8.9: 使用复数系统

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 计算负数的平方根
• 相加和减去复数
• 将复数相乘
• 除以复数
• 简化权力$i$

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 给定数字$-4,-\sqrt{7}, 0 . \overline{5}, \frac{7}{3}, 3, \sqrt{81}$，列出
   1. 有理数
   2. 非理性数字
   3. 实数
      如果你错过了这个问题，请查看示例 1.42。
2. 乘以：$(x−3)(2x+5)$。
   如果您错过了此问题，请查看示例 5.28。
3. 合理化分母：$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$
   如果你错过了这个问题，请查看示例 5.32。

计算负数的平方根

每当我们遇到负数平方根的情况时，我们都说没有实数等于该平方根。 例如，为了简化起见$\sqrt{-1}$，我们正在寻找一个$x$实数$x^{2}=-1$。 由于所有实数的平方都是正数，因此在平方$–1$时没有等于的实数。

数学家经常根据需要扩展他们的数字系统。 他们$0$将计数数字相加得出整数。 当他们需要负余额时，他们会添加负数来获得整数。 当他们需要整体各部分的概念时，他们会添加分数并得到有理数。 将非理性数字相加允许使用诸如$\sqrt{5}$. 所有这些共同给了我们实数，到目前为止，在你对数学的研究中，这已经足够了。

但是现在我们将扩展实数以包括负数的平方根。 我们首先将虚数单位定义$i$为平方为的数字$–1$。

定义$\PageIndex{1}$

虚数单位$i$是平方为的数字$-1$。

$i^{2}=-1 \text { or } i=\sqrt{-1}$

我们将使用虚数单位来简化负数的平方根。

定义$\PageIndex{2}$

负数的平方根

如果$b$是正实数，那么

$\sqrt{-b}=\sqrt{b} i$

我们将在下一个示例中使用这个定义。 请注意，很明显，激进分子$i$不在激进之下。 有时候你会看到这篇文章$\sqrt{-b}=i \sqrt{b}$是为了强调不在$i$激进之下。 但是$\sqrt{-b}=\sqrt{b} i$它被认为是标准形式。

示例$\PageIndex{1}$

按顺序写下每个表达式$i$，简化是可能的：

1. $\sqrt{-25}$
2. $\sqrt{-7}$
3. $\sqrt{-12}$

解决方案：

一个。

$\sqrt{-25}$

使用负数平方根的定义。

$\sqrt{25} i$

简化。

$5i$

b。

$\sqrt{-7}$

使用负数平方根的定义。

$\sqrt{7} i$

简化。

请注意，这显然$i$不是激进的迹象。

c。

$\sqrt{-12}$

使用负数平方根的定义。

$\sqrt{12} i$

简化$\sqrt{12}$。

$2 \sqrt{3} i$

练习$\PageIndex{1}$

按顺序编写每个表达式$i$，并尽可能简化：

1. $\sqrt{-81}$
2. $\sqrt{-5}$
3. $\sqrt{-18}$

回答

1. $9i$
2. $\sqrt{5} i$
3. $3 \sqrt{2} i$

练习$\PageIndex{2}$

按顺序编写每个表达式$i$，并尽可能简化：

1. $\sqrt{-36}$
2. $\sqrt{-3}$
3. $\sqrt{-27}$

回答

1. $6i$
2. $\sqrt{3} i$
3. $3\sqrt{3} i$

现在我们已经熟悉虚数了$i$，我们可以扩展实数以包括虚数。 复数系统包括实数和虚数。 复数的形式为$a+bi$，其中$a, b$是实数。 我们称$a$之为真实$b$部分和虚部。

定义$\PageIndex{3}$

复数的形式为$a+bi$，其中$a$和$b$是实数。

图 8.8.1

复数在写成、其中$a+bi$$a$、为实数时采用标准形式。$b$

if$b=0$，然后$a+bi$变成$a+0⋅i=a$，并且是一个实数。

if$b≠0$，$a+bi$then 是一个虚数。

i$a=0$ f，则$a+bi$变成$0+bi=bi$，并被称为纯虚数。

我们在这里总结一下。

表 8.8.1

	$a+bi$
$b=0$	$a+0 \cdot i$ $a$	实数
$b\neq 0$	$a+bi$	虚数
$a=0$R	$0+bi$ $bi$	纯虚数4

复数的标准形式是$a+bi$，所以这就解释了为什么首选形式是$\sqrt{-b}=\sqrt{b} i$时间$b>0$。

该图帮助我们可视化复数系统。 它由实数和虚数组成。

图 8.8.2

加上或减去复数

我们现在可以对复数执行加法、减法、乘法和除法运算了，就像我们对待实数一样。

相加和减去复数很像将项相加或减去。 我们加上或减去实部，然后加上或减去虚部。 我们的最终结果应该是标准形式。

示例$\PageIndex{2}$

添加：$\sqrt{-12}+\sqrt{-27}$。

解决方案：

$\sqrt{-12}+\sqrt{-27}$

使用负数平方根的定义。

$\sqrt{12} i+\sqrt{27} i$

简化平方根。

$2 \sqrt{3} i+3 \sqrt{3} i$

添加。

$5 \sqrt{3} i$

练习$\PageIndex{3}$

添加：$\sqrt{-8}+\sqrt{-32}$。

回答

$6 \sqrt{2} i$

练习$\PageIndex{4}$

添加：$\sqrt{-27}+\sqrt{-48}$

回答

$7 \sqrt{3} i$

记得在下一个示例中将实数部分和虚部相加。

示例$\PageIndex{3}$

简化：

1. $(4-3 i)+(5+6 i)$
2. $(2-5 i)-(5-2 i)$

解决方案：

一个。

$(4-3 i)+(5+6 i)$

使用关联属性将实部和虚部放在一起。

$(4+5)+(-3 i+6 i)$

简化。

$9+3i$

b。

$(2-5 i)-(5-2 i)$

分发。

$2-5 i-5+2 i$

使用关联属性将实部和虚部放在一起。

$2-5-5 i+2 i$

简化。

$-3-3 i$

练习$\PageIndex{5}$

简化：

1. $(2+7 i)+(4-2 i)$
2. $(8-4 i)-(2-i)$

回答

1. $6+5i$
2. $6-3i$

练习$\PageIndex{6}$

简化：

1. $(3-2 i)+(-5-4 i)$
2. $(4+3 i)-(2-6 i)$

回答

1. $-2-6i$
2. $2+9i$

将复数相乘

将复数相乘也很像将表达式与系数和变量相乘。 我们只需要考虑一个特殊情况。 我们将在接下来的两个示例中练习之后再看一下。

示例$\PageIndex{4}$

乘以：$2 i(7-5 i)$

解决方案：

$2 i(7-5 i)$

分发。

$14 i-10 i^{2}$

简化$i^{2}$。

$14 i-10(-1)$

乘以。

$14 i+10$

以标准形式书写。

$10+14i$

练习$\PageIndex{7}$

乘以：$4 i(5-3 i)$。

回答

$12+20i$

练习$\PageIndex{8}$

乘以：$-3 i(2+4 i)$。

回答

$12-6i$

在下一个示例中，我们使用分布属性或 FOIL 将二项式相乘。

示例$\PageIndex{5}$

乘以：$(3+2 i)(4-3 i)$。

解决方案：

$(3+2 i)(4-3 i)$

使用铝箔。

$12-9 i+8 i-6 i^{2}$

简$i^{2}$化和合并相似的术语。

$12-i-6(-1)$

乘以。

$12-i+6$

将真实部分组合在一起。

$18-i$

练习$\PageIndex{9}$

多个：$(5-3 i)(-1-2 i)$。

回答

$-11-7i$

练习$\PageIndex{10}$

多个：$(-4-3 i)(2+i)$。

回答

$-5-10i$

在下一个示例中，我们可以使用 F OIL 或二项式方块乘积图案。

示例$\PageIndex{6}$

乘以：$(3+2 i)^{2}$

解决方案：

表 8.8.2

使用二项式正方形图案的乘积，$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$。
简化。
简化$i^{2}$。
简化。

练习$\PageIndex{11}$

使用二项式正方形图案进行乘法:$(-2-5 i)^{2}$.

回答

$-21+20 i$

练习$\PageIndex{12}$

使用二项式正方形图案进行乘法:$(-5+4 i)^{2}$.

回答

$9-40i$

由于负数的平方根不是实数，因此我们不能使用基数的乘积属性。 为了将负数的平方根相乘，我们应该首先将它们写成复数，使用$\sqrt{-b}=\sqrt{b}i$ .This 是学生容易出错的地方，所以当你看到乘以负平方根时要小心。

示例$\PageIndex{7}$

乘以：$\sqrt{-36} \cdot \sqrt{-4}$。

解决方案：

要将负数的平方根相乘，我们首先将它们写成复数。

$\sqrt{-36} \cdot \sqrt{-4}$

使用作为复数写入$\sqrt{-b}=\sqrt{b}i$。

$\sqrt{36} i \cdot \sqrt{4} i$

简化。

$6 i \cdot 2 i$

乘以。

$12i^{2}$

简化$i^{2}$并乘以。

$-12$

练习$\PageIndex{13}$

乘以：$\sqrt{-49} \cdot \sqrt{-4}$。

回答

$-14$

练习$\PageIndex{14}$

乘以：$\sqrt{-36} \cdot \sqrt{-81}$。

回答

$-54$

在下一个示例中，每个二项式都有一个负数的平方根。 在乘法之前，必须将负数的每个平方根写成复数。

示例$\PageIndex{8}$

乘以：$(3-\sqrt{-12})(5+\sqrt{-27})$。

解决方案：

要将负数的平方根相乘，我们首先将它们写成复数。

$(3-\sqrt{-12})(5+\sqrt{-27})$

使用作为复数写入$\sqrt{-b}=\sqrt{b}i$。

$(3-2 \sqrt{3} i)(5+3 \sqrt{3} i)$

使用铝箔。

$15+9 \sqrt{3} i-10 \sqrt{3} i-6 \cdot 3 i^{2}$

合并相似的术语并进行简化$i^{2}$。

$15-\sqrt{3} i-6 \cdot(-3)$

相似的项相乘和合并。

$33-\sqrt{3} i$

练习$\PageIndex{15}$

乘以：$(4-\sqrt{-12})(3-\sqrt{-48})$。

回答

$-12-22 \sqrt{3} i$

练习$\PageIndex{16}$

乘以：$(-2+\sqrt{-8})(3-\sqrt{-18})$。

回答

$6+12 \sqrt{2} i$

我们在研究多项式时首先研究了共轭对。 我们说过，一对二项式的第一个项和最后一个项相同，但一个是总和，一个是差值，被称为共轭对，其形式是这样$(a−b),(a+b)$。

复杂的共轭对非常相似。 对于形式的复数$a+bi$，其共轭为$a−bi$。 请注意，它们的第一个项和最后一个项相同，但是一个是总和，一个是差值。

定义$\PageIndex{4}$

复杂共轭对的形式为$a+bi,a-bi$。

在下一个示例中，我们将乘以一个复数共轭对。

示例$\PageIndex{9}$

乘以：$(3-2 i)(3+2 i)$。

解决方案：

$(3-2 i)(3+2 i)$

使用铝箔

$9+6 i-6 i-4 i^{2}$

合并相似的术语并进行简化$i^{2}$。

$9-4(-1)$

相似的项相乘和合并。

$13$

练习$\PageIndex{17}$

乘以：$(4-3 i) \cdot(4+3 i)$。

回答

$25$

练习$\PageIndex{18}$

乘以：$(-2+5 i) \cdot(-2-5 i)$。

回答

$29$

根据我们对多项式的研究，我们知道共轭物的乘积始终是$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$这种形式。结果称为平方差。 我们可以使用这个模式乘以一个复杂的共轭对。

最后一个例子我们使用了 FOIL。 现在我们将使用共轭乘积模式。

图 8.8.8

请注意，这与我们在示例 8.8.9 中找到的结果相同。

当我们将复数共轭物相乘时，最后一项的乘积将始终$i^{2}$具有简化为$−1$。

$\begin{array}{c}{(a-b i)(a+b i)} \\ {a^{2}-(b i)^{2}} \\ {a^{2}-b^{2} i^{2}} \\ {a^{2}-b^{2}(-1)} \\ {a^{2}+b^{2}}\end{array}$

这使我们得出了复杂共轭物模式的乘积：$(a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}$

定义$\PageIndex{5}$

复合偶联物的乘积

如果$a$和$b$是实数，那么

$(a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}$

示例$\PageIndex{10}$

使用复杂共轭物模式的乘积进行乘法:$(8-2 i)(8+2 i)$.

解决方案：

表 8.8.3

使用复杂共轭物图案的乘积，$(a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}$。
简化方块。
添加。

练习$\PageIndex{19}$

使用复杂共轭物模式的乘积进行乘法:$(3-10 i)(3+10 i)$.

回答

$109$

练习$\PageIndex{20}$

使用复杂共轭物模式的乘积进行乘法:$(-5+4 i)(-5-4 i)$.

回答

$41$

除以复数

除以复数很像合理化分母。 我们希望结果采用标准形式，分母中没有虚数。

示例$\PageIndex{11}$ how to divide complex numbers

除以：$\frac{4+3 i}{3-4 i}$。

解决方案：

表 8.8.4

步骤 1：用标准形式写下分子和分母。	它们都是标准形式。	$\frac{4+3 i}{3-4 i}$
步骤 2：将分子和分母乘以分母的复共轭。	的复共轭$3-4i$是$3+4i$。	$\frac{(4+3 i)\color{red}{(3+4 i)}}{(3-4 i)\color{red}{(3+4 i)}}$
第 3 步：简化结果并将其写入标准格式。	使用分母$(a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}$中的图案。 将相似的术语组合在一起。 简化。 以标准形式写出结果。	$\begin{array}{c}{\frac{12+16 i+9 i+12 i^{2}}{9+16}} \\ {\frac{12+25 i-12}{25}} \\ {\frac{25 i}{25}} \\ {i}\end{array}$

练习$\PageIndex{21}$

除以：$\frac{2+5 i}{5-2 i}$。

回答

$i$

练习$\PageIndex{22}$

除以：$\frac{1+6 i}{6-i}$。

回答

$i$

我们在这里总结一下步骤。

如何除以复数

1. 用标准形式写下分子和分母。
2. 将分子和分母乘以分母的复共轭。
3. 简化结果并将其写入标准格式。

示例$\PageIndex{12}$

划分，以标准形式写出答案：$\frac{-3}{5+2 i}$。

解决方案：

$\frac{-3}{5+2 i}$

将分子和分母乘以分母的复共轭。

$\frac{-3(5-2 i)}{(5+2 i)(5-2 i)}$

将分子相乘，然后在分母中使用复共轭模式的乘积。

$\frac{-15+6 i}{5^{2}+2^{2}}$

简化。

$\frac{-15+6 i}{29}$

以标准形式书写。

$-\frac{15}{29}+\frac{6}{29} i$

练习$\PageIndex{23}$

除以，用标准形式写出答案：$\frac{4}{1-4 i}$。

回答

$\frac{4}{17}+\frac{16}{17} i$

练习$\PageIndex{24}$

除以，用标准形式写出答案：$\frac{-2}{-1+2 i}$。

回答

$\frac{2}{5}+\frac{4}{5} i$

在找到分母的共轭时要小心。

示例$\PageIndex{13}$

除以：$\frac{5+3 i}{4 i}$。

解决方案：

$\frac{5+3 i}{4 i}$

用标准形式写下分母。

$\frac{5+3 i}{0+4 i}$

将分子和分母乘以分母的复共轭。

$\frac{(5+3 i)(0-4 i)}{(0+4 i)(0-4 i)}$

简化。

$\frac{(5+3 i)(-4 i)}{(4 i)(-4 i)}$

乘以。

$\frac{-20 i-12 i^{2}}{-16 i^{2}}$。

简化$i^{2}$.

$\frac{-20 i+12}{16}$

以标准形式重写。

$\frac{12}{16}-\frac{20}{16} i$

简化分数。

$\frac{3}{4}-\frac{5}{4} i$

练习$\PageIndex{25}$

除以：$\frac{3+3 i}{2 i}$。

回答

$\frac{3}{2}-\frac{3}{2} i$

练习$\PageIndex{26}$

除以：$\frac{2+4 i}{5 i}$。

回答

$\frac{4}{5}-\frac{2}{5} i$

简化 Power of$i$

$i$制作有趣模式的力量将帮助我们简化更高的功率$i$。 让我们评估一下的功$i$率以查看模式。

$\begin{array}{ccc}{i^{1}} & {i^{2}} & {i^{3}} & {i^{4}} \\ {i} & {-1} & {i^{2}\cdot i} & {i^{2}\cdot i^{2}}\\ {}&{}&{-1\cdot i}&{(-1)(-1)}\\ {}&{}&{-i}&{1}\end{array}$

$\begin{array}{cccc}{i^{5}} & {i^{6}} & {i^{7}} & {i^{8}} \\ {i^{4} \cdot i} & {i^{4} \cdot i^{2}} & {i^{4} \cdot i^{3}} & {i^{4} \cdot i^{4}} \\ {1 \cdot i} & {1 \cdot i^{2}} & {1 \cdot i^{3}} & {1 \cdot 1} \\ {i} & {i^{2}} & {i^{3}} & {1} \\ {}&{-1} & {-i}\end{array}$

我们现在总结一下。

$\begin{array}{ll}{i^{1}=i} & {i^{5}=i} \\ {i^{2}=-1} & {i^{6}=-1} \\ {i^{3}=-i} & {i^{7}=-i} \\ {i^{4}=1} & {i^{8}=1}\end{array}$

如果我们继续下去，这种模式将继续以四组为单位重复。 我们可以使用这种模式来帮助我们简化功能$i$。 从那以后$i^{4}=1$，我们将每个 power 重写为一个乘积$i^{n}$，再$i^{4}$将另一个功率改为 power$i$。

我们用以下形式重写它$i^{n}=\left(i^{4}\right)^{q} \cdot i^{r}$$q$，其中指数是$n$除以的商$r$，$4$而指数是该除法的余数。 例如，为了简化起$i^{57}$见，我们$57$除$4$以，然后得$14$出余数$1$。 换句话说，$57=4⋅14+1$。 所以我们编写$i^{57}=\left(1^{4}\right)^{14} \cdot i^{1}$然后从那里进行简化。

图 8.8.13

示例$\PageIndex{14}$

简化：$i^{86}$。

解决方案：

$i^{86}$

除$86$以$4$，然后在$i^{n}=\left(i^{4}\right)^{q} \cdot i^{r}$表单$i^{86}$中重写。

$\left(1^{4}\right)^{21} \cdot i^{2}$

图 8.8.14

简化。

$(1)^{21} \cdot(-1)$

简化。

$-1$

练习$\PageIndex{27}$

简化：$i^{74}$。

回答

$-1$

练习$\PageIndex{28}$

简化：$i^{92}$。

回答

$1$

访问这些在线资源，获取有关复数系统的更多指导和练习。

• 用 i 表示负数的平方根
• 减去和乘以复数
• 除以复数
• 重写 i 的力量

关键概念

• 负数的平方根
  • 如果$b$是正实数，那么\ (\ sqrt {-b} =\ sqrt {b} i\

表 8.8.1

	$a+bi$
$b=0$	$a+0\cdot i$ $a$	实数
$b\neq 0$	$a+bi$	虚数
$a=0$	$0+bi$ $bi$	纯虚数

• • 复数写成 a + bi 时采用标准形式，其中 a, b 是实数。
    
    图 8.8.2
• 复合偶联物的乘积
  • 如果$a, b$是实数，那么
    $(a−bi)(a+bi)=a^{2}+b^{2}$
• 如何除以复数
  1. 用标准形式写下分子和分母。
  2. 将分子和分母乘以分母的复共轭。
  3. 简化结果并将其写入标准格式。

词汇表

复数共轭对

复杂共轭对的形式为$a+bi, a-bi$。

复数

复数的形式为$a+bi$，其中$a$和$b$是实数。 我们称$a$之为真实$b$部分和虚部。

复数系统

复数系统由实数和虚数组成。

虚数单位

虚数单位$i$是平方为的数字$–1$。 $i^{2}=-1$或$i=\sqrt{−1}$。

标准表单

复数写成时采用标准形式$a+bi$，其中$a, b$是实数。