10.6E：练习

练习成就完美

练习$\PageIndex{17}$ Solve Logarithmic Equations Using the Properties of Logarithms

在以下练习中，求解$x$。

1. $\log _{4} 64=2 \log _{4} x$
2. $\log 49=2 \log x$
3. $3 \log _{3} x=\log _{3} 27$
4. $3 \log _{6} x=\log _{6} 64$
5. $\log _{5}(4 x-2)=\log _{5} 10$
6. $\log _{3}\left(x^{2}+3\right)=\log _{3} 4 x$
7. $\log _{3} x+\log _{3} x=2$
8. $\log _{4} x+\log _{4} x=3$
9. $\log _{2} x+\log _{2}(x-3)=2$
10. $\log _{3} x+\log _{3}(x+6)=3$
11. $\log x+\log (x+3)=1$
12. $\log x+\log (x-15)=2$
13. $\log (x+4)-\log (5 x+12)=-\log x$
14. $\log (x-1)-\log (x+3)=\log \frac{1}{x}$
15. $\log _{5}(x+3)+\log _{5}(x-6)=\log _{5} 10$
16. $\log _{5}(x+1)+\log _{5}(x-5)=\log _{5} 7$
17. $\log _{3}(2 x-1)=\log _{3}(x+3)+\log _{3} 3$
18. $\log (5 x+1)=\log (x+3)+\log 2$

回答

2。 $x=7$

4。 $x=4$

6。 $x=1, x=3$

8。 $x=8$

10。 $x=3$

12。 $x=20$

14。 $x=3$

16。 $x=6$

18。 $x=\frac{5}{3}$

练习$\PageIndex{18}$ Solve Exponential Equations Using Logarithms

在以下练习中，求解每个指数方程。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。

1. $3^{x}=89$
2. $2^{x}=74$
3. $5^{x}=110$
4. $4^{x}=112$
5. $e^{x}=16$
6. $e^{x}=8$
7. $\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=6$
8. $\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=8$
9. $4 e^{x+1}=16$
10. $3 e^{x+2}=9$
11. $6 e^{2 x}=24$
12. $2 e^{3 x}=32$
13. $\frac{1}{4} e^{x}=3$
14. $\frac{1}{3} e^{x}=2$
15. $e^{x+1}+2=16$
16. $e^{x-1}+4=12$

回答

2。 $x=\frac{\log 74}{\log 2} \approx 6.209$

4。 $x=\frac{\log 112}{\log 4} \approx 3.404$

6。 $x=\ln 8 \approx 2.079$

8。 $x=\frac{\log 8}{\log \frac{1}{3}} \approx-1.893$

10。 $x=\ln 3-2 \approx-0.901$

12。 $x=\frac{\ln 16}{3} \approx 0.924$

14。 $x=\ln 6 \approx 1.792$

16。 $x=\ln 8+1 \approx 3.079$

练习$\PageIndex{19}$ Solve Exponential Equations Using Logarithms

在以下练习中，求解每个方程。

1. $3^{3 x+1}=81$
2. $6^{4 x-17}=216$
3. $\frac{e^{x^{2}}}{e^{14}}=e^{5 x}$
4. $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{20}$
5. $\log _{a} 64=2$
6. $\log _{a} 81=4$
7. $\ln x=-8$
8. $\ln x=9$
9. $\log _{5}(3 x-8)=2$
10. $\log _{4}(7 x+15)=3$
11. $\ln e^{5 x}=30$
12. $\ln e^{6 x}=18$
13. $3 \log x=\log 125$
14. $7 \log _{3} x=\log _{3} 128$
15. $\log _{6} x+\log _{6}(x-5)=\log _{6} 24$
16. $\log _{9} x+\log _{9}(x-4)=\log _{9} 12$
17. $\log _{2}(x+2)-\log _{2}(2 x+9)=-\log _{2} x$
18. $\log _{6}(x+1)-\log _{6}(4 x+10)=\log _{6} \frac{1}{x}$

回答

2。 $x=5$

4。 $x=-4, x=5$

6。 $a=3$

8。 $x=e^{9}$

10。 $x=7$

12。 $x=3$

14。 $x=2$

16。 $x=6$

18。 $x=5$

练习$\PageIndex{20}$ Solve Exponential Equations Using Logarithms

在以下练习中，求解$x$，给出准确的答案以及小数点后三位的近似值。

1. $6^{x}=91$
2. $\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=10$
3. $7 e^{x-3}=35$
4. $8 e^{x+5}=56$

回答

2。 $x=\frac{\log 10}{\log \frac{1}{2}} \approx-3.322$

4。 $x=\ln 7-5 \approx-3.054$

练习$\PageIndex{21}$ Use Exponential Models in Applications

在以下练习中，求解。

1. 李成年投资$5,000$美元$18$。 他希望$10,000$当他转身时，这些投资将值美元$25$。 如果利息持续增加，他大约需要多少增长率才能实现目标？ 这是合理的预期吗？
2. 爱丽丝$30$从新工作的签约奖金中按年龄投资美元$15,000$。 她希望$30,000$当她转身时，这些投资将物有所值$40$。 如果利息持续增加，她大约需要多少增长率才能实现目标？
3. Coralee将美元投资$5,000$于一个账户，该账户每月复合利息并赚取$7$百分比。 她的钱要多久才能翻一番？
4. 西蒙妮将美元投资$8,000$于一个账户，该账户每季度复合利息并赚取$5$百分比。 他的钱翻倍需要多长时间？
5. 研究人员记录说，某些细菌种群$100$在$24$数小时内从减少$100,000$到了。 以这种衰变速度，$16$几个小时内会有多少细菌？
6. 研究人员记录说，$500,000$在服药后的$6$数小时内，某些细菌数量从减少$800,000$到了。 以这种衰变速度，$24$几个小时内会有多少细菌？
7. 病毒需要$6$数天才能将其原始种群增加一倍$\left(A=2 A_{0}\right)$。 人口增加三倍需要多长时间？
8. 细菌在$24$数小时内将其原始种群翻了一番$\left(A=2 A_{0}\right)$。 $72$几小时后它的人口会有多大？
9. Carbon-14用于考古碳定年。 它的半衰期是$5,730$几年。 $1000$几年后会剩$100$下多少克的碳14样本？
10. 放射性 technetium-99m 通常用于诊断医学，因为它的半衰期相对较短，但持续时间足够长，可以对患者进行所需的测试。 如果它的半衰期是$6$几个小时，那么一$0.5$毫升注射液形成的放射性物质将在$24$几小时内进入体内？

回答

2。 $6.9$%

4。 $13.9$年份

6。 $122,070$细菌

8。 $8$是原始人口的两倍

10。 $0.03$mL

练习$\PageIndex{22}$ Writing Exercises

1. 解释你将用来求解这些方程的方法：$3^{x+1}=81$，$3^{x+1}=75$。 你的方法是否需要两个方程的对数？ 为什么或者为什么不呢？
2. 指数增长方程和指数衰减方程有什么区别？

回答

2。 答案会有所不同。

自检

a. 完成练习后，使用此清单评估您对本节目标的掌握程度。

图 10.5.1

b. 看完清单后，你认为你为下一节做好了充分的准备吗？ 为什么或者为什么不呢？