8.4: 简化有理指数

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 使用以下命令简化表达式\(a^{\frac{1}{n}}\)
• 使用以下命令简化表达式\(a^{\frac{m}{n}}\)
• 使用指数的属性来简化带有有理指数的表达式

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 添加：\(\frac{7}{15}+\frac{5}{12}\)。
   如果你错过了这个问题，请查看示例 1.28。
2. 简化：\((4x^{2}y^{5})^{3}\)。
   如果您错过了此问题，请查看示例 5.18。
3. 简化：\(5^{−3}\)。
   如果您错过了此问题，请查看示例 5.14。

使用以下命令简化表达式\(a^{\frac{1}{n}}\)

有理指数是用自由基写表达式的另一种方式。 当我们使用有理指数时，我们可以应用指数的属性来简化表达式。

指数的幂属性表示\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\)何时\(m\)和\(n\)为整数。 假设我们现在不局限于整数。

假设我们想找到一个\(p\)这样的数字\(\left(8^{p}\right)^{3}=8\)。 我们将使用指数的幂属性来计算的值\(p\)。

\(\left(8^{p}\right)^{3}=8\)

乘以左边的指数。

\(8^{3p}=8\)

在右边写下指数\(1\)。

\(8^{3p}=8^{1}\)

由于基数相同，指数必须相等。

\(3p=1\)

求解\(p\)。

\(p=\frac{1}{3}\)

所以\(\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=8\)。 但是我们也知道\((\sqrt[3]{8})^{3}=8\)。 那一定是这样\(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}\)。

同样的逻辑可以用于任何正整数指数\(n\)来表明这一点\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)。

定义\(\PageIndex{1}\): Rational Exponent \(a^{\frac{1}{n}}\)

如果\(\sqrt[n]{a}\)是实数\(n \geq 2\)，那么

\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)

有理指数的分母是激进的指数。

有时候，如果你使用有理指数，处理表达式会更容易，而有时候使用基数会更容易。 在前几个示例中，您将练习在这两种符号之间转换表达式。

示例\(\PageIndex{1}\)

写成激进表达式：

1. \(x^{\frac{1}{2}}\)
2. \(y^{\frac{1}{3}}\)
3. \(z^{\frac{1}{4}}\)

解决方案：

我们想用表单写每个表达式\(\sqrt[n]{a}\)。

一个。

\(x^{\frac{1}{2}}\)

有理指数的分母是\(2\)，所以激进的指数是\(2\)。 当索引存在时，我们不显示索引\(2\)。

\(\sqrt{x}\)

b。

\(y^{\frac{1}{3}}\)

指数的分母是\(3\)，所以索引是\(3\)。

\(\sqrt[3]{y}\)

c。

\(z^{\frac{1}{4}}\)

指数的分母是\\(4\)，所以索引是\(4\)。

\(\sqrt[4]{z}\)

练习\(\PageIndex{1}\)

写成激进表达式：

1. \(t^{\frac{1}{2}}\)
2. \(m^{\frac{1}{3}}\)
3. \(r^{\frac{1}{4}}\)

回答

1. \(\sqrt{t}\)
2. \(\sqrt[3]{m}\)
3. \(\sqrt[4]{r}\)

练习\(\PageIndex{2}\)

写成激进表达式：

1. \(b^{\frac{1}{6}}\)
2. \(z^{\frac{1}{5}}\)
3. \(p^{\frac{1}{4}}\)

回答

1. \(\sqrt[6]{b}\)
2. \(\sqrt[5]{z}\)
3. \(\sqrt[4]{p}\)

在下一个例子中，我们将使用有理指数写出每个激进。 在 radicand 中的整个表达式周围使用括号很重要，因为整个表达式被提升为理性力量。

示例\(\PageIndex{2}\)

用有理指数书写：

1. \(\sqrt{5y}\)
2. \(\sqrt[3]{4 x}\)
3. \(3 \sqrt[4]{5 z}\)

解决方案：

我们想用以下形式写每个激进\(a^{\frac{1}{n}}\)

一个。

\(\sqrt{5y}\)

没有显示索引，事实如此\(2\)。

指数的分母将为\(2\)。

在整个表达式前后加上圆括号\(5y\)。

\((5 y)^{\frac{1}{2}}\)

b。

\(\sqrt[3]{4 x}\)

索引是\(3\)，所以指数的分母是\(3\)。 包括圆括号\((4x)\)。

\((4 x)^{\frac{1}{3}}\)

c。

\(3 \sqrt[4]{5 z}\)

索引是\(4\)，所以指数的分母是\(4\)。 仅在激进符号前\(5z\)后加上括号，因为 3 不在激进符号下。

\(3(5 z)^{\frac{1}{4}}\)

练习\(\PageIndex{3}\)

用有理指数书写：

1. \(\sqrt{10m}\)
2. \(\sqrt[5]{3 n}\)
3. \(3 \sqrt[4]{6 y}\)

回答

1. \((10 m)^{\frac{1}{2}}\)
2. \((3 n)^{\frac{1}{5}}\)
3. \(3(6 y)^{\frac{1}{4}}\)

练习\(\PageIndex{4}\)

用有理指数书写：

1. \(\sqrt[7]{3 k}\)
2. \(\sqrt[4]{5 j}\)
3. \(8 \sqrt[3]{2 a}\)

回答

1. \((3 k)^{\frac{1}{7}}\)
2. \((5 j)^{\frac{1}{4}}\)
3. \(8(2 a)^{\frac{1}{3}}\)

在下一个示例中，如果先将表达式重写为激进表达式，可能会更容易简化它们。

示例\(\PageIndex{3}\)

简化：

1. \(25^{\frac{1}{2}}\)
2. \(64^{\frac{1}{3}}\)
3. \(256^{\frac{1}{4}}\)

解决方案：

一个。

\(25^{\frac{1}{2}}\)

重写为平方根。

\(\sqrt{25}\)

简化。

\(5\)

b。

\(64^{\frac{1}{3}}\)

重写为立方根目录。

\(\sqrt[3]{64}\)

识别\(64\)是一个完美的立方体。

\(\sqrt[3]{4^{3}}\)

简化。

\(4\)

c。

\(256^{\frac{1}{4}}\)

重写为第四个根。

\(\sqrt[4]{256}\)

认出\(256\)是完美的第四种力量。

\(\sqrt[4]{4^{4}}\)

简化。

\(4\)

练习\(\PageIndex{5}\)

简化：

1. \(36^{\frac{1}{2}}\)
2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
3. \(16^{\frac{1}{4}}\)

回答

1. \(6\)
2. \(2\)
3. \(2\)

练习\(\PageIndex{6}\)

简化：

1. \(100^{\frac{1}{2}}\)
2. \(27^{\frac{1}{3}}\)
3. \(81^{\frac{1}{4}}\)

回答

1. \(10\)
2. \(3\)
3. \(3\)

注意下一个示例中负号的位置。 \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)在一种情况下，我们需要使用该属性。

示例\(\PageIndex{4}\)

简化：

1. \((-16)^{\frac{1}{4}}\)
2. \(-16^{\frac{1}{4}}\)
3. \((16)^{-\frac{1}{4}}\)

解决方案：

一个。

\((-16)^{\frac{1}{4}}\)

重写为第四个根。

\(\sqrt[4]{-16}\)

\(\sqrt[4]{(-2)^{4}}\)

简化。

没有真正的解决方案

b。

\(-16^{\frac{1}{4}}\)

指数仅适用于\(16\)。 重写为第四个根。

\(-\sqrt[4]{16}\)

重写\(16\)为\(2^{4}\)

\(-\sqrt[4]{2^{4}}\)

简化。

\(-2\)

c。

\((16)^{-\frac{1}{4}}\)

使用属性重写\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)。

\(\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}\)

重写为第四个根。

\(\frac{1}{\sqrt[4]{16}}\)

重写\(16\)为\(2^{4}\)。

\(\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}\)

简化。

\(\frac{1}{2}\)

练习\(\PageIndex{7}\)

简化：

1. \((-64)^{-\frac{1}{2}}\)
2. \(-64^{\frac{1}{2}}\)
3. \((64)^{-\frac{1}{2}}\)

回答

1. 没有真正的解决方案
2. \(-8\)
3. \(\frac{1}{8}\)

练习\(\PageIndex{8}\)

简化：

1. \((-256)^{\frac{1}{4}}\)
2. \(-256^{\frac{1}{4}}\)
3. \((256)^{-\frac{1}{4}}\)

回答

1. 没有真正的解决方案
2. \(-4\)
3. \(\frac{1}{4}\)

使用以下命令简化表达式\(a^{\frac{m}{n}}\)

我们可以从两个\(a^{\frac{m}{n}}\)方面来看。 请记住，Power Property 告诉我们乘以指数，\(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}\)然后\(\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}\)两者相等\(a^{\frac{m}{n}}\)。 如果我们用激进的形式写这些表达式，我们得到

\(a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{m}\right)^{^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

这使我们得出以下定义。

定义\(\PageIndex{2}\): Rational Exponent \(a^{\frac{m}{n}}\)

对于任何正整数\(m\)\(n\)和

\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

我们使用哪种形式来简化表达式？ 我们通常先扎根，这样我们就将激进中的数字保持在较小的范围内，然后再将其提高到所示的次方。

示例\(\PageIndex{5}\)

用有理指数书写：

1. \(\sqrt{y^{3}}\)
2. \((\sqrt[3]{2 x})^{4}\)
3. \(\sqrt{\left(\frac{3 a}{4 b}\right)^{3}}\)

解决方案：

我们\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)想用以下形式写每个部首\(a^{\frac{m}{n}}\)

一个。

图 8.3.1

b。

图 8.3.2

c。

图 8.3.3

练习\(\PageIndex{9}\)

用有理指数书写：

1. \(\sqrt{x^{5}}\)
2. \((\sqrt[4]{3 y})^{3}\)
3. \(\sqrt{\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{5}}\)

回答

1. \(x^{\frac{5}{2}}\)
2. \((3 y)^{\frac{3}{4}}\)
3. \(\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{\frac{5}{2}}\)

练习\(\PageIndex{10}\)

用有理指数书写：

1. \(\sqrt[5]{a^{2}}\)
2. \((\sqrt[3]{5 a b})^{5}\)
3. \(\sqrt{\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{3}}\)

回答

1. \(a^{\frac{2}{5}}\)
2. \((5 a b)^{\frac{5}{3}}\)
3. \(\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{\frac{3}{2}}\)

记住这一点\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)。 指数中的负号不会改变表达式的符号。

示例\(\PageIndex{6}\)

简化：

1. \(125^{\frac{2}{3}}\)
2. \(16^{-\frac{3}{2}}\)
3. \(32^{-\frac{2}{5}}\)

解决方案：

我们将首先使用定义将表达式重写为激进表达式\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m}\)。 这种形式允许我们先取根，因此我们将 radicand 中的数字保持在比使用另一种形式时要小。

一个。

\(125^{\frac{2}{3}}\)

激进的幂是指数的分子\(2\)。 激进的索引是指数的分母\(3\)。

\((\sqrt[3]{125})^{2}\)

简化。

\((5)^{2}\)

\(25\)

b. 我们将首先使用重写每个表达式，\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)然后改为激进形式。

\(16^{-\frac{3}{2}}\)

使用重写\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

\(\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\)

改为激进形式。 激进的幂是指数的分子\(3\)。 索引是指数的分母\(2\)。

\(\frac{1}{(\sqrt{16})^{3}}\)

简化。

\(\frac{1}{4^{3}}\)

\(\frac{1}{64}\)

c。

\(32^{-\frac{2}{5}}\)

使用重写\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

\(\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}\)

改为激进形式。

\(\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^{2}}\)

将激进分子改写为力量。

\(\frac{1}{\left(\sqrt[5]{2^{5}}\right)^{2}}\)

简化。

\(\frac{1}{2^{2}}\)

\(\frac{1}{4}\)

练习\(\PageIndex{11}\)

简化：

1. \(27^{\frac{2}{3}}\)
2. \(81^{-\frac{3}{2}}\)
3. \(16^{-\frac{3}{4}}\)

回答

1. \(9\)
2. \(\frac{1}{729}\)
3. \(\frac{1}{8}\)

练习\(\PageIndex{12}\)

简化：

1. \(4^{\frac{3}{2}}\)
2. \(27^{-\frac{2}{3}}\)
3. \(625^{-\frac{3}{4}}\)

回答

1. \(8\)
2. \(\frac{1}{9}\)
3. \(\frac{1}{125}\)

示例\(\PageIndex{7}\)

简化：

1. \(-25^{\frac{3}{2}}\)
2. \(-25^{-\frac{3}{2}}\)
3. \((-25)^{\frac{3}{2}}\)

解决方案：

一个。

\(-25^{\frac{3}{2}}\)

以激进的形式重写。

\(-(\sqrt{25})^{3}\)

简化激进。

\(-(5)^{3}\)

简化。

\(-125\)

b。

\(-25^{-\frac{3}{2}}\)

使用重写\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)。

\(-\left(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}}\right)\)

以激进的形式重写。

\(-\left(\frac{1}{(\sqrt{25})^{3}}\right)\)

简化激进。

\(-\left(\frac{1}{(5)^{3}}\right)\)

简化。

\(-\frac{1}{125}\)

c。

\((-25)^{\frac{3}{2}}\)

以激进的形式重写。

\((\sqrt{-25})^{3}\)

没有平方根为实数\(-25\)。

不是一个实数。

练习\(\PageIndex{13}\)

简化：

1. \(-16^{\frac{3}{2}}\)
2. \(-16^{-\frac{3}{2}}\)
3. \((-16)^{-\frac{3}{2}}\)

回答

1. \(-64\)
2. \(-\frac{1}{64}\)
3. 不是实数

练习\(\PageIndex{14}\)

简化：

1. \(-81^{\frac{3}{2}}\)
2. \(-81^{-\frac{3}{2}}\)
3. \((-81)^{-\frac{3}{2}}\)

回答

1. \(-729\)
2. \(-\frac{1}{729}\)
3. 不是实数

使用指数的属性来简化带有有理指数的表达式

我们已经使用过的指数的相同属性也适用于有理指数。 我们将在此处列出指数的属性，以供我们在简化表达式时参考。

指数的属性

如果\(a\)和\(b\)是实数并且\(m\)和\(n\)是有理数，那么

产品属性

\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\)

功率财产

\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\)

从产品到力量

\((a b)^{m}=a^{m} b^{m}\)

商数属性

\(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0\)

零指数定义

\(a^{0}=1, a \neq 0\)

商到幂属性

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)

负指数属性

\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0\)

我们将在下一个示例中应用这些属性。

示例\(\PageIndex{8}\)

简化：

1. \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}\)
2. \(\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}\)
3. \(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

解决方案

a. Product 属性告诉我们，当我们将同一个基数相乘时，我们会将指数相加。

\(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}\)

基数是相同的，所以我们添加指数。

\(x^{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}\)

添加分数。

\(x^{\frac{8}{6}}\)

简化指数。

\(x^{\frac{4}{3}}\)

b. Power Property 告诉我们，当我们将一个幂提高到一个幂时，我们会乘以指数。

\(\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}\)

要将幂提高到乘方，我们将指数相乘。

\(z^{9 \cdot \frac{2}{3}}\)

简化。

\(z^{6}\)

c. Quotient Property 告诉我们，当我们用相同的基数除法时，我们减去指数。

\(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

要用相同的基数除法，我们减去指数。

\(\frac{1}{x^{\frac{5}{3}-\frac{1}{3}}}\)

简化。

\(\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}\)

练习\(\PageIndex{15}\)

简化：

1. \(x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{4}{3}}\)
2. \(\left(x^{6}\right)^{\frac{4}{3}}\)
3. \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

回答

1. \(x^{\frac{3}{2}}\)
2. \(x^{8}\)
3. \(\frac{1}{x}\)

练习\(\PageIndex{16}\)

简化：

1. \(y^{\frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{5}{8}}\)
2. \(\left(m^{9}\right)^{\frac{2}{9}}\)
3. \(\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}\)

回答

1. \(y^{\frac{11}{8}}\)
2. \(m^{2}\)
3. \(\frac{1}{d}\)

有时我们需要使用多个属性。 在下一个示例中，我们将使用乘积到功率属性，然后使用功率属性。

示例\(\PageIndex{9}\)

简化：

1. \(\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)
2. \(\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

解决方案：

一个。

\(\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

首先，我们将产品用于功率属性。

\((27)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

重写\(27\)为 power of\(3\)。

\(\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

要将幂提高到乘方，我们将指数相乘。

\(\left(3^{2}\right)\left(u^{\frac{1}{3}}\right)\)

简化。

\(9 u^{\frac{1}{3}}\)

b。

\(\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

首先，我们将产品用于功率属性。

\(\left(m^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\left(n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。

\(m n^{\frac{3}{4}}\)

练习\(\PageIndex{17}\)

简化：

1. \(\left(32 x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{5}}\)
2. \(\left(x^{\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

回答

1. \(8 x^{\frac{1}{5}}\)
2. \(x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}}\)

练习\(\PageIndex{18}\)

简化：

1. \(\left(81 n^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{3}{2}}\)
2. \(\left(a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{4}{3}}\)

回答

1. \(729 n^{\frac{3}{5}}\)
2. \(a^{2} b^{\frac{2}{3}}\)

在下一个示例中，我们将同时使用产品属性和商数属性。

示例\(\PageIndex{10}\)

简化：

1. \(\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)
2. \(\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

解决方案：

一个。

\(\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)

在分子中使用乘积属性，将指数相加。

\(\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)

使用商属性，减去指数。

\(x^{\frac{8}{4}}\)

简化。

\(x^{2}\)

b。

\(\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

使用商属性，减去指数。

\(\left(\frac{16 x^{\frac{6}{3}}}{y^{\frac{6}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

简化。

\(\left(\frac{16 x^{2}}{y}\right)^{\frac{1}{2}}\)

使用乘积乘以幂属性，将指数相乘。

\(\frac{4 x}{y^{\frac{1}{2}}}\)

练习\(\PageIndex{19}\)

简化：

1. \(\frac{m^{\frac{2}{3}} \cdot m^{-\frac{1}{3}}}{m^{-\frac{5}{3}}}\)
2. \(\left(\frac{25 m^{\frac{1}{6}} n^{\frac{11}{6}}}{m^{\frac{2}{3}} n^{-\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

回答

1. \(m^{2}\)
2. \(\frac{5 n}{m^{\frac{1}{4}}}\)

练习\(\PageIndex{20}\)

简化：

1. \(\frac{u^{\frac{4}{5}} \cdot u^{-\frac{2}{5}}}{u^{-\frac{13}{5}}}\)
2. \(\left(\frac{27 x^{\frac{4}{5}} y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{5}} y^{-\frac{5}{6}}}\right)^{\frac{1}{3}}\)

回答

1. \(u^{3}\)
2. \(3 x^{\frac{1}{5}} y^{\frac{1}{3}}\)

访问这些在线资源以获取更多指导和练习，简化有理指数。

• 评论-有理指数
• 在自由基上使用指数定律：有理指数的性质

关键概念

• 有理指数\(a^{\frac{1}{n}}\)
  • 如果\(\sqrt[n]{a}\)是实数\(n≥2\)，那么\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)。
• 有理指数\(a^{\frac{m}{n}}\)
  • 对于任何正整数\(m\)\(n\)和
    \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \text { and } a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)
• 指数的属性
  • 如果\(a, b\)是实数并且\(m, n\)是有理数，那么
    • 产品属性\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\)
    • 功率财产\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\)
    • 从产品到力量\((a b)^{m}=a^{m} b^{m}\)
    • 商数属性\(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0\)
    • 零指数定义\(a^{0}=1, a \neq 0\)
    • 商到幂属性\(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)
    • 负指数属性\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0\)