10.6：求解指数和对数方程

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 使用对数的属性求解对数方程
• 使用对数求解指数方程
• 在应用程序中使用指数模型

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 解决：$x^{2}=16$。
   如果您错过了此问题，请查看示例 6.46。
2. 解决：$x^{2}−5x+6=0$。
   如果您错过了此问题，请查看示例 6.45。
3. 解决：$x(x+6)=2x+5$。
   如果您错过了此问题，请查看示例 6.47。

使用对数属性求解对数方程

在对数函数部分中，我们通过以指数形式重写方程来求解一些方程。 现在我们有了对数的属性，我们可以使用其他方法来求解对数方程。

如果我们的方程有两个对数，我们可以使用一个属性来表示如果$\log _{a} M=\log _{a} N$那是真的$M=N$。 这是对数方程的一对一属性。

定义$\PageIndex{1}$

对数方程的一对一性质

For$M>0,N>0,a>0$，an$a≠1$ d 是任意实数：

如果$\log _{a} M=\log _{a} N,$那样$M=N$。

要使用这个属性，我们必须确保方程的两边都用相同的基数书写。

请记住，对数仅为正实数定义。 在原始方程中检查结果。 你得到的结果可能给出了零或负数的对数。

示例$\PageIndex{1}$

解决：$2 \log _{5} x=\log _{5} 81$。

解决方案：

$2 \log _{5} x=\log _{5} 81$

使用电源属性。

$\log _{5} x^{2}=\log _{5} 81$

使用一对一属性，if$\log _{a} M=\log _{a} N$，then$M=N$。

$x^{2}=81$

使用平方根属性求解。

$x=\pm 9$

我们消除，$x=-9$因为我们无法取负数的对数。

$x=9, \cancel{x=-9}$

查看。 $x=9$

$\begin{aligned}2 \log _{5} x&=\log _{5} 81 \\ 2 \log _{5} 9 &\stackrel{?}{=} \log _{5} 81 \\ \log _{5} 9^{2} & \stackrel{?}{=}\log _{5} 81 \\ \log _{5} 81 & =\log _{5} 81\end{aligned}$

练习$\PageIndex{1}$

解决：$2 \log _{3} x=\log _{3} 36$

回答

$x=6$

练习$\PageIndex{2}$

解决：$3 \log x=\log 64$

回答

$x=4$

用于求解对数方程的另一种策略是将总和或差浓缩成单个对数。

示例$\PageIndex{2}$

解决：$\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2$。

解决方案：

$\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2$

使用产品属性，$\log _{a} M+\log _{a} N=\log _{a} M \cdot N$。

$\log _{3} x(x-8)=2$

以指数形式重写。

$3^{2}=x(x-8)$

简化。

$9=x^{2}-8 x$

$9$从两边减去。

$0=x^{2}-8 x-9$

因子。

$0=(x-9)(x+1)$

使用零积物属性

$x-9=0, \quad x+1=0$

求解每个方程。

$x=9, \quad \cancel{x=-1}$

查看。 $x=-1$

$\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8)&=2 \\ \log _{3}(-1)+\log _{3}(-1-8) &\stackrel{?}{=}2\end{aligned}$

我们不能取负数的对数。

查看。 $x=9$

$\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8) &=2 \\ \log _{3} 9+\log _{3}(9-8) & \stackrel{?}{=} 2 \\ 2+0 &\stackrel{?}{=}2 \\ 2 &=2 \end{aligned}$

练习$\PageIndex{3}$

解决：$\log _{2} x+\log _{2}(x-2)=3$

回答

$x=4$

练习$\PageIndex{4}$

解决：$\log _{2} x+\log _{2}(x-6)=4$

回答

$x=8$

当两边都有对数时，我们将每一边压缩成一个对数。 记得根据需要使用电源属性。

示例$\PageIndex{3}$

解决：$\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x$。

解决方案：

$\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x$

使用左侧的商数属性和右侧的 PowerProperty。

$\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} x^{-1}$

重写$x^{-1}=\frac{1}{x}$。

$\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} \frac{1}{x}$

使用一对一属性，if$\log _{a} M=\log _{a} N$，then$M=N$。

$\frac{x+6}{2 x+5}=\frac{1}{x}$

求解有理方程。

$x(x+6)=2 x+5$

分发。

$x^{2}+6 x=2 x+5$

以标准形式书写。

$x^{2}+4 x-5=0$

因子。

$(x+5)(x-1)=0$

使用零积物属性。

$x+5=0, \quad x-1=0$

求解每个方程。

$\cancel{x=-5}, \quad x=1$

查看。

我们把支票留给你。

练习$\PageIndex{5}$

解决：$\log (x+2)-\log (4 x+3)=-\log x$。

回答

$x=3$

练习$\PageIndex{6}$

解决：$\log (x-2)-\log (4 x+16)=\log \frac{1}{x}$。

回答

$x=8$

示例$\PageIndex{4}$ Solve Exponential Equations Using Logarithms

解决$5^{x}=11$。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。

解决方案：

$5^{x}=11$

由于指数是孤立的，所以取两边的对数。

$\log 5^{x}=\log 11$

使用 Power 属性将$x$作为因子而不是指数。

$x \log 5=\log 11$

求解$x$。 找到确切的答案。

$x=\frac{\log 11}{\log 5}$

大概答案。

$x \approx 1.490$

$5^{1}=5$既然如此$5^{2}=25$，这有意义吗$5^{1.490}≈11$？

练习$\PageIndex{7}$

解决$7^{x}=43$。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。

回答

$x=\frac{\log 43}{\log 7} \approx 1.933$

练习$\PageIndex{8}$

解决$8^{x}=98$。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。

回答

$x=\frac{\log 98}{\log 8} \approx 2.205$

当我们取两边的对数时，无论我们使用普通对数还是自然对数，我们都会得到相同的结果（尝试在最后一个示例中使用自然对数）。 你得到同样的结果了吗？） 当指数有底数时$e$，我们使用自然对数。

示例$\PageIndex{5}$

解决$3e^{x+2}=24$。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。

解决方案：

$3 e^{x+2}=24$

通过将两边除以来分离指数$3$。

$e^{x+2}=8$

取两边的自然对数。

$\ln e^{x+2}=\ln 8$

使用 Power 属性将$x$作为因子而不是指数。

$(x+2) \ln e=\ln 8$

使用该属性$\ln e=1$进行简化。

$x+2=\ln 8$

求解方程。 找到确切的答案。

$x=\ln 8-2$

大概答案。

$x \approx 0.079$

练习$\PageIndex{9}$

解决$2e^{x−2}=18$。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。

回答

$x=\ln 9+2 \approx 4.197$

练习$\PageIndex{10}$

解决$5e^{2x}=25$。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。

回答

$x=\frac{\ln 5}{2} \approx 0.805$

在应用程序中使用指数模型

在前面的章节中，我们能够求解一些使用指数方程建模的应用程序。 现在我们有了更多的选择来求解这些方程，我们就能求解更多的应用了。

我们将再次使用复利公式，因此我们在此处列出它们以供参考。

定义$\PageIndex{2}$

复利

对于按利率投资的本金来说$r$，$t$多年来的新余额$A$是：$P$

$\begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}$

示例$\PageIndex{6}$

Jermael的父母$10,000$在他一岁生日那天投资了美元作为他的大学开支。 他们希望$50,000$当他转身时，这些投资将物有所值$18$。 如果利息持续增加，他们大约需要多少增长率才能实现目标？

解决方案：

识别公式中的变量。

$\begin{aligned} A &=\$ 50,000 \\ P &=\$ 10,000 \\ r &=? \\ t &=17 \text { years } \\ A &=P e^{r t} \end{aligned}$

将这些值替换到公式中。

$50,000=10,000 e^{r \cdot 17}$

求解$r$。 将两边除以$10,000$。

$5=e^{17 r}$

取两边的自然日志。

$\ln 5=\ln e^{17 r}$

使用电源属性。

$\ln 5=17 r \ln e$

简化。

$\ln 5=17 r$

将两边除以$17$。

$\frac{\ln 5}{17}=r$

大概答案。

$r \approx 0.095$

转换为百分比。

$r \approx 9.5 \%$

他们需要将增长率约为$9.5$ ％。

练习$\PageIndex{11}$

赫克托按年龄投资$10,000$ 1美元$21$。 他希望$150,000$当他转身时，这些投资将值美元$50$。 如果利息持续增加，他大约需要多少增长率才能实现目标？

回答

$r \approx 9.3 \%$

练习$\PageIndex{12}$

雷切尔$15,000$在年纪大时投资美元$25$。 她希望$90,000$当她转身时，这些投资将物有所值$40$。 如果利息持续增加，她大约需要多少增长率才能实现目标？

回答

$r \approx 11.9 \%$

我们已经看到，增长和衰减是由指数函数建模的。 对于生长和衰变，我们使用公式$A=A_{0} e^{k t}$。 指数增长的增长率或增长常数为正$k$，而指数衰减的增长率或衰减常数为负$k$。

定义$\PageIndex{3}$

指数增长和衰退

对于以一定速度增长或衰减的原始金额$k$，在一定时间内$t$，最终量为：$A_{0}$$A$

$A=A_{0} e^{k t}$

现在，我们可以解决为我们提供足够信息以确定增长率的应用程序。 然后，我们可以使用该增长率来预测其他情况。

示例$\PageIndex{7}$

研究人员记录说，某些细菌种群$300$在$3$数小时内从增长$100$到. 按照这种增长速度，距离实验开始还有多少$24$个小时的细菌？

解决方案：

这个问题需要两个主要步骤。 首先我们必须找到未知汇率，$k$。 然后，我们使用该值$k$来帮助我们找到未知数量的细菌。

识别公式中的变量。

$\begin{aligned} A &=300 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=3 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

用公式中的值代替。

$300=100 e^{k \cdot 3}$

求解$k$。 将两边除以$100$。

$3=e^{3 k}$

取两边的自然日志。

$\ln 3=\ln e^{3 k}$

使用电源属性。

$\ln 3=3 k \ln e$

简化。

$\ln 3=3 k$

将两边除以$3$。

$\frac{\ln 3}{3}=k$

大概答案。

$k \approx 0.366$

我们使用这个增长率来预测$24$几小时内会出现的细菌数量。

$\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 3}{3} \\ t &=24 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

在值中替换。

$A=100 e^{\frac{\ln 3}{3} \cdot 24}$

评估。

$A \approx 656,100$

以这种增长速度，他们可以期待$656,100$细菌。

练习$\PageIndex{13}$

研究人员记录说，某些细菌种群$500$在$6$数小时内从增长$100$到. 按照这种增长速度，距离实验开始还有多少$24$个小时的细菌？

回答

会有$62,500$细菌。

练习$\PageIndex{14}$

研究人员记录说，$400,000$在服药后的$5$数小时内，某些细菌数量从减少$700,000$到了。 以这种衰变速度，实验开始后会有$24$几个小时的细菌？

回答

会有$5,870,061$细菌。

放射性物质根据指数衰减公式进行衰变或分解。 该物质分解到其原始量的一半所花费的时间称为该物质的半衰期。

与前面的示例类似，我们可以使用给定的信息来确定衰减常数，然后使用该常数来回答其他问题。

示例$\PageIndex{8}$

镭226的半衰期是$1,590$几年。 $500$几年后会剩下多少$100$毫克样本？

解决方案：

这个问题需要两个主要步骤。 首先，我们必须找到衰减常数$k$。 如果我们从$100$-mg 开始，则在半衰期时将剩下$50$-mg。 我们将使用这些信息来查找$k$. 然后，我们使用该值$k$来帮助我们找到$500$几年后将剩余的样本量。

识别公式中的变量。

$\begin{aligned} A &=50 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=1590 \text { years } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

用公式中的值代替。

$50=100 e^{k \cdot 1590}$

求解$k$。 将两边除以$100$。

$0.5=e^{1590 k}$

取两边的自然日志。

$\ln 0.5=\ln e^{1590 k}$

使用电源属性。

$\ln 0.5=1590 k \ln e$

简化。

$\ln 0.5=1590 k$

将两边除以$1590$。

$\frac{\ln 0.5}{1590}=k$确切的答案

我们使用这个增长率来预测$500$几年后剩余的金额。

$\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 0.5}{1590} \\ t &=500\: \mathrm{years} \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

在值中替换。

$A=100 e^{\frac{1 \mathrm{n} 0.5}{1500} \cdot 500}$

评估。

$A \approx 80.4 \mathrm{mg}$

$500$几年后大约会剩下$80.4$毫克.

练习$\PageIndex{15}$

镁27的半衰期为$9.45$分钟。 $6$几分钟内会剩下多少$10$-mg样本？

回答

还剩下$6.43$我的了

练习$\PageIndex{16}$

放射性碘的半衰期是$60$几天。 $40$几天之内会剩下多少$50$-mg样本？

回答

还剩下$31.5$我的了

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关键概念

• 对数方程的一对一属性：对于$M>0, N>0, a>0$，$a≠1$是任意实数：

  如果$\log _{a} M=\log _{a} N,$那么$M=N$

• 复利：
  对于按利率投资的本金$r$，$t$多年来，新余额为：$P$$A$

  $\begin{array}{ll}{A} & {=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A} & {=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}$

• 指数增长和衰减：对于以一定速率增长或衰减的原始量$r$，在一定时间$t$内$A$，最终量为$A=A_{0} e^{r t}$。$A_{0}$