1.10: 实数的属性
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- 205074
在本节结束时，您将能够：
- 使用交换和关联属性
- 使用加法和乘法的恒等和逆属性
- 使用零的属性
- 使用分布属性简化表达式
在 Prealgebra 章节 “实数的属性” 中可以找到对本节所涵盖主题的更详尽的介绍。
使用交换和关联属性
考虑将两个数字相加，比如说5和3。 我们添加它们的顺序不会影响结果，对吗？
\[\begin{array} { cc } { 5 + 3 } & { 3 + 5 } \\ { 8 } & { 8 } \\ { 5 + 3 = } & { 3 + 5 } \end{array}\]
结果是一样的。
如我们所见，我们添加的顺序并不重要！
乘以 5 和 3 怎么样？
\[\begin{array} { c c } { 5 \cdot 3 } & { 3 \cdot 5 } \\ { 15 } & { 15 } \\ { 5 \cdot 3=} &{3 \cdot 5 } \end{array}\]
再说一遍，结果是一样的！
我们乘以的顺序并不重要！
这些示例说明了交换属性。 相加或乘法时，更改顺序会得到相同的结果。
\[\begin{array} { l l } { \textbf { of Addition } } & { \text { If } a , b \text { are real numbers, then } \quad a + b = b + a } \\ { \textbf { of Multiplication } } & { \text { If } a , b \text { are real numbers, then } \quad a \cdot b = b \cdot a } \end{array}\]
相加或乘法时，更改顺序会得到相同的结果。
交换属性与顺序有关。 如果在相加或相乘时更改数字的顺序，结果是相同的。
那减法呢？ 当我们减去数字时，顺序重要吗？ 7−3 会得出与 3−7 相同的结果吗？
\[\begin{array} { c c } { 7 - 3 } & { 3 - 7 } \\ { 4 } & { - 4 } \end{array}\]
\[\begin{aligned} 4 & \neq - 4 \\ 7 - 3 & \neq 3 - 7 \end{aligned}\]
结果不一样。
由于改变减法的顺序没有得到相同的结果，我们知道减法是不可交换的。
让我们看看当我们将两个数字相除时会发生什么。 分区是可以交换的吗？
\[\begin{array} { cc} { 12 \div 4 } & { 4 \div 12 } \\ { \frac { 12 } { 4 } } & { \frac { 4 } { 12 } } \\ { 3 } & { \frac { 1 } { 3 } } \end{array}\]
\[\begin{aligned} 3 \neq & \frac { 1 } { 3 } \\ 12 \div 4 & \neq 4 \div 12 \end{aligned}\]
结果不一样。
由于更改除法顺序不会得出相同的结果，因此除法是不可交换的。 交换属性仅适用于加法和乘法！
- 加法和乘法是可交换的。
- 减法和除法是不可交换的。
如果你被要求简化这个表达方式，你会怎么做，你的答案会是什么？
\[7 + 8 + 2\]
有些人会认为\(7+8\)是 15 然后\(15+2\)是 17。 其他人可能从 mak\(8+2\) es 10 开始，然后\(7+10\)获得 17。
无论哪种方式都会得到相同的结果。 请记住，我们使用圆括号作为分组符号来表示应该先完成哪个操作。
\[\begin{array} { ll } { \text{ Add } 7 + 8 . } & { ( 7 + 8 ) + 2 } \\ { \text { Add. } } & { 15 + 2 } \\ { \text { Add. } } & { 17 } \\ \\ { } & { 7 + ( 8 + 2 ) } \\ { \text { Add } 8 + 2 . } & { 7 + 10 } \\ { \text { Add. } } & { 77 } \\\\ { ( 7 + 8 ) + 2 = 7 + ( 8 + 2 ) } \end{array}\]
将三个数字相加时，更改数字的分组会得到相同的结果。
乘法也是如此。
\[\begin{array} { ll } { } & { (5\cdot \frac{1}{3})\cdot 3 } \\ { \text { Multiply. } 5\cdot \frac{1}{3} } & { \frac{5}{3}\cdot 3 } \\ { \text { Multiply. } } & { 5 } \\ \\ { } & { 5\cdot (\frac{1}{3}\cdot 3) } \\ { \text { Multiply. } \frac{1}{3}\cdot 3 } & { 5\cdot 1 } \\ { \text { Multiply. } } & { 5 } \\ \\ { (5\cdot \frac{1}{3})\cdot 3 = 5\cdot (\frac{1}{3}\cdot 3) } \end{array}\]
将三个数字相乘时，更改数字的分组会得到相同的结果。
你可能知道这一点，但这个术语可能对你来说是新的。 这些示例说明了关联属性。
\[\begin{array} { l l } { \textbf { of Addition } } & { \text { If } a , b , c \text { are real numbers, then } ( a + b ) + c = a + ( b + c ) } \\ { \textbf { of Multiplication } } & { \text { If } a , b , c \text { are real numbers, then } ( a \cdot b ) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c ) } \end{array}\]
相加或乘法时，更改分组会得到相同的结果。
让我们再考虑乘法\(5\cdot \frac{1}{3}\cdot 3\)。 我们两个方向都得到了相同的结果，但是哪种方法更容易？ 如上图右侧所示，先乘以\(\frac{1}{3}\) 3，将消除第一步中的分数。 使用关联属性可以使数学变得更容易！
关联属性与分组有关。 如果我们改变数字的分组方式，结果将相同。 请注意，这三个数字的顺序相同，唯一的区别是分组。
我们看到减法和除法是不可交换的。 它们也不是联想的。
在简化表达式时，计划步骤总是一个好主意。 为了在下一个示例中组合相似的术语，我们将使用 addition 的交换属性将相似的术语写在一起。
简化：\(18p+6q+15p+5q\)。
- 回答
-
\[\begin{array} { l l} {} &{18p+6q+15p+5q}\\ \\{ \text { Use the commutative property of addition } } &{} \\ { \text {to re-order so that like terms are together.} } &{18p+15p+ 6q+5q} \\ \\ {\text{Add like terms.}} &{33p + 11q} \end{array}\]
简化：\(23r+14s+9r+15s\)。
- 回答
-
\(32r+29s\)
简化：\(37m+21n+4m−15n\)。
- 回答
-
\(41m+6n\)
当我们必须简化代数表达式时，我们通常可以通过先应用交换或关联属性来简化工作，而不是自动遵循运算顺序。 在添加或减去分数时，请先将分数与公分母合并。
简化：\((\frac{5}{13} + \frac{3}{4}) + \frac{1}{4}\)
- 回答
-
\[\begin{array} { l l } {} &{(\frac{5}{13} + \frac{3}{4}) + \frac{1}{4}} \\{ \text { Notice that the last } 2 \text { terms have a } } \\ { \text { common denominator, so change the } } &{\frac { 5 } { 13 } + \left( \frac { 3 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } \right)}\\ { \text { grouping. } } &{}\\ \\ {\text{Add in parentheses first.}} &{\frac{5}{13} + (\frac{4}{4})} \\ \\ {\text{Simplify the fraction.}} &{\frac{5}{13} + 1} \\ \\ {\text{Add.}} &{1\frac{5}{13}} \\ \\ {\text{Convert to an improper fraction.}} &{\frac{18}{13}} \end{array}\]
简化：\((\frac{7}{15} + \frac{5}{8}) + \frac{3}{8}\)
- 回答
-
\(1\frac{7}{15}\)
简化：\((\frac{2}{9} + \frac{7}{12}) + \frac{5}{12}\)
- 回答
-
\(1\frac{2}{9}\)
使用关联属性进行简化\(6(3x)\)。
- 回答
-
使用乘法的关联属性来更改分组。\((a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)
\[\begin{array} { ll } {} &{ 6 ( 3 x ) } \\ { \text { Change the grouping. } } &{(6\cdot 3)x} \\ { \text { Multiply in the parentheses. } } &{18} \end{array}\]
请注意，我们可以乘以\(6\cdot 3\)，但是\(3x\)如果没有值就无法乘以\(x\)。
使用关联属性进行简化\(8(4x)\)。
- 回答
-
\(32x\)
使用关联属性进行简化\(-9(7y)\)。
- 回答
-
\(-63y\)
使用加法和乘法的恒等和逆属性
当我们将0加到任何数字时会发生什么？ 添加 0 不会更改该值。 出于这个原因，我们称0为加法恒等式。
例如，
\[\begin{array} { c c c } { 13 + 0 } & { - 14 + 0 } & { 0 + ( - 8 ) } \\ { 13 } & { - 14 } & { - 8 } \end{array}\]
这些示例说明了加法的 I dentity Property，它说明了任何实数的身份属性\(a\)，\(a+0=a\)以及\(0+a=a\)。
当我们将任何数字乘以一时会发生什么？ 乘以 1 不会改变该值。 所以我们称1为乘法恒等式。
例如，\[\begin{array} { r r r } { 43 \cdot 1 } & { - 27 \cdot 1 } & { 1 \cdot \frac { 3 } { 5 } } \\ { 43 } & { - 27 } & { \frac { 3 } { 5 } } \end{array}\]
这些示例说明了乘法的 Identity 属性，该属性说明了任何实数的身份属性\(a\)，\(a\cdot 1=a\)以及\(1\cdot a=a\)。
我们在下面总结了身份属性。
\[\begin{array} { l l} { \textbf {of addition}\text{ For any real number } a : } &{ a + 0 = a \quad 0 + a = a } \\ { \textbf{0} \text { is the}\textbf{ additive identity } } \\ {\textbf {of multiplication}\text{ For any real number } a : } &{ a \cdot 1 = a \quad 1 \cdot a = a } \\ { \textbf{1}\text{ is the}\textbf{ multiplicative identity } } \end{array}\]
请注意，在每种情况下，缺少的数字都与数字相反！
我们称之为\(−a\)。a 的加法逆数。 与数字相反的是其相加的逆数。 一个数字及其对立方加起来为零，这是加法恒等式。 这导致了加法的逆属性，它表示任何实数\(a, a+(−a)=0\)。 记住，一个数字及其对立的数字相加为零。
将哪个数字乘以得\(\frac{2}{3}\)出乘法恒等式，即 1？ 换句话说，\(\frac{2}{3}\)乘以 1 的结果是多少？
哪个数字乘以 2 得出乘法恒等式，1？ 换句话说，2 倍会导致 1？
请注意，在每种情况下，缺少的数字都是数字的倒数！
我们称\(\frac{1}{a}\)之为 a 的乘法逆函数。 一个数字的倒数是它的乘法逆数。 一个数字及其倒数乘以 1，即乘法恒等式。 这就产生了乘法的逆属性，它规定任何实数都是如此\(a, a\neq 0, a\cdot \frac{1}{a}=1\)。
我们将在这里正式陈述反向属性：
\[\begin{array} { l l l } { \textbf { of addition } } &{ \text { For any real number } a,} &{a + (-a) = 0}\\{} &{-a \text{. is the}\textbf{ additive inverse} \text{ of }a} &{}\\ {} &{ \text { A number and its opposite add to zero. } }&{}\\ \\{ \textbf { of multiplication } } &{ \text { For any real number } a, a\neq 0} &{a\cdot \frac{1}{a} = 1}\\{} &{\frac{1}{a} \text{. is the}\textbf{ multiplicative inverse} \text{ of }a} &{}\\ {} &{ \text { A number and its reciprocal multiply to zero. } }&{} \end{array}\]
找到的加法逆数
- \(\frac{5}{8}\)
- \(0.6\)
- \(-8\)
- \(-\frac{4}{3}\)
- 回答
-
为了找到加法逆数，我们找到了相反的结果。
- 的加法\(\frac{5}{8}\)反向与相反\(\frac{5}{8}\)。 的加法反向\(\frac{5}{8}\)是\(-\frac{5}{8}\)
- 的加法\(0.6\)反向与相反\(0.6\)。 的加法反向\(0.6\)是\(-0.6\)。
- 的加法\(-8\)反向与相反\(-8\)。 我们编写与 a\(-8\) s 相反的代码\(-(-8)\)，然后将其简化为\(8\)。 因此，的加法逆\(-8\)为\(8\)。
- 的加法\(-\frac{4}{3}\)反向与相反\(-\frac{4}{3}\)。 我们将其写成\(-(-\frac{4}{3})\)，然后简化为\(\frac{4}{3}\)。 因此，的加法逆\(-\frac{4}{3}\)为\(\frac{4}{3}\)。
找到的加法逆数
- \(\frac{7}{9}\)
- \(1.2\)
- \(-14\)
- \(-\frac{9}{4}\)
- 回答
-
- \(-\frac{7}{9}\)
- \(-1.2\)
- \(14\)
- \(\frac{9}{4}\)
找到的加法逆数
- \(\frac{7}{13}\)
- \(8.4\)
- \(-46\)
- \(-\frac{5}{2}\)
- 回答
-
- \(-\frac{7}{13}\)
- \(-8.4\)
- \(46\)
- \(\frac{5}{2}\)
求乘逆函数
- \(9\)
- \(-\frac{1}{9}\)
- \(0.9\)
- 回答
-
为了找到乘法逆数，我们找到倒数。
- 的乘法逆\(9\)是的倒数\(9\)，也就是\(\frac{1}{9}\)。 因此，的乘法逆\(9\)为\(\frac{1}{9}\)。
- 的乘法逆\(-\frac{1}{9}\)是的倒数\(-\frac{1}{9}\)，也就是\(−9\)。 因此，的乘法逆\(-\frac{1}{9}\)为\(-9\)。
- 要找到的乘法逆数\(0.9\)，我们首先转换\(0.9\)为分数\(\frac{9}{10}\)。 然后我们找到分数的倒数。 的倒数\(\frac{9}{10}\)是\(\frac{10}{9}\)。 因此，的乘法逆\(0.9\)为\(\frac{10}{9}\)。
求乘逆函数
- \(4\)
- \(-\frac{1}{7}\)
- \(0.3\)
- 回答
-
- \(\frac{1}{4}\)
- \(-7\)
- \(\frac{10}{3}\)
求乘逆函数
- \(18\)
- \(-\frac{4}{5}\)
- \(0.6\)
- 回答
-
- \(\frac{1}{18}\)
- \(-\frac{5}{4}\)
- \(\frac{5}{3}\)
使用零的属性
加法的 identity 属性表示，当我们将 0 与任意数字相加时，结果是相同的数字。 当我们将一个数字乘以 0 时会发生什么？ 乘以 0 使乘积等于零。
对于任何实数 a.
\[a \cdot 0 = 0 \quad 0 \cdot a = 0\]
任意实数和 0 的乘积为 0。
那涉及零的分割呢？ 什么是\(0\div 3\)？ 想一个真实的例子：如果饼干罐里没有饼干，而要有三个人分享它们，那么每个人会得到多少饼干？ 没有可共享的 cookie，因此每人获得 0 个 cookie。 所以，
\[0\div 3 = 0\]
我们可以用相关的乘法数来检查除法。
\[12 \div 6 = 2 \text { because } 2 \cdot 6 = 12\]
所以我们知道是\(0\div 3=0\)因为\(0\cdot 3=0\)。
对于任何实数 a，除了 an\(0, \frac{0}{a}=0\) d\(0\div a=0\)。
零除以除零之外的任何实数均为零。
现在考虑除以零。 将 4 除以 0 的结果是什么？ 想想相关的乘法事实：\(4\div 0=?\)均值\(?\cdot 0=4\)。 有没有一个数字乘以 0 得出 4？ 由于任何实数乘以 0 都会得到 0，因此没有实数可以乘以 0 得到 4。
我们得出结论，没有答案\(4\div 0\)，所以我们说除以 0 是未定义的。
对于任何实数 a，但\(0, \frac{a}{0}\)和\(a\div 0\)未定义。
除以零是未定义的。
我们在下面总结了零的属性。
乘以零：对于任何实数 a，
\[a \cdot 0 = 0 \quad 0 \cdot a = 0 \quad \text { The product of any number and } 0 \text { is } 0\]
零除法，除以零：适用于任何实数\(a, a\neq 0\)
\[\begin{array} { l l } { \frac { 0 } { a } = 0 } & { \text { Zero divided by any real number, except itself is zero. } } \\ { \frac { a } { 0 } \text { is undefined } } & { \text { Division by zero is undefined. } } \end{array}\]
简化：
- \(-8\cdot 0\)
- \(\frac{0}{-2}\)
- \(\frac{-32}{0}\)
- 回答
-
- \[\begin{array} { cc } { } &{-8\cdot 0}\\{\text{The product of any real number and 0 is 0}} &{0}\end{array}\]
- \[\begin{array} { ll } { } &{\frac{0}{-2}}\\{\text{Zero divided by any real number, except}} &{} \\ {\text{itself, is 0}} &{0}\end{array}\]
- \[\begin{array} { ll } { } &{\frac{-32}{0}}\\ {\text{Division by 0 is undefined.}} &{\text{undefined}} \end{array}\]
简化：
- \(-14\cdot 0\)
- \(\frac{0}{-6}\)
- \(\frac{-2}{0}\)
- 回答
-
- \(0\)
- \(0\)
- 未定义
简化：
- \(0(-17)\)
- \(\frac{0}{-10}\)
- \(\frac{-5}{0}\)
- 回答
-
- \(0\)
- \(0\)
- 未定义
我们现在将练习使用恒等式、反向和零的属性来简化表达式。
简化：
- \(\frac{0}{n + 5}\)，哪里\(n\neq −5\)
- \(\frac{10 - 3p}{0}\)哪里\(10 - 3p \neq 0\)
- 回答
-
- \[\begin{array} { ll } { } &{\frac{0}{n + 5}}\\ {\text { Zero divided by any real number except }} &{0} \\ { \text { itself is } 0.} &{} \end{array}\]
- \[\begin{array} { ll } { } &{\frac{10 - 3p}{0}}\\ {\text { Division by 0 is undefined }} &{\text{undefined}} \end{array}\]
简化：\(−84n+(−73n)+84n\)。
- 回答
-
\[\begin{array} { l l } { } &{−84n+(−73n)+84n} \\ { \text { Notice that the first and third terms are } } &{}\\ { \text { opposites; use the commutative property of } } &{- 84 n + 84 n + ( - 73 n ) } \\ { \text { addition to re-order the terms. } } &{} \\ \\ { \text { Add left to right. } } &{0 + (-73)}\\ \\{ \text { Add. } } &{-73n} \end{array}\]
简化：\(−27a+(−48a)+27a\)。
- 回答
-
\(−48a\)
简化：\(39x+(−92x)+(−39x)\)。
- 回答
-
\(−92x\)
现在，我们将看到承认互惠是如何有帮助的。 在从左到右乘法之前，先寻找倒数——它们的乘积为 1。
简化：\(\frac{7}{15}\cdot\frac{8}{23}\cdot\frac{15}{7}\)
- 回答
-
\[\begin{array} { l l } { } &{\frac{7}{15}\cdot\frac{8}{23}\cdot\frac{15}{7}} \\ { \text { Notice that the first and third terms are } } &{}\\ { \text { reciprocals, so use the commutative } } &{\frac{7}{15}\cdot\frac{15}{7}\cdot\frac{8}{23}} \\ { \text { property of multiplication to re-order the } } &{} \\ { \text { factors. } } &{}\\ \\{ \text { Multiply left to right. } } &{1\cdot\frac{8}{23}} \\\\{\text{Multiply.}} &{\frac{8}{23}}\end{array}\]
简化：\(\frac{9}{16}\cdot\frac{5}{49}\cdot\frac{16}{9}\)
- 回答
-
\(\frac{5}{49}\)
简化：\(\frac{6}{17}\cdot\frac{11}{25}\cdot\frac{17}{6}\)
- 回答
-
\(\frac{11}{25}\)
简化：
- \(\frac{0}{m + 7}\)，哪里\(m \neq -7\)
- \(\frac{18 - 6c}{0}\)，哪里\(18 - 6c \neq 0\)
- 回答
-
- 0
- 未定义
简化：
- \(\frac{0}{d - 4}\)，哪里\(d \neq 4\)
- \(\frac{15 - 4q}{0}\)，哪里\(15 - 4q \neq 0\)
- 回答
-
- 0
- 未定义
简化：\(\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}(6x + 12)\)
- 回答
-
\[\begin{array} { l l } { } &{\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}(6x + 12)} \\ { \text { There is nothing to do in the parentheses, } } &{}\\ { \text { so multiply the two fractions first—notice, } } &{1(6x + 12)} \\ { \text { they are reciprocals. } } &{} \\ \\{ \text { Simplify by recognizing the multiplicative } } &{} \\{\text{ identity.}} &{6x + 12} \end{array}\]
简化：\(\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}(20y + 50)\)
- 回答
-
\(20y + 50\)
简化：\(\frac{3}{8}\cdot\frac{8}{3}(12z + 16)\)
- 回答
-
\(12z + 16\)
使用分布属性简化表达式
假设三个朋友要去看电影。 他们每人需要 9.25 美元（即 9 美元和 1 个季度）来支付门票。 他们总共需要多少钱？
你可以将美元与季度分开考虑。 他们需要 3 倍 9 美元，所以 27 美元，1 个季度 3 倍，所以 75 美分。 他们总共需要27.75美元。 如果你考虑用这种方式进行数学运算，你就是在使用分布属性。
\[\begin{array} { rr } {\text { If } a , b , c \text { are real numbers, then }} &{a ( b + c ) = a b + a c} \\ \\{ \text { Also,} } &{( b + c ) a = b a + c a} \\ {} &{a ( b - c ) = a b - a c } &{} \\{} &{( b - c ) a = b a - c a } \end{array}\]
回到看电影的朋友那里，我们可以找到他们需要的总金额，如下所示：
\[\begin{array} { c } { 3 ( 9.25 ) } \\ { 3 ( 9 + 0.25 ) } \\ { 3 ( 9 ) + 3 ( 0.25 ) } \\ { 27 + 0.75 } \\ \\ { 27.75 } \end{array}\]
在代数中，我们在简化表达式时使用分布属性删除括号。
例如，如果要求我们简化表达式\(3(x+4)\)，则首先在括号中表示运算顺序有效。 但是我们不能添加 x 和 4，因为它们不像术语。 因此，我们使用分布属性，如练习中所示\(\PageIndex{31}\)。
简化：\(3(x+4)\)。
- 回答
-
\[\begin{array} { l l } { } & { 3 ( x + 4 ) } \\ { \text { Distribute. } } & { 3 \cdot x + 3 \cdot 4 } \\ { \text { Multiply. } } & { 3 x + 12 } \end{array}\]
简化：\(4(x+2)\)。
- 回答
-
\(4x + 8\)
简化：\(6(x+7)\)。
- 回答
-
\(6x + 42\)
一些学生发现用箭头来提醒他们如何使用分配财产会很有帮助。 那么练习中的第一步\(\PageIndex{31}\)将如下所示：
简化：\(8(\frac{3}{8}x+\frac{1}{4})\)。
- 回答
-
分发。 
乘。 
简化：\(6(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2})\)。
- 回答
-
\(5y + 3\)
简化：\(12(\frac{1}{3}n+\frac{3}{4})\)。
- 回答
-
\(4n + 9\)
当我们在后面的章节中解决货币申请时，使用练习中所示的分配属性\(\PageIndex{37}\)将非常有用。
简化：\(100(0.3+0.25q)\)。
- 回答
-
分发。 
乘。 
简化：\(100(0.7+0.15p)\)。
- 回答
-
\(70 + 15p\)
简化：\(100(0.04+0.35d)\)。
- 回答
-
\(4 + 35d\)
当我们分配一个负数时，我们需要格外小心，使符号正确！
简化：\(−2(4y+1)\)。
- 回答
-
分发。 
乘。 
简化：\(−3(6m+5)\)。
- 回答
-
\(−18m-15)\)
简化：\(−6(8n+11)\)。
- 回答
-
\(−48n- 66)\)
简化：\(−11(4-3a)\)。
- 回答
-
分发。 
乘。 
简化。 
请注意，你也可以将结果写成\(33a−44\)。 你知道为什么吗？
简化：\(−5(2-3a)\)。
- 回答
-
\(10+ 15a\)
简化：\(−7(8-15y)\)。
- 回答
-
\(-56 + 105y\)
练习\(\PageIndex{46}\)将展示如何使用分布属性找到与表达式相反的内容。
简化：\(−(y+5)\)。
- 回答
-
\[\begin{array} { ll } {} &{-(y + 5)} \\ \\{ \text {Multiplying by -1 results in the opposite.} } &{-1( y + 5 )} \\ \\ {\text{Distribute.}} &{-1\cdot y + (-1)\cdot 5}\\ \\{\text{Simplify.}} &{-y + (-5)} \\ \\ {} &{-y - 5} \end{array}\]
简化：\(−(z-11)\)。
- 回答
-
\(-z + 11\)
简化：\(−(x -4)\)。
- 回答
-
\(-x + 4\)
有时我们需要使用分布式属性作为操作顺序的一部分。 首先看圆括号。 如果括号内的表达式无法简化，则下一步是使用分布属性进行乘法，这将删除圆括号。 接下来的两个例子将说明这一点。
简化：\(8−2(x + 3)\)。
一定要遵循操作顺序。 乘法先于减法，所以我们先分配 2 然后减去。
- 回答
-
\[\begin{array} { ll } {} &{8−2(x + 3)} \\ \\{ \text {Distribute.} } &{8−2\cdot x -2\cdot 3} \\ \\ {\text{Multiply.}} &{8 - 2x - 6}\\ \\{\text{Combine like terms.}} &{-2x + 2} \end{array}\]
简化：\(9−3(x + 2)\)。
- 回答
-
\(3 - 3x\)
简化：\(7x−5(x + 4)\)。
- 回答
-
\(2x - 20\)
简化：\(4(x - 8)−(x + 3)\)。
- 回答
-
\[\begin{array} { ll } {} &{4(x - 8)−(x + 3)} \\ \\{ \text {Distribute.} } &{4x - 32 - x - 3} \\ \\{\text{Combine like terms.}} &{3x - 35} \end{array}\]
简化：\(6(x - 9)−(x + 12)\)。
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\(5x - 66\)
简化：\(8(x - 1)-(x + 5)\)。
- 回答
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\(7x - 13\)
表中总结了我们在本章中使用的所有实数属性\(\PageIndex{1}\)。
| 交换属性 | |
| 加法如果 a, b 是实数，那么乘 法如果 a, b 是实数，那么 |
\(a+b=b+a\) \(a\cdot b=b\cdot a\) |
| 关联财产 | |
| 加法如果 a、b、c 是实数，那么乘 法如果 a、b、c 是实数，那么 |
\((a+b)+c=a+(b+c)\) \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\) |
| 分配财产 | |
| 如果 a、b、c 是实数，那么 | \(a(b+c)=ab+ac\) |
| 身份财产 | |
|
加法对于任何实数 a: 乘法对于任何实数 a: |
\(a+0=a\) \(0+a=a\) \(1·a=a\) |
| 反向属性 | |
| of addit@@ ion 对于任何实数 a， \(−a\)是乘法 a 的加法逆数对于任何实数都\(a,a\neq 0\) \(\frac{1}{a}\)是a 的@@ 乘法逆函数 |
\(a+(−a)=0\) \(a\cdot\frac{1}{a}=1\) |
| 零的属性 | |
|
对于任何实数 a， 对于任何实数\(a,a\neq 0\) |
\(a\cdot 0=0\) \(0\cdot a=0\) \(\frac{0}{a} = 0\) |
关键概念
- 的交换属性
- 加法：如果 a, b 是实数，那么\(a+b=b+a\)。
- 乘法：如果 a，b 是实数，那么\(a\cdot b=b\cdot a\)。 相加或乘法时，更改顺序会得到相同的结果。
- 的关联属性
- 加法：如果 a、b、c 是实数，那么\((a+b)+c=a+(b+c)\)。
- 乘法：如果 a、b、c 是实数，那么\((a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)。
相加或乘法时，更改分组会得到相同的结果。
- 分布特性：如果 a、b、c 是实数，则
- \(a(b+c)=ab+ac\)
- \((b+c)a=ba+ca\)
- \(a(b-c)=ab-ac\)
- \((b+c)a=ba-ca\)
- 身份财产
- 加法：对于任何实数 a:\(a+0=a\)
0 是加法恒等式 - 乘法：对于任何实数 a:\(a\cdot 1=a \quad 1·a=a\)
1 1 是乘法恒等式
- 加法：对于任何实数 a:\(a+0=a\)
- 反向属性
- 加法：适用于任何实数\(a, a+(−a)=0\)。 一个数字及其相反的数字相加为零。 \(−a\)是 a 的加法逆数。
- 乘法：适用于任何实数\(a,(a\neq 0)a\cdot\frac{1}{a}=1\)。 一个数字及其倒数乘以一。 \(\frac{1}{a}\)是 a 的乘法逆数。
- 零的属性
- 对于任何实数 a，
\(a\cdot 0=0 \quad 0·a=0\)— 任意实数和 0 的乘积为 0。 - \(\frac{0}{a}=0\)for\(a\neq 0\) — 零除以除零之外的任何实数等于零。
- \(\frac{a}{0}\)未定义 — 除以零表示未定义。
- 对于任何实数 a，