1.10: 实数的属性

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 使用交换和关联属性
• 使用加法和乘法的恒等和逆属性
• 使用零的属性
• 使用分布属性简化表达式

注意

在 Prealgebra 章节 “实数的属性” 中可以找到对本节所涵盖主题的更详尽的介绍。

使用交换和关联属性

考虑将两个数字相加，比如说5和3。 我们添加它们的顺序不会影响结果，对吗？

$$\begin{array} { cc } { 5 + 3 } & { 3 + 5 } \\ { 8 } & { 8 } \\ { 5 + 3 = } & { 3 + 5 } \end{array}$$

结果是一样的。

如我们所见，我们添加的顺序并不重要！

乘以 5 和 3 怎么样？

$$\begin{array} { c c } { 5 \cdot 3 } & { 3 \cdot 5 } \\ { 15 } & { 15 } \\ { 5 \cdot 3=} &{3 \cdot 5 } \end{array}$$

再说一遍，结果是一样的！

我们乘以的顺序并不重要！

这些示例说明了交换属性。 相加或乘法时，更改顺序会得到相同的结果。

交换属性

$$\begin{array} { l l } { \textbf { of Addition } } & { \text { If } a , b \text { are real numbers, then } \quad a + b = b + a } \\ { \textbf { of Multiplication } } & { \text { If } a , b \text { are real numbers, then } \quad a \cdot b = b \cdot a } \end{array}$$

相加或乘法时，更改顺序会得到相同的结果。

交换属性与顺序有关。 如果在相加或相乘时更改数字的顺序，结果是相同的。

那减法呢？ 当我们减去数字时，顺序重要吗？ 7−3 会得出与 3−7 相同的结果吗？

$$\begin{array} { c c } { 7 - 3 } & { 3 - 7 } \\ { 4 } & { - 4 } \end{array}$$

$$\begin{aligned} 4 & \neq - 4 \\ 7 - 3 & \neq 3 - 7 \end{aligned}$$

结果不一样。

由于改变减法的顺序没有得到相同的结果，我们知道减法是不可交换的。

让我们看看当我们将两个数字相除时会发生什么。 分区是可以交换的吗？

$$\begin{array} { cc} { 12 \div 4 } & { 4 \div 12 } \\ { \frac { 12 } { 4 } } & { \frac { 4 } { 12 } } \\ { 3 } & { \frac { 1 } { 3 } } \end{array}$$
$$\begin{aligned} 3 \neq & \frac { 1 } { 3 } \\ 12 \div 4 & \neq 4 \div 12 \end{aligned}$$

结果不一样。

由于更改除法顺序不会得出相同的结果，因此除法是不可交换的。 交换属性仅适用于加法和乘法！

• 加法和乘法是可交换的。
• 减法和除法是不可交换的。

如果你被要求简化这个表达方式，你会怎么做，你的答案会是什么？

$$7 + 8 + 2$$

有些人会认为$7+8$是 15 然后$15+2$是 17。 其他人可能从 mak$8+2$ es 10 开始，然后$7+10$获得 17。

无论哪种方式都会得到相同的结果。 请记住，我们使用圆括号作为分组符号来表示应该先完成哪个操作。

$$\begin{array} { ll } { \text{ Add } 7 + 8 . } & { ( 7 + 8 ) + 2 } \\ { \text { Add. } } & { 15 + 2 } \\ { \text { Add. } } & { 17 } \\ \\ { } & { 7 + ( 8 + 2 ) } \\ { \text { Add } 8 + 2 . } & { 7 + 10 } \\ { \text { Add. } } & { 77 } \\\\ { ( 7 + 8 ) + 2 = 7 + ( 8 + 2 ) } \end{array}$$

将三个数字相加时，更改数字的分组会得到相同的结果。

乘法也是如此。

$$\begin{array} { ll } { } & { (5\cdot \frac{1}{3})\cdot 3 } \\ { \text { Multiply. } 5\cdot \frac{1}{3} } & { \frac{5}{3}\cdot 3 } \\ { \text { Multiply. } } & { 5 } \\ \\ { } & { 5\cdot (\frac{1}{3}\cdot 3) } \\ { \text { Multiply. } \frac{1}{3}\cdot 3 } & { 5\cdot 1 } \\ { \text { Multiply. } } & { 5 } \\ \\ { (5\cdot \frac{1}{3})\cdot 3 = 5\cdot (\frac{1}{3}\cdot 3) } \end{array}$$

将三个数字相乘时，更改数字的分组会得到相同的结果。

你可能知道这一点，但这个术语可能对你来说是新的。 这些示例说明了关联属性。

关联属性

$$\begin{array} { l l } { \textbf { of Addition } } & { \text { If } a , b , c \text { are real numbers, then } ( a + b ) + c = a + ( b + c ) } \\ { \textbf { of Multiplication } } & { \text { If } a , b , c \text { are real numbers, then } ( a \cdot b ) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c ) } \end{array}$$

相加或乘法时，更改分组会得到相同的结果。

让我们再考虑乘法$5\cdot \frac{1}{3}\cdot 3$。 我们两个方向都得到了相同的结果，但是哪种方法更容易？ 如上图右侧所示，先乘以$\frac{1}{3}$ 3，将消除第一步中的分数。 使用关联属性可以使数学变得更容易！

关联属性与分组有关。 如果我们改变数字的分组方式，结果将相同。 请注意，这三个数字的顺序相同，唯一的区别是分组。

我们看到减法和除法是不可交换的。 它们也不是联想的。

在简化表达式时，计划步骤总是一个好主意。 为了在下一个示例中组合相似的术语，我们将使用 addition 的交换属性将相似的术语写在一起。

练习$\PageIndex{1}$

简化：$18p+6q+15p+5q$。

回答

$$\begin{array} { l l} {} &{18p+6q+15p+5q}\\ \\{ \text { Use the commutative property of addition } } &{} \\ { \text {to re-order so that like terms are together.} } &{18p+15p+ 6q+5q} \\ \\ {\text{Add like terms.}} &{33p + 11q} \end{array}$$

练习$\PageIndex{2}$

简化：$23r+14s+9r+15s$。

回答

$32r+29s$

练习$\PageIndex{3}$

简化：$37m+21n+4m−15n$。

回答

$41m+6n$

当我们必须简化代数表达式时，我们通常可以通过先应用交换或关联属性来简化工作，而不是自动遵循运算顺序。 在添加或减去分数时，请先将分数与公分母合并。

练习$\PageIndex{4}$

简化：$(\frac{5}{13} + \frac{3}{4}) + \frac{1}{4}$

回答

$$\begin{array} { l l } {} &{(\frac{5}{13} + \frac{3}{4}) + \frac{1}{4}} \\{ \text { Notice that the last } 2 \text { terms have a } } \\ { \text { common denominator, so change the } } &{\frac { 5 } { 13 } + \left( \frac { 3 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } \right)}\\ { \text { grouping. } } &{}\\ \\ {\text{Add in parentheses first.}} &{\frac{5}{13} + (\frac{4}{4})} \\ \\ {\text{Simplify the fraction.}} &{\frac{5}{13} + 1} \\ \\ {\text{Add.}} &{1\frac{5}{13}} \\ \\ {\text{Convert to an improper fraction.}} &{\frac{18}{13}} \end{array}$$

练习$\PageIndex{5}$

简化：$(\frac{7}{15} + \frac{5}{8}) + \frac{3}{8}$

回答

$1\frac{7}{15}$

练习$\PageIndex{6}$

简化：$(\frac{2}{9} + \frac{7}{12}) + \frac{5}{12}$

回答

$1\frac{2}{9}$

练习$\PageIndex{7}$

使用关联属性进行简化$6(3x)$。

回答

使用乘法的关联属性来更改分组。$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

$$\begin{array} { ll } {} &{ 6 ( 3 x ) } \\ { \text { Change the grouping. } } &{(6\cdot 3)x} \\ { \text { Multiply in the parentheses. } } &{18} \end{array}$$

请注意，我们可以乘以$6\cdot 3$，但是\(3x\)如果没有值就无法乘以\(x\)。

练习$\PageIndex{8}$

使用关联属性进行简化$8(4x)$。

回答

$32x$

练习$\PageIndex{9}$

使用关联属性进行简化$-9(7y)$。

回答

$-63y$

使用加法和乘法的恒等和逆属性

当我们将0加到任何数字时会发生什么？ 添加 0 不会更改该值。 出于这个原因，我们称0为加法恒等式。

例如，

$$\begin{array} { c c c } { 13 + 0 } & { - 14 + 0 } & { 0 + ( - 8 ) } \\ { 13 } & { - 14 } & { - 8 } \end{array}$$

这些示例说明了加法的 I dentity Property，它说明了任何实数的身份属性$a$，$a+0=a$以及$0+a=a$。

当我们将任何数字乘以一时会发生什么？ 乘以 1 不会改变该值。 所以我们称1为乘法恒等式。

例如， $$\begin{array} { r r r } { 43 \cdot 1 } & { - 27 \cdot 1 } & { 1 \cdot \frac { 3 } { 5 } } \\ { 43 } & { - 27 } & { \frac { 3 } { 5 } } \end{array}$$

这些示例说明了乘法的 Identity 属性，该属性说明了任何实数的身份属性$a$，$a\cdot 1=a$以及$1\cdot a=a$。

我们在下面总结了身份属性。

身份财产

$$\begin{array} { l l} { \textbf {of addition}\text{ For any real number } a : } &{ a + 0 = a \quad 0 + a = a } \\ { \textbf{0} \text { is the}\textbf{ additive identity } } \\ {\textbf {of multiplication}\text{ For any real number } a : } &{ a \cdot 1 = a \quad 1 \cdot a = a } \\ { \textbf{1}\text{ is the}\textbf{ multiplicative identity } } \end{array}$$

图$\PageIndex{1}$

请注意，在每种情况下，缺少的数字都与数字相反！

我们称之为$−a$。a 的加法逆数。 与数字相反的是其相加的逆数。 一个数字及其对立方加起来为零，这是加法恒等式。 这导致了加法的逆属性，它表示任何实数$a, a+(−a)=0$。 记住，一个数字及其对立的数字相加为零。

将哪个数字乘以得$\frac{2}{3}$出乘法恒等式，即 1？ 换句话说，$\frac{2}{3}$乘以 1 的结果是多少？

图$\PageIndex{2}$

哪个数字乘以 2 得出乘法恒等式，1？ 换句话说，2 倍会导致 1？

图$\PageIndex{3}$

请注意，在每种情况下，缺少的数字都是数字的倒数！

我们称$\frac{1}{a}$之为 a 的乘法逆函数。 一个数字的倒数是它的乘法逆数。 一个数字及其倒数乘以 1，即乘法恒等式。 这就产生了乘法的逆属性，它规定任何实数都是如此$a, a\neq 0, a\cdot \frac{1}{a}=1$。

我们将在这里正式陈述反向属性：

反向属性

$$\begin{array} { l l l } { \textbf { of addition } } &{ \text { For any real number } a,} &{a + (-a) = 0}\\{} &{-a \text{. is the}\textbf{ additive inverse} \text{ of }a} &{}\\ {} &{ \text { A number and its opposite add to zero. } }&{}\\ \\{ \textbf { of multiplication } } &{ \text { For any real number } a, a\neq 0} &{a\cdot \frac{1}{a} = 1}\\{} &{\frac{1}{a} \text{. is the}\textbf{ multiplicative inverse} \text{ of }a} &{}\\ {} &{ \text { A number and its reciprocal multiply to zero. } }&{} \end{array}$$

练习$\PageIndex{10}$

找到的加法逆数

1. $\frac{5}{8}$
2. $0.6$
3. $-8$
4. $-\frac{4}{3}$

回答

为了找到加法逆数，我们找到了相反的结果。

1. 的加法$\frac{5}{8}$反向与相反$\frac{5}{8}$。 的加法反向$\frac{5}{8}$是$-\frac{5}{8}$
2. 的加法$0.6$反向与相反$0.6$。 的加法反向$0.6$是$-0.6$。
3. 的加法$-8$反向与相反$-8$。 我们编写与 a$-8$ s 相反的代码$-(-8)$，然后将其简化为$8$。 因此，的加法逆$-8$为$8$。
4. 的加法$-\frac{4}{3}$反向与相反$-\frac{4}{3}$。 我们将其写成$-(-\frac{4}{3})$，然后简化为$\frac{4}{3}$。 因此，的加法逆$-\frac{4}{3}$为$\frac{4}{3}$。

练习$\PageIndex{11}$

找到的加法逆数

1. $\frac{7}{9}$
2. $1.2$
3. $-14$
4. $-\frac{9}{4}$

回答

1. $-\frac{7}{9}$
2. $-1.2$
3. $14$
4. $\frac{9}{4}$

练习$\PageIndex{12}$

找到的加法逆数

1. $\frac{7}{13}$
2. $8.4$
3. $-46$
4. $-\frac{5}{2}$

回答

1. $-\frac{7}{13}$
2. $-8.4$
3. $46$
4. $\frac{5}{2}$

练习$\PageIndex{13}$

求乘逆函数

1. $9$
2. $-\frac{1}{9}$
3. $0.9$

回答

为了找到乘法逆数，我们找到倒数。

1. 的乘法逆$9$是的倒数$9$，也就是$\frac{1}{9}$。 因此，的乘法逆$9$为$\frac{1}{9}$。
2. 的乘法逆$-\frac{1}{9}$是的倒数$-\frac{1}{9}$，也就是$−9$。 因此，的乘法逆$-\frac{1}{9}$为$-9$。
3. 要找到的乘法逆数$0.9$，我们首先转换$0.9$为分数$\frac{9}{10}$。 然后我们找到分数的倒数。 的倒数$\frac{9}{10}$是$\frac{10}{9}$。 因此，的乘法逆$0.9$为$\frac{10}{9}$。

练习$\PageIndex{14}$

求乘逆函数

1. $4$
2. $-\frac{1}{7}$
3. $0.3$

回答

1. $\frac{1}{4}$
2. $-7$
3. $\frac{10}{3}$

练习$\PageIndex{15}$

求乘逆函数

1. $18$
2. $-\frac{4}{5}$
3. $0.6$

回答

1. $\frac{1}{18}$
2. $-\frac{5}{4}$
3. $\frac{5}{3}$

使用零的属性

加法的 identity 属性表示，当我们将 0 与任意数字相加时，结果是相同的数字。 当我们将一个数字乘以 0 时会发生什么？ 乘以 0 使乘积等于零。

乘以零

对于任何实数 a.

$$a \cdot 0 = 0 \quad 0 \cdot a = 0$$

任意实数和 0 的乘积为 0。

那涉及零的分割呢？ 什么是$0\div 3$？ 想一个真实的例子：如果饼干罐里没有饼干，而要有三个人分享它们，那么每个人会得到多少饼干？ 没有可共享的 cookie，因此每人获得 0 个 cookie。 所以，

$$0\div 3 = 0$$

我们可以用相关的乘法数来检查除法。

$$12 \div 6 = 2 \text { because } 2 \cdot 6 = 12$$

所以我们知道是$0\div 3=0$因为$0\cdot 3=0$。

零分法

对于任何实数 a，除了 an$0, \frac{0}{a}=0$ d$0\div a=0$。

零除以除零之外的任何实数均为零。

现在考虑除以零。 将 4 除以 0 的结果是什么？ 想想相关的乘法事实：$4\div 0=?$均值$?\cdot 0=4$。 有没有一个数字乘以 0 得出 4？ 由于任何实数乘以 0 都会得到 0，因此没有实数可以乘以 0 得到 4。

我们得出结论，没有答案$4\div 0$，所以我们说除以 0 是未定义的。

除以零

对于任何实数 a，但$0, \frac{a}{0}$和$a\div 0$未定义。

除以零是未定义的。

我们在下面总结了零的属性。

零的属性

乘以零：对于任何实数 a，

$$a \cdot 0 = 0 \quad 0 \cdot a = 0 \quad \text { The product of any number and } 0 \text { is } 0$$

零除法，除以零：适用于任何实数$a, a\neq 0$

$$\begin{array} { l l } { \frac { 0 } { a } = 0 } & { \text { Zero divided by any real number, except itself is zero. } } \\ { \frac { a } { 0 } \text { is undefined } } & { \text { Division by zero is undefined. } } \end{array}$$

练习$\PageIndex{16}$

简化：

1. $-8\cdot 0$
2. $\frac{0}{-2}$
3. $\frac{-32}{0}$

回答

1. $$\begin{array} { cc } { } &{-8\cdot 0}\\{\text{The product of any real number and 0 is 0}} &{0}\end{array}$$
2. $$\begin{array} { ll } { } &{\frac{0}{-2}}\\{\text{Zero divided by any real number, except}} &{} \\ {\text{itself, is 0}} &{0}\end{array}$$
3. $$\begin{array} { ll } { } &{\frac{-32}{0}}\\ {\text{Division by 0 is undefined.}} &{\text{undefined}} \end{array}$$

练习$\PageIndex{17}$

简化：

1. $-14\cdot 0$
2. $\frac{0}{-6}$
3. $\frac{-2}{0}$

回答

1. $0$
2. $0$
3. 未定义

练习$\PageIndex{18}$

简化：

1. $0(-17)$
2. $\frac{0}{-10}$
3. $\frac{-5}{0}$

回答

1. $0$
2. $0$
3. 未定义

我们现在将练习使用恒等式、反向和零的属性来简化表达式。

练习$\PageIndex{19}$

简化：

1. $\frac{0}{n + 5}$，哪里$n\neq −5$
2. $\frac{10 - 3p}{0}$哪里$10 - 3p \neq 0$

回答

1. $$\begin{array} { ll } { } &{\frac{0}{n + 5}}\\ {\text { Zero divided by any real number except }} &{0} \\ { \text { itself is } 0.} &{} \end{array}$$
2. $$\begin{array} { ll } { } &{\frac{10 - 3p}{0}}\\ {\text { Division by 0 is undefined }} &{\text{undefined}} \end{array}$$

练习$\PageIndex{20}$

简化：$−84n+(−73n)+84n$。

回答

$$\begin{array} { l l } { } &{−84n+(−73n)+84n} \\ { \text { Notice that the first and third terms are } } &{}\\ { \text { opposites; use the commutative property of } } &{- 84 n + 84 n + ( - 73 n ) } \\ { \text { addition to re-order the terms. } } &{} \\ \\ { \text { Add left to right. } } &{0 + (-73)}\\ \\{ \text { Add. } } &{-73n} \end{array}$$

练习$\PageIndex{21}$

简化：$−27a+(−48a)+27a$。

回答

$−48a$

练习$\PageIndex{22}$

简化：$39x+(−92x)+(−39x)$。

回答

$−92x$

现在，我们将看到承认互惠是如何有帮助的。 在从左到右乘法之前，先寻找倒数——它们的乘积为 1。

练习$\PageIndex{23}$

简化：$\frac{7}{15}\cdot\frac{8}{23}\cdot\frac{15}{7}$

回答

$$\begin{array} { l l } { } &{\frac{7}{15}\cdot\frac{8}{23}\cdot\frac{15}{7}} \\ { \text { Notice that the first and third terms are } } &{}\\ { \text { reciprocals, so use the commutative } } &{\frac{7}{15}\cdot\frac{15}{7}\cdot\frac{8}{23}} \\ { \text { property of multiplication to re-order the } } &{} \\ { \text { factors. } } &{}\\ \\{ \text { Multiply left to right. } } &{1\cdot\frac{8}{23}} \\\\{\text{Multiply.}} &{\frac{8}{23}}\end{array}$$

练习$\PageIndex{24}$

简化：$\frac{9}{16}\cdot\frac{5}{49}\cdot\frac{16}{9}$

回答

$\frac{5}{49}$

练习$\PageIndex{25}$

简化：$\frac{6}{17}\cdot\frac{11}{25}\cdot\frac{17}{6}$

回答

$\frac{11}{25}$

练习$\PageIndex{26}$

简化：

1. $\frac{0}{m + 7}$，哪里$m \neq -7$
2. $\frac{18 - 6c}{0}$，哪里$18 - 6c \neq 0$

回答

1. 0
2. 未定义

练习$\PageIndex{27}$

简化：

1. $\frac{0}{d - 4}$，哪里$d \neq 4$
2. $\frac{15 - 4q}{0}$，哪里$15 - 4q \neq 0$

回答

1. 0
2. 未定义

练习$\PageIndex{28}$

简化：$\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}(6x + 12)$

回答

$$\begin{array} { l l } { } &{\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}(6x + 12)} \\ { \text { There is nothing to do in the parentheses, } } &{}\\ { \text { so multiply the two fractions first—notice, } } &{1(6x + 12)} \\ { \text { they are reciprocals. } } &{} \\ \\{ \text { Simplify by recognizing the multiplicative } } &{} \\{\text{ identity.}} &{6x + 12} \end{array}$$

练习$\PageIndex{29}$

简化：$\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}(20y + 50)$

回答

$20y + 50$

练习$\PageIndex{30}$

简化：$\frac{3}{8}\cdot\frac{8}{3}(12z + 16)$

回答

$12z + 16$

使用分布属性简化表达式

假设三个朋友要去看电影。 他们每人需要 9.25 美元（即 9 美元和 1 个季度）来支付门票。 他们总共需要多少钱？

你可以将美元与季度分开考虑。 他们需要 3 倍 9 美元，所以 27 美元，1 个季度 3 倍，所以 75 美分。 他们总共需要27.75美元。 如果你考虑用这种方式进行数学运算，你就是在使用分布属性。

分配财产

$$\begin{array} { rr } {\text { If } a , b , c \text { are real numbers, then }} &{a ( b + c ) = a b + a c} \\ \\{ \text { Also,} } &{( b + c ) a = b a + c a} \\ {} &{a ( b - c ) = a b - a c } &{} \\{} &{( b - c ) a = b a - c a } \end{array}$$

回到看电影的朋友那里，我们可以找到他们需要的总金额，如下所示：

$$\begin{array} { c } { 3 ( 9.25 ) } \\ { 3 ( 9 + 0.25 ) } \\ { 3 ( 9 ) + 3 ( 0.25 ) } \\ { 27 + 0.75 } \\ \\ { 27.75 } \end{array}$$

在代数中，我们在简化表达式时使用分布属性删除括号。

例如，如果要求我们简化表达式$3(x+4)$，则首先在括号中表示运算顺序有效。 但是我们不能添加 x 和 4，因为它们不像术语。 因此，我们使用分布属性，如练习中所示$\PageIndex{31}$。

练习$\PageIndex{31}$

简化：$3(x+4)$。

回答

$$\begin{array} { l l } { } & { 3 ( x + 4 ) } \\ { \text { Distribute. } } & { 3 \cdot x + 3 \cdot 4 } \\ { \text { Multiply. } } & { 3 x + 12 } \end{array}$$

练习$\PageIndex{32}$

简化：$4(x+2)$。

回答

$4x + 8$

练习$\PageIndex{33}$

简化：$6(x+7)$。

回答

$6x + 42$

一些学生发现用箭头来提醒他们如何使用分配财产会很有帮助。 那么练习中的第一步$\PageIndex{31}$将如下所示：

练习$\PageIndex{34}$

简化：$8(\frac{3}{8}x+\frac{1}{4})$。

回答

分发。
乘。

练习$\PageIndex{35}$

简化：$6(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2})$。

回答

$5y + 3$

练习$\PageIndex{36}$

简化：$12(\frac{1}{3}n+\frac{3}{4})$。

回答

$4n + 9$

当我们在后面的章节中解决货币申请时，使用练习中所示的分配属性$\PageIndex{37}$将非常有用。

练习$\PageIndex{37}$

简化：$100(0.3+0.25q)$。

回答

分发。
乘。

练习$\PageIndex{38}$

简化：$100(0.7+0.15p)$。

回答

$70 + 15p$

练习$\PageIndex{39}$

简化：$100(0.04+0.35d)$。

回答

$4 + 35d$

当我们分配一个负数时，我们需要格外小心，使符号正确！

练习$\PageIndex{40}$

简化：$−2(4y+1)$。

回答

分发。
乘。

练习$\PageIndex{41}$

简化：$−3(6m+5)$。

回答

$−18m-15)$

练习$\PageIndex{42}$

简化：$−6(8n+11)$。

回答

$−48n- 66)$

练习$\PageIndex{43}$

简化：$−11(4-3a)$。

回答

分发。
乘。
简化。

请注意，你也可以将结果写成$33a−44$。 你知道为什么吗？

练习$\PageIndex{44}$

简化：$−5(2-3a)$。

回答

$10+ 15a$

练习$\PageIndex{45}$

简化：$−7(8-15y)$。

回答

$-56 + 105y$

练习$\PageIndex{46}$将展示如何使用分布属性找到与表达式相反的内容。

练习$\PageIndex{46}$

简化：$−(y+5)$。

回答

$$\begin{array} { ll } {} &{-(y + 5)} \\ \\{ \text {Multiplying by -1 results in the opposite.} } &{-1( y + 5 )} \\ \\ {\text{Distribute.}} &{-1\cdot y + (-1)\cdot 5}\\ \\{\text{Simplify.}} &{-y + (-5)} \\ \\ {} &{-y - 5} \end{array}$$

练习$\PageIndex{47}$

简化：$−(z-11)$。

回答

$-z + 11$

练习$\PageIndex{48}$

简化：$−(x -4)$。

回答

$-x + 4$

有时我们需要使用分布式属性作为操作顺序的一部分。 首先看圆括号。 如果括号内的表达式无法简化，则下一步是使用分布属性进行乘法，这将删除圆括号。 接下来的两个例子将说明这一点。

练习$\PageIndex{49}$

简化：$8−2(x + 3)$。

一定要遵循操作顺序。 乘法先于减法，所以我们先分配 2 然后减去。

回答

$$\begin{array} { ll } {} &{8−2(x + 3)} \\ \\{ \text {Distribute.} } &{8−2\cdot x -2\cdot 3} \\ \\ {\text{Multiply.}} &{8 - 2x - 6}\\ \\{\text{Combine like terms.}} &{-2x + 2} \end{array}$$

练习$\PageIndex{50}$

简化：$9−3(x + 2)$。

回答

$3 - 3x$

练习$\PageIndex{51}$

简化：$7x−5(x + 4)$。

回答

$2x - 20$

练习$\PageIndex{52}$

简化：$4(x - 8)−(x + 3)$。

回答

$$\begin{array} { ll } {} &{4(x - 8)−(x + 3)} \\ \\{ \text {Distribute.} } &{4x - 32 - x - 3} \\ \\{\text{Combine like terms.}} &{3x - 35} \end{array}$$

练习$\PageIndex{1}$

简化：$6(x - 9)−(x + 12)$。

回答

$5x - 66$

练习$\PageIndex{1}$

简化：$8(x - 1)-(x + 5)$。

回答

$7x - 13$

表中总结了我们在本章中使用的所有实数属性$\PageIndex{1}$。

桌子$\PageIndex{1}$

交换属性
加法如果 a, b 是实数，那么乘 法如果 a, b 是实数，那么	$a+b=b+a$ $a\cdot b=b\cdot a$
关联财产
加法如果 a、b、c 是实数，那么乘 法如果 a、b、c 是实数，那么	$(a+b)+c=a+(b+c)$ $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
分配财产
如果 a、b、c 是实数，那么	$a(b+c)=ab+ac$
身份财产
加法对于任何实数 a: 0 是加法恒等式 乘法对于任何实数 a: 1 是乘法恒等式	$a+0=a$ $0+a=a$ $a·1=a$ $1·a=a$
反向属性
of addit@@ ion 对于任何实数 a， $−a$是乘法 a 的加法逆数对于任何实数都$a,a\neq 0$ $\frac{1}{a}$是a 的@@ 乘法逆函数	$a+(−a)=0$ $a\cdot\frac{1}{a}=1$
零的属性
对于任何实数 a， 对于任何实数$a,a\neq 0$ 对于任何实数$a,a\neq 0$	$a\cdot 0=0$ $0\cdot a=0$ $\frac{0}{a} = 0$ $\frac{a}{0}$未定义

关键概念

• 的交换属性
  • 加法：如果 a, b 是实数，那么$a+b=b+a$。
  • 乘法：如果 a，b 是实数，那么$a\cdot b=b\cdot a$。 相加或乘法时，更改顺序会得到相同的结果。
• 的关联属性
  • 加法：如果 a、b、c 是实数，那么$(a+b)+c=a+(b+c)$。
  • 乘法：如果 a、b、c 是实数，那么$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$。
    相加或乘法时，更改分组会得到相同的结果。
• 分布特性：如果 a、b、c 是实数，则
  • $a(b+c)=ab+ac$
  • $(b+c)a=ba+ca$
  • $a(b-c)=ab-ac$
  • $(b+c)a=ba-ca$
• 身份财产
  • 加法：对于任何实数 a:$a+0=a$
    0 是加法恒等式
  • 乘法：对于任何实数 a:$a\cdot 1=a \quad 1·a=a$
    1 1 是乘法恒等式
• 反向属性
  • 加法：适用于任何实数$a, a+(−a)=0$。 一个数字及其相反的数字相加为零。 $−a$是 a 的加法逆数。
  • 乘法：适用于任何实数$a,(a\neq 0)a\cdot\frac{1}{a}=1$。 一个数字及其倒数乘以一。 $\frac{1}{a}$是 a 的乘法逆数。
• 零的属性
  • 对于任何实数 a，
    $a\cdot 0=0 \quad 0·a=0$— 任意实数和 0 的乘积为 0。
  • $\frac{0}{a}=0$for$a\neq 0$ — 零除以除零之外的任何实数等于零。
  • $\frac{a}{0}$未定义 — 除以零表示未定义。