10.6：求解指数和对数方程
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在本节结束时，您将能够：
- 使用对数的属性求解对数方程
- 使用对数求解指数方程
- 在应用程序中使用指数模型
在开始之前，请参加这个准备测验。
- 解决：\(x^{2}=16\)。
如果您错过了此问题，请查看示例 6.46。 - 解决：\(x^{2}−5x+6=0\)。
如果您错过了此问题，请查看示例 6.45。 - 解决：\(x(x+6)=2x+5\)。
如果您错过了此问题，请查看示例 6.47。
使用对数属性求解对数方程
在对数函数部分中，我们通过以指数形式重写方程来求解一些方程。 现在我们有了对数的属性，我们可以使用其他方法来求解对数方程。
如果我们的方程有两个对数，我们可以使用一个属性来表示如果\(\log _{a} M=\log _{a} N\)那是真的\(M=N\)。 这是对数方程的一对一属性。
对数方程的一对一性质
For\(M>0,N>0,a>0\)，an\(a≠1\) d 是任意实数：
如果\(\log _{a} M=\log _{a} N,\)那样\(M=N\)。
要使用这个属性，我们必须确保方程的两边都用相同的基数书写。
请记住，对数仅为正实数定义。 在原始方程中检查结果。 你得到的结果可能给出了零或负数的对数。
解决：\(2 \log _{5} x=\log _{5} 81\)。
解决方案：
\(2 \log _{5} x=\log _{5} 81\)
使用电源属性。
\(\log _{5} x^{2}=\log _{5} 81\)
使用一对一属性，if\(\log _{a} M=\log _{a} N\)，then\(M=N\)。
\(x^{2}=81\)
使用平方根属性求解。
\(x=\pm 9\)
我们消除，\(x=-9\)因为我们无法取负数的对数。
\(x=9, \cancel{x=-9}\)
查看。 \(x=9\)
\(\begin{aligned}2 \log _{5} x&=\log _{5} 81 \\ 2 \log _{5} 9 &\stackrel{?}{=} \log _{5} 81 \\ \log _{5} 9^{2} & \stackrel{?}{=}\log _{5} 81 \\ \log _{5} 81 & =\log _{5} 81\end{aligned}\)
解决：\(2 \log _{3} x=\log _{3} 36\)
- 回答
-
\(x=6\)
解决：\(3 \log x=\log 64\)
- 回答
-
\(x=4\)
用于求解对数方程的另一种策略是将总和或差浓缩成单个对数。
解决：\(\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2\)。
解决方案：
\(\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2\)
使用产品属性，\(\log _{a} M+\log _{a} N=\log _{a} M \cdot N\)。
\(\log _{3} x(x-8)=2\)
以指数形式重写。
\(3^{2}=x(x-8)\)
简化。
\(9=x^{2}-8 x\)
\(9\)从两边减去。
\(0=x^{2}-8 x-9\)
因子。
\(0=(x-9)(x+1)\)
使用零积物属性
\(x-9=0, \quad x+1=0\)
求解每个方程。
\(x=9, \quad \cancel{x=-1}\)
查看。 \(x=-1\)
\(\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8)&=2 \\ \log _{3}(-1)+\log _{3}(-1-8) &\stackrel{?}{=}2\end{aligned}\)
我们不能取负数的对数。
查看。 \(x=9\)
\(\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8) &=2 \\ \log _{3} 9+\log _{3}(9-8) & \stackrel{?}{=} 2 \\ 2+0 &\stackrel{?}{=}2 \\ 2 &=2 \end{aligned}\)
解决：\(\log _{2} x+\log _{2}(x-2)=3\)
- 回答
-
\(x=4\)
解决：\(\log _{2} x+\log _{2}(x-6)=4\)
- 回答
-
\(x=8\)
当两边都有对数时，我们将每一边压缩成一个对数。 记得根据需要使用电源属性。
解决：\(\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x\)。
解决方案：
\(\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x\)
使用左侧的商数属性和右侧的 PowerProperty。
\(\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} x^{-1}\)
重写\(x^{-1}=\frac{1}{x}\)。
\(\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} \frac{1}{x}\)
使用一对一属性，if\(\log _{a} M=\log _{a} N\)，then\(M=N\)。
\(\frac{x+6}{2 x+5}=\frac{1}{x}\)
求解有理方程。
\(x(x+6)=2 x+5\)
分发。
\(x^{2}+6 x=2 x+5\)
以标准形式书写。
\(x^{2}+4 x-5=0\)
因子。
\((x+5)(x-1)=0\)
使用零积物属性。
\(x+5=0, \quad x-1=0\)
求解每个方程。
\(\cancel{x=-5}, \quad x=1\)
查看。
我们把支票留给你。
解决：\(\log (x+2)-\log (4 x+3)=-\log x\)。
- 回答
-
\(x=3\)
解决：\(\log (x-2)-\log (4 x+16)=\log \frac{1}{x}\)。
- 回答
-
\(x=8\)
解决\(5^{x}=11\)。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。
解决方案：
\(5^{x}=11\)
由于指数是孤立的，所以取两边的对数。
\(\log 5^{x}=\log 11\)
使用 Power 属性将\(x\)作为因子而不是指数。
\(x \log 5=\log 11\)
求解\(x\)。 找到确切的答案。
\(x=\frac{\log 11}{\log 5}\)
大概答案。
\(x \approx 1.490\)
\(5^{1}=5\)既然如此\(5^{2}=25\)，这有意义吗\(5^{1.490}≈11\)？
解决\(7^{x}=43\)。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。
- 回答
-
\(x=\frac{\log 43}{\log 7} \approx 1.933\)
解决\(8^{x}=98\)。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。
- 回答
-
\(x=\frac{\log 98}{\log 8} \approx 2.205\)
当我们取两边的对数时，无论我们使用普通对数还是自然对数，我们都会得到相同的结果（尝试在最后一个示例中使用自然对数）。 你得到同样的结果了吗？） 当指数有底数时\(e\)，我们使用自然对数。
解决\(3e^{x+2}=24\)。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。
解决方案：
\(3 e^{x+2}=24\)
通过将两边除以来分离指数\(3\)。
\(e^{x+2}=8\)
取两边的自然对数。
\(\ln e^{x+2}=\ln 8\)
使用 Power 属性将\(x\)作为因子而不是指数。
\((x+2) \ln e=\ln 8\)
使用该属性\(\ln e=1\)进行简化。
\(x+2=\ln 8\)
求解方程。 找到确切的答案。
\(x=\ln 8-2\)
大概答案。
\(x \approx 0.079\)
解决\(2e^{x−2}=18\)。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。
- 回答
-
\(x=\ln 9+2 \approx 4.197\)
解决\(5e^{2x}=25\)。 找到确切的答案，然后将其近似到小数点后三位。
- 回答
-
\(x=\frac{\ln 5}{2} \approx 0.805\)
在应用程序中使用指数模型
在前面的章节中，我们能够求解一些使用指数方程建模的应用程序。 现在我们有了更多的选择来求解这些方程，我们就能求解更多的应用了。
我们将再次使用复利公式，因此我们在此处列出它们以供参考。
复利
对于按利率投资的本金来说\(r\)，\(t\)多年来的新余额\(A\)是：\(P\)
\(\begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}\)
Jermael的父母\(10,000\)在他一岁生日那天投资了美元作为他的大学开支。 他们希望\(50,000\)当他转身时，这些投资将物有所值\(18\)。 如果利息持续增加，他们大约需要多少增长率才能实现目标？
解决方案：
识别公式中的变量。
\(\begin{aligned} A &=\$ 50,000 \\ P &=\$ 10,000 \\ r &=? \\ t &=17 \text { years } \\ A &=P e^{r t} \end{aligned}\)
将这些值替换到公式中。
\(50,000=10,000 e^{r \cdot 17}\)
求解\(r\)。 将两边除以\(10,000\)。
\(5=e^{17 r}\)
取两边的自然日志。
\(\ln 5=\ln e^{17 r}\)
使用电源属性。
\(\ln 5=17 r \ln e\)
简化。
\(\ln 5=17 r\)
将两边除以\(17\)。
\(\frac{\ln 5}{17}=r\)
大概答案。
\(r \approx 0.095\)
转换为百分比。
\(r \approx 9.5 \%\)
他们需要将增长率约为\(9.5\) ％。
赫克托按年龄投资\(10,000\) 1美元\(21\)。 他希望\(150,000\)当他转身时，这些投资将值美元\(50\)。 如果利息持续增加，他大约需要多少增长率才能实现目标？
- 回答
-
\(r \approx 9.3 \%\)
雷切尔\(15,000\)在年纪大时投资美元\(25\)。 她希望\(90,000\)当她转身时，这些投资将物有所值\(40\)。 如果利息持续增加，她大约需要多少增长率才能实现目标？
- 回答
-
\(r \approx 11.9 \%\)
我们已经看到，增长和衰减是由指数函数建模的。 对于生长和衰变，我们使用公式\(A=A_{0} e^{k t}\)。 指数增长的增长率或增长常数为正\(k\)，而指数衰减的增长率或衰减常数为负\(k\)。
指数增长和衰退
对于以一定速度增长或衰减的原始金额\(k\)，在一定时间内\(t\)，最终量为：\(A_{0}\)\(A\)
\(A=A_{0} e^{k t}\)
现在，我们可以解决为我们提供足够信息以确定增长率的应用程序。 然后，我们可以使用该增长率来预测其他情况。
研究人员记录说，某些细菌种群\(300\)在\(3\)数小时内从增长\(100\)到. 按照这种增长速度，距离实验开始还有多少\(24\)个小时的细菌？
解决方案：
这个问题需要两个主要步骤。 首先我们必须找到未知汇率，\(k\)。 然后，我们使用该值\(k\)来帮助我们找到未知数量的细菌。
识别公式中的变量。
\(\begin{aligned} A &=300 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=3 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}\)
用公式中的值代替。
\(300=100 e^{k \cdot 3}\)
求解\(k\)。 将两边除以\(100\)。
\(3=e^{3 k}\)
取两边的自然日志。
\(\ln 3=\ln e^{3 k}\)
使用电源属性。
\(\ln 3=3 k \ln e\)
简化。
\(\ln 3=3 k\)
将两边除以\(3\)。
\(\frac{\ln 3}{3}=k\)
大概答案。
\(k \approx 0.366\)
我们使用这个增长率来预测\(24\)几小时内会出现的细菌数量。
\(\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 3}{3} \\ t &=24 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}\)
在值中替换。
\(A=100 e^{\frac{\ln 3}{3} \cdot 24}\)
评估。
\(A \approx 656,100\)
以这种增长速度，他们可以期待\(656,100\)细菌。
研究人员记录说，某些细菌种群\(500\)在\(6\)数小时内从增长\(100\)到. 按照这种增长速度，距离实验开始还有多少\(24\)个小时的细菌？
- 回答
-
会有\(62,500\)细菌。
研究人员记录说，\(400,000\)在服药后的\(5\)数小时内，某些细菌数量从减少\(700,000\)到了。 以这种衰变速度，实验开始后会有\(24\)几个小时的细菌？
- 回答
-
会有\(5,870,061\)细菌。
放射性物质根据指数衰减公式进行衰变或分解。 该物质分解到其原始量的一半所花费的时间称为该物质的半衰期。
与前面的示例类似，我们可以使用给定的信息来确定衰减常数，然后使用该常数来回答其他问题。
镭226的半衰期是\(1,590\)几年。 \(500\)几年后会剩下多少\(100\)毫克样本？
解决方案：
这个问题需要两个主要步骤。 首先，我们必须找到衰减常数\(k\)。 如果我们从\(100\)-mg 开始，则在半衰期时将剩下\(50\)-mg。 我们将使用这些信息来查找\(k\). 然后，我们使用该值\(k\)来帮助我们找到\(500\)几年后将剩余的样本量。
识别公式中的变量。
\(\begin{aligned} A &=50 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=1590 \text { years } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}\)
用公式中的值代替。
\(50=100 e^{k \cdot 1590}\)
求解\(k\)。 将两边除以\(100\)。
\(0.5=e^{1590 k}\)
取两边的自然日志。
\(\ln 0.5=\ln e^{1590 k}\)
使用电源属性。
\(\ln 0.5=1590 k \ln e\)
简化。
\(\ln 0.5=1590 k\)
将两边除以\(1590\)。
\(\frac{\ln 0.5}{1590}=k\)确切的答案
我们使用这个增长率来预测\(500\)几年后剩余的金额。
\(\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 0.5}{1590} \\ t &=500\: \mathrm{years} \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}\)
在值中替换。
\(A=100 e^{\frac{1 \mathrm{n} 0.5}{1500} \cdot 500}\)
评估。
\(A \approx 80.4 \mathrm{mg}\)
\(500\)几年后大约会剩下\(80.4\)毫克.
镁27的半衰期为\(9.45\)分钟。 \(6\)几分钟内会剩下多少\(10\)-mg样本？
- 回答
-
还剩下\(6.43\)我的了
放射性碘的半衰期是\(60\)几天。 \(40\)几天之内会剩下多少\(50\)-mg样本？
- 回答
-
还剩下\(31.5\)我的了
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关键概念
- 对数方程的一对一属性：对于\(M>0, N>0, a>0\)，\(a≠1\)是任意实数：
如果\(\log _{a} M=\log _{a} N,\)那么\(M=N\)
- 复利：
对于按利率投资的本金\(r\)，\(t\)多年来，新余额为：\(P\)\(A\)\(\begin{array}{ll}{A} & {=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A} & {=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}\)
- 指数增长和衰减：对于以一定速率增长或衰减的原始量\(r\)，在一定时间\(t\)内\(A\)，最终量为\(A=A_{0} e^{r t}\)。\(A_{0}\)