1.3: 使用代数语言
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- 205050
在本节结束时，您将能够：
- 使用变量和代数符号
- 使用运算顺序简化表达式
- 计算表达式
- 识别并合并相似的术语
- 将英语短语翻译成代数表达式
使用变量和代数符号
假设今年格雷格\(20\)已经几岁了，而亚历克斯是\(23\). 你知道亚历克斯比格雷格大\(3\)几岁. 格雷格在的时候\(12\)，亚历克斯是\(15\)。 当 Greg 出现时\(35\)，亚历克斯就会成为\(38\)。 不管格雷格的年龄多大，亚历克斯的年龄总会多3岁，对吧？ 在代数语言中，我们说格雷格的年龄和亚历克斯的年龄是变量，而\(3\)是一个常数。 年龄会发生变化（“不同”），但它们之间的\(3\)年份始终保持不变（“不变”）。 由于格雷格的年龄和亚历克斯的年龄总是会因\(3\)年而异，\(3\)因此是不变的。 在代数中，我们使用字母表中的字母来表示变量。 因此，如果我们称之为格雷格的年龄\(g\)，那么我们可以用它\(g + 3g + 3\)来代表亚历克斯的年龄。 见表\(\PageIndex{1}\)。
| 格雷格的年龄 | 亚历克斯的年龄 |
|---|---|
| \(12\) | \(15\) |
| \(20\) | \(23\) |
| \(35\) | \(38\) |
| \(g\) | \(g+3\) |
用来表示这些不断变化的年龄的字母称为变量。 变量最常用的字母是\(x, y, a, b,\)和\(c\)。
变量是一个字母，它代表一个数值，其值可能会改变。
常量是一个数值，其值始终保持不变。
要用代数书写，我们需要一些运算符号以及数字和变量。 我们将使用几种类型的符号。
有四种基本的算术运算：加法、减法、乘法和除法。 我们将在下方列出用于表示这些操作的符号（表\(\PageIndex{2}\)）。 你可能会认出其中的一些。 \(\require{enclose}\)
| 操作 | 符号 | 说： | 结果是... |
|---|---|---|---|
| 加法 | \(a+b\) | \(a\)再加上\(b\) | \(a\)和的总和\(b\) |
| 减法 | \(a−b\) | \(a\)减去\(b\) | \(a\)和的区别\(b\) |
| 乘法 | \(a·b,ab,(a)(b),(a)b,a(b)\) | \(a\)倍\(b\) | \(a\)和的乘积\(b\) |
| 部门 | \(a\div{b}, a/b,\dfrac{a}{b}, b \enclose{longdiv}{a}\) | \(a\)除以\(b\) | \(a\)和\(b\)的商被\(a\)称为分红，被\(b\)称为除数 |
我们对两个数字执行这些操作。 从符号形式翻译成英文，或从英语翻译成符号形式时，要注意 “of” 和 “and” 这两个词。
- \(9\)和的差\(2\)值减去\(9\)\(2\)，换句话说，\(9\)减去\(2\)，我们将其符号写成\(9−2\)。
- \(4\)和均值的乘\(8\)\(4\)积\(8\)，换句话说，\(4\)时间\(8\)，我们将其象征性地写成\(4\cdot 8\)。
在代数中，十字符号不用于表示乘法\(\times\)，因为该符号可能会造成混淆。 \(3xy\)是指\(3\times y\)（'三次\(y\)'）还是\(3\cdot x \cdot y\)（三\(x\)次\(y\)）？ 为了清楚起见，使用\(\cdot\)或括号进行乘法。
当两个数量具有相同值时，我们说它们相等，并用等号将它们连接起来。
\(a = b\)被读\(a\)为 “等于\(b\)”
该符号\(“=”\)称为等号。
在数字行上，数字从左向右移动时会变大。 数字行可以用来解释符号\(“<”\)和\(“>"\).
\(a<b\)被读\(a\)为 “小于\(b\)”
\(a\)在数字行的\(b\)左边
\(a>b\)读取 “大\(a\)于\(b\)”
\(a\)在数字行的\(b\)右边
表达式\(a < b\)或\(a > b\)可以从左到右或从右到左读取，但在英语中，我们通常从左到右阅读表\(\PageIndex{3}\)。 一般来说，等同\(a < b\)于\(b > a\)。 例如\(7 < 11\)，等效于\(11 > 7\)。 \(a > b\)并且等同于\(b < a\)。 例如\(17 > 4\)，等效于\(4 < 17\)。
| 不等式符号 | 单词 |
|---|---|
| \(a \neq b\) | \(a\)不等于\(b\) |
| \(a < b\) | \(a\)小于\(b\) |
| \(a \leq b\) | \(a\)小于或等于\(b\) |
| \(a > b\) | \(a\)大于\(b\) |
| \(a \geq b\) | \(a\)大于或不等于\(b\) |
从代数翻译成英语：
- \(17 \leq 26\)
- \(8 \neq 17 - 3\)
- \(12 > 27 \div 3\)
- \(y + 7 < 19\)
- 回答
-
- \(17 \leq 26\)，小\(17\)于或等于\(26\)
- \(8 \neq 17 - 3\)，\(8\)不等于\(17\)减号\(3\)
- \(12 > 27 \div 3\)，大\(12\)于\(27\)除以\(3\)
- \(y + 7 < 19\)，\(y\)p\(7\) lus 小于\(19\)
从代数翻译成英语：
- \(14 \leq 27\)
- \(19 - 2 \neq 8\)
- \(12 > 4 \div 2\)
- \(x - 7 < 1\)
- 回答
-
- \(14\)小于或等于\(27\)
- \(19\)减号\(2\)不等于\(8\)
- \(12\)大于\(4\)除以\(2\)
- \(x\)减\(7\)号小于\(1\)
从代数翻译成英语：
- \(19 \leq 15\)
- \(7 = 12 - 5\)
- \(15 \div 3 < 8\)
- \(y + 3 < 6\)
- 回答
-
- \(19\)大于或等于\(15\)
- \(7\)等于\(12\)减号\(5\)
- \(15\)除以小\(3\)于\(8\)
- \(y\)p\(3\) lus 大于\(6\)
对代数中的符号进行分组与英语中的逗号、冒号和其他标点符号非常相似。 它们有助于明确哪些表达式应保存在一起并与其他表达式分开。 我们现在将介绍三种类型。
\[\begin{align*} & \text{Parentheses} & & ( ) \\ & \text{Brackets} & & [ ] \\ & \text{Braces} & & \{ \} \end{align*}\]
以下是一些包含分组符号的表达式示例。 在本节后面，我们将简化这样的表达式。
\[8(14−8) \qquad 21−3[2 + 4(9−8)] \qquad 24\div \{ 13−2[1(6−5)+4] \nonumber\}\]
在英语中，短语和句子有什么区别？ 一个短语表示一个本身并不完整的单一想法，但一个句子代表一个完整的陈述。 “跑得很快” 是一句话，但 “足球运动员跑得很快” 是一句话。 句子有主语和动词。 在代数中，我们有表达式和方程。
表达式是数字、变量或使用运算符号的数字和变量的组合。
表达式就像英语短语。 以下是一些表达式示例：
| 表情 | 单词 | 英语短语 |
|---|---|---|
| \(3 + 5\) | \(3\)再加上\(5\) | 三和五的总和 |
| \(n − 1\) | \(n\)减一 | \(n\)和 one 的区别 |
| \(6\cdot 7\) | \(6\)倍\(7\) | 六和七的乘积 |
| \(\dfrac{x}{y}\) | \(x\)除以\(y\) | \(x\)和的商\(y\) |
请注意，英语短语不构成完整的句子，因为该短语没有动词。 方程是两个用等号连接的表达式。 当你读取方程中符号所代表的单词时，你就有了完整的英语句子。 等号表示动词。
方程是两个由等号连接的表达式。
以下是一些方程示例。
| 方程 | 英语句子 |
|---|---|
| \(3+5=8\) | 三和五之和等于八 |
| \(n−1=14\) | \(n\)减一等于十四 |
| \(6 \cdot 7=42\) | 六和七的乘积等于四十二 |
| \(x=53\) | \(x\)等于五十三 |
| \(y+9=2y−3\) | \(y\)加九等于二\(y\)减三 |
确定每个是表达式还是方程：
- \(2(x + 3) = 10\)
- \(4(y - 1) + 1\)
- \(x \div 25\)
- \(y + 8 = 40\)
- 回答
-
- \(2(x + 3) = 10\)。 这是一个方程——两个表达式用等号相连。
- \(4(y - 1) + 1\)。 这是一个表达式——没有等号。
- \(x \div 25\)。 这是一个表达式——没有等号。
- \(y + 8 = 40\)。 这是一个方程——两个表达式用等号相连。
确定每个是表达式还是方程：
- \(3(x - 7) = 27\)
- \(5(4y - 2) - 7\)
- 回答
-
- 方程
- 表情
确定每个是表达式还是方程：
- \(y^{3} \div 14\)
- \(4x - 6 = 22\)
- 回答
-
- 表情
- 方程
假设我们需要乘以九个因子\(2\)。 我们可以把它写成\(2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\)。 这很乏味，可能很难追踪所有这些 2 秒，所以我们使用指数。 我们\(2\cdot 2 \cdot 2\)按原样写\(2^{3}\)\(2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\)作\(2^{9}\)。 在诸如之类的表达式中\(2^{3}\)，\(2\)称为基数，\(3\)称为指数。 指数告诉我们需要多少次才能将基数相乘。
我们读\(2^{3}\)作 “二到三次方” 或 “二立方体”。
我们说\(2^{3}\)的是指数表示法，\(2\cdot 2 \cdot 2\)是扩展表示法。
\(a^{n}\)指\(n\)因子的乘积\(a\)。
表达式\(a^{n}\)被解读\(a\)为权\(n^{th}\)力。
虽然我们读\(a^{n}\)作 “\(a\)致\(n^{th}\)力”，但我们通常读作：
- \(a^{2}\)“a squared”
- \(a^{3}\)“一个立方体”
我们稍后再看看原因，\(a^{2}\)并\(a^{3}\)有特殊的名字。
\(\PageIndex{6}\)该表显示了我们如何读取一些带有指数的表达式。
| 表情 | 用言语表达 |
|---|---|
| \(7^{2}\) | \(7\)求二次\(7\)方或平方 |
| \(5^{3}\) | \(5\)到第三次幂或\(5\)立方体 |
| \(9^{4}\) | \(9\)到第四次方 |
| \(12^{5}\) | \(12\)到第五次力量 |
简化：\(3^{4}\)
- 回答
-
\[\quad 3^{4}\nonumber\]
\ [\ begin {align*} 然后展开表达式 & 3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3\\ [5pt]
&\ text {从左到右乘以} & & 9\ cdot 3\\ [5pt]
& 27\ cdot 3\\ [5pt]
&\text {乘以} & 81\ end {align*}\]
简化：
- \(5^{3}\)
- \(1^{7}\)
- 回答
-
- \(125\)
- \(1\)
- \(7^{2}\)
- \(0^{5}\)
- 回答
-
- \(49\)
- \(0\)
使用运算顺序简化表达式
简化表达式意味着尽一切可能进行数学运算。 例如，为了简化起见，\(4\cdot 2 + 1\)我们先乘以 get\(4\cdot 2\)，\(8\)然后再将 to get\(1\) 相加\(9\)。 养成的一个好习惯是沿着页面向下移动，将过程的每个步骤写在上一步的下方。 刚才描述的例子看起来像这样：
\[4\cdot 2 + 1\nonumber\]
\[8 + 1\nonumber\]
\[9\nonumber\]
通过在简化表达式时不使用等号，可以避免将表达式与方程混淆。
要简化表达式，请在表达式中执行所有操作。
我们已经介绍了代数中使用的大多数符号和符号，但现在我们需要澄清运算顺序。 否则，表达式可能具有不同的含义，并且可能产生不同的值。 例如，考虑以下表达式：
\[4 + 3\cdot 7\nonumber\]
如果你简化这个表达式，你会得到什么？
有些学生说\(49\)，
\[4 + 3\cdot 7\nonumber\]
既然\(4+3\)给\(7\)了.
\[7 \cdot 7\nonumber\]
而且\(7\cdot 7\)是\(49\)\[49\nonumber\]
其他人说\(25\)，
\[4 + 3\cdot 7\nonumber\]
既然\(3\cdot 7\)是\(21\)。
\[4 + 21\nonumber\]
并\(21 + 4\)使得\(25\)。
\[25\nonumber\]
想象一下，如果每个问题都有几个不同的正确答案，我们的银行系统会变得混乱！
相同的表达式应该给出相同的结果。 因此，数学家很早就制定了一些被称为 “运算顺序” 的指导方针。
- 圆括号和其他分组符号
- 简化括号或其他分组符号内的所有表达式，首先处理最内侧的括号。
- 指数
- 使用指数简化所有表达式。
- 乘法和除法
- 按从左到右的顺序执行所有乘法和除法。 这些操作具有同等的优先级。
- 加法和减法
- 按从左到右的顺序执行所有加法和减法。 这些操作具有同等的优先级。
参加操纵数学活动 “Game of 24” 将让你按照运算顺序进行练习。
学生经常问：“我怎么能记住这个订单？” 这里有一种方法可以帮助你记住：取每个关键词的第一个字母，然后用愚蠢的短语代替：“请原谅我亲爱的莎莉阿姨”。
\ [\ begin {align*} &\ textbf {P}\ text {arenthes} &\ textbf {P}\ text {lease}\\ [5pt]
&\ textbf {M}\ text {explication}\ space\ textbf {D}\ text {ivision} & &\ textbf {M}\ text {y}\ space\ textbf {D}\ text
{ear}\\ [5pt]
&\ textbf {A}\ text {ddition}\ space\ textbf {S}\ text {减法} &\ textbf {A}\ text {unt}\ space\ textbf {ally}\ end {ally}\]
将 “\(\textbf{M}\text{y}\space\textbf{D}\text{ear}\)” 结合在一起是件好事，因为这提醒我们，我的乘法和分割具有同等的优先级。 我们不总是在除法之前进行乘法，也不总是在乘法之前进行除法。 我们按从左到右的顺序排列。
同样，“\(\textbf{A}\text{unt}\space\textbf{S}\text{ally}\)” 组合在一起，因此提醒我们，加法和减法也有同等的优先级，我们按从左到右的顺序进行操作。
让我们来举个例子。
简化：
- \(4 + 3\cdot 7\)
- \((4 + 3)\cdot 7\)
- 回答
- 1。
\(4 + 3 \cdot 7\) 有没有 p 括号？ 不。 有 e 指数吗？ 不。 有我的乘法或分割吗？ 是的。 先乘以。 \(4 + {\color{red}{3 \cdot 7}}\) 添加。 \(4+21\) \(25\) 2。
\((4 + 3)\cdot 7\) 有没有 p 括号？ 是的。 \({\color{red}{(4 + 3)}}\cdot 7\) 在圆括号内进行简化。 \(({\color{red}{7}})7\) 有 e 指数吗？ 不。 有我的乘法或分割吗？ 是的。 乘以。 \(49\)
简化：
- \(12 - 5\cdot 2\)
- \((12 - 5)\cdot 2\)
- 回答
-
- \(2\)
- \(14\)
简化：
- \(8 + 3\cdot 9\)
- \((8 + 3)\cdot 9\)
- 回答
-
- \(35\)
- \(99\)
简化：\(18\div 6 + 4(5 - 2)\)
- 回答
-
括号？ 是的，先减去。 \(18\div 6 + 4(5 - 2)\)
\(18\div 6 + 4(3)\)指数？ 不。 乘法还是除法？ 是的。 \({\color{red}{18\div 6}} + {\color{red}{4(3)}}\) 先除以是因为我们从左到右乘以和除法。 \(3+{\color{red}{4(3)}}\) 还有其他乘法或除法吗？ 是的。 乘以。 \(3 + 12\) 还有其他乘法或除法吗？ 不。 有加法或减法吗？ 是的。 \(15\)
简化：\(30\div 5 + 10(3 - 2)\)
- 回答
-
\(16\)
简化：\(70\div 10 + 4(6 - 2)\)
- 回答
-
\(23\)
当有多个分组符号时，我们首先简化最内侧的括号，然后向外移动。
简化：\(5 + 2^{3} + 3[6 - 3(4 - 2)]\)。
- 回答
-
\(5 + 2^{3} + 3[6 - 3(4 - 2)]\) 有没有圆括号（或其他分组符号）？ 是的。 将注意力集中在方括号内的圆括号上。 \(5 + 2^{3} + 3[6 - 3{\color{red}{(4 - 2)}}]\) 减去。 \(5 + 2^{3} + 3[6 - {\color{red}{3(2)}}]\) 继续在方括号内乘以。 \(5 + 2^{3} + 3[{\color{red}{6 - 6}}]\) 继续在方括号内减去。 \(5 + 2^{3} + 3[{\color{red}{0}}]\) 方括号内的表达式无需进一步简化。 有指数吗？ 是的。 \(5 + {\color{red}{2^{3}}}+ 3[0]\) 简化指数。 \(5 + 8 + {\color{red}{3[0]}}\) 有乘法或除法吗？ 是的。 乘以。 \({\color{red}{5 + 8}}+0\) 有加法或减法吗？ 是的。 添加。 \({\color{red}{13 + 0}}\) 添加。 \(13\)
简化：\(9 + 5^{3} - [4(9 + 3)]\)。
- 回答
-
\(86\)
简化：\(7^{2} - 2[4(5 + 1)]\)。
- 回答
-
\(1\)
计算表达式
在最后几个示例中，我们使用运算顺序简化了表达式。 现在，我们将再次按照运算顺序计算一些表达式。 计算表达式意味着在变量被给定数字替换时找到表达式的值。
计算表达式意味着在变量被给定数字替换时找到表达式的值。
要计算表达式，请用该数字代替表达式中的变量，然后简化表达式。
评估\(7x - 4\)，何时
- \(x = 5\)
- \(x = 1\)
- 回答
-
1。
什么时候\(x = {\color{red}{5}}\) \(7x - 4\) \(7({\color{red}{5}}) - 4\) 乘以。 \(35 - 4\) 减去。 \(31\) 2。
什么时候\(x = {\color{red}{1}}\) \(7x - 4\) \(7({\color{red}{1}}) - 4\) 乘以。 \(7 - 4\) 减去。 \(3\)
评估\(8x - 3\)，何时
- \(x = 2\)
- \(x = 1\)
- 回答
-
- \(13\)
- \(5\)
评估\(4y - 4\)，何时
- \(y = 3\)
- \(y = 5\)
- 回答
-
- \(8\)
- \(16\)
评估\(x = 4\)，何时
- \(x^{2}\)
- \(3^{x}\)
- 回答
-
1。
\(x^{2}\) 替换\(x\)为\({\color{red}{4}}\)。 \(({\color{red}{4}})^{2}\) 使用指数的定义。 \(4\cdot 4\) 简化。 \(16\) 2。
\(3^{x}\) 替换\(x\)为\({\color{red}{4}}\)。 \(3^ ParseError: invalid DekiScript (click for details)\)Callstack: at (简体中文/图书：基本代数_(OpenStax)/01:_基金会/1.03:_使用代数语言), /content/body/div[4]/div[5]/div/dl/dd/table[2]/tbody/tr[2]/td[2]/span/span, line 1, column 1使用指数的定义。 \(3\cdot3\cdot3\cdot3\) 简化。 \(81\)
评估\(x = 3\)，何时
- \(x^{2}\)
- \(4^{x}\)
- 回答
-
- \(9\)
- \(64\)
评估\(x = 6\)，何时
- \(x^{3}\)
- \(2^{x}\)
- 回答
-
- \(216\)
- \(64\)
评估\(2x^{2} + 3x + 8\)时间\(x = 4\)。
- 回答
-
\(2x^{2} + 3x + 8\) 替代\(x = {\color{red}{4}}\)。 \(\small{2x^{2} + 3x + 8}\)
\(2({\color{red}{4}})^{2} + 3({\color{red}{4}}) + 8\)遵循操作顺序。 \(2(16)+3(4)+8\) \(32+12+8\) \(52\)
评估\(3x^{2} + 4x + 1\)时间\(x = 3\)。
- 回答
-
\(40\)
评估\(6x^{2} - 4x - 7\)时间\(x = 2\)。
- 回答
-
\(9\)
识别并合并相似的术语
代数表达式由术语组成。 项是一个常数，或者是一个常量与一个或多个变量的乘积。
项是一个常数，或者是一个常量与一个或多个变量的乘积。
术语示例为\(7, y, 5x^{2}, 9a\)、和\(b^{5}\)。
与变量相乘的常数称为系数。
项的系数是将项中的变量相乘的常数。
将系数视为变量前面的数字。 该项的系数\(3x\)为\(3\)。 当我们写的时候\(x\)，系数是\(1\)，since\(x=1\cdot x\)。
确定每个项的系数：
- \(14y\)
- \(15x^{2}\)
- \(a\)
- 回答
-
- 的系数\(14y\)为\(14\)
- 的系数\(15x^{2}\)为\(15\)
- 的系数\(a\)\(1\)为 since\(a=1a\)。
确定每个项的系数：
- \(17x\)
- \(41b^{2}\)
- \(z\)
- 回答
-
- \(14\)
- \(41\)
- \(1\)
确定每个项的系数：
- \(9p\)
- \(13a^{2}\)
- \(y^{3}\)
- 回答
-
- \(9\)
- \(13\)
- \(1\)
有些术语具有共同的特征。 看看以下 6 个术语。 哪些似乎有共同的特征？
\[5x \qquad 7 \qquad n^{2} \qquad 4 \qquad 3x \qquad 9n^{2}\nonumber\]
\(7\)和\(4\)都是常量项。
\(5x\)和\(3x\)都是术语\(x\)。
\(n^{2}\)和\(9n^{2}\)都是术语\(n^{2}\)。
当两个项是常量或具有相同的变量和指数时，我们说它们就像项一样。
- \(7\)就像术语一样。\(4\)
- \(5x\)就像术语一样。\(3x\)
- \(x^{2}\)就像术语一样。\(9x^{2}\)
要么是常量，要么将相同变量提高到相同幂的项被称为类似项。
找出类似的术语:\(y^{3},7x^{2}, 14, 23, 4y^{3}, 9x, 5x^{2}\).
- 回答
-
\(y^{3}\)和\(4y^{3}\)之所以类似，是因为两者都有\(y^{3}\)；变量和指数匹配。
\(7x^{2}\)和\(5x^{2}\)之所以类似，是因为两者都有\(x^{2}\)；变量和指数匹配。
\(14\)和\(23\)就像术语一样，因为两者都是常量。
没有其他类似的术语\(9x\)了。
找出类似的术语:\(9, 2x^{3},y^{2}, 8x^{3}, 15, 9y, 11y^{2}\).
- 回答
-
\(9\)\(y^{2}\)和\(15\)\(11y^{2}\)、\(2x^{3}\)和\(8x^{3}\)
找出类似的术语:\(4x^{3},8x^{2}, 19, 3x^{3}, 24, 6x^{3}\).
- 回答
-
\(19\)\(8x^{2}\)和\(24\)\(3x^{2}\)、\(4x^{3}\)和\(6x^{3}\)
识别每个表达式中的术语。
- \(9x^{2}+7x+12\)
- \(8x+3y\)
- 回答
-
- 的条款\(9x^{2}+7x+12\)是\(9x^{2}, 7x\)、和\(12\)。
- 的条款\(8x+3y\)是\(8x\)和\(3y\)。
识别表达式中的术语\(4x^{2}+5x+17\)。
- 回答
-
\(4x^{2}, 5x, 17\)
识别表达式中的术语\(5x+2y\)。
- 回答
-
\(5x, 2y\)
如果表达式中有相似的术语，则可以通过组合相似的术语来简化表达式。 你认为可以简化\(4x+7x+x\)为什么？ 如果你这么想\(12x\)，那你是对的！
\[\begin{array} { c } { 4 x + 7 x + x } \\ { x + x + x + x \quad + x + x + x + x + x + x + x \quad+ x } \\ { 12 x } \end{array}\]
将系数相加并保留相同的变量。 x 是什么都没关系，如果你有 4 个东西，再加 7 个相同的东西，然后再加 1 个，结果就是其中 12 个。 例如，4 个橙子加 7 个橙子加 1 个橙子等于 12 个橙子。 稍后我们将讨论这背后的数学属性。
简化：\(4x+7x+x\)
将系数相加。 \(12x\)
简化：\(2x^{2} + 3x + 7 + x^{2} + 4x + 5\)
- 回答
-
简化：\(3x^{2} + 7x + 9 + 7x^{2} + 9x + 8\)。
- 回答
-
\(10x^{2}+16x+17\)
简化：\(4y^{2} + 5y + 2 + 8y^{2} + 4y + 5\)。
- 回答
-
\(12y^{2}+9y+7\)
- 识别相似的术语。
- 重新排列表达式，就像术语组合在一起一样。
- 将系数相加或减去，并为每组相似项保留相同的变量。
将英语短语翻译成代数表达式
在最后一节中，我们列出了代数中使用的许多运算符号，然后我们将表达式和方程翻译成英语短语和句子。 现在我们将逆转这个过程。 我们将把英语短语翻译成代数表达式。 我们所讨论的符号和变量将帮助我们做到这一点。 表中\(\PageIndex{7}\)总结了它们。
| 操作 | 短语 | 表情 |
|---|---|---|
| 加法 | \(a\)加\(b\) 上\(a\)和的总和\(b\) \(a\)大\(b\) \(b\)于\(a\)和\(a\) 的总和\(b\) \(b\)已添加到\(a\) |
\[a+b\] |
| 减法 | \(a\)减去\(b\) 之差\(a\)，\(b\) \(a\)减去\(b\) \(b\)小于\(a\) \(b\)减去\(a\) |
\[a−b\] |
| 乘法 | \(a\)乘\(b\) 以的乘积\(a\)和\(b\) 两次\(a\) |
\[a\cdot b, ab, a(b), (a)(b)\] \[2a\] |
| 部门 | \(a\)除\(b\) 以商\(a\)\(a\)和\(b\) 之比\(b\) \(b\)除以\(a\) |
\[a\div b, a/b, \frac{a}{b}, b \enclose{longdiv}{a}\] |
使用四个操作仔细查看这些短语：
每个短语都告诉我们对两个数字进行运算。 查找 and 的单词并找到数字。
将每个英语短语翻译成代数表达式：
- \(17x\)和的区别\(5\)
- \(10x^{2}\)和的商\(7\)。
- 回答
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- 关键词是差异，它告诉我们运算是减法。 查找 and 和 t 的单词以找到要减去的数字。
- 关键词是 “商”，它告诉我们运算是除法。
也可以写成\(10x^{2}/7\)或\(\dfrac{10x^{2}}{7}\)。
- 关键词是差异，它告诉我们运算是减法。 查找 and 和 t 的单词以找到要减去的数字。
将每个英语短语翻译成代数表达式：
- \(14x^{2}\)和的区别\(13\)
- \(12x\)和的商\(2\)。
- 回答
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- \(14x^{2} - 13\)
- \(12x \div 2\)
将每个英语短语翻译成代数表达式：
- \(17y^{2}\)和的总和\(19\)
- \(7\)和的乘积\(y\)。
- 回答
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- \(17y^{2} + 19\)
- \(7y\)
八年后你会几岁？ 多大年龄比你现在的年龄多八岁？ 你现在的年龄增加了 8 吗？ 八个 “超过” 意味着你现在的年龄增加了8个。 你七年前几岁？ 这比你现在的年龄小 7 岁。 你从你现在的年龄中减去 7。 七个 “小于” 表示从你现在的年龄中减去 7。
将英语短语翻译成代数表达式：
- 多十七岁\(y\)
- 少于九个\(9x^{2}\)。
- 回答
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- 关键词不止于此。 他们告诉我们操作是加法。 不仅仅是 “添加到” 的意思。
\(\begin{array} { c } { \text { Seventeen more than } y } \\ { \text { Seventeen added to } y } \\ { y + 17 } \end{array}\)
- 关键词小于。 他们告诉我们减去。 小于表示 “减去”。
\(\begin{array} { c } { \text { Nine less than } 9 x ^ { 2 } } \\ { \text { Nine subtracted from } 9 x ^ { 2 } } \\ { 9 x ^ { 2 } - 9 } \end{array}\)
- 关键词不止于此。 他们告诉我们操作是加法。 不仅仅是 “添加到” 的意思。
将英语短语翻译成代数表达式：
- 比 x 多十一
- 少于十四\(11a\)。
- 回答
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- \(x+11\)
- \(11a−14\)
将英语短语翻译成代数表达式：
- \(13\)超过\(z\)
- \(18\)小于\(8x\)。
- 回答
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1。 \(z+13\)
2。 \(8x−18\)
将英语短语翻译成代数表达式：
- 和之\(m\)和的五倍\(n\)
- 五次之\(m\)和和\(n\)。
- 回答
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有两个运算词 —— 时间告诉我们乘以，总和告诉我们相加。
1。 因为我们要\(5\)乘以总和，所以我们需要在\(m\)和、两边加上圆括\(n\)号\((m+n)\)。 这迫使我们首先确定总和。 （记住操作顺序。）\[\begin{array} { c } { \text { five times the sum of } m \text { and } n } \\ { 5 ( m + n ) } \end{array}\]
2。 总而言之，我们查找 “of” 和 “and” 这两个词以查看添加了什么。 这里我们取五倍\(m\)和\ (n\.)\[\begin{array} { c } { \text { the sum of five times } m \text { and } n } \\ { 5 m + n } \end{array}\]
将英语短语翻译成代数表达式：
- 和之\(p\)和的四倍\(q\)
- 四乘\(p\)和的总和\(q\)。
- 回答
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- \(4(p+q)\)
- \(4p+q\)
将英语短语翻译成代数表达式：
- 两倍 x 的差值\(8\)和
- x 和 x 之差的两倍\(8\)。
- 回答
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- \(2x−8\)
- \(2(x−8)\)
在本课程的后面部分，我们将运用我们的代数技能来求解应用程序。 第一步将是将英语短语翻译成代数表达式。 我们将在接下来的两个示例中看到如何执行此操作。
矩形的长度\(6\)小于宽度。 让我们来\(w\)表示矩形的宽度。 为矩形的长度写一个表达式。
- 回答
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\[\begin{array} { l l } { \text { Write a phrase about the length of the rectangle. } } &{ 6 \text { less than the width } } \\ { \text { Substitute } w \text { for "the width." } } &{\text{6 less then w}} \\ { \text { Rewrite "less than" as "subtracted from." } } &{\text{6 subtracted from w}} \\ { \text { Translate the phrase into algebra. } } &{w - 6} \end{array}\]
矩形的长度\(7\)小于宽度。 让我们来\(w\)表示矩形的宽度。 为矩形的长度写一个表达式。
- 回答
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\(w - 7\)
矩形的宽度\(6\)小于长度。 让我们来\(l\)表示矩形的长度。 为矩形的宽度写一个表达式。
- 回答
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\(l - 6\)
June 的钱包里有硬币和四分之一。 毛钱的数量是三分之一小于季度数的四倍。 让我们来\(q\)表示季度数。 为硬币数写一个表达式。
- 回答
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\[\begin{array} { ll } { \text { Write the phrase about the number of dimes. } } &{\text{three less than four times the number of quarters}} \\ { \text { Substitute } q \text { for the number of quarters. } } &{\text{3 less than 4 times q}} \\ { \text { Translate "4 times } q \text { ." } } &{\text{3 less than 4q}} \\ { \text { Translate the phrase into algebra. } } &{\text{4q - 3}} \end{array}\]
杰弗里口袋里有一角钱和四分之一。 硬币的数量比季度数少四倍的八分钱。 让我们来\(q\)表示季度数。 为硬币数写一个表达式。
- 回答
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\(4q - 8\)
Lauren 的钱包里有硬币和镍。 硬币的数量是镍数量的三倍多七倍。 让我们来\(n\)表示镍的数量。 为硬币数写一个表达式。
- 回答
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\(7n + 3\)
关键概念
- 注释结果是...
\(\begin{array} { l l } {\bullet \space a + b } &{ \text { the sum of } a \text { and } b } \\ { \bullet \space a - b } &{ \text { the difference of } a \text { and } b } \\ {\bullet\space a \cdot b , a b , ( a ) ( b ) ( a ) b , a ( b ) } &{ \text { the product of } a \text { and } b } \\ {\bullet\space a \div b , a / b , \frac { a } { b } , b ) \overline{a} } &{ \text { the quotient of } a \text { and } b } \end{array}\) - 不平等
\(\begin{array} { l l } { \bullet \space a < b \text { is read "a is less than } b ^ { \prime \prime } } &{a \text { is to the left of } b \text { on the number line } } \\ { \bullet \space a > b \text { is read "a is greater than } b ^ { \prime \prime } } & { a \text { is to the right of } b \text { on the number line } } \end{array}\) - 不等式符号单词
\(\begin{array} {ll} { \bullet a \neq b } &{ a \text { is not equal to } b } \\ { \bullet a < b } &{ a \text { is less than } b } \\ { \bullet a \leq b } &{ a \text { is less than or equal to } b } \\ { \bullet a > b } & { a \text { is greater than } b } \\ { \bullet a \geq b } & { a \text { is greater than or equal to } b } \end{array}\) - 分组符号
- 圆括号 ()
- 方括号 []
- 大括号 {}
- 指数表示法
- \(a^{n}\)指\(n\)因子的乘积\(a\)。 表达式\(a^{n}\)被解读\(a\)为权\(n^{th}\)力。
- 运算@@ 顺序：简化数学表达式时，按以下顺序执行运算：
- 圆括号和其他分组符号：简化括号或其他分组符号内的所有表达式，首先处理最内侧的括号。
- 指数：使用指数简化所有表达式。
- 乘法和除法：按从左到右的顺序执行所有乘法和除法。 这些操作具有同等的优先级。
- 加减法：按从左到右的顺序执行所有加法和减法。 这些操作具有同等的优先级。
- 合并 “相似术语”
- 识别相似的术语。
- 重新排列表达式，就像术语组合在一起一样。
- 将系数相加或减去，并为每组相似项保留相同的变量。
词汇表
- 系数
- 项的系数是将项中的变量相乘的常数。
- 不变
- 常量是一个数值，其值始终保持不变。
- 平等符号
- 符号 “\(=\)” 被称为等号。 我们读\(a=b\)作 “等\(a\)于”\(b\)。
- 方程
- 方程是两个由等号连接的表达式。
- 计算表达式
- 计算表达式意味着在变量被给定数字替换时找到表达式的值。
- 表情
- 表达式是数字、变量或使用运算符号的数字和变量的组合。
- 像术语一样
- 要么是常量，要么将相同变量提高到相同幂的项被称为类似项。
- 简化表达式
- 要简化表达式，请在表达式中执行所有操作。
- 术语
- 项是一个常量或一个常量与一个或多个变量的乘积。
- 变量
- 变量是一个字母，它代表一个数值，该数字的值可能会改变。