=6 是真的。

这意味着对于 y 的任何值，方程 2y+6=2 (y+3) 都是正确的。 我们说方程的解是所有的实数。 对于像这样的变量的任何值都正确的方程称为恒等式。

身份

对于变量的任何值都正确@@ 的方程称为恒等式。

一个恒等的解是全实数。

当我们求解方程 5z=5z−1 时会发生什么？

减去 5z，将常数单独放在右边。
简化— z 不见了！

但是$0\neq −1$。

求解方程 5z=5z−1 会得出错误的陈述 0=−1。 对于 z 的任何值，方程 5z=5z−1 都不成立。它没有解。 没有解的方程或变量的所有值均为假的方程称为矛盾。

矛盾

对于变量的所有值都为假的方程称为矛盾。

矛盾没有解决办法。

练习$\PageIndex{25}$

将方程分类为条件方程、恒等式或矛盾方程。 然后陈述解决方案。

$6(2n−1)+3=2n−8+5(2n+1)$

回答

分发。
将相似的术语组合在一起。
减去 12n，将 nn 放到一边。
简化。
这是真实的陈述。	方程是一个恒等式。 解决方案都是实数。

练习$\PageIndex{26}$

将方程归类为条件方程、恒等方程或矛盾方程，然后陈述解：

$4+9(3x−7)=−42x−13+23(3x−2)$

回答

身份；所有实数

练习$\PageIndex{27}$

将方程归类为条件方程、恒等方程或矛盾方程，然后陈述解：

$8(1−3x)+15(2x+7)=2(x+50)+4(x+3)+1$

回答

身份；所有实数

练习$\PageIndex{28}$

分类为条件方程、恒等式或矛盾。 然后陈述解决方案。

$10+4(p−5)=0$

回答

分发。
将相似的术语组合在一起。
在两边加 10。
简化。
除以。
简化。
等式在以下情况下是正确的$p = frac{5}{2}$。	这是一个条件方程。 解决办法是$p = frac{5}{2}$。

练习$\PageIndex{29}$

将方程归类为条件方程、恒等方程或矛盾方程，然后陈述解：$11(q+3)−5=19$

回答

条件方程；\ (q =\ frac {9} {11}\

练习$\PageIndex{30}$

将方程归类为条件方程、恒等方程或矛盾方程，然后陈述解：$6+14(k−8)=95$

回答

条件方程；$k = \frac{193}{14}$

练习$\PageIndex{31}$

将方程分类为条件方程、恒等式或矛盾方程。 然后陈述解决方案。

$5m+3(9+3m)=2(7m−11)$

回答

分发。
将相似的术语组合在一起。
从两边减去 14m。
简化。
但是$27\neq −22$。	这个方程是矛盾的。 它没有解决办法。

练习$\PageIndex{32}$

将方程归类为条件方程、恒等方程或矛盾方程，然后陈述解：

$12c+5(5+3c)=3(9c−4)$

回答

矛盾；没有解决办法

练习$\PageIndex{33}$

将方程归类为条件方程、恒等方程或矛盾方程，然后陈述解：

$4(7d+18)=13(3d−2)−11d$

回答

矛盾；没有解决办法

方程的类型	当你解决这个问题时会发生什么？	解决方案
条件方程	变量的一个或多个值为 true，所有其他值为 false	一个或多个值
身份	变量的任何值均为 true	所有实数
矛盾	变量的所有值均@@ 为 False	没有解决办法

关键概念

• 求解线性方程的通用策略
  1. 尽可能简化方程的每一面。
     使用分布属性删除所有括号。
     将相似的术语组合在一起。
  2. 收集方程一侧的所有变量项。
     使用等式的加法或减法属性。
  3. 收集方程另一侧的所有常量项。
     使用等式的加法或减法属性。
  4. 使变量项的系数等于 1。
     使用等式的乘法或除法属性。
     陈述方程的解。
  5. 检查解决方案。
     将解替换为原始方程。