8.4: 简化有理指数

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 使用以下命令简化表达式$a^{\frac{1}{n}}$
• 使用以下命令简化表达式$a^{\frac{m}{n}}$
• 使用指数的属性来简化带有有理指数的表达式

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 添加：$\frac{7}{15}+\frac{5}{12}$。
   如果你错过了这个问题，请查看示例 1.28。
2. 简化：$(4x^{2}y^{5})^{3}$。
   如果您错过了此问题，请查看示例 5.18。
3. 简化：$5^{−3}$。
   如果您错过了此问题，请查看示例 5.14。

使用以下命令简化表达式$a^{\frac{1}{n}}$

有理指数是用自由基写表达式的另一种方式。 当我们使用有理指数时，我们可以应用指数的属性来简化表达式。

指数的幂属性表示$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}$何时$m$和$n$为整数。 假设我们现在不局限于整数。

假设我们想找到一个$p$这样的数字$\left(8^{p}\right)^{3}=8$。 我们将使用指数的幂属性来计算的值$p$。

$\left(8^{p}\right)^{3}=8$

乘以左边的指数。

$8^{3p}=8$

在右边写下指数$1$。

$8^{3p}=8^{1}$

由于基数相同，指数必须相等。

$3p=1$

求解$p$。

$p=\frac{1}{3}$

所以$\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=8$。 但是我们也知道$(\sqrt[3]{8})^{3}=8$。 那一定是这样$8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}$。

同样的逻辑可以用于任何正整数指数$n$来表明这一点$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$。

定义$\PageIndex{1}$: Rational Exponent $a^{\frac{1}{n}}$

如果$\sqrt[n]{a}$是实数$n \geq 2$，那么

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

有理指数的分母是激进的指数。

有时候，如果你使用有理指数，处理表达式会更容易，而有时候使用基数会更容易。 在前几个示例中，您将练习在这两种符号之间转换表达式。

示例$\PageIndex{1}$

写成激进表达式：

1. $x^{\frac{1}{2}}$
2. $y^{\frac{1}{3}}$
3. $z^{\frac{1}{4}}$

解决方案：

我们想用表单写每个表达式$\sqrt[n]{a}$。

一个。

$x^{\frac{1}{2}}$

有理指数的分母是$2$，所以激进的指数是$2$。 当索引存在时，我们不显示索引$2$。

$\sqrt{x}$

b。

$y^{\frac{1}{3}}$

指数的分母是$3$，所以索引是$3$。

$\sqrt[3]{y}$

c。

$z^{\frac{1}{4}}$

指数的分母是\$4$，所以索引是$4$。

$\sqrt[4]{z}$

练习$\PageIndex{1}$

写成激进表达式：

1. $t^{\frac{1}{2}}$
2. $m^{\frac{1}{3}}$
3. $r^{\frac{1}{4}}$

回答

1. $\sqrt{t}$
2. $\sqrt[3]{m}$
3. $\sqrt[4]{r}$

练习$\PageIndex{2}$

写成激进表达式：

1. $b^{\frac{1}{6}}$
2. $z^{\frac{1}{5}}$
3. $p^{\frac{1}{4}}$

回答

1. $\sqrt[6]{b}$
2. $\sqrt[5]{z}$
3. $\sqrt[4]{p}$

在下一个例子中，我们将使用有理指数写出每个激进。 在 radicand 中的整个表达式周围使用括号很重要，因为整个表达式被提升为理性力量。

示例$\PageIndex{2}$

用有理指数书写：

1. $\sqrt{5y}$
2. $\sqrt[3]{4 x}$
3. $3 \sqrt[4]{5 z}$

解决方案：

我们想用以下形式写每个激进$a^{\frac{1}{n}}$

一个。

$\sqrt{5y}$

没有显示索引，事实如此$2$。

指数的分母将为$2$。

在整个表达式前后加上圆括号$5y$。

$(5 y)^{\frac{1}{2}}$

b。

$\sqrt[3]{4 x}$

索引是$3$，所以指数的分母是$3$。 包括圆括号$(4x)$。

$(4 x)^{\frac{1}{3}}$

c。

$3 \sqrt[4]{5 z}$

索引是$4$，所以指数的分母是$4$。 仅在激进符号前$5z$后加上括号，因为 3 不在激进符号下。

$3(5 z)^{\frac{1}{4}}$

练习$\PageIndex{3}$

用有理指数书写：

1. $\sqrt{10m}$
2. $\sqrt[5]{3 n}$
3. $3 \sqrt[4]{6 y}$

回答

1. $(10 m)^{\frac{1}{2}}$
2. $(3 n)^{\frac{1}{5}}$
3. $3(6 y)^{\frac{1}{4}}$

练习$\PageIndex{4}$

用有理指数书写：

1. $\sqrt[7]{3 k}$
2. $\sqrt[4]{5 j}$
3. $8 \sqrt[3]{2 a}$

回答

1. $(3 k)^{\frac{1}{7}}$
2. $(5 j)^{\frac{1}{4}}$
3. $8(2 a)^{\frac{1}{3}}$

在下一个示例中，如果先将表达式重写为激进表达式，可能会更容易简化它们。

示例$\PageIndex{3}$

简化：

1. $25^{\frac{1}{2}}$
2. $64^{\frac{1}{3}}$
3. $256^{\frac{1}{4}}$

解决方案：

一个。

$25^{\frac{1}{2}}$

重写为平方根。

$\sqrt{25}$

简化。

$5$

b。

$64^{\frac{1}{3}}$

重写为立方根目录。

$\sqrt[3]{64}$

识别$64$是一个完美的立方体。

$\sqrt[3]{4^{3}}$

简化。

$4$

c。

$256^{\frac{1}{4}}$

重写为第四个根。

$\sqrt[4]{256}$

认出$256$是完美的第四种力量。

$\sqrt[4]{4^{4}}$

简化。

$4$

练习$\PageIndex{5}$

简化：

1. $36^{\frac{1}{2}}$
2. $8^{\frac{1}{3}}$
3. $16^{\frac{1}{4}}$

回答

1. $6$
2. $2$
3. $2$

练习$\PageIndex{6}$

简化：

1. $100^{\frac{1}{2}}$
2. $27^{\frac{1}{3}}$
3. $81^{\frac{1}{4}}$

回答

1. $10$
2. $3$
3. $3$

注意下一个示例中负号的位置。 $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$在一种情况下，我们需要使用该属性。

示例$\PageIndex{4}$

简化：

1. $(-16)^{\frac{1}{4}}$
2. $-16^{\frac{1}{4}}$
3. $(16)^{-\frac{1}{4}}$

解决方案：

一个。

$(-16)^{\frac{1}{4}}$

重写为第四个根。

$\sqrt[4]{-16}$

$\sqrt[4]{(-2)^{4}}$

简化。

没有真正的解决方案

b。

$-16^{\frac{1}{4}}$

指数仅适用于$16$。 重写为第四个根。

$-\sqrt[4]{16}$

重写$16$为$2^{4}$

$-\sqrt[4]{2^{4}}$

简化。

$-2$

c。

$(16)^{-\frac{1}{4}}$

使用属性重写$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$。

$\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}$

重写为第四个根。

$\frac{1}{\sqrt[4]{16}}$

重写$16$为$2^{4}$。

$\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}$

简化。

$\frac{1}{2}$

练习$\PageIndex{7}$

简化：

1. $(-64)^{-\frac{1}{2}}$
2. $-64^{\frac{1}{2}}$
3. $(64)^{-\frac{1}{2}}$

回答

1. 没有真正的解决方案
2. $-8$
3. $\frac{1}{8}$

练习$\PageIndex{8}$

简化：

1. $(-256)^{\frac{1}{4}}$
2. $-256^{\frac{1}{4}}$
3. $(256)^{-\frac{1}{4}}$

回答

1. 没有真正的解决方案
2. $-4$
3. $\frac{1}{4}$

使用以下命令简化表达式$a^{\frac{m}{n}}$

我们可以从两个$a^{\frac{m}{n}}$方面来看。 请记住，Power Property 告诉我们乘以指数，$\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}$然后$\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}$两者相等$a^{\frac{m}{n}}$。 如果我们用激进的形式写这些表达式，我们得到

$a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{m}\right)^{^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

这使我们得出以下定义。

定义$\PageIndex{2}$: Rational Exponent $a^{\frac{m}{n}}$

对于任何正整数$m$$n$和

$a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

我们使用哪种形式来简化表达式？ 我们通常先扎根，这样我们就将激进中的数字保持在较小的范围内，然后再将其提高到所示的次方。

示例$\PageIndex{5}$

用有理指数书写：

1. $\sqrt{y^{3}}$
2. $(\sqrt[3]{2 x})^{4}$
3. $\sqrt{\left(\frac{3 a}{4 b}\right)^{3}}$

解决方案：

我们$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$想用以下形式写每个部首$a^{\frac{m}{n}}$

一个。

图 8.3.1

b。

图 8.3.2

c。

图 8.3.3

练习$\PageIndex{9}$

用有理指数书写：

1. $\sqrt{x^{5}}$
2. $(\sqrt[4]{3 y})^{3}$
3. $\sqrt{\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{5}}$

回答

1. $x^{\frac{5}{2}}$
2. $(3 y)^{\frac{3}{4}}$
3. $\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{\frac{5}{2}}$

练习$\PageIndex{10}$

用有理指数书写：

1. $\sqrt[5]{a^{2}}$
2. $(\sqrt[3]{5 a b})^{5}$
3. $\sqrt{\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{3}}$

回答

1. $a^{\frac{2}{5}}$
2. $(5 a b)^{\frac{5}{3}}$
3. $\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{\frac{3}{2}}$

记住这一点$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$。 指数中的负号不会改变表达式的符号。

示例$\PageIndex{6}$

简化：

1. $125^{\frac{2}{3}}$
2. $16^{-\frac{3}{2}}$
3. $32^{-\frac{2}{5}}$

解决方案：

我们将首先使用定义将表达式重写为激进表达式$a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m}$。 这种形式允许我们先取根，因此我们将 radicand 中的数字保持在比使用另一种形式时要小。

一个。

$125^{\frac{2}{3}}$

激进的幂是指数的分子$2$。 激进的索引是指数的分母$3$。

$(\sqrt[3]{125})^{2}$

简化。

$(5)^{2}$

$25$

b. 我们将首先使用重写每个表达式，$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$然后改为激进形式。

$16^{-\frac{3}{2}}$

使用重写$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

$\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}$

改为激进形式。 激进的幂是指数的分子$3$。 索引是指数的分母$2$。

$\frac{1}{(\sqrt{16})^{3}}$

简化。

$\frac{1}{4^{3}}$

$\frac{1}{64}$

c。

$32^{-\frac{2}{5}}$

使用重写$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

$\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}$

改为激进形式。

$\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^{2}}$

将激进分子改写为力量。

$\frac{1}{\left(\sqrt[5]{2^{5}}\right)^{2}}$

简化。

$\frac{1}{2^{2}}$

$\frac{1}{4}$

练习$\PageIndex{11}$

简化：

1. $27^{\frac{2}{3}}$
2. $81^{-\frac{3}{2}}$
3. $16^{-\frac{3}{4}}$

回答

1. $9$
2. $\frac{1}{729}$
3. $\frac{1}{8}$

练习$\PageIndex{12}$

简化：

1. $4^{\frac{3}{2}}$
2. $27^{-\frac{2}{3}}$
3. $625^{-\frac{3}{4}}$

回答

1. $8$
2. $\frac{1}{9}$
3. $\frac{1}{125}$

示例$\PageIndex{7}$

简化：

1. $-25^{\frac{3}{2}}$
2. $-25^{-\frac{3}{2}}$
3. $(-25)^{\frac{3}{2}}$

解决方案：

一个。

$-25^{\frac{3}{2}}$

以激进的形式重写。

$-(\sqrt{25})^{3}$

简化激进。

$-(5)^{3}$

简化。

$-125$

b。

$-25^{-\frac{3}{2}}$

使用重写$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$。

$-\left(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}}\right)$

以激进的形式重写。

$-\left(\frac{1}{(\sqrt{25})^{3}}\right)$

简化激进。

$-\left(\frac{1}{(5)^{3}}\right)$

简化。

$-\frac{1}{125}$

c。

$(-25)^{\frac{3}{2}}$

以激进的形式重写。

$(\sqrt{-25})^{3}$

没有平方根为实数$-25$。

不是一个实数。

练习$\PageIndex{13}$

简化：

1. $-16^{\frac{3}{2}}$
2. $-16^{-\frac{3}{2}}$
3. $(-16)^{-\frac{3}{2}}$

回答

1. $-64$
2. $-\frac{1}{64}$
3. 不是实数

练习$\PageIndex{14}$

简化：

1. $-81^{\frac{3}{2}}$
2. $-81^{-\frac{3}{2}}$
3. $(-81)^{-\frac{3}{2}}$

回答

1. $-729$
2. $-\frac{1}{729}$
3. 不是实数

使用指数的属性来简化带有有理指数的表达式

我们已经使用过的指数的相同属性也适用于有理指数。 我们将在此处列出指数的属性，以供我们在简化表达式时参考。

指数的属性

如果$a$和$b$是实数并且$m$和$n$是有理数，那么

产品属性

$a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$

功率财产

$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}$

从产品到力量

$(a b)^{m}=a^{m} b^{m}$

商数属性

$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0$

零指数定义

$a^{0}=1, a \neq 0$

商到幂属性

$\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0$

负指数属性

$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0$

我们将在下一个示例中应用这些属性。

示例$\PageIndex{8}$

简化：

1. $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}$
2. $\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}$
3. $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}$

解决方案

a. Product 属性告诉我们，当我们将同一个基数相乘时，我们会将指数相加。

$x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}$

基数是相同的，所以我们添加指数。

$x^{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}$

添加分数。

$x^{\frac{8}{6}}$

简化指数。

$x^{\frac{4}{3}}$

b. Power Property 告诉我们，当我们将一个幂提高到一个幂时，我们会乘以指数。

$\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}$

要将幂提高到乘方，我们将指数相乘。

$z^{9 \cdot \frac{2}{3}}$

简化。

$z^{6}$

c. Quotient Property 告诉我们，当我们用相同的基数除法时，我们减去指数。

$\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}$

要用相同的基数除法，我们减去指数。

$\frac{1}{x^{\frac{5}{3}-\frac{1}{3}}}$

简化。

$\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$

练习$\PageIndex{15}$

简化：

1. $x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{4}{3}}$
2. $\left(x^{6}\right)^{\frac{4}{3}}$
3. $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}$

回答

1. $x^{\frac{3}{2}}$
2. $x^{8}$
3. $\frac{1}{x}$

练习$\PageIndex{16}$

简化：

1. $y^{\frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{5}{8}}$
2. $\left(m^{9}\right)^{\frac{2}{9}}$
3. $\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}$

回答

1. $y^{\frac{11}{8}}$
2. $m^{2}$
3. $\frac{1}{d}$

有时我们需要使用多个属性。 在下一个示例中，我们将使用乘积到功率属性，然后使用功率属性。

示例$\PageIndex{9}$

简化：

1. $\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$
2. $\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}$

解决方案：

一个。

$\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$

首先，我们将产品用于功率属性。

$(27)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$

重写$27$为 power of$3$。

$\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$

要将幂提高到乘方，我们将指数相乘。

$\left(3^{2}\right)\left(u^{\frac{1}{3}}\right)$

简化。

$9 u^{\frac{1}{3}}$

b。

$\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}$

首先，我们将产品用于功率属性。

$\left(m^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\left(n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}$

要将一个幂提高到一个乘方，我们将指数相乘。

$m n^{\frac{3}{4}}$

练习$\PageIndex{17}$

简化：

1. $\left(32 x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{5}}$
2. $\left(x^{\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$

回答

1. $8 x^{\frac{1}{5}}$
2. $x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}}$

练习$\PageIndex{18}$

简化：

1. $\left(81 n^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{3}{2}}$
2. $\left(a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{4}{3}}$

回答

1. $729 n^{\frac{3}{5}}$
2. $a^{2} b^{\frac{2}{3}}$

在下一个示例中，我们将同时使用产品属性和商数属性。

示例$\PageIndex{10}$

简化：

1. $\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}$
2. $\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}$

解决方案：

一个。

$\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}$

在分子中使用乘积属性，将指数相加。

$\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}$

使用商属性，减去指数。

$x^{\frac{8}{4}}$

简化。

$x^{2}$

b。

$\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}$

使用商属性，减去指数。

$\left(\frac{16 x^{\frac{6}{3}}}{y^{\frac{6}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}$

简化。

$\left(\frac{16 x^{2}}{y}\right)^{\frac{1}{2}}$

使用乘积乘以幂属性，将指数相乘。

$\frac{4 x}{y^{\frac{1}{2}}}$

练习$\PageIndex{19}$

简化：

1. $\frac{m^{\frac{2}{3}} \cdot m^{-\frac{1}{3}}}{m^{-\frac{5}{3}}}$
2. $\left(\frac{25 m^{\frac{1}{6}} n^{\frac{11}{6}}}{m^{\frac{2}{3}} n^{-\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}$

回答

1. $m^{2}$
2. $\frac{5 n}{m^{\frac{1}{4}}}$

练习$\PageIndex{20}$

简化：

1. $\frac{u^{\frac{4}{5}} \cdot u^{-\frac{2}{5}}}{u^{-\frac{13}{5}}}$
2. $\left(\frac{27 x^{\frac{4}{5}} y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{5}} y^{-\frac{5}{6}}}\right)^{\frac{1}{3}}$

回答

1. $u^{3}$
2. $3 x^{\frac{1}{5}} y^{\frac{1}{3}}$

访问这些在线资源以获取更多指导和练习，简化有理指数。

• 评论-有理指数
• 在自由基上使用指数定律：有理指数的性质

关键概念

• 有理指数$a^{\frac{1}{n}}$
  • 如果$\sqrt[n]{a}$是实数$n≥2$，那么$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$。
• 有理指数$a^{\frac{m}{n}}$
  • 对于任何正整数$m$$n$和
    $a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \text { and } a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
• 指数的属性
  • 如果$a, b$是实数并且$m, n$是有理数，那么
    • 产品属性$a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
    • 功率财产$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}$
    • 从产品到力量$(a b)^{m}=a^{m} b^{m}$
    • 商数属性$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0$
    • 零指数定义$a^{0}=1, a \neq 0$
    • 商到幂属性$\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0$
    • 负指数属性$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0$