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10.6E：练习

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    练习成就完美

    练习\(\PageIndex{17}\) Solve Logarithmic Equations Using the Properties of Logarithms

    在以下练习中，求解\(x\)。

    1. \(\log _{4} 64=2 \log _{4} x\)
    2. \(\log 49=2 \log x\)
    3. \(3 \log _{3} x=\log _{3} 27\)
    4. \(3 \log _{6} x=\log _{6} 64\)
    5. \(\log _{5}(4 x-2)=\log _{5} 10\)
    6. \(\log _{3}\left(x^{2}+3\right)=\log _{3} 4 x\)
    7. \(\log _{3} x+\log _{3} x=2\)
    8. \(\log _{4} x+\log _{4} x=3\)
    9. \(\log _{2} x+\log _{2}(x-3)=2\)
    10. \(\log _{3} x+\log _{3}(x+6)=3\)
    11. \(\log x+\log (x+3)=1\)
    12. \(\log x+\log (x-15)=2\)
    13. \(\log (x+4)-\log (5 x+12)=-\log x\)
    14. \(\log (x-1)-\log (x+3)=\log \frac{1}{x}\)
    15. \(\log _{5}(x+3)+\log _{5}(x-6)=\log _{5} 10\)
    16. \(\log _{5}(x+1)+\log _{5}(x-5)=\log _{5} 7\)
    17. \(\log _{3}(2 x-1)=\log _{3}(x+3)+\log _{3} 3\)
    18. \(\log (5 x+1)=\log (x+3)+\log 2\)
    回答

    2。 \(x=7\)

    4。 \(x=4\)

    6。 \(x=1, x=3\)

    8。 \(x=8\)

    10。 \(x=3\)

    12。 \(x=20\)

    14。 \(x=3\)

    16。 \(x=6\)

    18。 \(x=\frac{5}{3}\)

    练习\(\PageIndex{18}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    在以下练习中，求解每个指数方程。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。

    1. \(3^{x}=89\)
    2. \(2^{x}=74\)
    3. \(5^{x}=110\)
    4. \(4^{x}=112\)
    5. \(e^{x}=16\)
    6. \(e^{x}=8\)
    7. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=6\)
    8. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=8\)
    9. \(4 e^{x+1}=16\)
    10. \(3 e^{x+2}=9\)
    11. \(6 e^{2 x}=24\)
    12. \(2 e^{3 x}=32\)
    13. \(\frac{1}{4} e^{x}=3\)
    14. \(\frac{1}{3} e^{x}=2\)
    15. \(e^{x+1}+2=16\)
    16. \(e^{x-1}+4=12\)
    回答

    2。 \(x=\frac{\log 74}{\log 2} \approx 6.209\)

    4。 \(x=\frac{\log 112}{\log 4} \approx 3.404\)

    6。 \(x=\ln 8 \approx 2.079\)

    8。 \(x=\frac{\log 8}{\log \frac{1}{3}} \approx-1.893\)

    10。 \(x=\ln 3-2 \approx-0.901\)

    12。 \(x=\frac{\ln 16}{3} \approx 0.924\)

    14。 \(x=\ln 6 \approx 1.792\)

    16。 \(x=\ln 8+1 \approx 3.079\)

    练习\(\PageIndex{19}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    在以下练习中，求解每个方程。

    1. \(3^{3 x+1}=81\)
    2. \(6^{4 x-17}=216\)
    3. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{14}}=e^{5 x}\)
    4. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{20}\)
    5. \(\log _{a} 64=2\)
    6. \(\log _{a} 81=4\)
    7. \(\ln x=-8\)
    8. \(\ln x=9\)
    9. \(\log _{5}(3 x-8)=2\)
    10. \(\log _{4}(7 x+15)=3\)
    11. \(\ln e^{5 x}=30\)
    12. \(\ln e^{6 x}=18\)
    13. \(3 \log x=\log 125\)
    14. \(7 \log _{3} x=\log _{3} 128\)
    15. \(\log _{6} x+\log _{6}(x-5)=\log _{6} 24\)
    16. \(\log _{9} x+\log _{9}(x-4)=\log _{9} 12\)
    17. \(\log _{2}(x+2)-\log _{2}(2 x+9)=-\log _{2} x\)
    18. \(\log _{6}(x+1)-\log _{6}(4 x+10)=\log _{6} \frac{1}{x}\)
    回答

    2。 \(x=5\)

    4。 \(x=-4, x=5\)

    6。 \(a=3\)

    8。 \(x=e^{9}\)

    10。 \(x=7\)

    12。 \(x=3\)

    14。 \(x=2\)

    16。 \(x=6\)

    18。 \(x=5\)

    练习\(\PageIndex{20}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    在以下练习中，求解\(x\)，给出准确的答案以及小数点后三位的近似值。

    1. \(6^{x}=91\)
    2. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=10\)
    3. \(7 e^{x-3}=35\)
    4. \(8 e^{x+5}=56\)
    回答

    2。 \(x=\frac{\log 10}{\log \frac{1}{2}} \approx-3.322\)

    4。 \(x=\ln 7-5 \approx-3.054\)

    练习\(\PageIndex{21}\) Use Exponential Models in Applications

    在以下练习中，求解。

    1. 李成年投资\(5,000\)美元\(18\)。 他希望\(10,000\)当他转身时，这些投资将值美元\(25\)。 如果利息持续增加，他大约需要多少增长率才能实现目标？ 这是合理的预期吗？
    2. 爱丽丝\(30\)从新工作的签约奖金中按年龄投资美元\(15,000\)。 她希望\(30,000\)当她转身时，这些投资将物有所值\(40\)。 如果利息持续增加，她大约需要多少增长率才能实现目标？
    3. Coralee将美元投资\(5,000\)于一个账户，该账户每月复合利息并赚取\(7\)百分比。 她的钱要多久才能翻一番？
    4. 西蒙妮将美元投资\(8,000\)于一个账户，该账户每季度复合利息并赚取\(5\)百分比。 他的钱翻倍需要多长时间？
    5. 研究人员记录说，某些细菌种群\(100\)在\(24\)数小时内从减少\(100,000\)到了。 以这种衰变速度，\(16\)几个小时内会有多少细菌？
    6. 研究人员记录说，\(500,000\)在服药后的\(6\)数小时内，某些细菌数量从减少\(800,000\)到了。 以这种衰变速度，\(24\)几个小时内会有多少细菌？
    7. 病毒需要\(6\)数天才能将其原始种群增加一倍\(\left(A=2 A_{0}\right)\)。 人口增加三倍需要多长时间？
    8. 细菌在\(24\)数小时内将其原始种群翻了一番\(\left(A=2 A_{0}\right)\)。 \(72\)几小时后它的人口会有多大？
    9. Carbon-14用于考古碳定年。 它的半衰期是\(5,730\)几年。 \(1000\)几年后会剩\(100\)下多少克的碳14样本？
    10. 放射性 technetium-99m 通常用于诊断医学，因为它的半衰期相对较短，但持续时间足够长，可以对患者进行所需的测试。 如果它的半衰期是\(6\)几个小时，那么一\(0.5\)毫升注射液形成的放射性物质将在\(24\)几小时内进入体内？
    回答

    2。 \(6.9\)%

    4。 \(13.9\)年份

    6。 \(122,070\)细菌

    8。 \(8\)是原始人口的两倍

    10。 \(0.03\)mL

    练习\(\PageIndex{22}\) Writing Exercises
    1. 解释你将用来求解这些方程的方法：\(3^{x+1}=81\)，\(3^{x+1}=75\)。 你的方法是否需要两个方程的对数？ 为什么或者为什么不呢？
    2. 指数增长方程和指数衰减方程有什么区别？
    回答

    2。 答案会有所不同。

    自检

    a. 完成练习后，使用此清单评估您对本节目标的掌握程度。

    此表有四行四列。 第一行作为标题，上面写着 “我能”，“自信地，在一些帮助下，不行” 我不明白。™ 标题行下方的第一列显示使用对数属性求解对数方程、使用对数求解指数方程以及在应用程序中使用指数模型。 其余单元格为空。
    图 10.5.1

    b. 看完清单后，你认为你为下一节做好了充分的准备吗？ 为什么或者为什么不呢？