1.7：加减分数

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 用公分母加上或减去分数
• 加上或减去具有不同分母的分数
• 使用运算顺序简化复杂分数
• 使用分数计算变量表达式

注意

对本节所涵盖主题的更详尽的介绍可以在 Prealgebra 章节 “分数” 中找到。

用公分母加上或减去分数

当我们乘以分数时，我们只是将分子相乘，然后将分母直接相乘。 要加上或减去分数，它们必须有一个公分母。

分数加法和减法

如果$a,b$、和$c$是数字$c\neq 0$，其中，那么

$$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c} \quad \text{and} \quad \dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a - b}{c}$$

要加上或减去分数，请将分子相加或减去，然后将结果置于公分母之上。

操纵数学

进行操纵数学活动 “模型分数加法” 和 “模型分数减法” 将有助于你更好地理解加减分数。

练习$\PageIndex{1}$

找到总和:$\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{3}$.

回答

$$\begin{array} {ll} {} &{\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{3}} \\ {\text{Add the numerators and place the sum over the common denominator}} &{\dfrac{x + 2}{3}} \end{array}$$

练习$\PageIndex{2}$

找到总和:$\dfrac{x}{4} + \dfrac{3}{4}$.

回答

$\dfrac{x + 3}{4}$

练习$\PageIndex{3}$

找到总和:$\dfrac{y}{8} + \dfrac{5}{8}$.

回答

$\dfrac{y + 5}{8}$

练习$\PageIndex{4}$

找出区别：$-\dfrac{23}{24} - \dfrac{13}{24}$

回答

$$\begin{array} {ll} {} &{-\dfrac{23}{24} - \dfrac{13}{24}} \\ {\text{Subtract the numerators and place the }} &{\dfrac{-23 - 13}{24}} \\ {\text{difference over the common denominator}} &{} \\ {\text{Simplify.}} &{\dfrac{-36}{24}} \\ {\text{Simplify. Remember, }-\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b}} &{-\dfrac{3}{2}} \end{array}$$

练习$\PageIndex{5}$

找出区别：$-\dfrac{19}{28} - \dfrac{7}{28}$

回答

$-\dfrac{26}{28}$

练习$\PageIndex{6}$

找出区别：$-\dfrac{27}{32} - \dfrac{1}{32}$

回答

$-\dfrac{7}{8}$

练习$\PageIndex{7}$

找出区别：$-\dfrac{10}{x} - \dfrac{4}{x}$

回答

$$\begin{array} {ll} {} &{-\dfrac{10}{x} - \dfrac{4}{x}} \\ {\text{Subtract the numerators and place the }} &{\dfrac{-14}{x}} \\ {\text{difference over the common denominator}} &{} \\ {\text{Rewrite with the sign in front of the fraction.}} &{-\dfrac{14}{x}} \end{array}$$

练习$\PageIndex{8}$

找出区别：$-\dfrac{9}{x} - \dfrac{7}{x}$

回答

$-\dfrac{16}{x}$

练习$\PageIndex{9}$

找出区别：$-\dfrac{17}{a} - \dfrac{5}{a}$

回答

$-\dfrac{22}{a}$

现在我们将举一个既有加法又有减法的例子。

练习$\PageIndex{10}$

简化：$\dfrac{3}{8} + (-\dfrac{5}{8}) - \dfrac{1}{8}$

回答

$$\begin{array} {ll} {\text{Add and Subtract fractions — do they have a }} &{\frac{3}{8} + (-\frac{5}{8}) - \frac{1}{8}} \\ {\text{common denominator? Yes.}} &{} \\ {\text{Add and subtract the numerators and place }} &{\frac{3 + (-5) - 1}{8}} \\ {\text{the result over the common denominator.}} &{} \\ {\text{Simplify left to right.}} &{\frac{-2 - 1}{8}} \\ {\text{Simplify.}} &{-\frac{3}{8}} \end{array}$$

练习$\PageIndex{11}$

简化：$\dfrac{2}{9} + (-\dfrac{4}{9}) - \dfrac{7}{9}$

回答

$-1$

练习$\PageIndex{12}$

简化：$\dfrac{2}{5} + (-\dfrac{4}{9}) - \dfrac{7}{9}$

回答

$-\dfrac{2}{3}$

加上或减去具有不同分母的分数

如我们所见，要加上或减去分数，它们的分母必须相同。 两个分数的最小公分母 (LCD) 是可用作分数公分母的最小数字。 两个分数的 LCD 是其分母的最小公倍数 (LCM)。

最小公分母

两个分数的最小公分母 (LCD) 是其分母的最小公倍数 (LCM)。

注意

进行操纵数学活动 “寻找最小公分母” 将有助于你更好地理解 LCD。

在我们找到两个分数的最小公分母之后，我们将这些分数转换为使用 LCD 的等效分数。 将这些步骤组合在一起可以让我们加上和减去分数，因为它们的分母将是一样的！

练习$\PageIndex{13}$

添加：$\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{18}$

回答

练习$\PageIndex{14}$

添加：$\dfrac{7}{12} + \dfrac{11}{15}$

回答

$\dfrac{79}{60}$

练习$\PageIndex{15}$

添加：$\dfrac{7}{12} + \dfrac{11}{15}$

回答

$\dfrac{103}{60}$

加上或减去分数。

1. 他们有共同点吗？
   • 是-转到步骤 2。
   • 否-使用 LCD（最小公分母）重写每个分数。 找到液晶屏。 将每个分数更改为等效分数，以 LCD 为其分母。
2. 加上或减去分数。
3. 如果可能，请简化。

在找到创建公分母所需的等效分数时，有一种快速的方法可以找到将分子和分母相乘所需的数字。 如果我们通过分解素数找到液晶屏，则此方法有效。

查看液晶屏的因素，然后查看这些因素上方的每一列。 每个分母的 “缺失” 因子是我们需要的数字。

图：$\PageIndex{1}$

在练习中$\PageIndex{13}$，36的液晶屏有两个因子为2，两个因子为3。

分子 12 有两个因子 2 但只有 3 个因子中的一个，所以它 “缺失” 了一个 3，我们将分子和分母乘以 3。

分子 18 缺少一个系数 2，所以我们将分子和分母乘以 2。

我们将在练习中减去分数时应用此方法$\PageIndex{16}$。

练习$\PageIndex{16}$

减去：$\dfrac{7}{15} - \dfrac{19}{24}$

回答

分数有共同点吗？ 不，所以我们需要找到液晶屏。

找到液晶屏。
注意，15 表示 “缺失” 液晶屏因子中的三个因子 2，24 表示 “缺失” 液晶屏因子中的 5。 因此，我们在第一个分数中乘以 8，在第二个分数中乘以 5 得到 LCD。
用液晶屏重写为等效分数。
简化。
减去。	$-\dfrac{39}{120}$
检查答案是否可以简化。	$-\dfrac{13\cdot3}{40\cdot3}$
39 和 120 的系数均为 3。
简化。	$-\dfrac{13}{40}$

不要简化等效分数！ 如果你这样做，你就会回到原来的分数并失去公分母！

练习$\PageIndex{17}$

减去：$\dfrac{13}{24} - \dfrac{17}{32}$

回答

$\dfrac{1}{96}$

练习$\PageIndex{18}$

减去：$\dfrac{7}{15} - \dfrac{19}{24}$

回答

$\dfrac{75}{224}$

在下一个示例中，其中一个分数的分子中有一个变量。 请注意，我们执行的步骤与两个分子都是数字时相同。

练习$\PageIndex{19}$

添加：$\dfrac{3}{5} + \dfrac{x}{8}$

回答

分数有不同的分母。

找到液晶屏。
用液晶屏重写为等效分数。
简化。
添加。

请记住，我们只能添加相似的术语：$24$而不能添加\(5x\)相似的术语。

练习$\PageIndex{20}$

添加：$\dfrac{y}{6} + \dfrac{7}{9}$

回答

$\dfrac{3y + 14}{18}$

练习$\PageIndex{21}$

添加：$\dfrac{x}{6} + \dfrac{7}{15}$

回答

$\dfrac{15x + 42}{153}$

现在，我们有了分数的所有四个运算。 表$\PageIndex{1}$汇总了分数运算。

桌子$\PageIndex{1}$

分数乘法	分数除法
$\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ 将分子相乘然后乘以分母	$\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$ 将第一个分数乘以第二个分数的倒数。
分数加法	分数减法
$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}$ 将分子相加，然后将总和放在公分母上。	$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}$ 减去分子，然后将差值放在公分母上。
要乘以或除以分数，则不需要 LCD。 要加上或减去分数，需要液晶显示屏。

练习$\PageIndex{22}$

简化：

1. $\dfrac{5x}{6} - \dfrac{3}{10}$
2. $\dfrac{5x}{6}\cdot \dfrac{3}{10}$。

回答

首先问：“手术是什么？” 一旦我们确定了将决定我们是否需要共同分母的运算。 请记住，我们需要一个公分母来加或减，但不是乘法或除法。

1。 这是什么手术？ 运算是减法。

$$\begin{array} {ll} {\text{Do the fractions have a common denominator? No.}} &{\frac{5x}{6} - \frac{3}{10}} \\ {\text{Rewrite each fractions as an equivalent fraction with the LCD.}} &{\frac{5x\cdot 5}{6\cdot 5} - \frac{3\cdot3}{10\cdot3}} \\ {} &{\frac{25x}{30} - \frac{9}{30}} \\{\text{Subtract the numerators and place the difference over the}} &{\frac{25x - 9}{30}} \\ {\text{common denominators.}} &{} \\ {\text{Simplify, if possible. There are no common factors.}} &{} \\ {\text{The fraction is simplified.}} &{} \end{array}$$

2。 这是什么手术？ 乘法。

$$\begin{array} {ll} {} &{\frac{5x}{6}\cdot \frac{3}{10}} \\ {\text{To multiply fractions, multiply the numerators and multiply}} &{\frac{5x\cdot 3}{6\cdot 10}} \\ {\text{the denominators}} &{} \\{\text{Rewrite, showing common factors.}} &{\frac{\not 5 x\cdot\not3}{2\cdot\not3\cdot2\cdot\not5}} \\ {\text{common denominators.}} &{} \\ {\text{Simplify.}} &{\frac{x}{4}} \end{array}$$

练习$\PageIndex{23}$

简化：

1. $\dfrac{3a}{4} - \dfrac{8}{9}$
2. $\dfrac{3a}{4}\cdot\dfrac{8}{9}$

回答

1. $\dfrac{27a - 32}{36}$
2. $\dfrac{2a}{3}$

练习$\PageIndex{24}$

简化：

1. $\dfrac{4k}{5} - \dfrac{1}{6}$
2. $\dfrac{4k}{5}\cdot\dfrac{1}{6}$

回答

1. $\dfrac{24k - 5}{30}$
2. $\dfrac{2k}{15}$

使用运算顺序简化复杂分数

我们已经看到，复数分数是其中分子或分母包含分数的分数。 分数条表示除法。 我们$\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}$通过除以简化了复数$\dfrac{3}{4}$分数$\dfrac{5}{8}$。

现在我们来看一下复杂的分数，其中分子或分母包含可以简化的表达式。 因此，我们首先必须使用运算顺序完全分别简化分子和分母。 然后我们将分子除以分母。

练习$\PageIndex{25}$: How to simplify complex fractions

简化：$\dfrac{(\frac{1}{2})^{2}}{4 + 3^{2}}$

回答

练习$\PageIndex{26}$

简化：$\dfrac{(\frac{1}{3})^{2}}{2^{3} + 2}$

回答

$\dfrac{1}{90}$

练习$\PageIndex{27}$

简化：$\dfrac{1 + 4^{2}}{(\frac{1}{4})^{2}}$

回答

$272$

简化复杂分数。

1. 简化分子。
2. 简化分母。
3. 将分子除以分母。 尽可能简化。

练习$\PageIndex{28}$

简化：$\dfrac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{6}}$

回答

$$\begin{array} {ll} {} &{\frac{(\frac{1}{2} + \frac{2}{3})}{(\frac{3}{4} - \frac{1}{6})}} \\ {\text{Simplify the numerator (LCD = 6) and simplify the denominator (LCD = 12).}} &{\frac{(\frac{3}{6} + \frac{4}{6})}{(\frac{9}{12} - \frac{2}{12})}} \\ {\text{Simplify.}} &{\frac{(\frac{7}{6})}{(\frac{7}{12})}} \\{\text{Divide the numerator by the denominator.}} &{\frac{7}{6}\div\frac{7}{12}} \\ {\text{Simplify.}} &{\frac{7}{6}\cdot\frac{12}{7}} \\ {\text{Divide out common factors.}} &{\frac{7\cdot6\cdot2}{6\cdot7}} \\ {\text{Simplify.}} &{2} \end{array}$$

练习$\PageIndex{29}$

简化：$\dfrac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{3}}$

回答

$2$

练习$\PageIndex{30}$

简化：$\dfrac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}}$

回答

$\dfrac{2}{7}$

使用分数计算变量表达式

我们以前计算过表达式，但现在我们可以用分数计算表达式了。 请记住，要计算表达式，我们要将变量的值替换为表达式，然后进行简化。

练习$\PageIndex{31}$

$x + \dfrac{1}{3}$在何时进行评估

1. $x = -\dfrac{1}{3}$
2. $x = -\dfrac{3}{4}$

回答

1。 要计算$x + \dfrac{1}{3}$时间$x = -\dfrac{1}{3}$，请在表达$-\dfrac{1}{3}$式$x$中替换。

简化。	$0$

2。 要计算$x + \dfrac{1}{3}$时间$x = -\dfrac{3}{4}$，请在表达$-\dfrac{3}{4}$式$x$中替换。

用液晶屏重写为等效分数，12。
简化。
添加。	$-\dfrac{5}{12}$

练习$\PageIndex{32}$

$x + \dfrac{3}{4}$在何时进行评估

1. $x = -\dfrac{7}{4}$
2. $x = -\dfrac{5}{4}$

回答

1. $-1$
2. $-\dfrac{1}{2}$

练习$\PageIndex{33}$

$y + \dfrac{1}{2}$在何时进行评估

1. $y = \dfrac{2}{3}$
2. $y = -\dfrac{3}{4}$

回答

1. $\dfrac{7}{6}$
2. $-\dfrac{1}{12}$

练习$\PageIndex{34}$

评估$-\dfrac{5}{6} - y$时间$y = -\dfrac{2}{3}$

回答

用液晶屏重写为等效分数$6$。
减去。
简化。	$-\dfrac{1}{6}$

练习$\PageIndex{35}$

评估$y + \dfrac{1}{2}$时间$y = \dfrac{2}{3}$

回答

$-\dfrac{1}{4}$

练习$\PageIndex{36}$

评估$y + \dfrac{1}{2}$时间$y = \dfrac{2}{3}$

回答

$-\dfrac{17}{8}$

练习$\PageIndex{37}$

评估$2x^{2}y$何时$x = \dfrac{1}{4}$和$y = -\dfrac{2}{3}$。

回答

将值替换到表达式中。

	$2x^{2}y$
首先简化指数。	$2(\frac{1}{16})(-\frac{2}{3})$
乘以。 除去常见因素。 请注意，我们写$16$$2\cdot2\cdot4$的目的是为了便于删除	$-\frac{\not2\cdot1\cdot\not2}{\not2\cdot\not2\cdot4\cdot3}$
简化。	$-\frac{1}{12}$

练习$\PageIndex{38}$

评估$3ab^{2}$何时$a = -\dfrac{2}{3}$和$b = -\dfrac{1}{2}$。

回答

$-\dfrac{1}{2}$

练习$\PageIndex{39}$

评估$4c^{3}d$何时$c = -\dfrac{1}{2}$和$d = -\dfrac{4}{3}$。

回答

$\dfrac{2}{3}$

下一个示例将只有变量，没有常量。

练习$\PageIndex{40}$

评估$\dfrac{p + q}{r}$时间$p = -4, q = -2$、和$r = 8$。

回答

为了计算$\dfrac{p + q}{r}$ w$p = -4, q = -2$ hen 和$r = 8$，我们将这些值替换为表达式。

	$\dfrac{p + q}{r}$
先添加分子。	$\dfrac{-6}{8}$
简化。	$-\dfrac{3}{4}$

练习$\PageIndex{41}$

评估$\dfrac{a+b}{c}$时间$a = -8, b = -7$、和$c = 6$。

回答

$-\dfrac{5}{2}$

练习$\PageIndex{42}$

评估$\dfrac{x+y}{z}$时间$x = 9, y = -18$、和$z = -6$。

回答

$\dfrac{3}{2}$

关键概念

• 分数加法和减法：如果$a, b$和$c$是数字$c\neq 0$，那么
  $\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}$和$\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}$
  要加或减分数，请将分子相加或减去，然后将结果置于公分母之上。
  
• 加减分数的策略
  1. 他们有共同点吗？
     是-转到步骤 2。
     否-使用 LCD（最小公分母）重写每个分数。 找到液晶屏。 将每个分数更改为等效分数，以 LCD 为其分母。
  2. 加上或减去分数。
  3. 如果可能，请简化。 要乘以或除分数，不需要使用液晶屏。 要加上或减去分数，需要使用液晶屏。
     
• 简化复杂分数
  1. 简化分子。
  2. 简化分母。
  3. 将分子除以分母。 尽可能简化。