2.2：使用等式的除法和乘法属性求解方程

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 使用等式的除法和乘法属性求解方程
• 求解需要简化的方程
• 转换为方程并求解
• 翻译和解决应用程序

注意

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 简化：$−7(\frac{1}{-7})$。
   如果您错过了此问题，请查看练习 1.6.13。
2. 评估$9x+2$时间$x=−3$。
   如果您错过了此问题，请查看练习 1.5.34。

使用等式的除法和乘法属性求解方程

你可能已经注意到，到目前为止，我们求解的所有方程都是形式$x+a=b$或$x−a=b$。 我们能够通过将方程旁边的常量项与变量相加或减去来分离变量。 现在我们将看到如何求解变量乘以常量的方程，因此需要除法才能分离变量。

让我们用图中的信封和计数器再来看看我们的拼图$\PageIndex{1}$。

图$\PageIndex{1}$：该图显示了一个方程模型，其中一个变量乘以一个常数。 工作区的左侧是两个未知实例（封套），而工作区的右侧是六个计数器。

在插图中，有两个相同的信封包含相同数量的计数器。 请记住，工作空间的左侧必须等于右侧，但左侧的计数器在信封中 “隐藏”。 那么每个信封里有多少个计数器呢？

我们如何确定这个数字？ 我们必须将右侧的柜台分成两组，大小相同，以便与左侧的两个信封相对应。 分为 2 个相等组的 6 个计数器在每组中有 3 个计数器（从那以后$6\div 2=3$）。

什么方程模拟了图中所示的情况$\PageIndex{2}$？ 有两个信封，每个信封包含 xx 个计数器。 两个信封总共必须包含 6 个计数器。

图$\PageIndex{2}$：该图显示了方程的模型$2x=6$。

如果我们把方程的两边除以 2，就像我们对信封和计数器所做的那样，
我们得到：

我们发现每个信封包含 3 个计数器。 这会检查吗？ 我们知道$2\cdot 3=6$，所以行得通！ 两个信封中每个信封中的三个计数器等于六个！

这个例子引出了 “平等分割财产”。

平等的分割属性

对于任意数字 a、b 和 c$c\neq 0$，

$$\begin{array} {llll} {\text { If }} &{a} &{=} &{b} \\ {\text {then}} & {\frac { a } { c }} &{=} &{\frac { b } { c }} \end{array}$$

当你将方程的两边除以任何非零数时，你仍然相等。

注意

进行操纵数学活动 “平等的除法属性” 将有助于你更好地了解如何使用平等的除法属性求解方程。

求解方程的目标是 “撤消” 对变量的操作。 在下一个示例中，将变量乘以 5，因此我们将两边除以 5 以 “撤消” 乘法。

练习$\PageIndex{1}$

解决：$5x=−27$。

回答

要隔离 x，请将乘以 5 “撤消”。
除以 “撤消” 乘法。
简化。
查看：
替换$-\frac{27}{5}$ x。
		既然这是真实的陈述，$x = -\frac{27}{5}$ 就是解决方案$5x=−27$。

练习$\PageIndex{2}$

解决：$3y=−41$。

回答

$y = -\frac{41}{3}$

练习$\PageIndex{3}$

解决：$4z=−55$。

回答

$y = -\frac{55}{4}$

考虑这个方程式$\frac{x}{4} = 3$。 我们想知道用什么数字除以 4 得出 3。 因此，要 “撤消” 除法，我们需要乘以 4。 相等的乘法属性将允许我们做到这一点。 这个属性表示，如果我们从两个相等的量开始，然后将两个数乘以相同的数字，则结果相等。

相等的乘法属性

对于任何数字 a、b 和 c，

$$\begin{array} {llll} {\text {If}} &{a} & {=} &{b} \\ {\text {then}} &{a c} &{=} &{b c} \end{array}$$

如果将方程的两边乘以相同的数字，则仍然相等。

练习$\PageIndex{4}$

解决：$\frac{y}{-7} = -14$

回答

这里 y 除以 −7。 我们必须乘以 −7 才能分离 y。

将两边乘以 −7。
乘。
简化。
查看：$\frac{y}{-7} = -14$
替代 y=98。
除以。

练习$\PageIndex{5}$

解决：$\frac{a}{-7} = -42$

回答

$a = 294$

练习$\PageIndex{6}$

解决：$\frac{b}{-6} = -24$

回答

$b = 144$

练习$\PageIndex{7}$

解决：$-n = 9$

回答

记住 −n 等同于 −1n。
将两边除以 −1。
除以。
请注意，还有其他两种求解 −n=9 的方法。 我们也可以通过将两边乘以 −1 以及取两边的相反值来求解这个方程。
查看：
替换 n=−9。
简化。

练习$\PageIndex{8}$

解决：$−k=8$。

回答

$k = -8$

练习$\PageIndex{9}$

解决：$−g=3$。

回答

$g = -3$

练习$\PageIndex{10}$

解决：$\frac{3}{4}x = 12$

回答

由于数字及其倒数的乘积为 1，我们的策略是通过乘以的倒数来隔离 x$\frac{3}{4}$。

乘以的倒数$\frac{3}{4}$。
倒数乘以 1。
乘。
请注意，我们可以将方程的两边除$\frac{3}{4}$以$\frac{3}{4}x = 12$分离 x。虽然这行得通，但大多数人会发现乘以倒数更容易。
查看：
替代$x=16$。

练习$\PageIndex{11}$

解决：$\frac{2}{5}n=14$。

回答

$n = 35$

练习$\PageIndex{12}$

解决：$\frac{5}{6}y=15$。

回答

$y = 18$

在下一个示例中，所有变量项都在方程的右侧。 与往常一样，我们求解方程的目标是隔离变量。

练习$\PageIndex{13}$

解决：$\frac{8}{15} = -\frac{4}{5}x$

回答

乘以的倒数$-\frac{4}{5}$。
倒数乘以 1。
乘。
查看：
让$x = -\frac{2}{3}$。

练习$\PageIndex{14}$

解决：$\frac{9}{25} = -\frac{4}{5}z$

回答

$z = - \frac{9}{5}$

练习$\PageIndex{15}$

$\frac{5}{6} = -\frac{8}{3}r$

回答

$r = -\frac{5}{16}$

求解需要简化的方程

许多方程起初比我们一直在研究的方程要复杂得多。

对于这些更复杂的方程，第一步是尽可能简化方程的两面。 这通常涉及合并相似的术语或使用分配属性。

练习$\PageIndex{16}$

解决：$14−23=12y−4y−5y$。

回答

首先简化方程的每一面。

简化每一面。
将两边除以 3 以分离 y。
除以。
查看：
替代$y=−3$。

练习$\PageIndex{17}$

解决：$18−27=15c−9c−3c$。

回答

$c=−3$

练习$\PageIndex{18}$

解决：$18−22=12x−x−4x$。

回答

$x = -\frac{4}{7}$

练习$\PageIndex{19}$

解决：$−4(a−3)−7=25$。

回答

在这里，我们将首先使用分布属性来简化方程的每一面。

分发。
简化。
简化。
将两边除$-4$以隔离 a。
除以。
查看：
替代$a = -5$

练习$\PageIndex{20}$

解决：$−4(q−2)−8=24$。

回答

$q=−6$

练习$\PageIndex{21}$

解决：$−6(r−2)−12=30$。

回答

$r=−5$

现在，我们已经介绍了相等的所有四个属性——减法、加法、除法和乘法。 为了便于参考，我们将在此处将它们全部列出。

平等的性质

当你从方程的两边加、减、乘或除以相同的量时，你仍然相等。

\ [\ begin {array} {ll} {\ textbf {平等的减法属性}} &
{\ textbf {平等的加法属性}}\\ {\ text {对于任何实数 a、b 和 c，}}
\\ {\ text {if} a = b,}
\\ {\ text {then} a-c = b-c} & {\ text {then} a + c = b + c}
\\ {\ textbf {平等的除法属性}} & {\ textbf
{相等的乘法属性}}\\ {\ text {对于任何实数 a、b 和 c，}}
\\ {\ text {if} a = b,} & {\text {if} a = b,}
\\ {\ text {then} a-c = b-c} & {\ text {then} a + c = b + c}
\ end {array}\]

当你从方程的两边加、减、乘或除以相同的量时，你仍然相等。

转换为方程并求解

在接下来的几个例子中，我们将把句子翻译成方程式，然后求解方程。 您可能需要查看上一章中的翻译表。

练习$\PageIndex{22}$

平移并求解：数字 143 是 −11 和 y 的乘积。

回答

翻译。
除以 −11。
简化。
查看： $$\begin{array} {lll} {143} &{=} &{-11y} \\ {143} &{\stackrel{?}{=}} &{-11(-13)} \\ {143} &{=} &{143\checkmark} \end{array}$$

练习$\PageIndex{23}$

平移并求解：数字 132 是 −12 和 y 的乘积。

回答

132=−12y；y=−11

练习$\PageIndex{24}$

平移并求解：数字 117 是 −13 和 z 的乘积。

回答

117=−13z；z=−9

练习$\PageIndex{25}$

平移并求解：n 除以 8 等于 −32。

回答

首先将句子翻译成方程式。 翻译。
将两边乘以 8。
简化。
查看：	nn 除以 8 等于 −32 吗？
让$n=−256$。	−256 除以 88 等于 −32 吗？
翻译。	$\frac{-256}{8} \stackrel{?}{=} -32$
简化。	$−32=−32\checkmark$

练习$\PageIndex{26}$

平移并求解：nn 除以 7 等于 −21。

回答

$\frac{n}{7}=−21; n=−147$

练习$\PageIndex{27}$

平移并求解：n 除以 8 等于 −56。

回答

$\frac{n}{8}=−56;n=−448$

练习$\PageIndex{28}$

翻译并求解：yy 和 −4 的商为 68。

回答

首先将句子翻译成方程式。

翻译。
将两边乘以 -4。
简化。
查看：	y 和 −4 的商等于 68 吗？
让 y=−272。	−272 和 −4 的商等于 68 吗？
翻译。	$\frac{-272}{-4} \stackrel{?}{=} 68$
简化。	$68 = 68\checkmark$

练习$\PageIndex{29}$

平移并求解：q 和 −8 的商为 72。

回答

$\frac{q}{-8}=72;q=−576$

练习$\PageIndex{30}$

翻译并求解：p 和 −9 的商为 81。

回答

$\frac{p}{-9}=81;p=−729$

练习$\PageIndex{31}$

平移并求解：p 的四分之三为 18。

回答

首先将句子翻译成方程式。 请记住，“of” 转换为乘法。

翻译。
将两边乘以$\frac{4}{3}$。
简化。
查看：	p 的四分之三等于 18 吗？
假设 p = 24。	24 的四分之三等于 18 吗？
翻译。	$\frac{3}{4}\cdot 24 \stackrel{?}{=} 18$
简化。	$18=18\checkmark$

练习$\PageIndex{32}$

平移并求解：f 的五分之二为 16。

回答

$\frac{2}{5}f=16; f=40$

练习$\PageIndex{33}$

平移并求解：f 的四分之三为 21。

回答

$\frac{3}{4}f=21; f=28$

练习$\PageIndex{34}$

平移并求解：八分之三和 x 的总和为一半。

回答

首先将句子翻译成方程式。

翻译。
$\frac{3}{8}$从两边减去。
使用公分母简化和重写分数。
简化。
查看：	八分之三和 x 的总和是否等于一半？
让$x=\frac{1}{8}$。	八分之三和八分之一的总和等于一半吗？
翻译。	$\frac{3}{8} + \frac{1}{8} \stackrel{?}{=} \frac{1}{2}$
简化。	$\frac{4}{8} \stackrel{?}{=} \frac{1}{2}$
简化。	$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \checkmark$

练习$\PageIndex{35}$

平移并求解：八分之五和 x 的总和为四分之一。

回答

$\frac{5}{8} + x = \frac{1}{4}; x = -\frac{3}{8}$

练习$\PageIndex{36}$

平移并求解：四分之三和 x 的总和为六分之五。

回答

$\frac{3}{4} + x = \frac{5}{6}; x = \frac{1}{12}$

翻译和解析应用程序

要使用等式的除法和乘法属性求解应用程序，我们将按照上一节中使用的相同步骤进行操作。 我们将仅用一句话重述问题，分配一个变量，然后将该句转换为要解的方程。

练习$\PageIndex{37}$

Denae 以 10.74 美元的价格购买了 6 磅的葡萄。 一磅葡萄的成本是多少？

回答

$$\begin{array} {ll} {\text{What are you asked to find?}} &{\text{The cost of 1 pound of grapes}} \\\\ {\text{Assign a variable.}} &{\text{Let c = the cost of one pound.}} \\\\ {\text{Write a sentence that gives the}} &{\text{The cost of 6 pounds is }$10.74} \\ {\text{information to find it.}} &{} \\\\ {\text{Translate into an equation.}} &{6c = 10.74} \\ {\text{Solve.}} &{\frac{6c}{c} = \frac{10.74}{6}} \\ {} &{c = 1.79} \\\\ {} &{\text{The grapes cost }$ 1.79 \text{ per pound.}} \\ \\ {\text{Check: If one pound costs }$1.79, do} &{} \\ {\text{6 pounds cost }$ 10.74?} &{} \\\\ {6(1.79) \stackrel{?}{=} 10.74} &{} \\ {10.74 = 10.74\checkmark} &{} \end{array}$$

练习$\PageIndex{38}$

翻译并解决：

阿里安娜花9.36美元买了一个24包的水瓶。 一瓶水的成本是多少？

回答

0.39 美元

练习$\PageIndex{39}$

翻译并解决：

在JB的保龄球馆，6个人可以花34.98美元在一条车道上玩游戏。 每个人的费用是多少？

回答

5.83 美元

练习$\PageIndex{40}$

安德烈亚斯花了12,000美元买了一辆二手车。 因为这辆车已经使用了4年，所以它的价格是$\frac{3}{4}$新车时的原价。 这辆车的原价是多少？

回答

$$\begin{array} {ll} {\text{What are you asked to find?}} &{\text{The original price of the car}} \\\\ {\text{Assign a variable.}} &{\text{Let p = the original price.}} \\\\ {\text{Write a sentence that gives the}} &{$12000\text{ is }\frac{3}{4} \text{ of the original price.}} \\ {\text{information to find it.}} &{} \\\\ {\text{Translate into an equation.}} &{12000 = \frac{3}{4}p} \\ {} &{\frac{3}{4}(12000) = \frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}p}\\ {}&{16000 = p} \\{\text{Solve.}} &{} \\\\ {} &{\text{The original cost of the car was }$ 16000.} \\ \\ {\text{Check: Is }\frac{3}{4} \text{ of }$16000 \text{ equal to }$12000} &{} \\\\ {\frac{3}{4}\cdot 16000 \stackrel{?}{=} 12000} &{} \\ {12000 = 12000\checkmark} &{} \end{array}$$

练习$\PageIndex{41}$

翻译并解决：

梅塔房屋的年度财产税为1,800美元，根据房屋$\frac{15}{1000}$的评估价值计算。 梅塔房屋的评估价值是多少？

回答

120000 美元

练习$\PageIndex{42}$

翻译并解决：

斯特拉在她的花园里$\frac{2}{3}$种了14平花。 她需要多少平鲜花才能填满整个花园？

回答

21 个平底鞋

关键概念

• 相@@ 等的除法属性-适用于任意数字 a、b 和 c，以及 i$c\neq 0$ f$a=b$、then$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$。
  当你将方程的两边除以任何非零数时，你仍然相等。
• 相@@ 等的乘法属性 —对于任何数字 a、b 和 c，if$a=b$，then$ac = bc$。
  如果将方程的两边乘以相同的数字，则仍然相等。