1.4: 加减整数

使用否定词和对立面

到目前为止，我们的工作只包括计数和整数。但是，如果你曾经经历过低于零的温度或者不小心透支了支票账户，那么你已经熟悉了负数。负数是小于的数字$0$。 负数在数字行零的左边。见图$\PageIndex{1}$。

数字线从负 4 延伸到 4。在 “负 4” 到 “0” 的值下方有一个方括号，标记为 “负数”。另一个括号位于值 0 到 4 下方，标记为 “正数”。两个括号之间有一个向上指向零的箭头。 — 图$\PageIndex{1}$。数字线显示正数和负数的位置。

数字行末端的箭头表示数字永远存在。没有最大的正数，也没有最小的负数。

零是正数还是负数？大于零的数字是正数，小于零的数字是负数。零既不是正数也不是负数。

考虑数字行上的数字是如何排序的。从左到右，数字的价值增加。从右到左，数字的值会降低。见图$\PageIndex{2}$。

数字线的范围是负数 4 到 4。数字线上方的箭头从负数 1 延伸到 4，标有 “较大”。数字线下方的箭头从 1 向负 4 延伸，标记为 “较小”。 — 图$\PageIndex{2}$。数字行上的数字的值从左到右增加，值从右向左减小。

进行操纵数学活动 “数字线-第 2 部分” 将有助于你更好地理解整数。

请记住，我们使用以下表示法：

$a \lt b$（读取 “小$a$于$b$”）当$a$位于数字行$b$左侧时。

$a \gt b$（读取 “大$a$于$b$”）当$a$位于数字行的$b$右边时。

现在我们需要扩展显示整数的数字线，使其也包括负数。图$\PageIndex{3}$. 中用点标记的数字称为整数。整数是数字$...−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3…$

数字线从负四延伸到四。点在负四、负三、负二、负一、零、一、二、三和四处绘制。 — 图$\PageIndex{3}$。所有标记的数字都称为整数。

示例$\PageIndex{1}$

使用$<$或对以下每对数字进行排序$>$：

$14 \; \_\_\_\; 6$
$-1\; \_\_\_ \;9$
$-1\; \_\_\_ -4$
$\;\; 2 \;\_\_\_ -20$

解决方案：

参考显示的数字行可能会有所帮助。

$数字行的范围从负二十到十五，数字之间有刻度标记。每五分之一的刻度标记为一个数字。点在负二十、负 4、负 1、2、6、9 和 14 处绘制。$

图$\PageIndex{4}$

\ (\ begin {align*} 1. \ quad & 14\;\ _\ _\; 6\\ [4pt]
& 14 > 6 &&\ text {$14$$6$在数字行的右边。}\\ [8pt]
2。 \ quad & -1\;\ _\ _\; 9\\ [4pt]
& -1 < 9 &&\ text {$-1$$9$在数字行的左边。}\\ [8pt]
3。 \ quad & -1\;\ _\ _-4\\ [4pt]
& -1 > -4 &&\ text {$-1$$-4$在数字行的右边。}\\ [8pt]
4。 \ quad & 2\;\ _\ _\ _-20\\ [4pt]
& 2 > -20 &&\ t$2$ ext {$-20$在数字行的右边。} \
\ end {align*}\)

试试看$\PageIndex{1}$

使用以下每对数字排序$<$ or $>$:

$15 \; \_\_\_\; 7$
$-2 \; \_\_\_\; 5$
$-3 \; \_\_\_\; -7$
$5 \; \_\_\_\; -17$

Answer

$<$
$>$
$<$
$>$

Try It $\PageIndex{2}$

使用$<$或对以下每对数字进行排序$>$：

$8 \; \_\_\_\; 13$
$3 \; \_\_\_\; -4$
$-5 \; \_\_\_\; -2$
$9 \; \_\_\_\; -21$

回答

$<$
$>$
$<$
$>$

你可能已经注意到，在数字行上，负数是正数的镜像，中间为零。因为数字$2$和$−2$距离零的距离相同，所以它们被称为相反的 s。与$2$ is 相反$−2$，与$−2$ is 相反$2$。

对面

与数字相反的是数字线上与零的距离相同但与零相反的数字。

该图$\PageIndex{5}$说明了定义。

数字线的范围是负数 4 到 4。数字行上方有两个方括号。左边的方括号范围从负三到 0。右边的括号从零到三。点同时绘制在负三和负三上。 — 图$\PageIndex{5}$：与$3$之相反$−3$。

有时在代数中，同一个符号有不同的含义。就像英语中的某些单词一样，通过查看其用法，其具体含义就变得清晰了。你已经看到符号 “$−$” 以三种不同的方式使用。

\ [\ begin {align*} &10 − 4\ quad\ text {在两个数字之间，它表示}\ textit {减法} 的运算。\\ &\ qquad\ qquad\ text {我们读了} 10-4\，\ text {minus}\, 4。 \ text {”}\\ [5pt]
&-8\ quad\ text {在数字前面表示}\ text {负数}\ text {数字。}\\ &\ qquad\ qquad\ text {我们读了} -8\ text {作为 “负八”。}\\ [5pt]
&-x\ quad\ text {在变量前面，它表示}\ text {对面。}\\ &\ qquad\qquad\ text {我们读了}-x\ text {作为 “与} x\ text {”}\\ [5pt]
&-(-2)\ quad\ text {这里有两个 “−” 符号。} \\
&\ qquad\ qquad\ text {括号中的那个告诉我们数字是负数} 2。 \\
&\ qquad\ qquad\ text {括号外面的那个告诉我们把}\ textit {对面}\ text {of} −2。 \\
&\ qquad\ qquad\ text {我们读了} − (−2)\ text {作为 “负二的对立面”。} \ end {align*}\]

相反的符号

$−a$表示与数字相反$a$。

该符号被理解$−a$为 “与之相反”$a$。

示例$\PageIndex{2}$

查找：

恰恰相反$7$
恰恰相反$−10$
恰恰相反$−(−6)$

解决方案：

1。 $ \quad −7$与 as 的距离$0$相同$7$，但是在的另一边$0$。恰恰相反$-7$。$7$

$。$

2。 $ \quad 10$与 as 的距离$0$相同$−10$，但是在的另一边$0$。恰恰相反$10$。$-10$

$。$

3。 $\quad$恰恰相反$-6$。$-(-6)$

$。$

试试看$\PageIndex{3}$

查找：

恰恰相反$4$
the opposite of $−3$
$−(−1)$

Answer

$-4$
$3$
$1$

Try It $\PageIndex{4}$

查找：

恰恰相反$8$
恰恰相反$−5$
$−(−5)$

回答

$-8$
$5$
$5$

我们使用对立面为我们提供了一种定义整数的方法。整数及其对立面称为整数。整数是数字$…−3,−2,−1,0,1,2,3…$

整数

整数及其对立面称为整数。

整数是数字

\[…−3,−2,−1,0,1,2,3… \nonumber \]

在计算与变量相反的值时，我们必须非常小心。在不知道变量代表正数还是负数的情况下，我们不知道 −x−x 是正数还是负数。我们可以在示例中看到这一点$\PageIndex{1}$。

示例$\PageIndex{3}$:

评估

$-x$，什么时候$x = 8$
$-x$，什么时候$x = -8$

解决方案：

$。$
	-x
$。$	$。$
写下与 8 相反的内容。	-8

$。$
	-x
$。$	$。$
写下与 -8 相反的内容。	8

试试看$\PageIndex{5}$

评估$-n$, when

$n = 4$
$n = -4$

Answer

$-4$
$4$

Try It $\PageIndex{6}$

评估$-m$，何时

$m = 11$
$m = -11$

回答

$-11$
$11$

简化：具有绝对值的表达式

我们看到像$2$和这样的数字$−2$是相反的，因为它们与数字线$0$上的距离相同。它们都是来自两个单位$0$。数字线上$0$和任意数字之间的距离称为该数字的绝对值。

绝对值

数字的绝对值是它与数字线$0$上的距离。

数字的绝对$n$值写成$|n|$。

例如，

$−5$是$5$单位距离$0$，所以$|−5|=5$。
$5$是$5$单位距离$0$，所以$|5|=5$。

该图$\PageIndex{6}$说明了这个想法。

显示的数字线介于负 5 到 5 之间。标有 “5 个单位” 的括号位于负数 5 到 0 的点上方。标有 “负 5 等于 0 的 5 个单位，因此负 5 的绝对值等于 5” 的箭头写在标有括号的上方。标有 “5 个单位” 的括号位于 “0” 到 “5” 点的上方。标有 “5 等于 0 的 5 个单位，因此绝对值 5 等于 5” 的箭头写在标有括号的上方。 — 图$\PageIndex{6}$：整数$5$和相差$5$单位$0$。

数字的绝对值永远不会为负数（因为距离不能为负数）。绝对值等于零的唯一数字是数字零本身，因为数字线$0$上从$0$到的距离是零个单位。

绝对值的属性

$|n| \geq 0$适用于所有数字

绝对值始终大于或等于零！

数学家更准确地说，“绝对值总是非负的。” 非负表示大于或等于零。

示例$\PageIndex{4}$:

简化：

$|3|$
$|-44|$
$|0|$

解决方案：

数字的绝对值是数字和零之间的距离。距离从不为负数，因此绝对值永远不会为负值。

$ |3| = 3$
$|-44| = 44$
$ |0| = 0$

试试看$\PageIndex{7}$

简化：

$|4|$
$|-28|$
$|0|$

Answer

$4$
$28$
$0$

Try It $\PageIndex{8}$

简化：

$|-13|$
$|47|$

回答

$13$
$47$

在下一个示例中，我们将对具有绝对值的表达式进行排序。记住，正数总是大于负数！

示例$\PageIndex{5}$:

填$<, >, \text{or} =$写以下每对数字：

$|−5| \; {\underline{\hspace {2 em}}} \;−|−5|$
$8 \;{\underline{\hspace {2 em}}} \;−|−8|$
$-9 \;{\underline{\hspace {2 em}}} \;−|−9|$
$-(-16) \;{\underline{\hspace {2 em}}}\; −|−16|$

解决方案：

$\begin{array} {llll} {\text{Simplification}} &{|-5|} & {\underline{\hspace {2 em}}} &{-|-5|} \\ {\text{Order.}} &{5} &{\underline{\hspace {2 em}}} &{-5} \\ {} &{5} &{>} &{-5} \\ {} &{|-5|} &{>} &{-|-5|} \\ \end{array}$
$\begin{array} {llll} {\text{Simplification}} &{8} & {\underline{\hspace {2 em}}} &{-|-8|} \\ {\text{Order.}} &{8} &{\underline{\hspace {2 em}}} &{-8} \\ {} &{8} &{>} &{-8} \\ \text{so }\\ {} & {|8|} &{>} &{-|-8|} \\ \end{array}$
$\begin{array} {llll} {\text{Simplification}} &{-9} & {\underline{\hspace {2 em}}} &{-|-9|} \\ {\text{Order.}} &{-9} &{\underline{\hspace {2 em}}} &{-9} \\ {} &{-9} &{=} &{-9} \\ \text{so } \\ {} & {-9} &{=} &{-|-9|} \\ \end{array}$
$\begin{array} {llll} {\text{Simplification}} &{-(-16)} & {\underline{\hspace {2 em}}} &{-|16|} \\ {\text{Order.}} &{16} &{\underline{\hspace {2 em}}} &{-16} \\ {} &{16} &{>} &{-16} \\ \text{so } \\ {} & {-(-16)} &{>} &{-|-16|} \\ \end{array}$

试试看$\PageIndex{9}$

填写$<, >, \text{or} =$ for each of the following pairs of numbers:

$|−9| \;{\underline{\hspace {2 em}}} \; −|−9|$
$2 \;{\underline{\hspace {2 em}}} \; −|−2|$
$-8 \;{\underline{\hspace {2 em}}} \; −|−8|$
$-(-9) \;{\underline{\hspace {2 em}}} \; −|−9|$

Answer

$>$
$>$
$<$
$>$

Try It $\PageIndex{10}$

填$<, >, \text{or} =$写以下每对数字：

$7 \;{\underline{\hspace {2 em}}} \; −|−7|$
$-(-10) \;{\underline{\hspace {2 em}}} \; −|−10|$
$|-4| \;{\underline{\hspace {2 em}}} \; −|−4|$
$-1 \;{\underline{\hspace {2 em}}} \; |−1|$

回答

$>$
$>$
$>$
$<$

现在，我们在分组符号列表中添加绝对值条。当我们使用运算顺序时，首先我们尽可能地简化绝对值柱的内部，然后取结果数字的绝对值。

分组符号

\[\begin{array} {llll} {\text{Parentheses}} &{()} & {\text{Braces}} & {\{\}} \\ {\text{Brackets}} &{[\space]} &{\text{Absolute}} &{|\space|} \\ \end{array} \nonumber\]

在下一个示例中，我们首先简化绝对值柱内的表达式，就像使用圆括号一样。

示例$\PageIndex{6}$:

简化：$24 - |19 - 3(6 - 2)|$

解决方案：

\[\begin{array} {ll} {} &{24 - |19 - 3(6 - 2)|} \\ {\text{Work inside parentheses first: subtract } 2\space \text{from } 6} &{24 - |19 - 3(4)|} \\ {\text{Multiply }3(4)} &{24 - |19 - 12|} \\ {\text{Subtract inside the absolute value bars. }} &{24 - |7|} \\ {\text{Take the absolute value.}} &{24 - 7} \\ {\text{Subtract.}} &{17} \end{array}\nonumber\]

试试看$\PageIndex{11}$

简化：$19 - |11 - 4(3 - 1)|$

Answer: $16$

Try It $\PageIndex{12}$

简化：$9 - |8 - 4(7 - 5)|$

回答: $9$

示例$\PageIndex{7}$

评估：

$|x|$什么时候$x = -35$
$|y|$什么时候$y = -20$
$-|u|$什么时候$u = 12$
$-|p|$什么时候$p = -14$

解决方案：

1。 $|x|$什么时候$x = -35$

$\begin{array} {ll} {} &{|x|} \\ {\text{Substitute } -35 \space \text{for }x} &{|-35|} \\ {\text{Take the absolute value.}} &{35} \end{array}$

2。 $|y|$什么时候$y = -20$

$\begin{array} {ll} {} &{|-y|} \\ {\text{Substitute } -20 \space \text{for }y} &{|-(-20)|} \\ {\text{Simplify}} &{|20|} \\ {\text{Take the absolute value.}} &{20} \end{array}$

3。 $-|u|$什么时候$u = 12$

$\begin{array} {ll} {} &{-|u|} \\ {\text{Substitute } 12 \space \text{for }u} &{|-12|} \\ {\text{Take the absolute value.}} &{-12} \end{array}$

4。 $-|p|$什么时候$p = -14$

$\begin{array} {ll} {} &{-|p|} \\ {\text{Substitute } -14 \space \text{for }p} &{-|-14|} \\ {\text{Take the absolute value.}} &{-14} \end{array}$

试试看$\PageIndex{13}$

评估：

$|x|$ when $x = -17$
$|y|$ when $y = -39$
$-|m|$ when $m = 22$
$-|p|$ when $p = -11$

Answer

$17$
$39$
$-22$
$-11$

Try It $\PageIndex{14}$

评估：

$|y|$什么时候$y = -23$
$|-y|$什么时候$y = -21$
$-|n|$什么时候$n = 37$
$-|q|$什么时候$q = -49$

回答

$23$
$21$
$-37$
$-49$

添加整数

大多数学生都对正数的加法和减法数值感到满意。但是，同时使用正数和负数进行加法或减法可能更具挑战性。

进行操纵数学活动 “带符号数字的加法” 将有助于你更好地理解添加整数。”

我们将使用两个颜色计数器来模拟负数的加法和减法，这样你就可以直观地看到过程而不是记住规则。

我们让一种颜色（蓝色）代表正数。另一种颜色（红色）将代表底片。如果我们有一个正计数器和一个负计数器，则该对的值为零。它们形成中性对。这个中性货币对的价值为零。

在这张图片中，我们在红色计数器上方有一个蓝色的计数器，两个计数器周围都有一个圆圈。右边的方程为 1 加上负 1 等于 0。 — 图$\PageIndex{7}$

我们将使用计数器来显示如何使用数字$5, −5$和将四个加法数相加$3,−3$。

\[\begin{array} {llll} {5 + 3} &{-5 + (-3)} &{-5 + 3} &{5 + (-3)} \end{array} \nonumber \]

补充一点$5+3$，我们意识到$5+3$这意味着$5$和的总和$3$。

我们从$5$积极的方面开始。	$。$
然后我们添加$3$正面因素。	$。$
我们现在有了$8$积极的方面。 $5$和的总和$3$为$8$。	$。$

现在我们将添加$−5 + (−3)$。注意与上一个示例的相似之处$5 + 3 = 8$。

另外$−5 + (−3)$，我们意识到这意味着$−5$和的总和$−3$。

我们从$5$负面开始。	$。$
然后我们添加$3$底片。	$。$
我们现在有$8$负数。 $-5$和的总和$-3$为$-8$。	$。$

前两个例子在哪些方面相似？

第一个例子将$5$正数和$3$正值相加，均为正数。
第二个例子将$5$负数和$3$负数相加，均为负数。

在每种情况下，我们都得到了$8$ —— 要么是$8$正面的，要么是$8$负面的。

当标志相同时，计数器都是相同的颜色，所以我们添加了它们。

此图分为两列。在左列中，水平行中有八个蓝色计数器。它们下面是 “8个积极因素” 的文字。在此之下是等式 5 加 3 等于 8。右列中有八个水平行中的红色计数器，下方标有 “8 个负数” 字样。其中心是负5加负3等于负8的方程，其中负3在括号中。 — 图$\PageIndex{7}$

示例$\PageIndex{8}$

添加：

$1 + 4$
$-1 + (-4)$

解决方案：

1。 $。$

$1$正加$4$正面就是$5$正面。

2。 $。$

$1$负数加$4$负数即为$5$负数。

试试看$\PageIndex{15}$

添加：

$2 + 4$
$-2 + (-4)$

Answer

$6$
$-6$

Try It $\PageIndex{16}$

添加：

$2 + 5$
$-2 + (-5)$

回答

$7$
$-7$

那么，当迹象不同时会发生什么？让我们补充一下$−5+3$。我们意识到这意味着$−5$和的总和$3$。当计数器颜色相同时，我们将它们排成一排。当计数器颜色不同时，我们会将它们排列在彼此的下方。

桌子$\PageIndex{1}$
	$-5 + 3$表示$-5$和的总和$3$。
我们从$5$负面开始。	$。$
然后我们添加$3$正面因素。	$。$
我们会移除所有中性货币对。	$。$
我们还剩下$2$底片。	$。$
$-5$和的总和$3$为$-2$。	$-5 + 3 = 2$

请注意，负面因素多于正面因素，因此结果为阴性。

现在让我们添加最后一个组合，$5+(−3)$。

桌子$\PageIndex{2}$
	$5 + (-3)$表示$-5$和的总和$-3$。
我们从$5$积极的方面开始。	$。$
然后我们添加$3$底片。	$。$
我们会移除所有中性货币对。	$。$
我们还有$2$积极的方面。	$。$
$5$和的总和$-3$为$2$。	$5 + (-3) = 2$

当我们使用计数器对正整数和负整数的加法进行建模时，很容易看出正数计数器还是更多负计数器。因此，我们知道总和是正数还是负数。

显示并标记了两幅图像。左图显示了水平行中的五个红色计数器，绘制在水平行的三个蓝色计数器上方，其中前三对红色和蓝色计数器圈出。这张图上面写着 “负5加3”，下面写着 “更多负数——总和为负”。右图显示了水平行中的五个蓝色计数器，绘制在水平行的三个红色计数器上方，其中前三对红色和蓝色计数器圈出。这张图上面写着 “5 加负 3”，下方写着 “更多正数 — 总和为正”。 — 图$\PageIndex{8}$

示例$\PageIndex{9}$

添加：

$-1 + 5$
$1 + (-5)$

解决方案：

1。 $-1 + 5$

$。$

有更多的正数，所以总和是正数。

所以，$-1 + 5 = 4$。

2。 $1 + (-5)$

$。$

还有更多的负数，所以总和是负数。

所以，$1 + (-5) = -4$

试试看$\PageIndex{17}$

添加：

$-2 + 4$
$2 + (-4)$

Answer

$2$
$-2$

Try It $\PageIndex{18}$

添加：

$-2 + 5$
$2 + (-5)$

回答

$3$
$-3$

现在我们已经在模型中添加了小的正整数和负整数，我们可以在脑海中可视化模型，以简化任何数字的问题。

当你需要添加诸如这样的数字时$37+(−53)$，你真的不想数出$37$蓝色计数器和$53$红色计数器。有了这个模型，你能想象出你会怎么做才能解决这个问题吗？

想象一下$37$蓝色的柜台，下面排着$53$红色计数器。由于红色（负）计数器比蓝色（正）计数器多，因此总和将为负。还会有多少个红色计数器？因为$53−37=16$，还有$16$更多的红色计数器。

因此，的总和$37+(−53)$为$−16$。

\[37+(−53)=−16\nonumber\]

我们再试一个。我们将添加$−74+(−27)$。再说一遍，想象一下$74$红色计数器和$27$更多的红色计数器，所以我们会有$101$红色计数器。这意味着总和为$−101$。

\[−74+(−27)=−101\nonumber\]

让我们再来看一下添加$5,−5$和的不同组合的结果$3, -3$。

正整数和负整数的相加

\[\begin{array} {ll} {5 + 3=8} &{-5 + (-3)=-8} \\{\text{both positive, sum positive}} &{\text{both positive, sum positive}} \end{array}\nonumber\]

当标志相同时，计数器的颜色都相同，因此请添加它们。

\[\begin{array} {ll} {5 + 3=-2} &{-5 + (-3)=2} \\{\text{different signs, more negatives, sum negative}} &{\text{different signs, more positives, sum positive}} \end{array}\nonumber\]

当符号不同时，一些计数器会形成中性对，因此减去以查看还剩下多少。

在简化以下示例中的表达式的同时，对模型进行可视化。

示例$\PageIndex{10}$

简化：

$19 + (-47)$
$-14 + (-36)$

解决方案：

1。由于符号不同，我们$19$从中减去$47$。答案是否定的，因为消极因素多于正面。

$\text{Add.} \qquad 19 + (-47) = -28$

2。由于标志相同，我们添加了。答案是否定的，因为消极因素多于正面。

$\text{Add.} \qquad-14 + (-36) = -50$

试试看$\PageIndex{19}$

简化：

$-31 + (-19)$
$15 + (-32)$

Answer

$-50$
$-17$

Try It $\PageIndex{20}$

简化：

$-42 + (-28)$
$25 + (-61)$

回答

$-70$
$-36$

到目前为止使用的技术扩展到更复杂的问题，比如我们之前见过的问题。记得要遵循操作顺序！

示例$\PageIndex{11}$

简化：

$-5 + 3(-2 + 7)$

解决方案：

\[\begin{array} {ll} {} &{-5 + 3(-2 + 7)} \\ {\text{Simplify inside the parenthesis}} &{-5 + 3(5)} \\{\text{Multiply}} &{-5 + 15} \\{\text{add left to right}} &{10} \end{array}\nonumber\]

试试看$\PageIndex{21}$

简化：

$-2 + 5(-4 + 7)$

Answer: $13$

Try It $\PageIndex{22}$

简化：

$-4 + 2(-3 + 5)$

回答: $0$

减去整数

注意

进行操纵数学活动 “减去有符号数字” 将有助于你更好地理解减去整数。

我们将继续使用计数器对减法进行建模。请记住，蓝色计数器代表正数，红色计数器代表负数。

也许当你年轻的时候，你把 “$5−3$” 读成 “$5$带走”$3$。当你使用计数器时，你可以用同样的方式考虑减法！

我们将使用数字$5$和对四个减法事实进行建模$3$。

\[\begin{array} {llll} {5 - 3} &{-5 - (-3))} &{-5 -3} &{5 - (-3)} \end{array}\nonumber\]

为了减去$5−3$，我们将问题重述为 “外$5$卖”$3$。

桌子$\PageIndex{3}$
我们从$5$积极的方面开始。	$。$
我们 “带走”$3$ 积极因素。	$。$
我们还有$2$积极的方面。
$5$和的区别$3$是$2$。	$2$

现在我们将减去$−5−(−3)$。注意与上一个示例的相似之处$5−3=2$。

为了减去$−5−(−3)$，我们将其重述为 “外$–5$卖$–3$”

桌子$\PageIndex{4}$
我们从$5$负面开始。	$。$
我们 “带走”$3$ 负面信息。	$。$
我们还剩下$2$底片。
$-5$和的区别$-3$是$-2$。	$-2$

请注意，这两个例子非常相似：第一个示例，我们从 5 个正数中减去 3 个正数，最后得到 2 个正数。

在第二个例子中，我们从 5 个负数中减去 3 个负数，最后得到 2 个负数。

每个例子只使用一种颜色的计数器，而且 “外卖” 减法模型很容易应用。

示例$\PageIndex{12}$

减去：

$7 - 5$
$-7 - (-5)$

解决方案：

\[\begin{array} {ll} {7 - 5} \\ {2}&{\text{Take }5\space \text{positives from }7 \space \text{positives and get }2\space \text{positives}} & \end{array}\nonumber\]
\[\begin{array} {ll} {-7 - (-5)} \\ {-2} &{\text{Take }5\space \text{negatives from }7 \space \text{negatives and get }2\space \text{negatives}} \end{array}\nonumber\]

试试看$\PageIndex{23}$

减去：

$6 - 4$
$-6 - (-4)$

Answer

$2$
$-2$

Try It $\PageIndex{24}$

减去：

$7 - 4$
$-7 - (-4)$

回答

$3$
$-3$

当我们必须减去一个正数和一个负数时会发生什么？我们需要同时使用白色和红色计数器以及一些中性对子。添加中性货币对不会改变该值。这就像将季度改为镍一样——价值相同，但看起来不同。

为了减去$−5−3$，我们将其重述为外$−5$卖$3$。

我们从$5$负面开始。我们需要消除$3$积极因素，但我们没有任何积极因素可以带走。

请记住，中性货币对的值为零。如果我们加$0$上$5$它的值还是$5$。我们在$5$负数上加上中性对，直到我们得到$3$正数可以拿走为止。

桌子$\PageIndex{5}$
	$-5 -3$意思是$-5$带走$3$
我们从$5$负面开始。	$。$
我们现在添加获得$3$正数所需的中立值。	$。$
我们消除了$3$积极因素。	$。$
我们只剩下$8$负面因素。	$。$
$-5$和的区别$3$是$-8$。	$-5 - 3 = -8$

现在，第四个案例，$5−(−3)$。我们从$5$积极的方面开始。我们需要消除$3$负面因素，但没有负面因素可以消失。因此，我们添加中性货币对，直到我们有$3$负数可以拿走为止。

桌子$\PageIndex{6}$
	$5 -(-3)$意思是$5$带走$-3$
我们从$5$积极的方面开始。	$。$
我们现在添加所需的中性对。	$。$
我们删除了$3$底片。	$。$
我们只剩下$8$积极的方面。	$。$
$5$和的区别$-3$是$8$。	$5 - (-3) = 8$

示例$\PageIndex{13}$

减去：

$-3 -1$
$3 - (-1)$

解决方案：

1。

从添加的一对中性线中取出 1 个正数。

$。$
$。$

$\begin{array} {l} {-3 -1} \\ {-4} \end{array}$

2。

从添加的一对中性线中取出 1 个负数。

$。$
$。$

$\begin{array} {l} {3 - (-1)} \\ {4} \end{array}$

试试看$\PageIndex{25}$

减去：

$-6 -4$
$6 - (-4)$

Answer

$-10$
$10$

Try It $\PageIndex{26}$

减去：

$-7-4$
$7 - (-4)$

回答

$-11$
$11$

你有没有注意到有符号数字的减法可以通过相反的相加来完成？在练习$−3−1$中$\PageIndex{33}$，与相同$−3+(−1)$$3−(−1)$且相同$3+1$。你经常会看到这个概念，即减法属性，写法如下：

减法属性

\[a−b=a+(−b) \nonumber\]

减去一个数字等于将其相反的数字相加。

看看这两个例子。

显示并标记了两幅图像。第一张图片显示了在两个灰色球体旁边绘制的四个灰色球体，其中四个球体以红色圈出，红色箭头指向左下角。这幅图在上面标记为 “6 减去 4”，下方标记为 “2”。第二张图片显示了四个灰色球体和四个红色球体，其中一个在另一个上方绘制并用红色圈出，红色箭头指向左下角，两个灰色球体绘制在四个灰色球体的侧面。这幅图在上面标记为 “6 plus，左括号，负 4，右括号”，下方标记为 “2”。 — 图$\PageIndex{10}$：$6−4$给出的答案与相同$6+(−4)$。

当然，当你遇到只有正数的减法问题时，比如$6−4$，你只需要减法。你$6−4$很久以前就知道如何减去了。但是，$6−4$当你减去负数时，知道这个答案与$6+(−4)$帮助相同。确保您了解操作方法$6−4$并$6+(−4)$给出相同的结果！

示例$\PageIndex{14}$

简化：

$13 - 8 \space \text{and } 13 + (-8)$
$-17 - 9 \space \text{and } -17 + (-9)$

解决方案：

$\begin{array} {llll} {\text{Subtract.}} &{13 - 8} &{\text{and}} &{13 + (-8)} \\ {} &{5} &{} &{5} \end{array}$
$\begin{array} {llll} {\text{Subtract.}} &{-17 - 9} &{\text{and}} &{-17 + (-9)} \\ {} &{-26} &{} &{-26} \end{array}$

试试看$\PageIndex{27}$

简化：

$21 - 13 \space \text{and } 21 + (-13)$
$-11 - 7 \space \text{and } -11 + (-7)$

Answer

$8$
$-18$

Try It $\PageIndex{28}$

简化：

$15 - 7 \space \text{and } 15 + (-7)$
$-14 - 8 \space \text{and } -14 + (-8)$

回答

$8$
$-22$

看看当我们减去负数时会发生什么。

这个数字在垂直方向上分为两半。图的左侧部分包含表达式 8 减去负 5，其中，负数 5 在括号中。该表达式位于一组 8 个蓝色计数器的上方，旁边是一组连续五个蓝色计数器，两组之间有一个空格。在五个蓝色计数器的下方是一组五个红色计数器，它们被圈起来。圆圈有一个指向图像左下角的箭头，表示减法。计数器下方是数字 13。图的右侧部分包含表达式 8 加 5。该表达式位于一组 8 个蓝色计数器的上方，旁边是一组连续五个蓝色计数器，两组之间有一个空格。计数器下方是数字 13。 — 图$\PageIndex{11}$：$8−(−5)$给出的答案与之相同$8+5$

减去一个负数就像加一个正数！

你经常会看到这篇文章写成$a−(−b)=a+b$。

这也适用于其他数字吗？让我们做下面的例子，看看。

示例$\PageIndex{15}$

简化：

$9 - (-15) \space \text{and } 9 + 15$
$-7 - (-4) \space \text{and } -7 + 4$

解决方案：

$\begin{array} {lll} {} &{9 - (-15)} &{9 + 15} \\ {\text{Subtract}} &{24} &{24} \end{array}$
$\begin{array} {lll} {} &{-7 - (-4)} &{-7 + 4} \\ {\text{Subtract}} &{-3} &{-3} \end{array}$

试试看$\PageIndex{29}$

简化：

$6 - (-13) \space \text{and } 6 + 13$
$-5 - (-1) \space \text{and } -5 + 1$

Answer

$19$
$-4$

Try It $\PageIndex{30}$

简化：

$4 - (-19) \space \text{and } 4 + 19$
$-4 - (-7) \space \text{and } -4 + 7$

回答

$23$
$3$

让我们再来看一下减去$5,−5$和的不同组合后的结果$3,−3$。

整数的减法

\[\begin{array} {l} {5 - 3} &{-5 - (-3)} \\ {2} &{-2} \\ {5\space\text{positives take away }3\space\text{positives}} &{5\space\text{negatives take away }3\space\text{negatives}} \\ {2\space\text{positives}} &{2\space\text{negatives}} \end{array}\nonumber\]

当有足够的颜色计数器可以拿走时，减去。

\[\begin{array} {l} {-5 - 3} &{5 - (-3)} \\ {-8} &{8} \\ {5\space\text{negatives, want to take away }3\space\text{positives}} &{5\space\text{positives, want to take away }3\space\text{negatives}} \\ {\text{need neutral pairs}} &{\text{need neutral pairs}} \end{array}\nonumber\]

当没有足够的颜色计数器可以拿走时，请添加。

当整数超过三个时会发生什么？我们照常使用操作顺序。

示例$\PageIndex{16}$

简化：

$7 - (-4 -3) - 9$

解决方案：

\[ \begin{array} {ll} {} &{7 - (-4 - 3) - 9} \\ {\text{Simplify inside the parenthesis first.}} &{7 - (-7) - 9} \\ {\text{Subtract left to right.}} &{14 - 9} \\ {\text{Subtract}} &{5} \end{array}\nonumber\]

试试看$\PageIndex{31}$

简化：

$8−(−3−1)−9$

Answer: $3$

Try It $\PageIndex{32}$

简化：

$12−(−9−6)−14$

回答: $12$

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关键概念

正整数和负整数的相加

\[\begin{array} {ll} {5 + 3} &{-5+(-3)} \\ {8} &{-8} \\ {\text{both positive,}} &{\text{both negative,}} \\ {\text{sum positive}} &{\text{sum negative}} \end{array}\nonumber\]

\[\begin{array} {ll} {-5 + 3} &{5+(-3)} \\ {-2} &{2} \\ {\text{different signs,}} &{\text{different signs,}} \\ {\text{more negatives}} &{\text{more positives}} \\ {\text{sum negative}} &{\text{sum positive}} \end{array}\nonumber\]

绝对值的属性：

$|n| \geq 0$适用于所有数字。绝对值始终大于或等于零！

整数的减法

\[\begin{array} {ll} {5 - 3} &{-5-(-3)} \\ {2} &{-2} \\ {5\space\text{positives}} &{5\space\text{negatives}} \\ {\text{take away 3 positives}} &{\text{take away 3 negatives}} \\ {\text{2 positives}} &{\text{2 negatives}} \end{array}\nonumber\]

\[\begin{array} {ll} {-5 - 3} &{5-(-3)} \\ {-8} &{8} \\ {\text{5 negatives, want to}} &{\text{5 positives, want to}} \\ {\text{subtract 3 positives}} &{\text{subtract 3 negatives}} \\ {\text{need neutral pairs}} &{\text{need neutral pairs}}\end{array}\nonumber\]

减法属性：减去一个数字等于将其相反的数字相加。

词汇表

绝对值: 数字的绝对值是它在数字线上距离 0 的距离。数字 nn 的绝对值写成 |n|。

整数: 整数及其对立面称为整数：$...−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3...$

相反的: 与数字相反的是数字线上与零的距离相同但在零的另一侧的数字：−$a$ 表示与数字相反。表示法 −$a$ 读作 “与之相反”$a$。

	\(-5 + 3\)表示\(-5\)和的总和\(3\)。
我们从\(5\)负面开始。	$。$
然后我们添加\(3\)正面因素。	$。$
我们会移除所有中性货币对。	$。$
我们还剩下\(2\)底片。	$。$
\(-5\)和的总和\(3\)为\(-2\)。	\(-5 + 3 = 2\)

	\(5 + (-3)\)表示\(-5\)和的总和\(-3\)。
我们从\(5\)积极的方面开始。	$。$
然后我们添加\(3\)底片。	$。$
我们会移除所有中性货币对。	$。$
我们还有\(2\)积极的方面。	$。$
\(5\)和的总和\(-3\)为\(2\)。	\(5 + (-3) = 2\)

我们从\(5\)积极的方面开始。	$。$
我们 “带走”\(3\) 积极因素。	$。$
我们还有\(2\)积极的方面。
\(5\)和的区别\(3\)是\(2\)。	\(2\)

我们从\(5\)负面开始。	$。$
我们 “带走”\(3\) 负面信息。	$。$
我们还剩下\(2\)底片。
\(-5\)和的区别\(-3\)是\(-2\)。	\(-2\)

	\(-5 -3\)意思是\(-5\)带走\(3\)
我们从\(5\)负面开始。	$。$
我们现在添加获得\(3\)正数所需的中立值。	$。$
我们消除了\(3\)积极因素。	$。$
我们只剩下\(8\)负面因素。	$。$
\(-5\)和的区别\(3\)是\(-8\)。	\(-5 - 3 = -8\)

	\(5 -(-3)\)意思是\(5\)带走\(-3\)
我们从\(5\)积极的方面开始。	$。$
我们现在添加所需的中性对。	$。$
我们删除了\(3\)底片。	$。$
我们只剩下\(8\)积极的方面。	$。$
\(5\)和的区别\(-3\)是\(8\)。	\(5 - (-3) = 8\)

学习目标

使用否定词和对立面

示例\(\PageIndex{1}\)

试试看\(\PageIndex{1}\)

Try It \(\PageIndex{2}\)

对面

相反的符号

示例\(\PageIndex{2}\)

试试看\(\PageIndex{3}\)

Try It \(\PageIndex{4}\)

整数

示例\(\PageIndex{3}\):

试试看\(\PageIndex{5}\)

Try It \(\PageIndex{6}\)

简化：具有绝对值的表达式

绝对值

绝对值的属性

示例\(\PageIndex{4}\):

试试看\(\PageIndex{7}\)

Try It \(\PageIndex{8}\)

示例\(\PageIndex{5}\):

试试看\(\PageIndex{9}\)

Try It \(\PageIndex{10}\)

分组符号

示例\(\PageIndex{6}\):

试试看\(\PageIndex{11}\)

Try It \(\PageIndex{12}\)

示例\(\PageIndex{7}\)

试试看\(\PageIndex{13}\)

Try It \(\PageIndex{14}\)

添加整数

示例\(\PageIndex{8}\)

试试看\(\PageIndex{15}\)

Try It \(\PageIndex{16}\)

示例\(\PageIndex{9}\)

试试看\(\PageIndex{17}\)

Try It \(\PageIndex{18}\)

正整数和负整数的相加

示例\(\PageIndex{10}\)

试试看\(\PageIndex{19}\)

Try It \(\PageIndex{20}\)

示例\(\PageIndex{11}\)

试试看\(\PageIndex{21}\)

Try It \(\PageIndex{22}\)

减去整数

注意

示例\(\PageIndex{12}\)

试试看\(\PageIndex{23}\)

Try It \(\PageIndex{24}\)

示例\(\PageIndex{13}\)

试试看\(\PageIndex{25}\)

Try It \(\PageIndex{26}\)

减法属性

示例\(\PageIndex{14}\)

试试看\(\PageIndex{27}\)

Try It \(\PageIndex{28}\)

示例\(\PageIndex{15}\)

试试看\(\PageIndex{29}\)

Try It \(\PageIndex{30}\)

整数的减法

示例\(\PageIndex{16}\)

试试看\(\PageIndex{31}\)

Try It \(\PageIndex{32}\)

关键概念

词汇表