10.2: 查找复合函数和逆函数

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 查找和计算复合函数
• 确定一个函数是否是一对一的
• 求函数的逆函数

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 如果\(f(x)=2 x-3\)和\(g(x)=x^{2}+2 x-3\)，则查找\(f(4)\)。
   如果你错过了这个问题，请查看示例 3.48。
2. 求解\(x\)，\(3x+2y=12\)。
   如果你错过了这个问题，请查看示例 2.31。
3. 简化：\(5 \frac{(x+4)}{5}-4\)。
   如果你错过了这个问题，请查看示例 1.25。

在本章中，我们将介绍两种新的函数类型：指数函数和对数函数。 正如我们将看到的那样，这些功能在商业和科学领域被广泛使用。

查找和计算复合函数

在介绍函数之前，我们需要看一下函数的另一种操作，即组合函数。 在合成中，一个函数的输出是第二个函数的输入。 对于函数\(f\)和\(g\)，组合由编写\(f∘g\)和定义\((f∘g)(x)=f(g(x))\)。

我们读\(f(g(x))\)作 “o\(f\) f o\(g\) f”\(x\)。

图 10.1.1

要进行合成，第一个函数的输出将成为第二个函数的输入\(f\)，因此我们必须确保它是的域的一部分\(f\)。\(g(x)\)

定义\(\PageIndex{1}\)

函数\(f\)和\(g\)的组成由下\(f \cdot g\)式编写和定义

\((f \circ g)(x)=f(g(x))\)

\(f(g(x))\)截至目前，我们\(f\)已\(g\)阅读\(x\)。

实际上，我们以前曾多次使用合成而不使用符号。 当我们使用平移绘制二次函数时，我们是在组合函数。 例如，如果我们首先绘制\(g(x)=x^{2}\)为抛物线，然后将其垂直向下移动四个单位，则我们使用的是由 where 定义\((f∘g)(x)=f(g(x))\)的构图\(f(x)=x−4\)。

图 10.1.2

示例\(\PageIndex{1}\)

对于函数\(f(x)=4x-5\)和\(g(x)=2x+3\)，请查找

1. \((f \circ g)(x)\)
2. \((g \circ f)(x)\)
3. \((f \cdot g)(x)\)

解决方案：

1. 表 10.1.1

   使用... 的定义\((f \circ g)(x)\)。
   分发。
   简化。

2. 表 10.1.2

   使用... 的定义\((f \circ g)(x)\)。
   分发。
   简化。

注意部分 a 和 b 部分的结果不同。

c. 注意\((f \cdot g)(x)\)这与不同\((f \circ g)(x)\)。 在 a 部分中，我们做了函数的构成。 现在在 c 部分中，我们不是在合成它们，而是在乘以它们。

使用... 的定义\((f \cdot g)(x)\)。

\((f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)\)

替换\(f(x)=4 x-5\)和\(g(x)=2 x+3\).

\((f \cdot g)(x)=(4 x-5) \cdot(2 x+3)\)

乘以。

\((f \cdot g)(x)=8 x^{2}+2 x-15\)

练习\(\PageIndex{1}\)

对于函数\(f(x)=3x-2\)和\(g(x)=5x+1\)，请查找

1. \((f \circ g)(x)\)
2. \((g \circ f)(x)\)
3. \((f \cdot g)(x)\)

回答

1. \(15x+1\)
2. \(15x-9\)
3. \(15 x^{2}-7 x-2\)

练习\(\PageIndex{2}\)

对于函数\(f(x)=4 x-3\)\(g(x)=6x-5\)，请查找

1. \((f \circ g)(x)\)
2. \((g \circ f)(x)\)
3. \((f \cdot g)(x)\)

回答

1. \(24 x-23\)
2. \(24 x-23\)
3. \(24 x^{2}-38 x+15\)

在下一个示例中，我们将评估特定值的构图。

示例\(\PageIndex{2}\)

对于 functions 和\(f(x)=x^{2}-4\)\(g(x)=3 x+2\)，请查找：

1. \((f \circ g)(-3)\)
2. \((g \circ f)(-1)\)
3. \((f \circ f)(2)\)

解决方案：

1. 表 10.1.3

   使用... 的定义\((f \circ g)(-3)\)。
   简化。
   简化。

2. 表 10.1.4

   使用... 的定义\((g \circ f)(-1)\)。
   简化。
   简化。

3. 表 10.1.5

   使用... 的定义\((f \circ f)(2)\)。
   简化。
   简化。

练习\(\PageIndex{3}\)

对于函数\(f(x)=x^{2}-9\)\(g(x)=2x+5\)，请查找

1. \((f \circ g)(-2)\)
2. \((g \circ f)(-3)\)
3. \((f \circ f)(4)\)

回答

1. \(-8\)
2. \(5\)
3. \(40\)

练习\(\PageIndex{4}\)

对于函数\(f(x)=x^{2}+1\)\(g(x)=3x-5\)，请查找

1. \((f \circ g)(-1)\)
2. \((g \circ f)(2)\)
3. \((f \circ f)(-1)\)

回答

1. \(65\)
2. \(10\)
3. \(5\)

确定函数是否为一对一函数

当我们第一次引入函数时，我们说函数是一种关系，它为其域中的每个元素分配一个区间中的一个元素。 对于关系中的每个有序对，每个\(x\)-value 仅与一个\(y\)-value 匹配。

我们使用生日示例来帮助我们理解定义。 每个人都有生日，但没有人有两个生日，两个人共享生日是可以的。 由于每个人只有一个生日，所以这种关系是一种功能。

图 10.1.38

如果范围中的每个值在域中只有一个元素，则函数为一对一。 对于函数中的每个有序对，每个 y 值仅与一个\(x\)-value 匹配。

我们的生日关系示例不是一对一的函数。 两个人可以共享同一个生日。 8 月 2 日的区间值是 Liz 和 6 月的生日，因此一个区间值有两个域值。 因此，该函数不是一对一的。

定义\(\PageIndex{2}\)

如果范围内的每个值对应于域中的一个元素，则函数为一对一。 对于函数中的每个有序对，每个\(y\)-value 仅与一个\(x\)-value 匹配。 没有重复的\(y\)-values。

示例\(\PageIndex{3}\)

对于每组有序对，确定它是否代表一个函数，如果是，则确定该函数是否为一对一。

1. \(\{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\}\)
2. \(\{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}\)

解决方案：

1. \(\{(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)\}\)

   每个\(x\)-value 仅与一个\(y\)-value 匹配。 因此，这种关系是一种函数。

   但是每个\(y\)-value 不只与一个\(x\)-value 配对\((3,27)\)，例如。\((−3,27)\) 所以这个函数不是一对一的。

2. \(\{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)\}\)

   每个\(x\)-value 仅与一个\(y\)-value 匹配。 因此，这种关系是一种函数。

   由于每个\(y\)-value 仅与一个\(x\)-value 配对，因此此函数是一对一的。

练习\(\PageIndex{5}\)

对于每组有序对，确定它是否代表一个函数，如果是，则是一对一的函数。

1. \(\{(-3,-6),(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)\}\)
2. \(\{(-4,8),(-2,4),(-1,2),(0,0),(1,2),(2,4),(4,8)\}\)

回答

1. 一对一功能
2. 功能；不是一对一

练习\(\PageIndex{6}\)

对于每组有序对，确定它是否代表一个函数，如果是，则是一对一的函数。

1. \(\{(27,-3),(8,-2),(1,-1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)\}\)
2. \(\{(7,-3),(-5,-4),(8,0),(0,0),(-6,4),(-2,2),(-1,3)\}\)

回答

1. 不是函数
2. 功能；不是一对一

为了帮助我们确定关系是否为函数，我们使用垂直线测试。 如果每条垂直线与图形最多相交一个点，则矩形坐标系中的一组点就是函数的图形。 此外，如果有任何垂直线在多个点上与图形相交，则该图不代表函数。

垂直线代表一个\(x\)-value，我们检查它是否仅在一个\(y\)-value中与图形相交。 那么它就是一个函数。

为了检查一个函数是否是一对一的，我们使用了类似的过程。 我们使用水平线，检查每条水平线是否仅在一个点上与图形相交。 水平线代表一个\(y\)-value，我们检查它是否仅在一个\(x\)-value中与图形相交。 如果每条水平线与函数的图形最多相交一点，则它是一对一的函数。 这是水平线测试。

定义\(\PageIndex{3}\)

水平线测试

如果每条水平线与函数的图形最多相交一点，则它是一对一的函数。

我们可以使用垂直线测试来测试关系图是否为函数。 然后，我们可以通过应用水平线测试来判断该函数是否是一对一的。

示例\(\PageIndex{4}\)

确定

1. 每张图是否是函数的图形，如果是，
2. 是否是一对一的

图 10.1.39

解决方案：

1. 
   
   图 10.1.40

由于任何垂直线最多与图形相交一个点，因此该图形是函数的图形。 由于任何水平线最多与图形相交一个点，因此该图形是一对一函数的图形。

b。

图 10.1.41

由于任何垂直线最多与图形相交一个点，因此该图形是函数的图形。 图表上显示的水平线将其交叉成两点。 此图不代表一对一的函数。

练习\(\PageIndex{7}\)

确定

1. 每张图是否是函数的图形，如果是，
2. 是否是一对一的

图 10.1.42

回答

1. 不是函数
2. 一对一功能

练习\(\PageIndex{8}\)

确定

1. 每张图是否是函数的图形，如果是，
2. 是否是一对一的

图 10.1.43

回答

1. 功能；不是一对一
2. 一对一功能

求函数的逆函数

让我们来看一个由有序对表示的一对一函数\(\{(0,5),(1,6),(2,7),(3,8)\}\)。\(f\) 对于每个\(x\)-value，相\(f\)加得\(5\)到\(y\)-value。 为了 “撤消” 的加法\(5\)，我们\(5\)从每个\(y\)-value中减去并返回到原始的\(x\)-value。 我们可以称之为 “取反向\(f\)” 并命名该函数\(f^{−1}\)。

图 10.1.44

请注意，和的\(f^{−1}\)有序对的-values\(f\) 和\(x\)-val\(y\) ues是相反的。 的域\(f\)是的范围\(f^{−1}\)，的域\(f^{−1}\)是的范围\(f\)。

定义\(\PageIndex{4}\)

由有序对定义的函数的逆函数

如果\(f(x)\)是一个一对一函数，其有序对的形式为\((x,y)\)，则其反函数\(f^{−1}(x)\)是有序对的集合\((y,x)\)。

在下一个示例中，我们将找到由有序对定义的函数的逆函数。

示例\(\PageIndex{5}\)

找出函数的逆函数\(\{(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)\}\)。 确定逆函数的域和范围。

解决方案：

此函数是一对一的，因为每个\(x\)-value 都只与一个\(y\)-value 配对。

为了找到反向函数，我们将函数的\(x\)有序对中的\(y\)-values和-values进行反转。

\(\begin{array}{ll} {\text{Function}}&{\{(0,3),(1,5),(2,7),(3,9)\}} \\ {\text{Inverse Function}}& {\{(3,0), (5,1), (7,2), (9,3)\}} \\ {\text{Domain of Inverse Function}}&{\{3, 5, 7, 9\}} \\ {\text{Range of Inverse Function}}&{\{0, 1, 2, 3\}} \end{array}\)

练习\(\PageIndex{9}\)

找到的反数\(\{(0,4),(1,7),(2,10),(3,13)\}\)。 确定逆函数的域和范围。

回答

反向函数:\(\{(4,0),(7,1),(10,2),(13,3)\}\). 域：\(\{4,7,10,13\}\)。 范围：\(\{0,1,2,3\}\)。

练习\(\PageIndex{10}\)

找到的反数\(\{(-1,4),(-2,1),(-3,0),(-4,2)\}\)。 确定逆函数的域和范围。

回答

反向函数:\(\{(4,-1),(1,-2),(0,-3),(2,-4)\}\). 域：\(\{0,1,2,4\}\)。 范围：\(\{-4,-3,-2,-1\}\)。

我们刚才注意到，如果\(f(x)\)是一个一对一的函数，其有序对的形式为\((x,y)\)，那么它的逆函数\(f^{−1}(x)\)就是有序对的集合\((y,x)\)。

因此，如果一个\((a,b)\)点在函数的图形上\(f(x)\)，则有序对\((b,a)\)在的图上\(f^{−1}(x)\)。 参见图 10.1.43。

图 10.1.45

任意两对\((a,b)\)之间的\((b,a)\)距离被直线切成两半\(y=x\)。 所以我们说这些点是彼此通过直线的镜像\(y=x\)。

由于函数\(f(x)\)图上的每个点都是图上某个点的镜像\(f^{−1}(x)\)，因此我们说这些图是通过直线相互的镜像\(y=x\)。 在下一个示例中，我们将使用这个概念来绘制函数的逆函数。

示例\(\PageIndex{6}\)

在同一个坐标系上绘制图表，显示一对一函数的逆函数。

图 10.1.46

解决方案：

我们可以使用图表上的点来查找反向图上的点。 图上的一些点是:\((−5,−3),(−3,−1),(−1,0),(0,2),(3,4)\).

所以，逆函数将包含点:\((−3,−5),(−1,−3),(0,−1),(2,0),(4,3)\).

图 10.1.47

请注意，原始函数的图形和反函数的图是直线的镜像\(y=x\)。

练习\(\PageIndex{11}\)

在同一个坐标系上绘制一对一函数的逆函数。

图 10.1.48

回答

图 10.1.49

练习\(\PageIndex{12}\)

在同一个坐标系上绘制一对一函数的逆函数。

图 10.1.50

回答

图 10.1.51

当我们开始讨论逆函数时，我们讨论了逆函数如何 “撤消” 原始函数对其域中的值所做的事情，以便恢复到原始的\(x\)-value。

图 10.1.52

定义\(\PageIndex{5}\)

反函数

\(f^{-1}(f(x))=x\)，适用于域\(x\)内的所有人\(f\)

\(f\left(f^{-1}(x)\right)=x\)，适用于域\(x\)内的所有人\(f^{-1}\)

我们可以使用这个属性来验证两个函数是相反的。

示例\(\PageIndex{7}\)

验证\(f(x)=5x−1\)和\(g(x)=\frac{x+1}{5}\)是否为反函数。

解决方案：

如果\(g(f(x))=x\)和，这两个函数是相互反向的\(f(g(x))=x\)。

表 10.1.6

替换\(5x-1\)\(f(x)\)。
简化。
简化。	图 10.1.59
替代\(\frac{x+1}{5}\)\(g(x)\)。
简化。
简化。

由于\(g(f(x))=x\)和\(f(g(x))=x\)均为真，因此函数\(f(x)=5x−1\)和\(g(x)=\frac{x+1}{5}\)是反函数。 也就是说，它们是彼此的倒数。

练习\(\PageIndex{13}\)

验证这些函数是否为反函数。 \(f(x)=4 x-3\)和\(g(x)=\frac{x+3}{4}\)。

回答

\(g(f(x))=x\)，而且\(f(g(x))=x\)，所以它们是反向的。

练习\(\PageIndex{14}\)

验证这些函数是否为反函数。 \(f(x)=2 x+6\)和\(g(x)=\frac{x-6}{2}\)

回答

\(g(f(x))=x,\)\(f(g(x))=x,\)所以它们是反向的。

我们发现了由有序对和图形定义的函数的逆函数。 现在，我们将研究如何使用代数方程求逆方程。 该方法采用的思想是，如果\(f(x)\)是具有有序对的一对一函数\((x,y)\)，则其逆函数\(f^{−1}(x)\)就是有序对的集合\((y,x)\)。

如果我们反转函数\(y\)中的\(x\)和然后求解\(y\)，我们就会得到逆函数。

示例\(\PageIndex{8}\) How to Find the Inverse of a One-to-One Function

找到的反数\(f(x)=4 x+7\)。

解决方案：

表 10.1.7

第 1 步。 替代\(y\)\(f(x)\)。	替换\(f(x)\)为\(y\)。	\(\begin{aligned} f(x) &=4 x+7 \\ y &=4 x+7 \end{aligned}\)
步骤 2：交换变量\(x\)和\(y\)。	替换\(x\)为，\(y\)然后\(y\)替换为\(x\)。	\(x=4y+7\)
步骤 3：求解\(y\)。	\(7\)从两边减去。 除以\(4\)。	\(x-7=4 y\) \(\frac{x-7}{4}=y\)
第 4 步：\(f^{-1}(x)\)替换\(y\)。	替换\(y\)为\(f^{-1}(x)\)。	\(\frac{x-7}{4}=f^{-1}(x)\)
步骤 5：验证函数是否为反向函数。	显示\(f^{-1}(f(x))=x\) 和\(f\left(f^{-1}(x)\right)=x\)	\(\begin{aligned} f^{-1}(f(x)) & \stackrel{?}{=} x \\f^{-1}(4x+7)&\stackrel{?}{=}x\\ \frac{(4x+7)-7}{4}&\stackrel{?}{=}x \\ \frac{4x}{4}&\stackrel{?}{=}x\\x&=x \\ \\f(f^{-1}(x))&\stackrel{?}{=}x \\f \left(\frac{x-7}{4} \right)&\stackrel{?}{=}x \\ 4\left(\frac{x-7}{4} \right) + 7 &\stackrel{?}{=}x \\ x-7+7&\stackrel{?}{=}x \\x&=x \end{aligned}\)

练习\(\PageIndex{15}\)

找出函数的逆函数\(f(x)=5x-3\)。

回答

\(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{5}\)

练习\(\PageIndex{16}\)

找出函数的逆函数\(f(x)=8 x+5\)。

回答

\(f^{-1}(x)=\frac{x-5}{8}\)

我们总结了以下步骤。

如何找到一对一函数的逆函数

1. 替代\(y\)\(f(x)\)。
2. 交换变量\(x\)和\(y\)。
3. 求解\(y\)。
4. 替代\(f^{−1}(x)\)\(y\)。
5. 验证函数是否为反向函数。

示例\(\PageIndex{9}\) How to Find the Inverse of a One-to-One Function

找到的反数\(f(x)=\sqrt[5]{2 x-3}\)。

解决方案：

\(f(x)=\sqrt[5]{2 x-3}\)

替代\(y\)\(f(x)\)。

\(y=\sqrt[5]{2 x-3}\)

交换变量\(x\)和\(y\)。

\(x=\sqrt[5]{2 y-3}\)

求解\(y\)。

\(\begin{aligned}(x)^{5} &=(\sqrt[5]{2 y-3})^{5} \\ x^{5} &=2 y-3 \\ x^{5}+3 &=2 y \\ \frac{x^{5}+3}{2} &=y \end{aligned}\)

替代\(f^{-1}(x)\)\(y\)。

\(f^{-1}(x)=\frac{x^{5}+3}{2}\)

验证函数是否为反向函数。

\(\begin{array}{rr} {f^{-1}(f(x)) \stackrel{?}{=} x} & {f\left(f^{-1}(x)\right) \stackrel{?}{=} x} \\ {f^{-1}(\sqrt[5]{2x-3})\stackrel{?}{=}x}&{f\left(\frac{x^{5}+3}{2} \right)}\stackrel{?}{=}x \\ {\frac{(\sqrt[5]{2x-3})^{5}+3}{2}\stackrel{?}{=}x}&{\sqrt[5]{2\left(\frac{x^{5}+3}{2} \right)-3}\stackrel{?}{=}x} \\ {\frac{2x-3+3}{2}\stackrel{?}{=}x}&{\sqrt[5]{x^{5}+3-3}\stackrel{?}{=}x}\\ {\frac{2x}{2}\stackrel{?}{=}x}&{\sqrt[5]{x^{5}}\stackrel{?}{=}x} \\ {x=x}&{x=x} \end{array}\)

练习\(\PageIndex{17}\)

找出函数的逆函数\(f(x)=\sqrt[5]{3 x-2}\)。

回答

\(f^{-1}(x)=\frac{x^{5}+2}{3}\)

练习\(\PageIndex{18}\)

找出函数的逆函数\(f(x)=\sqrt[4]{6 x-7}\)。

回答

\(f^{-1}(x)=\frac{x^{4}+7}{6}\)

关键概念

• 函数的构成：函数\(f\)和\(g\)，由以下人员编写\(f∘g\)和定义

  \((f \circ g)(x)=f(g(x))\)

  \(f(g(x))\)截至目前，我们\(f\)已\(g\)阅读\(x\)。
• 水平线测试：如果每条水平线与函数的图形最多相交一个点，则它是一对一的函数。
• 由有序对定义的函数的逆函数：如果\(f(x)\)是一个一对一的函数，其有序对的形式为\((x,y)\)，则其逆函数\(f^{−1}(x)\)是有序对的集合\((y,x)\)。
• 反函数：对于一对一函数域\(x\)中的每一个函数\(f\)\(f^{−1}\)，

  \(f^{-1}(f(x))=x\)
  \(f\left(f^{-1}(x)\right)=x\)

• 如何找到一对一函数的逆函数：
  1. 替代\(y\)\(f(x)\)。
  2. 交换变量\(x\)和\(y\)。
  3. 求解\(y\)。
  4. 替代\(f^{−1}(x)\)\(y\)。
  5. 验证函数是否为反向函数。

词汇表

一对一功能

如果范围中的每个值在域中只有一个元素，则函数为一对一。 对于函数中的每个有序对，每个\(y\)-value 仅与一个\(x\)-value 匹配。