1.5: 整数的乘法和除法
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- 205034
在本节结束时，您将能够：
- 将整数相乘
- 除以整数
- 使用整数简化表达式
- 使用整数计算变量表达式
- 将英语短语翻译成代数表达式
- 在应用程序中使用整数
对本节所涵盖主题的更详尽的介绍可以在 Prealgebra 章节 “整数” 中找到。
将整数相乘
由于乘法是重复加法的数学简写，因此我们的模型可以很容易地应用于显示整数的乘法。 让我们来看看这个具体的模型，看看我们注意到了什么模式。 我们将使用与加法和减法相同的示例。 在这里，我们将使用模型来帮助我们发现模式。
我们记得\(a\cdot b\)这意味着增加\(a,\, b\)时间。 在这里，我们使用模型只是为了帮助我们发现模式。
接下来的两个例子更有趣。
乘以是什么意\(5\)思\(−3\)？ 这意味着减去\(5, 3\)时间。 将减法视为 “带走”，这意味着带走\(5, 3\)时间。 但是没有什么可带走的，所以我们首先在工作空间中添加中性对。 然后我们带走\(5\)三遍。
总而言之：
\[\begin{array} {ll} {5 \cdot 3 = 15} &{-5(3) = -15} \\ {5(-3) = -15} &{(-5)(-3) = 15} \end{array}\]
请注意，要将两个有符号数字相乘，当：
- 体征相同，产品呈阳性。
- 迹象不同，产品为阴性。
我们将在下面的图表中将所有这些汇总在一起。
对于两个有符号数字的乘法：
| 同样的迹象 | 产品 | 示例 |
|---|---|---|
| 两个积极的方面 | 阳性 | \(7\cdot 4 = 28\) |
| 两张底片 | 阳性 | \(-8(-6) = 48\) |
| 不同的迹象 | 产品 | 示例 |
|---|---|---|
| 正\(\cdot\)面负面 | 负面 | \(7(-9) = -63\) |
| 负面\(\cdot\)阳性 | 负面 | \(-5\cdot 10= -50\) |
乘以：
- \(-9\cdot 3\)
- \(-2(-5)\)
- \(4(-8)\)
- \(7\cdot 6\)
- 回答
-
- \[\begin{array} {ll} {} &{-9\cdot 3} \\ {\text{Multiply, noting that the signs are different, so the product is negative.}} &{-27} \end{array}\]
- \[\begin{array} {ll} {} &{-2(-5)} \\ {\text{Multiply, noting that the signs are same, so the product is positive.}} &{10} \end{array}\]
- \[\begin{array} {ll} {} &{4(-8)} \\ {\text{Multiply, with different signs.}} &{-32} \end{array}\]
- \[\begin{array} {ll} {} &{7\cdot 6} \\ {\text{Multiply, with different signs.}} &{42} \end{array}\]
乘以：
- \(-6\cdot 8\)
- \(-4(-7)\)
- \(9(-7)\)
- \(5\cdot 12\)
- 回答
-
- \(-48\)
- \(28\)
- \(-63\)
- \(60\)
乘以：
- \(-8\cdot 7\)
- \(-6(-9)\)
- \(7(-4)\)
- \(3\cdot 13\)
- 回答
-
- \(-56\)
- \(54\)
- \(-28\)
- \(39\)
当我们将一个数字乘以时\(1\)，结果是相同的数字。 当我们将一个数字乘以时会发生\(−1\)什么？ 让我们先将一个正数和一个负数乘\(−1\)以看看我们得到什么。
\[\begin{array} {lll} {} &{-1\cdot 4} &{-1(-3)}\\ {\text{Multiply.}} &{-4} &{3} \\ {} &{-4\text{ is the opposite of 4.}} &{3\text{ is the opposite of } -3} \end{array}\]
每当我们将一个数字乘以时\(−1\)，我们就会得到相反的数字！
乘以 −1
\[−1a=−a\]
将数字乘以得\(−1\)出相反的结果。
乘以：
- \(-1 \cdot 7\)
- \(-1(-11)\)
- 回答
-
- \[\begin{array} {ll} {} &{-1\cdot 7} \\ {\text{Multiply, noting that the signs are different}} &{-7} \\ {\text{so the product is negative.}} &{-7\text{ is the opposite of 7.}} \end{array}\]
- \[\begin{array} {ll} {} &{-1(-11)} \\ {\text{Multiply, noting that the signs are different}} &{11} \\ {\text{so the product is positive.}} &{11\text{ is the opposite of -11.}} \end{array}\]
乘以：
- \(-1\cdot 9\)
- \(-1\cdot(-17)\)
- 回答
-
- \(-9\)
- \(17\)
乘以：
- \(-1\cdot 8\)
- \(-1\cdot(-16)\)
- 回答
-
- \(-8\)
- \(16\)
除以整数
那分裂呢？ 除法是乘法的逆运算。 所以，\(15\div 3=5\)因为\(5 \cdot 3 = 15\)。 用言语来说，这个表达式表示\(15\)可以分为三组，每组五个，因为将五加三次就可以得到\(15\)。 看一些整数相乘的例子，找出除整数的规则。
\[\begin{array} {ll} {5\cdot 3 = 15\text{ so }15\div 3 = 5} &{-5(3) = -15\text{ so }-15\div 3 = -5} \\ {(-5)(-3) = 15\text{ so }15\div (-3) = -5} &{5(-3) = -15\text{ so }-15\div (-3) = 5} \end{array}\]
除法遵循与乘法相同的规则！
对于两个有符号数字的除法，当：
- 符号是一样的，商是正数。
- 符号不同，商为负。
请记住，我们总是可以通过乘法来检查除法问题的答案。
用于两个有符号数字的乘法和除法：
- 如果信号相同，则结果为阳性。
- 如果符号不同，则结果为负数。
| 同样的迹象 | 结果 |
|---|---|
| 两个积极的方面 | 阳性 |
| 两张底片 | 阳性 |
| 如果信号相同，则结果为阳性。 | |
| 不同的迹象 | 结果 |
|---|---|
| 正面和负面 | 负面 |
| 负面和正面 | 负面 |
| 如果符号不同，则结果为负数。 | |
- \(-27\div 3\)
- \(-100\div (-4)\)
- 回答
-
- \[\begin{array} {ll} {} &{-27 \div 3} \\ {\text{Divide, with different signs, the quotient is}} &{-9} \\ {\text{negative.}} &{} \end{array}\]
- \[\begin{array} {ll} {} &{-100 \div (-4)} \\ {\text{Divide, with signs that are the same the}} &{25} \\ {\text{ quotient is negative.}} &{} \end{array}\]
除以：
- \(-42\div 6\)
- \(-117\div (-3)\)
- 回答
-
- \(-7\)
- \(39\)
除以：
- \(-63\div 7\)
- \(-115\div (-5)\)
- 回答
-
- \(-9\)
- \(23\)
使用整数简化表达式
当表达式中有两个以上的数字时会发生什么？ 当包含负数时，运算顺序仍然适用。 还记得我亲爱的莎莉阿姨吗？
让我们试试一些例子。 我们将简化使用所有四个整数运算（加法、减法、乘法和除法）的表达式。 记住要遵循操作顺序。
简化：
\(7(-2)+4(-7)-6\)
- 回答
-
\[\begin{array} {ll} {} &{7(-2)+4(-7)-6} \\ {\text{Multiply first.}} &{-14+(-28)-6} \\ {\text{Add.}} &{-42-6} \\{\text{Subtract}} &{-48} \end{array}\]
简化：
\(8(-3)+5(-7)-4\)
- 回答
-
\(-63\)
简化：
\(9(-3)+7(-8)-1\)
- 回答
-
\(-84\)
简化：
- \((-2)^{4}\)
- \(-2^{4}\)
- 回答
-
- \[\begin{array} {ll} {} &{(-2)^{4}} \\ {\text{Write in expanded form.}} &{(-2)(-2)(-2)(-2)} \\ {\text{Multiply}} &{4(-2)(-2)} \\{\text{Multiply}} &{-8(-2)} \\{\text{Multiply}} &{16} \end{array}\]
- \[\begin{array} {ll} {} &{-2^{4}} \\ {\text{Write in expanded form. We are asked to find the opposite of }2^{4}.} &{-(2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2)} \\ {\text{Multiply}} &{-(4\cdot 2\cdot 2)} \\{\text{Multiply}} &{-(8\cdot 2)} \\{\text{Multiply}} &{-16} \end{array}\]
注意部分 (1) 和 (2) 的区别。 在第 (1) 部分中，指数表示将括号中的内容提高\((−2)\)到\(4^{th}\)幂次方。 在第 (2) 部分中，指数的意思是只提高\(2\)到\(4^{th}\)幂然后取相反的次方。
简化：
- \((-3)^{4}\)
- \(-3^{4}\)
- 回答
-
- \(81\)
- \(-81\)
简化：
- \((-7)^{2}\)
- \(-7^{2}\)
- 回答
-
- \(49\)
- \(-49\)
下一个例子提醒我们先简化括号内的内容。
简化：
\(12-3(9 - 12)\)
- 回答
-
\[\begin{array} {llll} {} &{12-3(9 - 12)} \\ {\text{Subtract parentheses first}} &{12-3(-3)} \\ {\text{Multiply.}} &{12-(-9)} \\{\text{Multiply}} &{-(8\cdot 2)} \\{\text{Subtract}} &{21} \end{array}\]
简化：
\(17 - 4(8 - 11)\)
- 回答
-
\(29\)
简化：
\(16 - 6(7 - 13)\)
- 回答
-
\(52\)
简化：
\(8(-9)\div (-2)^{3}\)
- 回答
-
\[\begin{array} {ll} {} &{8(-9)\div(-2)^{3}} \\ {\text{Exponents first}} &{8(-9)\div(-8)} \\ {\text{Multiply.}} &{-72\div (-8)} \\{\text{Divide}} &{9} \end{array}\]
简化：
\(12(-9)\div (-3)^{3}\)
- 回答
-
\(4\)
简化：
\(18(-4)\div (-2)^{3}\)
- 回答
-
\(9\)
简化：
\(-30\div 2 + (-3)(-7)\)
- 回答
-
\[\begin{array} {ll} {} &{-30\div 2 + (-3)(-7)} \\ {\text{Multiply and divide left to right, so divide first.}} &{-15+(-3)(-7)} \\ {\text{Multiply.}} &{-15+ 21} \\{\text{Add}} &{6} \end{array}\]
简化：
\(-27\div 3 + (-5)(-6)\)
- 回答
-
\(21\)
简化：
\(-32\div 4 + (-2)(-7)\)
- 回答
-
\(6\)
使用整数计算变量表达式
请记住，计算表达式意味着用数字代替表达式中的变量。 现在我们可以使用负数和正数。
何时\(n=−5\)，评估：
- \(n+1\)
- \(−n+1\)。
- 回答
-
- \[\begin{array} {ll} {} &{n+ 1} \\ {\text{Substitute}-5\text{ for } n} &{-5+1} \\ {\text{Simplify.}} &{-4} \end{array}\]
- \[\begin{array} {ll} {} &{-n+ 1} \\ {\text{Substitute}-5\text{ for } n} &{-(-5)+1} \\ {\text{Simplify.}} &{-4} \\{\text{Add.}} &{6} \end{array}\]
何时\(n=−8\)，评估：
- \(n+2\)
- \(−n+2\)。
- 回答
-
- \(-6\)
- \(10\)
何时\(y=−9\)，评估：
- \(y+8\)
- \(−y+8\)。
- 回答
-
- \(-1\)
- \(17\)
评估\((x+y)^{2}\)何时\(x = -18\)和\(y = 24\)。
- 回答
-
\[\begin{array} {ll} {} &{(x+y)^{2}} \\ {\text{Substitute }-18\text{ for }x \text{ and } 24 \text{ for } y} &{(-18 + 24)^{2}} \\ {\text{Add inside parentheses}} &{(6)^{2}} \\{\text{Simplify.}} &{36} \end{array}\]
评估\((x+y)^{2}\)何时\(x = -15\)和\(y = 29\)。
- 回答
-
\(196\)
评估\((x+y)^{3}\)何时\(x = -8\)和\(y = 10\)。
- 回答
-
\(8\)
评估\(20 -z \)时间
- \(z = 12\)
- \(z = -12\)
- 回答
-
- \[\begin{array} {ll} {} &{20 - z} \\ {\text{Substitute }12\text{ for }z.} &{20 - 12} \\ {\text{Subtract}} &{8} \end{array}\]
- \[\begin{array} {ll} {} &{20 - z} \\ {\text{Substitute }-12\text{ for }z.} &{20 - (-12)} \\ {\text{Subtract}} &{32} \end{array}\]
评估\(17 - k\)时间
- \(k = 19\)
- \(k = -19\)
- 回答
-
- \(-2\)
- \(36\)
评估\(-5 - b\)时间
- \(b = 14\)
- \(b = -14\)
- 回答
-
- \(-19\)
- \(9\)
评估：
\(2x^{2} + 3x + 8\)什么时候\(x = 4\)。
- 回答
-
替代\(4\)\(x\)。 使用圆括号显示乘法。
\[\begin{array} {ll} {} &{2x^{2} + 3x + 8} \\ {\text{Substitute }} &{2(4)^{2} + 3(4) + 8} \\ {\text{Evaluate exponents.}} &{2(16) + 3(4) + 8} \\ {\text{Multiply.}} &{32 + 12 + 8} \\{\text{Add.}} &{52} \end{array}\]
评估：
\(3x^{2} - 2x + 6\)什么时候\(x =-3\)。
- 回答
-
\(39\)
评估：
\(4x^{2} - x - 5\)什么时候\(x = -2\)。
- 回答
-
\(13\)
将短语翻译成带整数的表达式
我们之前将英语翻译成代数的工作也适用于包含正数和负数的短语。
翻译和简化：\(8\)和的总和\(−12\)，增加\(3\)。
- 回答
-
\[\begin{array} {ll} {} &{\text{the } \textbf{sum} \text{of 8 and -12, increased by 3}} \\ {\text{Translate.}} &{[8 + (-12)] + 3} \\ {\text{Simplify. Be careful not to confuse the}} &{(-4) + 3} \\{\text{brackets with an absolute value sign.}} \\{\text{Add.}} &{-1} \end{array}\]
翻译和简化：\(9\)和的总和\(−16\)，增加\(4\)。
- 回答
-
\((9 + (-16)) + 4 - 3\)
翻译和简化：\(-8\)和的总和\(−12\)，增加\(7\)。
- 回答
-
\((-8 + (-12)) + 7 - 13\)
当我们第一次引入操作符号时，我们发现可以通过多种方式读取表达式。 它们在下表中列出。
| \(a−b\) |
|---|
| \ (a−b\)” data-valign= “top” >\(a\) 减去\(b\) \(a\) \(b\)小于之差\(a\)和\(b\) \(b\)减去\(a\) |
小心按正确的顺序排列 a 和 b！
翻译然后简化
- \(13\)和的区别\(−21\)
- \(24\)从... 中减去\(−19\)。
- 回答
-
- \[\begin{array} {ll} {} &{\text{the } \textbf{difference } \text{of 13 and -21}} \\ {\text{Translate.}} &{13 - (-21)} \\ {\text{Simplify.}} &{34} \end{array}\]
- \[\begin{array} {ll} {} &\textbf{subtract }24 \textbf{ from }-19 \\ {\text{Translate.}} &{-19 - 24} \\ {\text{Remember, subtract b from a means }a - b} &{} \\{\text{Simplify.}} &{-43} \end{array}\]
翻译和简化
- \(14\)和的区别\(−23\)
- \(21\)从... 中减去\(−17\)。
- 回答
-
- \(14 - (-23); 37\)
- \(-17 - 21; -38\)
翻译和简化
- \(11\)和的区别\(−19\)
- \(18\)从... 中减去\(−11\)。
- 回答
-
- \(11 - (-19); 30\)
- \(-11 - 18; -29\)
再一次，我们之前将英语翻译成代数的工作转移到了包含乘法和除数的短语。 请记住，乘法的关键词是 “乘积”，除法的关键词是 “商”。
翻译成代数表达式并尽可能简化：\(−2\)和的乘积\(14\)。
- 回答
-
\[\begin{array} {ll} {} &{\text{the product of }-2 \text{ and } 14} \\ {\text{Translate.}} &{(-2)(14)} \\{\text{Simplify.}} &{-28} \end{array}\]
翻译成代数表达式并尽可能简化：\(−5\)和的乘积\(12\)。
- 回答
-
\(-5(12); -60\)
翻译成代数表达式并尽可能简化：\(8\)和的乘积\(-13\)。
- 回答
-
\(-8(13); -104\)
翻译成代数表达式并尽可能简化：\(−56\)和的商\(−7\)。
- 回答
-
\[\begin{array} {ll} {} &{\text{the quotient of }-56 \text{ and } -7} \\ {\text{Translate.}} &{-56\div(-7)} \\{\text{Simplify.}} &{8} \end{array}\]
翻译成代数表达式并尽可能简化：\(−63\)和的商\(−9\)。
- 回答
-
\(-63\div (-9); 7\)
翻译成代数表达式并尽可能简化：\(−72\)和的商\(−9\)。
- 回答
-
\(-72\div (-9); 8\)
在应用程序中使用整数
我们将概述解决应用程序的计划。 如果我们不知道自己在寻找什么或者该怎么称呼它，就很难找到东西！ 因此，当我们解决应用程序时，我们首先需要确定问题要求我们找到什么。 然后我们将写一个短语来提供找到它的信息。 我们将把这个短语翻译成一个表达式，然后简化表达式以得到答案。 最后，我们用一句话总结答案，以确保答案合理。
如何应用策略求解带有整数的应用程序
伊利诺伊州厄巴纳有一天早晨的温度为\(11\)度。 到下午中旬，温度已降至\(−9\)摄氏度。 早上和下午的温度有什么区别？
- 回答
-
第 1 步。 阅读问题。 确保所有文字和想法都被理解。 第 2 步。 确定我们被要求查找的内容。 上午和下午的温度差异 第 3 步。 写一个短语，提供找到它的信息。 \(11\)和的区别\(-9\) 第 4 步。 将短语翻译成表达式。 \(11 - (-9)\) 第 5 步。 简化表达式。 \(20\) 第 6 步。 写一个完整的句子来回答这个问题。 温度差为20度。
阿拉斯加安克雷奇有一天早上的温度为\(15\)度。 到下午中旬，温度已降至零\(30\)度以下。 早上和下午的温度有什么区别？
- 回答
-
温度的差异是\(45\)度。
午餐时间丹佛的温度为\(−6\)摄氏度. 到日落时分，温度已降至\(−15\)度. 午餐时间和日落温度有什么区别？
- 回答
-
温度的差异是\(9\)度。
- 阅读问题。 确保所有文字和想法都被理解
- 确定我们被要求查找的内容。
- 写一个短语，提供找到它的信息。
- 将短语翻译成表达式。
- 简化表达式。
- 用完整的句子回答问题。
野马足球队在第三季度受到了三次点球。 每次点球都会让他们输掉十五码。 丢失的码数是多少？
- 回答
-
第 1 步。 阅读问题。 确保所有文字和想法都被理解。 第 2 步。 确定我们被要求查找的内容。 丢失的码数 第 3 步。 写一个短语，提供找到它的信息。 三次每\(15\)码罚款 第 4 步。 将短语翻译成表达式。 \(3(-15)\) 第 5 步。 简化表达式。 \(-45\) 第 6 步。 写一个完整的句子来回答这个问题。 球队输了\(45\)码数。
熊队打得很差，在比赛中有七个点球。 每次点球都会导致\(15\)码数损失。 因点球而损失的码数是多少？
- 回答
-
熊队输了\(105\)码数。
比尔在校园里使用自动取款机是因为它很方便。 但是，他每次使用都会被收取2美元的费用。 上个月他使用了八次自动取款机。 他使用自动取款机的总费用是多少？
- 回答
-
从他的支票账户中扣除了16美元的费用。
关键概念
- 两个有符号数字的乘法和除法
- 同样的迹象——产品为阳性
- 不同的迹象——产品是负面的
- 应用策略
- 确定要求您查找的内容。
- 写一个短语，提供找到它的信息。
- 将短语翻译成表达式。
- 简化表达式。
- 用完整的句子回答问题。