1.7：加减分数
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- 205082
在本节结束时，您将能够：
- 用公分母加上或减去分数
- 加上或减去具有不同分母的分数
- 使用运算顺序简化复杂分数
- 使用分数计算变量表达式
对本节所涵盖主题的更详尽的介绍可以在 Prealgebra 章节 “分数” 中找到。
用公分母加上或减去分数
当我们乘以分数时，我们只是将分子相乘，然后将分母直接相乘。 要加上或减去分数，它们必须有一个公分母。
如果\(a,b\)、和\(c\)是数字\(c\neq 0\)，其中，那么
\[\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c} \quad \text{and} \quad \dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a - b}{c}\]
要加上或减去分数，请将分子相加或减去，然后将结果置于公分母之上。
进行操纵数学活动 “模型分数加法” 和 “模型分数减法” 将有助于你更好地理解加减分数。
找到总和:\(\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{3}\).
- 回答
-
\[\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{3}} \\ {\text{Add the numerators and place the sum over the common denominator}} &{\dfrac{x + 2}{3}} \end{array}\]
找到总和:\(\dfrac{x}{4} + \dfrac{3}{4}\).
- 回答
-
\(\dfrac{x + 3}{4}\)
找到总和:\(\dfrac{y}{8} + \dfrac{5}{8}\).
- 回答
-
\(\dfrac{y + 5}{8}\)
找出区别：\(-\dfrac{23}{24} - \dfrac{13}{24}\)
- 回答
-
\[\begin{array} {ll} {} &{-\dfrac{23}{24} - \dfrac{13}{24}} \\ {\text{Subtract the numerators and place the }} &{\dfrac{-23 - 13}{24}} \\ {\text{difference over the common denominator}} &{} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{-36}{24}} \\ {\text{Simplify. Remember, }-\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b}} &{-\dfrac{3}{2}} \end{array}\]
找出区别：\(-\dfrac{19}{28} - \dfrac{7}{28}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{26}{28}\)
找出区别：\(-\dfrac{27}{32} - \dfrac{1}{32}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{7}{8}\)
找出区别：\(-\dfrac{10}{x} - \dfrac{4}{x}\)
- 回答
-
\[\begin{array} {ll} {} &{-\dfrac{10}{x} - \dfrac{4}{x}} \\ {\text{Subtract the numerators and place the }} &{\dfrac{-14}{x}} \\ {\text{difference over the common denominator}} &{} \\ {\text{Rewrite with the sign in front of the fraction.}} &{-\dfrac{14}{x}} \end{array}\]
找出区别：\(-\dfrac{9}{x} - \dfrac{7}{x}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{16}{x}\)
找出区别：\(-\dfrac{17}{a} - \dfrac{5}{a}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{22}{a}\)
简化：\(\dfrac{3}{8} + (-\dfrac{5}{8}) - \dfrac{1}{8}\)
- 回答
-
\[\begin{array} {ll} {\text{Add and Subtract fractions — do they have a }} &{\frac{3}{8} + (-\frac{5}{8}) - \frac{1}{8}} \\ {\text{common denominator? Yes.}} &{} \\ {\text{Add and subtract the numerators and place }} &{\frac{3 + (-5) - 1}{8}} \\ {\text{the result over the common denominator.}} &{} \\ {\text{Simplify left to right.}} &{\frac{-2 - 1}{8}} \\ {\text{Simplify.}} &{-\frac{3}{8}} \end{array}\]
简化：\(\dfrac{2}{9} + (-\dfrac{4}{9}) - \dfrac{7}{9}\)
- 回答
-
\(-1\)
简化：\(\dfrac{2}{5} + (-\dfrac{4}{9}) - \dfrac{7}{9}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{2}{3}\)
加上或减去具有不同分母的分数
如我们所见，要加上或减去分数，它们的分母必须相同。 两个分数的最小公分母 (LCD) 是可用作分数公分母的最小数字。 两个分数的 LCD 是其分母的最小公倍数 (LCM)。
两个分数的最小公分母 (LCD) 是其分母的最小公倍数 (LCM)。
进行操纵数学活动 “寻找最小公分母” 将有助于你更好地理解 LCD。
在我们找到两个分数的最小公分母之后，我们将这些分数转换为使用 LCD 的等效分数。 将这些步骤组合在一起可以让我们加上和减去分数，因为它们的分母将是一样的！
添加：\(\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{18}\)
- 回答
-
添加：\(\dfrac{7}{12} + \dfrac{11}{15}\)
- 回答
-
\(\dfrac{79}{60}\)
添加：\(\dfrac{7}{12} + \dfrac{11}{15}\)
- 回答
-
\(\dfrac{103}{60}\)
- 他们有共同点吗？
- 是-转到步骤 2。
- 否-使用 LCD（最小公分母）重写每个分数。 找到液晶屏。 将每个分数更改为等效分数，以 LCD 为其分母。
- 加上或减去分数。
- 如果可能，请简化。
在找到创建公分母所需的等效分数时，有一种快速的方法可以找到将分子和分母相乘所需的数字。 如果我们通过分解素数找到液晶屏，则此方法有效。
查看液晶屏的因素，然后查看这些因素上方的每一列。 每个分母的 “缺失” 因子是我们需要的数字。
在练习中\(\PageIndex{13}\)，36的液晶屏有两个因子为2，两个因子为3。
分子 12 有两个因子 2 但只有 3 个因子中的一个，所以它 “缺失” 了一个 3，我们将分子和分母乘以 3。
分子 18 缺少一个系数 2，所以我们将分子和分母乘以 2。
我们将在练习中减去分数时应用此方法\(\PageIndex{16}\)。
减去：\(\dfrac{7}{15} - \dfrac{19}{24}\)
- 回答
-
分数有共同点吗？ 不，所以我们需要找到液晶屏。
找到液晶屏。 
注意，15 表示 “缺失” 液晶屏因子中的三个因子 2，24 表示 “缺失” 液晶屏因子中的 5。 因此，我们在第一个分数中乘以 8，在第二个分数中乘以 5 得到 LCD。 用液晶屏重写为等效分数。 
简化。 
减去。 \(-\dfrac{39}{120}\) 检查答案是否可以简化。 \(-\dfrac{13\cdot3}{40\cdot3}\) 39 和 120 的系数均为 3。 简化。 \(-\dfrac{13}{40}\) 不要简化等效分数！ 如果你这样做，你就会回到原来的分数并失去公分母！
减去：\(\dfrac{13}{24} - \dfrac{17}{32}\)
- 回答
-
\(\dfrac{1}{96}\)
减去：\(\dfrac{7}{15} - \dfrac{19}{24}\)
- 回答
-
\(\dfrac{75}{224}\)
在下一个示例中，其中一个分数的分子中有一个变量。 请注意，我们执行的步骤与两个分子都是数字时相同。
添加：\(\dfrac{3}{5} + \dfrac{x}{8}\)
- 回答
-
分数有不同的分母。
找到液晶屏。 
用液晶屏重写为等效分数。 
简化。 
添加。 
请记住，我们只能添加相似的术语：\(24\)而不能添加\(5x\)相似的术语。
添加：\(\dfrac{y}{6} + \dfrac{7}{9}\)
- 回答
-
\(\dfrac{3y + 14}{18}\)
添加：\(\dfrac{x}{6} + \dfrac{7}{15}\)
- 回答
-
\(\dfrac{15x + 42}{153}\)
现在，我们有了分数的所有四个运算。 表\(\PageIndex{1}\)汇总了分数运算。
| 分数乘法 | 分数除法 |
| \(\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}\) 将分子相乘然后乘以分母 |
\(\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}\) 将第一个分数乘以第二个分数的倒数。 |
| 分数加法 | 分数减法 |
| \(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}\) 将分子相加，然后将总和放在公分母上。 |
\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}\) 减去分子，然后将差值放在公分母上。 |
| 要乘以或除以分数，则不需要 LCD。 要加上或减去分数，需要液晶显示屏。 | |
简化：
- \(\dfrac{5x}{6} - \dfrac{3}{10}\)
- \(\dfrac{5x}{6}\cdot \dfrac{3}{10}\)。
- 回答
-
首先问：“手术是什么？” 一旦我们确定了将决定我们是否需要共同分母的运算。 请记住，我们需要一个公分母来加或减，但不是乘法或除法。
1。 这是什么手术？ 运算是减法。
\[\begin{array} {ll} {\text{Do the fractions have a common denominator? No.}} &{\frac{5x}{6} - \frac{3}{10}} \\ {\text{Rewrite each fractions as an equivalent fraction with the LCD.}} &{\frac{5x\cdot 5}{6\cdot 5} - \frac{3\cdot3}{10\cdot3}} \\ {} &{\frac{25x}{30} - \frac{9}{30}} \\{\text{Subtract the numerators and place the difference over the}} &{\frac{25x - 9}{30}} \\ {\text{common denominators.}} &{} \\ {\text{Simplify, if possible. There are no common factors.}} &{} \\ {\text{The fraction is simplified.}} &{} \end{array}\]
2。 这是什么手术？ 乘法。
\[\begin{array} {ll} {} &{\frac{5x}{6}\cdot \frac{3}{10}} \\ {\text{To multiply fractions, multiply the numerators and multiply}} &{\frac{5x\cdot 3}{6\cdot 10}} \\ {\text{the denominators}} &{} \\{\text{Rewrite, showing common factors.}} &{\frac{\not 5 x\cdot\not3}{2\cdot\not3\cdot2\cdot\not5}} \\ {\text{common denominators.}} &{} \\ {\text{Simplify.}} &{\frac{x}{4}} \end{array}\]
简化：
- \(\dfrac{3a}{4} - \dfrac{8}{9}\)
- \(\dfrac{3a}{4}\cdot\dfrac{8}{9}\)
- 回答
-
- \(\dfrac{27a - 32}{36}\)
- \(\dfrac{2a}{3}\)
简化：
- \(\dfrac{4k}{5} - \dfrac{1}{6}\)
- \(\dfrac{4k}{5}\cdot\dfrac{1}{6}\)
- 回答
-
- \(\dfrac{24k - 5}{30}\)
- \(\dfrac{2k}{15}\)
使用运算顺序简化复杂分数
我们已经看到，复数分数是其中分子或分母包含分数的分数。 分数条表示除法。 我们\(\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}\)通过除以简化了复数\(\dfrac{3}{4}\)分数\(\dfrac{5}{8}\)。
现在我们来看一下复杂的分数，其中分子或分母包含可以简化的表达式。 因此，我们首先必须使用运算顺序完全分别简化分子和分母。 然后我们将分子除以分母。
简化：\(\dfrac{(\frac{1}{2})^{2}}{4 + 3^{2}}\)
- 回答
-
简化：\(\dfrac{(\frac{1}{3})^{2}}{2^{3} + 2}\)
- 回答
-
\(\dfrac{1}{90}\)
简化：\(\dfrac{1 + 4^{2}}{(\frac{1}{4})^{2}}\)
- 回答
-
\(272\)
- 简化分子。
- 简化分母。
- 将分子除以分母。 尽可能简化。
简化：\(\dfrac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{6}}\)
- 回答
-
\[\begin{array} {ll} {} &{\frac{(\frac{1}{2} + \frac{2}{3})}{(\frac{3}{4} - \frac{1}{6})}} \\ {\text{Simplify the numerator (LCD = 6) and simplify the denominator (LCD = 12).}} &{\frac{(\frac{3}{6} + \frac{4}{6})}{(\frac{9}{12} - \frac{2}{12})}} \\ {\text{Simplify.}} &{\frac{(\frac{7}{6})}{(\frac{7}{12})}} \\{\text{Divide the numerator by the denominator.}} &{\frac{7}{6}\div\frac{7}{12}} \\ {\text{Simplify.}} &{\frac{7}{6}\cdot\frac{12}{7}} \\ {\text{Divide out common factors.}} &{\frac{7\cdot6\cdot2}{6\cdot7}} \\ {\text{Simplify.}} &{2} \end{array}\]
简化：\(\dfrac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{3}}\)
- 回答
-
\(2\)
简化：\(\dfrac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}}\)
- 回答
-
\(\dfrac{2}{7}\)
使用分数计算变量表达式
我们以前计算过表达式，但现在我们可以用分数计算表达式了。 请记住，要计算表达式，我们要将变量的值替换为表达式，然后进行简化。
\(x + \dfrac{1}{3}\)在何时进行评估
- \(x = -\dfrac{1}{3}\)
- \(x = -\dfrac{3}{4}\)
- 回答
-
1。 要计算\(x + \dfrac{1}{3}\)时间\(x = -\dfrac{1}{3}\)，请在表达\(-\dfrac{1}{3}\)式\(x\)中替换。
简化。 \(0\)
2。 要计算\(x + \dfrac{1}{3}\)时间\(x = -\dfrac{3}{4}\)，请在表达\(-\dfrac{3}{4}\)式\(x\)中替换。
用液晶屏重写为等效分数，12。 
简化。 
添加。 \(-\dfrac{5}{12}\)
\(x + \dfrac{3}{4}\)在何时进行评估
- \(x = -\dfrac{7}{4}\)
- \(x = -\dfrac{5}{4}\)
- 回答
-
- \(-1\)
- \(-\dfrac{1}{2}\)
\(y + \dfrac{1}{2}\)在何时进行评估
- \(y = \dfrac{2}{3}\)
- \(y = -\dfrac{3}{4}\)
- 回答
-
- \(\dfrac{7}{6}\)
- \(-\dfrac{1}{12}\)
评估\(-\dfrac{5}{6} - y\)时间\(y = -\dfrac{2}{3}\)
- 回答
-
用液晶屏重写为等效分数\(6\)。 
减去。 
简化。 \(-\dfrac{1}{6}\)
评估\(y + \dfrac{1}{2}\)时间\(y = \dfrac{2}{3}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{1}{4}\)
评估\(y + \dfrac{1}{2}\)时间\(y = \dfrac{2}{3}\)
- 回答
-
\(-\dfrac{17}{8}\)
评估\(2x^{2}y\)何时\(x = \dfrac{1}{4}\)和\(y = -\dfrac{2}{3}\)。
- 回答
-
将值替换到表达式中。
\(2x^{2}y\) 
首先简化指数。 \(2(\frac{1}{16})(-\frac{2}{3})\) 乘以。 除去常见因素。 请注意，我们写\(16\)\(2\cdot2\cdot4\)的目的是为了便于删除 \(-\frac{\not2\cdot1\cdot\not2}{\not2\cdot\not2\cdot4\cdot3}\) 简化。 \(-\frac{1}{12}\)
评估\(3ab^{2}\)何时\(a = -\dfrac{2}{3}\)和\(b = -\dfrac{1}{2}\)。
- 回答
-
\(-\dfrac{1}{2}\)
评估\(4c^{3}d\)何时\(c = -\dfrac{1}{2}\)和\(d = -\dfrac{4}{3}\)。
- 回答
-
\(\dfrac{2}{3}\)
下一个示例将只有变量，没有常量。
评估\(\dfrac{p + q}{r}\)时间\(p = -4, q = -2\)、和\(r = 8\)。
- 回答
-
为了计算\(\dfrac{p + q}{r}\) w\(p = -4, q = -2\) hen 和\(r = 8\)，我们将这些值替换为表达式。
\(\dfrac{p + q}{r}\) 
先添加分子。 \(\dfrac{-6}{8}\) 简化。 \(-\dfrac{3}{4}\)
评估\(\dfrac{a+b}{c}\)时间\(a = -8, b = -7\)、和\(c = 6\)。
- 回答
-
\(-\dfrac{5}{2}\)
评估\(\dfrac{x+y}{z}\)时间\(x = 9, y = -18\)、和\(z = -6\)。
- 回答
-
\(\dfrac{3}{2}\)
关键概念
- 分数加法和减法：如果\(a, b\)和\(c\)是数字\(c\neq 0\)，那么
\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}\)和\(\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}\)
要加或减分数，请将分子相加或减去，然后将结果置于公分母之上。
- 加减分数的策略
- 他们有共同点吗？
是-转到步骤 2。
否-使用 LCD（最小公分母）重写每个分数。 找到液晶屏。 将每个分数更改为等效分数，以 LCD 为其分母。 - 加上或减去分数。
- 如果可能，请简化。 要乘以或除分数，不需要使用液晶屏。 要加上或减去分数，需要使用液晶屏。
- 他们有共同点吗？
- 简化复杂分数
- 简化分子。
- 简化分母。
- 将分子除以分母。 尽可能简化。