第 10 章复习练习

章节复习练习

查找复合函数和逆函数

练习$\PageIndex{1}$ Find and Evaluate Composite Functions

在以下练习中，针对每对函数，找到

1. $(f \circ g)(x)$
2. $(g \circ f)(x)$
3. $(f \cdot g)(x)$

1。 $f(x)=7 x-2$和$g(x)=5 x+1$

2。 $f(x)=4 x$和$g(x)=x^{2}+3 x$

回答

2。

1. $4 x^{2}+12 x$
2. $16 x^{2}+12 x$
3. $4 x^{3}+12 x^{2}$

练习$\PageIndex{2}$ Find and Evaluate Composite Functions

在以下练习中，评估构图。

1. 对于函数$f(x)=3 x^{2}+2$和$g(x)=4 x-3$，请查找
   1. $(f \circ g)(-3)$
   2. $(g \circ f)(-2)$
   3. $(f \circ f)(-1)$
2. 对于函数$f(x)=2 x^{3}+5$和$g(x)=3 x^{2}-7$，请查找
   1. $(f \circ g)(-1)$
   2. $(g \circ f)(-2)$
   3. $(g \circ g)(1)$

回答

2。

1. $-123$
2. $356$
3. $41$

练习$\PageIndex{3}$ Determine Whether a Function is One-to-One

在以下练习中，对于每组有序对，确定它是否代表一个函数，如果是，则是一对一的函数。

1. $\begin{array}{l}{\{(-3,-5),(-2,-4),(-1,-3),(0,-2)} , {(-1,-1),(-2,0),(-3,1) \}}\end{array}$
2. $\begin{array}{l}{\{(-3,0),(-2,-2),(-1,0),(0,1)} , {(1,2),(2,1),(3,-1) \}}\end{array}$
3. $\begin{array}{l}{\{(-3,3),(-2,1),(-1,-1),(0,-3)} , {(1,-5),(2,-4),(3,-2) \}}\end{array}$

回答

2。 功能；不是一对一

练习$\PageIndex{4}$ Determine Whether a Function is One-to-One

在以下练习中，确定每个图形是否是函数的图形，如果是，是否是一对一的。

1. 1. 
      
      图 10.E.1
   2. 
      
      图 10.E.2
2. 1. 
      
      图 10.E.3
   2. 
      
      图 10.E.4

回答

1。

1. 功能；不是一对一
2. 不是函数

练习$\PageIndex{5}$ Find the Inverse of a Function

在以下练习中，找到该函数的逆函数。 确定逆函数的域和范围。

1. $\{(-3,10),(-2,5),(-1,2),(0,1)\}$

回答

1。 反向函数:$\{(10,-3),(5,-2),(2,-1),(1,0)\}$. 域：$\{1,2,5,10\}$。 范围：$\{-3,-2,-1,0\}$。

练习$\PageIndex{6}$ Find the Inverse of a Function

在以下练习中，绘制所示一对一函数的逆函数。

图 10.E.5

回答

自行解决

练习$\PageIndex{7}$ Find the Inverse of a Function

在以下练习中，验证函数是否为反函数。

1. $\begin{array}{l}{f(x)=3 x+7 \text { and }} {g(x)=\frac{x-7}{3}}\end{array}$
2. $\begin{array}{l}{f(x)=2 x+9 \text { and }} {g(x)=\frac{x+9}{2}}\end{array}$

回答

1。 $g(f(x))=x,$$f(g(x))=x,$所以它们是反向的。

练习$\PageIndex{8}$ Find the Inverse of a Function

1. $f(x)=6 x-11$
2. $f(x)=x^{3}+13$
3. $f(x)=\frac{1}{x+5}$
4. $f(x)=\sqrt[5]{x-1}$

回答

1。 $f^{-1}(x)=\frac{x+11}{6}$

3。 $f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-5$

计算指数函数并绘制其图形

练习$\PageIndex{9}$ Graph Exponential Functions

在以下练习中，绘制以下每个函数的图表。

1. $f(x)=4^{x}$
2. $f(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}$
3. $g(x)=(0.75)^{x}$
4. $g(x)=3^{x+2}$
5. $f(x)=(2.3)^{x}-3$
6. $f(x)=e^{x}+5$
7. $f(x)=-e^{x}$

回答

1。

图 10.E.6

3。

图 10.E.7

5。

图 10.E.8

7。

图 10.E.9

练习$\PageIndex{10}$ Solve Exponential Equations

在以下练习中，求解每个方程。

1. $3^{5 x-6}=81$
2. $2^{x^{2}}=16$
3. $9^{x}=27$
4. $5^{x^{2}+2 x}=\frac{1}{5}$
5. $e^{4 x} \cdot e^{7}=e^{19}$
6. $\frac{e^{x^{2}}}{e^{15}}=e^{2 x}$

回答

2。 $x=-2, x=2$

4。 $x=-1$

6。 $x=-3, x=5$

练习$\PageIndex{11}$ Use Exponential Models in Applications

在以下练习中，求解。

1. 费利克斯在储蓄账户$12,000$中投资了美元。 如果利率为$4$ ％，则每种复利方法在$12$年内账户中会有多少？
   1. 化合物季刊
   2. 化合物月报
   3. 持续化合物
2. 赛义德将美元存$20,000$入投资账户。 如果投资的年收益率为$7$百分比并且持续复利，那么$30$多年来他的投资价值将是多少？
3. 疾病控制与预防中心的一位研究人员正在研究细菌的生长。 她开始$150$对以每小时$15$百分比的速度生长的细菌进行实验。 她将每隔一$24$小时检查一次细菌。 他会在$24$几个小时内发现多少细菌？
4. 在过去的五年中，美国的人口以每年$0.7$百分比的速度增长到大约$318,900,000$。 如果这个比率持续下去，那么未来几年的人口会是$5$多少？

回答

2。 $\$ 163,323.40$

4。 $330,259,000$

计算对数函数并绘制图表

练习$\PageIndex{12}$ Convert Between Exponential and Logarithmic Form

在以下练习中，从指数形式转换为对数形式。

1. $5^{4}=625$
2. $10^{-3}=\frac{1}{1,000}$
3. $63^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{63}$
4. $e^{y}=16$

回答

2。 $\log \frac{1}{1,000}=-3$

4。 $\ln 16=y$

练习$\PageIndex{13}$ Convert Between Exponential and Logarithmic Form

在以下练习中，将每个对数方程转换为指数形式。

1. $7=\log _{2} 128$
2. $5=\log 100,000$
3. $4=\ln x$

回答

2。 $100000=10^{5}$

练习$\PageIndex{14}$ Evaluate Logarithmic Functions

在以下练习中，求解$x$。

1. $\log _{x} 125=3$
2. $\log _{7} x=-2$
3. $\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}=x$

回答

1。 $x=5$

3。 $x=4$

练习$\PageIndex{15}$ Evaluate Logarithmic Functions

在以下练习中，无需使用计算器即可找到每个对数的确切值。

1. $\log _{2} 32$
2. $\log _{8} 1$
3. $\log _{3} \frac{1}{9}$

回答

2。 $0$

练习$\PageIndex{16}$ Graph Logarithmic Functions

在以下练习中，绘制每个对数函数的图表。

1. $y=\log _{5} x$
2. $y=\log _{\frac{1}{4}} x$
3. $y=\log _{0.8} x$

回答

1。

图 10.E.10

3。

图 10.E.11

练习$\PageIndex{17}$ Solve Logarithmic Equations

在以下练习中，求解每个对数方程。

1. $\log _{a} 36=5$
2. $\ln x=-3$
3. $\log _{2}(5 x-7)=3$
4. $\ln e^{3 x}=24$
5. $\log \left(x^{2}-21\right)=2$

回答

2。 $x=e^{-3}$

4。 $x=8$

练习$\PageIndex{18}$ Use Logarithmic Models in Applications

强度为每平方英寸$10^{−3}$瓦特的火车哨的分贝等级是多少？

回答

$90$dB

使用对数的属性

练习$\PageIndex{19}$ Use the Properties of Logarithms

在以下练习中，使用对数的属性进行计算。

1. 1. $\log _{7} 1$
   2. $\log _{12} 12$
2. 1. $5^{\log _{5} 13}$
   2. $\log _{3} 3^{-9}$
3. 1. $10^{\log \sqrt{5}}$
   2. $\log 10^{-3}$
4. 1. $e^{\ln 8}$
   2. $\ln e^{5}$

回答

2。

1. $13$
2. $-9$

4。

1. $8$
2. $5$

练习$\PageIndex{20}$ Use the Properties of Logarithms

在以下练习中，使用对数乘积属性将每个对数写成对数之和。 尽可能简化。

1. $\log _{4}(64 x y)$
2. $\log 10,000 m$

回答

2。 $4+\log m$

练习$\PageIndex{21}$ Use the Properties of Logarithms

在以下练习中，使用对数的商属性将每个对数写成对数之和。 尽可能简化。

1. $\log _{7} \frac{49}{y}$
2. $\ln \frac{e^{5}}{2}$

回答

2。 $5-\ln 2$

练习$\PageIndex{22}$ Use the Properties of Logarithms

在以下练习中，使用对数的幂属性来扩展每个对数。 尽可能简化。

1. $\log x^{-9}$
2. $\log _{4} \sqrt[7]{z}$

回答

2。 $\frac{1}{7} \log _{4} z$

练习$\PageIndex{23}$ Use the Properties of Logarithms

在以下练习中，使用对数的属性将每个对数写成对数之和。 尽可能简化。

1. $\log _{3}\left(\sqrt{4} x^{7} y^{8}\right)$
2. $\log _{5} \frac{8 a^{2} b^{6} c}{d^{3}}$
3. $\ln \frac{\sqrt{3 x^{2}-y^{2}}}{z^{4}}$
4. $\log _{6} \sqrt[3]{\frac{7 x^{2}}{6 y^{3} z^{5}}}$

回答

2。 $\begin{array}{l}{\log _{5} 8+2 \log _{5} a+6 \log _{5} b} {+\log _{5} c-3 \log _{5} d}\end{array}$

4。 $\begin{array}{l}{\frac{1}{3}\left(\log _{6} 7+2 \log _{6} x-1-3 \log _{6} y\right.} {-5 \log _{6} z )}\end{array}$

练习$\PageIndex{24}$ Use the Properties of Logarithms

在以下练习中，使用对数属性来压缩对数。 尽可能简化。

1. $\log _{2} 56-\log _{2} 7$
2. $3 \log _{3} x+7 \log _{3} y$
3. $\log _{5}\left(x^{2}-16\right)-2 \log _{5}(x+4)$
4. $\frac{1}{4} \log y-2 \log (y-3)$

回答

2。 $\log _{3} x^{3} y^{7}$

4。 $\log \frac{\sqrt[4]{y}}{(y-3)^{2}}$

练习$\PageIndex{25}$ Use the Change-of-Base Formula

在以下练习中，四舍五入到小数点后三位，近似每个对数。

1. $\log _{5} 97$
2. $\log _{\sqrt{3}} 16$

回答

2。 $5.047$

求解指数和对数方程

练习$\PageIndex{26}$ Solve Logarithmic Equations Using the Properties of Logarithms

在以下练习中，求解$x$。

1. $3 \log _{5} x=\log _{5} 216$
2. $\log _{2} x+\log _{2}(x-2)=3$
3. $\log (x-1)-\log (3 x+5)=-\log x$
4. $\log _{4}(x-2)+\log _{4}(x+5)=\log _{4} 8$
5. $\ln (3 x-2)=\ln (x+4)+\ln 2$

回答

2。 $x=4$

4。 $x=3$

练习$\PageIndex{27}$ Solve Exponential Equations Using Logarithms

在以下练习中，求解每个指数方程。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。

1. $2^{x}=101$
2. $e^{x}=23$
3. $\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=7$
4. $7 e^{x+3}=28$
5. $e^{x-4}+8=23$

回答

1。 $x=\frac{\log 101}{\log 2} \approx 6.658$

3。 $x=\frac{\log 7}{\log \frac{1}{3}} \approx-1.771$

5。 $x=\ln 15+4 \approx 6.708$

练习$\PageIndex{28}$ Use Exponential Models in Applications

1. 杰罗姆年纪$18,000$就投资美元$17$。 他希望$30,000$当他转身时，这些投资将值美元$26$。 如果利息持续增加，他大约需要多少增长率才能实现目标？ 这是合理的预期吗？
2. Elise 将美元投资$4500$于一个账户，该账户每月可复合利息并赚取$6$百分比。她的钱需要多长时间才能翻一番？
3. 研究人员记录说，某些细菌种群$300$在$8$数小时内从增长$100$到. 以这种增长速度，$24$几个小时内会有多少细菌？
4. 老鼠数量可以在$8$几个月内翻一番$\left(A=2 A_{0}\right)$。 老鼠数量需要多长时间才能增加三倍？
5. 放射性碘的半衰期是$60$几天。 $40$几天之内会剩下多少$50$毫克样本？

回答

2。 $11.6$年份

4。 $12.7$月

练习测试

练习$\PageIndex{29}$

1. 对于函数$g(x)=8x−3$，$f(x)=6x+1$然后找到
   1. $(f \circ g)(x)$
   2. $(g \circ f)(x)$
   3. $(f \cdot g)(x)$
2. 确定以下一组有序对是否代表一个函数，如果是，则该函数是一对一的。 $\{(-2,2),(-1,-3),(0,1),(1,-2),(2,-3)\}$
3. 确定每个图形是否是函数的图形，如果是，是否是一对一的。
   1. 
      
      图 10.E.12
   2. 
      
      图 10.E.13
4. 在同一个坐标系上绘制图表，显示一对一函数的逆函数。

图 10.E.14

5。 找出函数的逆函数$f(x)=x^{5}−9$。

6。 绘制函数图表$g(x)=2^{x-3}$。

7。 求解方程$2^{2 x-4}=64$。

8。 求解方程$\frac{e^{x^{2}}}{e^{4}}=e^{3 x}$。

9。 梅根在储蓄账户$21,000$中投资了美元。 如果利率为$5$ ％，那么通过每种复利方法，按$8$年计算，账户中将有多少？

1. 化合物季刊
2. 化合物月报
3. 持续化合物

10。 将方程从指数形式转换为对数形式:$10^{-2}=\frac{1}{100}$.

11。 将方程从对数方程转换为指数形式:$3=\log _{7} 343$.

12。 求解$x$：$\log _{5} x=-3$

13。 评估日志$_{11} 1$。

14。 评估$\log _{4} \frac{1}{64}$。

15。 绘制函数图表$y=\log _{3} x$。

16。 求解$x$：$\log \left(x^{2}-39\right)=1$

17。 强度为每平方英寸$10^{−8}$瓦特的小型风扇的分贝水平是多少？

18。 分别进行评估。

1. $6^{\log _{6} 17}$
2. $\log _{9} 9^{-3}$

回答

1。

1. $48 x-17$
2. $48 x+5$
3. $48 x^{2}-10 x-3$

3。

1. 不是函数
2. 一对一功能

5。 $f^{-1}(x)=\sqrt[5]{x+9}$

7。 $x=5$

9。

1. $$31,250.74$
2. $$31,302.29$
3. $$31,328.32$

11。 $343=7^{3}$

13。 $0$

15。

图 10.E.15

17。 $40$dB

练习$\PageIndex{30}$

在以下练习中，使用对数的属性将每个表达式写成对数之和，尽可能进行简化。

1. $\log _{5} 25 a b$
2. $\ln \frac{e^{12}}{8}$
3. $\log _{2} \sqrt[4]{\frac{5 x^{3}}{16 y^{2} z^{7}}}$

回答

1。 $2+\log _{5} a+\log _{5} b$

3。 $\begin{array}{l}{\frac{1}{4}\left(\log _{2} 5+3 \log _{2} x-4-2 \log _{2} y\right.} {-7 \log _{2} z )}\end{array}$

练习$\PageIndex{31}$

在以下练习中，使用对数属性来压缩对数，尽可能进行简化。

1. $5 \log _{4} x+3 \log _{4} y$
2. $\frac{1}{6} \log x-3 \log (x+5)$
3. 四舍五入到小数点后三位，近似值$\log _{4} 73$。
4. 求解$x$：$\log _{7}(x+2)+\log _{7}(x-3)=\log _{7} 24$

回答

2。 $\log \frac{\sqrt[6]{x}}{(x+5)^{3}}$

4。 $x=6$

练习$\PageIndex{32}$

在以下练习中，求解每个指数方程。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。

1. $\left(\frac{1}{5}\right)^{x}=9$
2. $5 e^{x-4}=40$
3. 雅各布将美元投资$14,000$于一个账户，该账户每季度复合利息并赚取$4$百分比。 他的钱要多久才能翻一番？
4. 研究人员记录说，某些细菌种群$700$在$5$数小时内从增长$500$到. 以这种增长速度，$20$几个小时内会有多少细菌？
5. 某些甲虫种群可以在$3$几个月内翻一番$\left(A=2 A_{0}\right)$。 甲虫种群需要多长时间才能增加三倍？

回答

2。 $x=\ln 8+4 \approx 6.079$

4。 $1,921$细菌