8.3: 简化激进表达式

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 使用 Product 属性简化激进表达式
• 使用 Quotient 属性简化激进表达式

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 简化：$\dfrac{x^{9}}{x^{4}}$。
   如果您错过了此问题，请查看示例 5.13。
2. 简化：$\dfrac{y^{3}}{y^{11}}$。
   如果您错过了此问题，请查看示例 5.13。
3. 简化：$\left(n^{2}\right)^{6}$。
   如果您错过了此问题，请查看示例 5.17。

使用 Product 属性简化激进表达式

我们将以类似于简化分数的方式简化激进表达式。 如果分子和分母中没有共同的因子，则分数将被简化。 为了简化分数，我们在分子和分母中寻找任何常见的因子。

如果激进表达式没有因子$\sqrt[n]{a}$，则视为简化表达式$m^{n}$。 因此，为了简化激进表达式，我们在基数中寻找任何构成指数幂的因子。

定义$\PageIndex{1}$: Simplified Radical Expression

对于实数$a$和$m$$n\geq 2$，

$\sqrt[n]{a}$如果没有因子为，则认为$a$已简化$m^{n}$

例如，被认为$\sqrt{5}$是简化的，因为其中没有完美的平方因子$5$。 但$\sqrt{12}$没有简化$12$，因为它的完美平方因子为$4$。

同样，$\sqrt[3]{4}$之所以简化，是因为其中没有完美的立方因子$4$。 但是$\sqrt[3]{24}$没有简化，因为$24$它的完美立方体系数为$8$。

为了简化激进表达式，我们还将使用 roots 的一些属性。 我们将用来简化激进表达式的属性类似于指数的属性。 我们知道这一点

$$(a b)^{n}=a^{n} b^{n}.$$

对应的《根的产品特性》就是这样说的

$$\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}.$$

定义$\PageIndex{2}$: Product Property of $n^{th}$ Roots

如果$\sqrt[n]{a}$和$\sqrt[n]{b}$是实数，并且$n\geq 2$是整数，那么

$\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \quad \text { and } \quad \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}$

我们使用根的乘积属性从平方根中移除所有完美平方因子。

示例$\PageIndex{1}$: Simplify square roots using the product property of roots

简化：$\sqrt{98}$。

解决方案：

第 1 步：在基数中找到最大因子，即指数的完美幂次方。	我们看到，$49$这是其中的$98$最大因子$2$。	$\sqrt{98}$
使用该因子将基数重写为两个因子的乘积。	换句话说，$49$是的最大完美平方系数$98$。 $98 = 49\cdot 2$ 务必先写出完美的平方因子。	$\sqrt{49\cdot 2}$
第 2 步：使用乘积法则将激进重写为两个激进的乘积。		$\sqrt{49} \cdot \sqrt{2}$
第 3 步：简化完美力量的根源。		$7\sqrt{2}$

试试看$\PageIndex{1}$

简化：$\sqrt{48}$

回答

$4 \sqrt{3}$

试试看$\PageIndex{2}$

简化：$\sqrt{45}$。

回答

$3 \sqrt{5}$

请注意，在前面的示例中，的简化形式为$7\sqrt{2}$，$\sqrt{98}$它是整数和平方根的乘积。 我们总是把整数写在平方根的前面。

小心写下你的整数，这样它就不会与索引混淆。 这个表达式$7\sqrt{2}$与... 有很大的不同$\sqrt[7]{2}$。

使用产品属性简化激进表达式

1. 在 radicand 中找出最大因子，即指数的完美幂次方。 使用该因子将基数重写为两个因子的乘积。
2. 使用乘积法则将激进重写为两个激进的乘积。
3. 简化完美力量的根源。

我们将在下一个示例中应用此方法。 有一张包含完美正方形、立方体和第四次幂的表格可能会有所帮助。

示例$\PageIndex{2}$

简化：

1. $\sqrt{500}$
2. $\sqrt[3]{16}$
3. $\sqrt[4]{243}$

解决方案：

一个。

$\sqrt{500}$

使用最大完美平方因子将 radicand 重写为乘积。

$\sqrt{100 \cdot 5}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$\sqrt{100} \cdot \sqrt{5}$

简化。

$10\sqrt{5}$

b。

$\sqrt[3]{16}$

使用最大完美立方体因子将 radicand 重写为产品。 $2^{3}=8$

$\sqrt[3]{8 \cdot 2}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2}$

简化。

$2 \sqrt[3]{2}$

c。

$\sqrt[4]{243}$

使用最大完美第四功率因数将 radicand 重写为产品。 $3^{4}=81$

$\sqrt[4]{81 \cdot 3}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{3}$

简化。

$3 \sqrt[4]{3}$

试试看$\PageIndex{3}$

简化：a.$\sqrt{288}$ b.$\sqrt[3]{81}$ c.$\sqrt[4]{64}$

回答

a.$12\sqrt{2}$ b.$3 \sqrt[3]{3}$ c.$2 \sqrt[4]{4}$

试试看$\PageIndex{4}$

简化：a.$\sqrt{432}$ b.$\sqrt[3]{625}$ c.$\sqrt[4]{729}$

回答

a.$12\sqrt{3}$ b.$5 \sqrt[3]{5}$ c.$3 \sqrt[4]{9}$

下一个例子与前面的例子很相似，但带有变量。 在取一个表达式的偶数根时，别忘了使用绝对值符号，其中的变量是激进的。

示例$\PageIndex{3}$

简化：

1. $\sqrt{x^{3}}$
2. $\sqrt[3]{x^{4}}$
3. $\sqrt[4]{x^{7}}$

解决方案：

一个。

$\sqrt{x^{3}}$

使用最大完美平方因子将 radicand 重写为乘积。

$\sqrt{x^{2} \cdot x}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$\sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x}$

简化。

$|x| \sqrt{x}$

b。

$\sqrt[3]{x^{4}}$

使用最大的完美立方体因子将 radicand 重写为产品。

$\sqrt[3]{x^{3} \cdot x}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$\sqrt[3]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x}$

简化。

$x \sqrt[3]{x}$

c。

$\sqrt[4]{x^{7}}$

使用最大完美第四功率因数将 radicand 重写为产品。

$\sqrt[4]{x^{4} \cdot x^{3}}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$\sqrt[4]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$

简化。

$|x| \sqrt[4]{x^{3}}$

试试看$\PageIndex{5}$

简化：a.$\sqrt{b^{5}}$ b.$\sqrt[4]{y^{6}}$ c.$\sqrt[3]{z^{5}}$

回答

a.$b^{2} \sqrt{b}$ b.$|y| \sqrt[4]{y^{2}}$ c.$z \sqrt[3]{z^{2}}$

试试看$\PageIndex{6}$

简化：a.$\sqrt{p^{9}}$ b.$\sqrt[5]{y^{8}}$ c.$\sqrt[6]{q^{13}}$

回答

a.$p^{4} \sqrt{p}$ b.$p \sqrt[5]{p^{3}}$ c.$q^{2} \sqrt[6]{q}$

当基数中有系数时，我们遵循相同的程序。 在下一个示例中，常量和变量都有完美的平方因子。

示例$\PageIndex{4}$

简化：

1. $\sqrt{72 n^{7}}$
2. $\sqrt[3]{24 x^{7}}$
3. $\sqrt[4]{80 y^{14}}$

解决方案：

一个。

$\sqrt{72 n^{7}}$

使用最大完美平方因子将 radicand 重写为乘积。

$\sqrt{36 n^{6} \cdot 2 n}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$\sqrt{36 n^{6}} \cdot \sqrt{2 n}$

简化。

$6\left|n^{3}\right| \sqrt{2 n}$

b。

$\sqrt[3]{24 x^{7}}$

使用完美的立方体因子将 radicand 重写为产品。

$\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$\sqrt[3]{8 x^{6}} \cdot \sqrt[3]{3 x}$

将第一个 radicand 重写为$\left(2 x^{2}\right)^{3}$。

$\sqrt[3]{\left(2 x^{2}\right)^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}$

简化。

$2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}$

c。

$\sqrt[4]{80 y^{14}}$

使用完美的第四次功率因数将 radicand 重写为产品。

$\sqrt[4]{16 y^{12} \cdot 5 y^{2}}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$\sqrt[4]{16 y^{12}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}$

将第一个 radicand 重写为$\left(2 y^{3}\right)^{4}$。

$\sqrt[4]{\left(2 y^{3}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}$

简化。

$2\left|y^{3}\right| \sqrt[4]{5 y^{2}}$

试试看$\PageIndex{7}$

简化：a.$\sqrt{32 y^{5}}$ b.$\sqrt[3]{54 p^{10}}$ c.$\sqrt[4]{64 q^{10}}$

回答

a.$4 y^{2} \sqrt{2 y}$ b.$3 p^{3} \sqrt[3]{2 p}$ c.$2 q^{2} \sqrt[4]{4 q^{2}}$

试试看$\PageIndex{8}$

简化：a.$\sqrt{75 a^{9}}$ b.$\sqrt[3]{128 m^{11}}$ c.$\sqrt[4]{162 n^{7}}$

回答

a.$5 a^{4} \sqrt{3 a}$ b.$4 m^{3} \sqrt[3]{2 m^{2}}$ c.$3|n| \sqrt[4]{2 n^{3}}$

在下一个示例中，即使在激进项下有多个变量，我们仍继续使用相同的方法。

示例$\PageIndex{5}$

简化：

1. $\sqrt{63 u^{3} v^{5}}$
2. $\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}$
3. $\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}$

解决方案：

一个。

$\sqrt{63 u^{3} v^{5}}$

使用最大完美平方因子将 radicand 重写为乘积。

$\sqrt{9 u^{2} v^{4} \cdot 7 u v}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$\sqrt{9 u^{2} v^{4}} \cdot \sqrt{7 u v}$

将第一个 radicand 重写为$\left(3 u v^{2}\right)^{2}$。

$\sqrt{\left(3 u v^{2}\right)^{2}} \cdot \sqrt{7 u v}$

简化。

$3|u| v^{2} \sqrt{7 u v}$

b。

$\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}$

使用最大的完美立方体因子将 radicand 重写为产品。

$\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3} \cdot 5 x y^{2}}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}$

将第一个 radicand 重写为$(2xy)^{3}$。

$\sqrt[3]{(2 x y)^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}$

简化。

$2 x y \sqrt[3]{5 x y^{2}}$

c。

$\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}$

使用最大完美四分之一功率因数将 radicand 重写为产品。

$\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4} \cdot 3 y^{3}}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}$

将第一个 radicand 重写为$(2xy)^{4}$。

$\sqrt[4]{(2 x y)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}$

简化。

$2|x y| \sqrt[4]{3 y^{3}}$

试试看$\PageIndex{9}$

简化：

1. $\sqrt{98 a^{7} b^{5}}$
2. $\sqrt[3]{56 x^{5} y^{4}}$
3. $\sqrt[4]{32 x^{5} y^{8}}$

回答

1. $7\left|a^{3}\right| b^{2} \sqrt{2 a b}$
2. $2 x y \sqrt[3]{7 x^{2} y}$
3. $2|x| y^{2} \sqrt[4]{2 x}$

试试看$\PageIndex{10}$

简化：

1. $\sqrt{180 m^{9} n^{11}}$
2. $\sqrt[3]{72 x^{6} y^{5}}$
3. $\sqrt[4]{80 x^{7} y^{4}}$

回答

1. $6 m^{4}\left|n^{5}\right| \sqrt{5 m n}$
2. $2 x^{2} y \sqrt[3]{9 y^{2}}$
3. $2|x y| \sqrt[4]{5 x^{3}}$

示例$\PageIndex{6}$

简化：

1. $\sqrt[3]{-27}$
2. $\sqrt[4]{-16}$

解决方案：

一个。

$\sqrt[3]{-27}$

使用完美的立方体因子将 radicand 重写为产品。

$\sqrt[3]{(-3)^{3}}$

取立方体根。

$-3$

b。

$\sqrt[4]{-16}$

那里没有实数$n$$n^{4}=-16$。

不是实数

试试看$\PageIndex{11}$

简化：

1. $\sqrt[3]{-64}$
2. $\sqrt[4]{-81}$

回答

1. $-4$
2. 没有实数

试试看$\PageIndex{12}$

简化：

1. $\sqrt[3]{-625}$
2. $\sqrt[4]{-324}$

回答

1. $-5 \sqrt[3]{5}$
2. 没有实数

我们已经看到了如何使用运算顺序来简化一些带有激进的表达式。 在下一个示例中，我们得到了一个整数和一个平方根的总和。 我们简化了平方根，但无法将结果表达式添加到整数中，因为一个项包含激进而另一个不包含。 下一个示例还包括分子中带有激进的分数。 请记住，为了简化分数，在分子和分母中需要一个公用因子。

示例$\PageIndex{7}$

简化：

1. $3+\sqrt{32}$
2. $\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}$

解决方案：

一个。

$3+\sqrt{32}$

使用最大完美平方因子将 radicand 重写为乘积。

$3+\sqrt{16 \cdot 2}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$3+\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}$

简化。

$3+4 \sqrt{2}$

不能添加这些术语，因为一个有激进的词而另一个没有。 尝试添加一个整数和一个激进就像尝试添加一个整数和一个变量一样。 它们不像条款！

b。

$\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}$

使用最大完美平方因子将 radicand 重写为乘积。

$\dfrac{4-\sqrt{16 \cdot 3}}{2}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$\dfrac{4-\sqrt{16} \cdot \sqrt{3}}{2}$

简化。

$\dfrac{4-4 \sqrt{3}}{2}$

将分子中的公因子分解。

$\dfrac{4(1-\sqrt{3})}{2}$

从分子和分母中移除公因子 2。

$\dfrac{\cancel{2} \cdot 2(1-\sqrt{3})}{\cancel{2}}$

简化。

$2(1-\sqrt{3})$

试试看$\PageIndex{13}$

简化：

1. $5+\sqrt{75}$
2. $\dfrac{10-\sqrt{75}}{5}$

回答

1. $5+5 \sqrt{3}$
2. $2-\sqrt{3}$

试试看$\PageIndex{14}$

简化：

1. $2+\sqrt{98}$
2. $\dfrac{6-\sqrt{45}}{3}$

回答

1. $2+7 \sqrt{2}$
2. $2-\sqrt{5}$

使用 Quotient 属性简化激进表达式

每当你必须简化激进表达式时，你应该采取的第一步就是确定基数是否是指数的完美幂次。 如果没有，请检查分子和分母是否存在任何常见因子，然后将其删除。 你可能会发现一个分数，其中分子和分母都是指数的完美幂方。

示例$\PageIndex{8}$

简化：

1. $\sqrt{\dfrac{45}{80}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}$

解决方案：

一个。

$\sqrt{\dfrac{45}{80}}$

首先在激进的内部进行简化。 重写显示分子和分母的共同因子。

$\sqrt{\dfrac{5 \cdot 9}{5 \cdot 16}}$

通过移除常见因子来简化分数。

$\sqrt{\dfrac{9}{16}}$

简化。 注意$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}$。

$\dfrac{3}{4}$

b。

$\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}$

首先在激进的内部进行简化。 重写显示分子和分母的共同因子。

$\sqrt[3]{\dfrac{2 \cdot 8}{2 \cdot 27}}$

通过移除常见因子来简化分数。

$\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}$

简化。 注意$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{8}{27}$。

$\dfrac{2}{3}$

c。

$\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}$

首先在激进的内部进行简化。 重写显示分子和分母的共同因子。

$\sqrt[4]{\dfrac{5 \cdot 1}{5 \cdot 16}}$

通过移除常见因子来简化分数。

$\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}$

简化。 注意$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{1}{16}$。

$\dfrac{1}{2}$

试试看$\PageIndex{15}$

简化：

1. $\sqrt{\dfrac{75}{48}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{54}{250}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{32}{162}}$

回答

1. $\dfrac{5}{4}$
2. $\dfrac{3}{5}$
3. $\dfrac{2}{3}$

试试看$\PageIndex{16}$

简化：

1. $\sqrt{\dfrac{98}{162}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{24}{375}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{4}{324}}$

回答

1. $\dfrac{7}{9}$
2. $\dfrac{2}{5}$
3. $\dfrac{1}{3}$

在最后一个例子中，我们的第一步是通过移除常见因子来简化激进项下的分数。 在下一个示例中，我们将使用 Quotient Propert y 在激进下进行简化。 我们通过减去它们的指数来除以相似的基数，

$\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, \quad a \neq 0$

示例$\PageIndex{9}$

简化：

1. $\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}$

解决方案：

一个。

$\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}$

首先简化激进部分内部的分数。 通过减去指数来除以相似的基数。

$\sqrt{m^{2}}$

简化。

$|m|$

b。

$\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}$

首先使用指数的商属性来简化激进部分下的分数。

$\sqrt[3]{a^{3}}$

简化。

$a$

c。

$\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}$

首先使用指数的商属性来简化激进部分下的分数。

$\sqrt[4]{a^{8}}$

使用完美的第四次功率因数重写 radicand。

$\sqrt[4]{\left(a^{2}\right)^{4}}$

简化。

$a^{2}$

试试看$\PageIndex{17}$

简化：

1. $\sqrt{\dfrac{a^{8}}{a^{6}}}$
2. $\sqrt[4]{\dfrac{x^{7}}{x^{3}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{y^{17}}{y^{5}}}$

回答

1. $|a|$
2. $|x|$
3. $y^{3}$

试试看$\PageIndex{18}$

简化：

1. $\sqrt{\dfrac{x^{14}}{x^{10}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{m^{13}}{m^{7}}}$
3. $\sqrt[5]{\dfrac{n^{12}}{n^{2}}}$

回答

1. $x^{2}$
2. $m^{2}$
3. $n^{2}$

还记得权属性的商吗？ 它说我们可以通过将分子和分母分别提高到幂来将分数提高到幂次。

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m}=\dfrac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0$

定义$\PageIndex{3}$

激进表达式的商特性

如果$\sqrt[n]{a}$和$\sqrt[n]{b}$是实数$b \neq 0$，对于任何整数，$n \geq 2$那么

$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \text { and } \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$

示例$\PageIndex{10}$ how to simplify the quotient of radical expressions

简化：$\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}$

解决方案：

步骤 1：尽可能简化基数中的分数。

$\dfrac{27 m^{3}}{196}$无法简化。

$\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}$

第 2 步：使用 Quotient Property 将部首重写为两个部首的商。

我们将重写$\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}$为 and$\sqrt{27 m^{3}}$ 的商$\sqrt{196}$。

$\dfrac{\sqrt{27 m^{3}}}{\sqrt{196}}$

步骤 3：简化分子和分母中的基数。

$9m^{2}$并且$196$是完美的正方形。

$\dfrac{\sqrt{9 m^{2}} \cdot \sqrt{3 m}}{\sqrt{196}}$

$\dfrac{3 m \sqrt{3 m}}{14}$

试试看$\PageIndex{19}$

简化：$\sqrt{\dfrac{24 p^{3}}{49}}$。

回答

$\dfrac{2|p| \sqrt{6 p}}{7}$

试试看$\PageIndex{20}$

简化：$\sqrt{\dfrac{48 x^{5}}{100}}$。

回答

$\dfrac{2 x^{2} \sqrt{3 x}}{5}$

使用商属性简化平方根

1. 尽可能简化 radicand 中的分数。
2. 使用 Quotient Property 将激进重写为两个部首的商。
3. 简化分子和分母中的基数。

示例$\PageIndex{11}$

简化：

1. $\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}$

解决方案：

一个。

$\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}$

我们无法简化基数中的分数。 使用 Quotient 属性重写。

$\dfrac{\sqrt{45 x^{5}}}{\sqrt{y^{4}}}$

简化分子和分母中的基数。

$\dfrac{\sqrt{9 x^{4}} \cdot \sqrt{5 x}}{y^{2}}$

简化。

$\dfrac{3 x^{2} \sqrt{5 x}}{y^{2}}$

b。

$\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}$

基数中的分数无法简化。 使用 Quotient 属性写成两个部首。

$\dfrac{\sqrt[3]{24 x^{7}}}{\sqrt[3]{y^{3}}}$

使用完美的立方体因子将每个 radicand 重写为产品。

$\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}$

将分子重写为两个自由基的乘积。

$\dfrac{\sqrt[3]{\left(2 x^{2}\right)^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}$

简化。

$\dfrac{2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}}{y}$

c。

$\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}$

基数中的分数无法简化。

$\dfrac{\sqrt[4]{48 x^{10}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}$

使用 Quotient 属性写成两个部首。 使用完美的第四次功率因数将每个 radicand 重写为乘积。

$\dfrac{\sqrt[4]{16 x^{8} \cdot 3 x^{2}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}$

将分子重写为两个自由基的乘积。

$\dfrac{\sqrt[4]{\left(2 x^{2}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 x^{2}}}{\sqrt[4]{\left(y^{2}\right)^{4}}}$

简化。

$\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{3 x^{2}}}{y^{2}}$

试试看$\PageIndex{21}$

简化：

1. $\sqrt{\dfrac{80 m^{3}}{n^{6}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{108 c^{10}}{d^{6}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{80 x^{10}}{y^{4}}}$

回答

1. $\dfrac{4|m| \sqrt{5 m}}{\left|n^{3}\right|}$
2. $\dfrac{3 c^{3} \sqrt[3]{4 c}}{d^{2}}$
3. $\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{5 x^{2}}}{|y|}$

试试看$\PageIndex{22}$

简化：

1. $\sqrt{\dfrac{54 u^{7}}{v^{8}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{40 r^{3}}{s^{6}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{162 m^{14}}{n^{12}}}$

回答

1. $\dfrac{3 u^{3} \sqrt{6 u}}{v^{4}}$
2. $\dfrac{2 r \sqrt[3]{5}}{s^{2}}$
3. $\dfrac{3\left|m^{3}\right| \sqrt[4]{2 m^{2}}}{\left|n^{3}\right|}$

如果可能的话，一定要先简化 radicand 中的分数。

示例$\PageIndex{12}$

简化：

1. $\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}$

解决方案：

一个。

$\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}$

尽可能简化 radicand 中的分数。

$\sqrt{\dfrac{9 p^{4} q^{5}}{16}}$

使用 Quotient 属性重写。

$\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{5}}}{\sqrt{16}}$

简化分子和分母中的基数。

$\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{4}} \cdot \sqrt{q}}{4}$

简化。

$\dfrac{3 p^{2} q^{2} \sqrt{q}}{4}$

b。

$\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}$

尽可能简化 radicand 中的分数。

$\sqrt[3]{\dfrac{8 x^{3} y^{5}}{27}}$

使用 Quotient 属性重写。

$\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{5}}}{\sqrt[3]{27}}$

简化分子和分母中的基数。

$\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{27}}$

简化。

$\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}$

c。

$\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}$

尽可能简化 radicand 中的分数。

$\sqrt[4]{\dfrac{a^{5} b^{4}}{16}}$

使用 Quotient 属性重写。

$\dfrac{\sqrt[4]{a^{5} b^{4}}}{\sqrt[4]{16}}$

简化分子和分母中的基数。

$\dfrac{\sqrt[4]{a^{4} b^{4}} \cdot \sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{16}}$

简化。

$\dfrac{|a b| \sqrt[4]{a}}{2}$

试试看$\PageIndex{23}$

简化：

1. $\sqrt{\dfrac{50 x^{5} y^{3}}{72 x^{4} y}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}$

回答

1. $\dfrac{5|y| \sqrt{x}}{6}$
2. $\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}$
3. $\dfrac{|a b| \sqrt[4]{a}}{2}$

试试看$\PageIndex{24}$

简化：

1. $\sqrt{\dfrac{48 m^{7} n^{2}}{100 m^{5} n^{8}}}$
2. $\sqrt[3]{\dfrac{54 x^{7} y^{5}}{250 x^{2} y^{2}}}$
3. $\sqrt[4]{\dfrac{32 a^{9} b^{7}}{162 a^{3} b^{3}}}$

回答

1. $\dfrac{2|m| \sqrt{3}}{5\left|n^{3}\right|}$
2. $\dfrac{3 x y \sqrt[3]{x^{2}}}{5}$
3. $\dfrac{2|a b| \sqrt[4]{a^{2}}}{3}$

在下一个示例中，分母没有什么需要简化的。 由于激进的索引是相同的，我们可以再次使用 Quotient Propert y 将它们组合成一个激进。 然后，我们将看看是否可以简化表达式。

示例$\PageIndex{13}$

简化：

1. $\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}$
3. $\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}$

解决方案：

一个。

$\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}$

分母无法简化，因此使用 Quotient Property 将其写成一个激进。

$\sqrt{\dfrac{48 a^{7}}{3 a}}$

简化激进下方的分数。

$\sqrt{16 a^{6}}$

简化。

$4\left|a^{3}\right|$

b。

$\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}$

分母无法简化，因此使用 Quotient Property 将其写成一个激进。

$\sqrt[3]{\dfrac{-108}{2}}$

简化激进下方的分数。

$\sqrt[3]{-54}$

使用完美的立方体因子将 radicand 重写为产品。

$\sqrt[3]{(-3)^{3} \cdot 2}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$\sqrt[3]{(-3)^{3}} \cdot \sqrt[3]{2}$

简化。

$-3 \sqrt[3]{2}$

c。

$\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}$

分母无法简化，因此使用 Quotient Property 将其写成一个激进。

$\sqrt[4]{\dfrac{96 x^{7}}{3 x^{2}}}$

简化激进下方的分数。

$\sqrt[4]{32 x^{5}}$

使用完美的第四次功率因数将 radicand 重写为产品。

$\sqrt[4]{16 x^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}$

将激进改写为两个激进的乘积。

$\sqrt[4]{(2 x)^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}$

简化。

$2|x| \sqrt[4]{2 x}$

试试看$\PageIndex{25}$

简化：

1. $\dfrac{\sqrt{98 z^{5}}}{\sqrt{2 z}}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{-500}}{\sqrt[3]{2}}$
3. $\dfrac{\sqrt[4]{486 m^{11}}}{\sqrt[4]{3 m^{5}}}$

回答

1. $7z^{2}$
2. $-5 \sqrt[3]{2}$
3. $3|m| \sqrt[4]{2 m^{2}}$

试试看$\PageIndex{26}$

简化：

1. $\dfrac{\sqrt{128 m^{9}}}{\sqrt{2 m}}$
2. $\dfrac{\sqrt[3]{-192}}{\sqrt[3]{3}}$
3. $\dfrac{\sqrt[4]{324 n^{7}}}{\sqrt[4]{2 n^{3}}}$

回答

1. $8m^{4}$
2. $-4$
3. $3|n| \sqrt[4]{2}$

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• 用变量简化平方根和立方根
• 用简化形式表示一个激进方根——使用变量和指数的平方根和立方根
• 简化立方根

关键概念

• 简化的激进表达式
  • 对于实数$a, m$，如果没有因子$n≥2$
    $\sqrt[n]{a}$为$a$，则视为简化$m^{n}$
• $n^{th}$根的产品特性
  • 对于任何实数，$\sqrt[n]{a}$和$\sqrt[n]{b}$，对于任何整数$n≥2$
    $\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$和$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}$
• 如何使用产品属性简化激进表达式
  1. 在 radicand 中找出最大因子，即指数的完美幂次方。
     使用该因子将基数重写为两个因子的乘积。
  2. 使用乘积法则将激进重写为两个激进的乘积。
  3. 简化完美力量的根源。
• 激进表达式的商特性
  • 如果$\sqrt[n]{a}$和$\sqrt[n]{b}$是实数$b≠0$，对于任何整数，$n≥2$那么，$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$和$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$
• 如何使用商属性简化激进表达式。
  1. 尽可能简化 radicand 中的分数。
  2. 使用 Quotient Property 将激进重写为两个部首的商。
  3. 简化分子和分母中的基数。