7.E：第 7 章复习练习

简化、乘法和除法有理表达式

确定未定义有理表达式的值

在以下练习中，确定有理表达式未定义的值。

1。 \(\dfrac{5 a+3}{3 a-2}\)

回答

\(a \neq \dfrac{2}{3}\)

2。 \(\dfrac{b-7}{b^{2}-25}\)

3。 \(\dfrac{5 x^{2} y^{2}}{8 y}\)

回答

\(y \neq 0\)

4。 \(\dfrac{x-3}{x^{2}-x-30}\)

简化有理表达式

在以下练习中，简化。

5。 \(\dfrac{18}{24}\)

回答

\(\dfrac{3}{4}\)

6。 \(\dfrac{9 m^{4}}{18 m n^{3}}\)

7。 \(\dfrac{x^{2}+7 x+12}{x^{2}+8 x+16}\)

回答

\(\dfrac{x+3}{x+4}\)

8。 \(\dfrac{7 v-35}{25-v^{2}}\)

乘以有理表达式

在以下练习中，乘以。

9。 \(\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{15}\)

回答

\(\dfrac{1}{6}\)

10。 \(\dfrac{3 x y^{2}}{8 y^{3}} \cdot \dfrac{16 y^{2}}{24 x}\)

11。 \(\dfrac{72 x-12 x^{2}}{8 x+32} \cdot \dfrac{x^{2}+10 x+24}{x^{2}-36}\)

回答

\(\dfrac{-3 x}{2}\)

12。 \(\dfrac{6 y^{2}-2 y-10}{9-y^{2}} \cdot \dfrac{y^{2}-6 y+9}{6 y^{2}+29 y-20}\)

划分有理表达式

在以下练习中，除以。

13。 \(\dfrac{x^{2}-4 x-12}{x^{2}+8 x+12} \div \dfrac{x^{2}-36}{3 x}\)

回答

\(\dfrac{3 x}{(x+6)(x+6)}\)

14。 \(\dfrac{y^{2}-16}{4} \div \dfrac{y^{3}-64}{2 y^{2}+8 y+32}\)

15。 \(\dfrac{11+w}{w-9} \div \dfrac{121-w^{2}}{9-w}\)

回答

\(\dfrac{1}{11+w}\)

16。 \(\dfrac{3 y^{2}-12 y-63}{4 y+3} \div\left(6 y^{2}-42 y\right)\)

17。 \(\dfrac{\dfrac{c^{2}-64}{3 c^{2}+26 c+16}}{\dfrac{c^{2}-4 c-32}{15 c+10}}\)

回答

\(\dfrac{5}{c+4}\)

18。 \(\dfrac{8 a^{2}+16 a}{a-4} \cdot \dfrac{a^{2}+2 a-24}{a^{2}+7 a+10} \div \dfrac{2 a^{2}-6 a}{a+5}\)

有理函数的乘法和除法

19。 找出\(R(x)=f(x) \cdot g(x)\)位置\(f(x)=\dfrac{9 x^{2}+9 x}{x^{2}-3 x-4}\)和\(g(x)=\dfrac{x^{2}-16}{3 x^{2}+12 x}\).

回答

\(R(x)=3\)

20。 找出\(R(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\)位置\(f(x)=\dfrac{27 x^{2}}{3 x-21}\)和\(g(x)=\dfrac{9 x^{2}+54 x}{x^{2}-x-42} \).

加减有理表达式

用公分母加减有理表达式

在以下练习中，执行指定的操作。

21。 \(\dfrac{7}{15}+\dfrac{8}{15}\)

回答

\(1\)

22。 \(\dfrac{4 a^{2}}{2 a-1}-\dfrac{1}{2 a-1}\)

23。 \(\dfrac{y^{2}+10 y}{y+5}+\dfrac{25}{y+5}\)

回答

\(y+5\)

24。 \(\dfrac{7 x^{2}}{x^{2}-9}+\dfrac{21 x}{x^{2}-9}\)

25。 \(\dfrac{x^{2}}{x-7}-\dfrac{3 x+28}{x-7}\)

回答

\(x+4\)

26。 \(\dfrac{y^{2}}{y+11}-\dfrac{121}{y+11}\)

27。 \(\dfrac{4 q^{2}-q+3}{q^{2}+6 q+5}-\dfrac{3 q^{2}-q-6}{q^{2}+6 q+5}\)

回答

\(\dfrac{q-3}{q+5}\)

28。 \(\dfrac{5 t+4 t+3}{t^{2}-25}-\dfrac{4 t^{2}-8 t-32}{t^{2}-25}\)

加减分母对立的有理表达式

在以下练习中，加减法。

29。 \(\dfrac{18 w}{6 w-1}+\dfrac{3 w-2}{1-6 w}\)

回答

\(\dfrac{15 w+2}{6 w-1}\)

30。 \(\dfrac{a^{2}+3 a}{a^{2}-4}-\dfrac{3 a-8}{4-a^{2}}\)

31。 \(\dfrac{2 b^{2}+3 b-15}{b^{2}-49}-\dfrac{b^{2}+16 b-1}{49-b^{2}}\)

回答

\(\dfrac{3 b-2}{b+7}\)

32。 \(\dfrac{8 y^{2}-10 y+7}{2 y-5}+\dfrac{2 y^{2}+7 y+2}{5-2 y}\)

找出有理表达式的最小公分母

在以下练习中，找到 LCD。

33。 \(\dfrac{7}{a^{2}-3 a-10}, \dfrac{3 a}{a^{2}-a-20}\)

回答

\((a+2)(a-5)(a+4)\)

34。 \(\dfrac{6}{n^{2}-4}, \dfrac{2 n}{n^{2}-4 n+4}\)

35。 \(\dfrac{5}{3 p^{2}+17 p-6}, \dfrac{2 m}{3 p^{2}-23 p-8}\)

回答

\((3 p+1)(p+6)(p+8)\)

使用不同分母加减有理表达式

在以下练习中，执行指定的操作。

36。 \(\dfrac{7}{5 a}+\dfrac{3}{2 b}\)

37。 \(\dfrac{2}{c-2}+\dfrac{9}{c+3}\)

回答

\(\dfrac{11 c-12}{(c-2)(c+3)}\)

38。 \(\dfrac{3 x}{x^{2}-9}+\dfrac{5}{x^{2}+6 x+9}\)

39。 \(\dfrac{2 x}{x^{2}+10 x+24}+\dfrac{3 x}{x^{2}+8 x+16}\)

回答

\(\dfrac{5 x^{2}+26 x}{(x+4)(x+4)(x+6)}\)

40。 \(\dfrac{5 q}{p^{2} q-p^{2}}+\dfrac{4 q}{q^{2}-1}\)

41。 \(\dfrac{3 y}{y+2}-\dfrac{y+2}{y+8}\)

回答

\(\dfrac{2\left(y^{2}+10 y-2\right)}{(y+2)(y+8)}\)

42。 \(\dfrac{-3 w-15}{w^{2}+w-20}-\dfrac{w+2}{4-w}\)

43。 \(\dfrac{7 m+3}{m+2}-5\)

回答

\(\dfrac{2 m-7}{m+2}\)

44。 \(\dfrac{n}{n+3}+\dfrac{2}{n-3}-\dfrac{n-9}{n^{2}-9}\)

45。 \(\dfrac{8 a}{a^{2}-64}-\dfrac{4}{a+8}\)

回答

\(\dfrac{4}{a-8}\)

46。 \(\dfrac{5}{12 x^{2} y}+\dfrac{7}{20 x y^{3}}\)

加减有理函数

在以下练习中，找出给出的\(R(x)=f(x)+g(x)\)位置\(f(x)\)和\(g(x)\)位置。

47。 \(f(x)=\dfrac{2 x^{2}+12 x-11}{x^{2}+3 x-10}, g(x)=\dfrac{x+1}{2-x}\)

回答

\(R(x)=\dfrac{x+8}{x+5}\)

48。 \(f(x)=\dfrac{-4 x+31}{x^{2}+x-30}, g(x)=\dfrac{5}{x+6}\)

在以下练习中，找出给出的\(R(x)=f(x)-g(x)\)位置\(f(x)\)和\(g(x)\)位置。

49。 \(f(x)=\dfrac{4 x}{x^{2}-121}, g(x)=\dfrac{2}{x-11}\)

回答

\(R(x)=\dfrac{2}{x+11}\)

50。 \(f(x)=\dfrac{7}{x+6}, g(x)=\dfrac{14 x}{x^{2}-36}\)

简化复杂的有理表达式

通过将复杂的有理表达式写成除法来简化它

在以下练习中，简化。

51。 \(\dfrac{\dfrac{7 x}{x+2}}{\dfrac{14 x^{2}}{x^{2}-4}}\)

回答

\(\dfrac{x-2}{2 x}\)

52。 \(\dfrac{\dfrac{2}{5}+\dfrac{5}{6}}{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}}\)

53。 \(\dfrac{x-\dfrac{3 x}{x+5}}{\dfrac{1}{x+5}+\dfrac{1}{x-5}}\)

回答

\(\dfrac{(x-8)(x-5)}{2}\)

54。 \(\dfrac{\dfrac{2}{m}+\dfrac{m}{n}}{\dfrac{n}{m}-\dfrac{1}{n}}\)

使用 LCD 简化复杂的有理表达式

在以下练习中，简化。

55。 \(\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}}\)

回答

\(\dfrac{11}{8}\)

56。 \(\dfrac{\dfrac{3}{a^{2}}-\dfrac{1}{b}}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b^{2}}}\)

57。 \(\dfrac{\dfrac{2}{z^{2}-49}+\dfrac{1}{z+7}}{\dfrac{9}{z+7}+\dfrac{12}{z-7}}\)

回答

\(\dfrac{z-5}{21 z+21}\)

58。 \(\dfrac{\dfrac{3}{y^{2}-4 y-32}}{\dfrac{2}{y-8}+\dfrac{1}{y+4}}\)

求解有理方程

求解有理方程

在以下练习中，求解。

59。 \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{x}\)

回答

\(x=\dfrac{6}{7}\)

60。 \(1-\dfrac{2}{m}=\dfrac{8}{m^{2}}\)

61。 \(\dfrac{1}{b-2}+\dfrac{1}{b+2}=\dfrac{3}{b^{2}-4}\)

回答

\(b=\dfrac{3}{2}\)

62。 \(\dfrac{3}{q+8}-\dfrac{2}{q-2}=1\)

63。 \(\dfrac{v-15}{v^{2}-9 v+18}=\dfrac{4}{v-3}+\dfrac{2}{v-6}\)

回答

没有解决办法

64。 \(\dfrac{z}{12}+\dfrac{z+3}{3 z}=\dfrac{1}{z}\)

求解涉及函数的有理方程

65。 对于有理函数\(f(x)=\dfrac{x+2}{x^{2}-6 x+8}\)，

1. 找到函数的域
2. 解决\(f(x)=1\)
3. 在图形上找到此函数值处的点。

回答

1. 除了 and 以外\(x \neq 2\)，域名均为实数\(x \neq 4\)
2. \(x=1, x=6\)
3. \((1,1),(6,1)\)

66。 对于有理函数\(f(x)=\dfrac{2-x}{x^{2}+7 x+10}\)，

1. 解决\(f(x)=2\)
2. 在图形上找到此函数值处的点。

求解特定变量的有理方程

在以下练习中，求解指定变量。

67。 \(\dfrac{V}{l}=h w\)为了\(l\)

回答

\(l=\dfrac{V}{h w}\)

68。 \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{y}=5\)为了\(y\)

69。 \(x=\dfrac{y+5}{z-7}\)为了\(z\)

回答

\(z=\dfrac{y+5+7 x}{x}\)

70。 \(P=\dfrac{k}{V}\)为了\(V\)

使用有理方程求解应用程序

求解比例

在以下练习中，求解。

71。 \(\dfrac{x}{4}=\dfrac{3}{5}\)

回答

\(x = \dfrac{12}{5}\)

72。 \(\dfrac{3}{y}=\dfrac{9}{5}\)

73。 \(\dfrac{s}{s+20}=\dfrac{3}{7}\)

回答

\(s = 15\)

74。 \(\dfrac{t-3}{5}=\dfrac{t+2}{9}\)

使用比例求解应用程序

在以下练习中，求解。

75。 Rachael 喝了一杯 21 盎司的草莓奶昔，含有 739 卡路里的热量。 32 盎司奶昔中有多少卡路里？

回答

1161 卡路里

76。 Leo在圣诞节假期去了墨西哥，将525美元兑换成了墨西哥比索。 当时，汇率为1美元等于16.25墨西哥比索。 他这次旅行得到了多少墨西哥比索？

求解相似图形应用程序

在以下练习中，求解。

77。 \(\Delta ABC\)类似于\(\Delta XYZ\)。 图中给出了每个三角形两边的长度。 找出第三边的长度。

回答

\(b=9 ; \; x=2 \dfrac{1}{3}\)

78。 在欧洲地图上，巴黎、罗马和维也纳形成一个三角形，其边如下图所示。 如果从罗马到维也纳的实际距离为 700 英里，请找出距离

1. 巴黎到罗马
2. 巴黎到维也纳

79。 弗朗西斯卡身高 5.75 英尺。 一天下午晚些时候，她的影子长达8英尺。 同时，附近一棵树的阴影长达 32 英尺。 找出树的高度。

回答

23 英尺

80。 佛罗里达州彭萨科拉的一座灯塔的高度为 150 英尺。 站在雕像旁边，5.5 英尺高的娜塔莎投下了 1.1 英尺的阴影。 灯塔的阴影会持续多久？

解决均匀运动应用程序

在以下练习中，求解。

81。 洛洛在去探望父母后开车5小时回家时，遇到了恶劣的天气。 天气好的时候她能够行驶176英里，但随后行驶速度慢了10英里/小时，在天气变坏时行驶了81英里。 天气不好的时候她开了多快？

回答

45 英里每小时

82。 马克乘坐的飞机可以以 20 英里/小时的顺风飞行 490 英里，同时它可以在 20 英里/小时的顺风下飞行 350 英里。 飞机的速度是多少？

83。 Josue 骑自行车的速度比 Arjun 骑自行车的速度快 8 英里/小时。 卢克要比 Josue 长 3 个小时才能骑行 48 英里。 约翰能骑多快自行车？

回答

16 英里每小时

84。 柯蒂斯正在为铁人三项训练。 他跑了 8 公里，在总共 3 个小时内骑行 32 公里。 他的跑步速度比骑行速度低 8 千米/小时。 他的跑步速度是多少？

解决工作申请

在以下练习中，求解。

85。 白兰地可以在 1 小时内构筑一个房间，而 Jake 需要 4 个小时。 他们能一起搭建一个房间多久？

回答

\(\dfrac{4}{5}\)小时

86。 Prem 修剪草坪需要 3 个小时，而她的堂兄 Barb 则需要 2 个小时。 他们一起工作需要多长时间？

87。 Jeffrey 可以在 6 天内粉刷房子，但如果有帮手，他可以在 4 天内完成。 帮手独自粉刷房子要花多长时间？

回答

12 天

88。 Marta 和 Deb 一起写了一本花了 90 天的书。 如果 Sue 一个人工作，她要花 120 天。 Deb 独自写这本书要花多长时间？

解决直接变异问题

在以下练习中，求解。

89。 它直接\(y\)变化为\(x\)何时\(y=9\)和何时\(x=3\)，找出\(x\)时间\(y=21\)。

回答

\(7\)

90。 它\(y\)\(y=20\)与\(x\)何时和\(x=2\)何时成反比\(x=4\)。\(y\)

91。 凡妮莎正在旅行去见她的未婚夫。 距离，\(d\)，直接随速度而变化，\(v\)，她开车。 如果她以 60 英里/小时的速度行驶 258 英里，她能以 70 英里/小时的速度行驶多远？

回答

每小时 301 英里

92。 如果披萨的价格直接随其直径而变化，如果直径为8英寸的披萨的价格为12美元，那么直径为6英寸的披萨的价格是多少？

93。 停下汽车的距离直接随其速度的平方而变化。 阻止一辆汽车行驶 50 英里/小时需要 200 英尺。 阻止一辆汽车行驶 60 英里/小时需要多少英尺？

回答

288 英尺

解决逆变问题

在以下练习中，求解。

94。 它与\(m\)、when\(m=4\) 和\(n=6\) find W\(n\) hen 的平方成反比\(n=2\)。\(m\)

95。 音乐筹款活动的门票数量与门票价格成反比。 如果玛德琳有足够的钱以6美元的价格购买12张门票，那么如果价格提高到8美元，玛德琳能买多少张票？

回答

97 张门票

96。 在弦乐器上，弦的长度与其振动频率成反比。 如果小提琴上的 11 英寸弦的频率为每秒 360 个周期，那么 12 英寸琴弦的频率是多少？

解决理性不平等

解决理性不等式

在以下练习中，求解每个有理不等式并用区间表示法写出解。

97。 \(\dfrac{x-3}{x+4} \leq 0\)

回答

\((-4,3]\)

98。 \(\dfrac{5 x}{x-2}>1\)

99。 \(\dfrac{3 x-2}{x-4} \leq 2\)

回答

\([-6,4)\)

100。 \(\dfrac{1}{x^{2}-4 x-12}<0\)

101。 \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{x^{2}} \geq \dfrac{1}{x}\)

回答

\((-\infty,-2] \cup[4, \infty)\)

102。 \(\dfrac{4}{x-2}<\dfrac{3}{x+1}\)

用有理函数求解不等式

在以下练习中，求解每个有理函数不等式，然后用区间表示法写出解

103。 给定函数\(R(x)=\dfrac{x-5}{x-2}\)，求出\(x\)使函数大于或等于 0 的值。

回答

\((-\infty, 2) \cup[5, \infty)\)

104。 给定函数\(R(x)=\dfrac{x+1}{x+3}\)，求出\(x\)使函数大于或等于 0 的值。

105。 该函数\(C(x)=150 x+100,000\)表示生产成本\(x\)，物品数量。 查找

1. 平均成本函数，\(c(x)\)
2. 应该生产多少物品才能使平均成本低于160美元。

回答

1. \(c(x)=\dfrac{150 x+100000}{x}\)
2. 必须生产超过 10,000 件商品，才能将每件商品的平均成本保持在 160 美元以下。

106。 蒂尔曼通过在海滩上卖炸玉米饼来创办自己的生意。 考虑到他的食物卡车和炸玉米饼配料的成本，该函数\(C(x)=2 x+6,000\)代表了蒂尔曼生产\(x\)炸玉米饼的成本。 查找

1. Tillman's\(c(x)\) Tacos 的平均成本函数
2. 蒂尔曼应该生产多少炸玉米饼，以使平均成本低于4美元。

练习测试

在以下练习中，简化。

1。 \(\dfrac{4 a^{2} b}{12 a b^{2}}\)

回答

\(\dfrac{a}{3 b}\)

2。 \(\dfrac{6 x-18}{x^{2}-9}\)

在以下练习中，执行指定的操作并进行简化。

3。 \(\dfrac{4 x}{x+2} \cdot \dfrac{x^{2}+5 x+6}{12 x^{2}}\)

回答

\(\dfrac{x+3}{3 x}\)

4。 \(\dfrac{2 y^{2}}{y^{2}-1} \div \dfrac{y^{3}-y^{2}+y}{y^{3}-1}\)

5。 \(\dfrac{6 x^{2}-x+20}{x^{2}-81}-\dfrac{5 x^{2}+11 x-7}{x^{2}-81}\)

回答

\(\dfrac{x-3}{x+9}\)

6。 \(\dfrac{-3 a}{3 a-3}+\dfrac{5 a}{a^{2}+3 a-4}\)

7。 \(\dfrac{2 n^{2}+8 n-1}{n^{2}-1}-\dfrac{n^{2}-7 n-1}{1-n^{2}}\)

回答

\(\dfrac{3 n-2}{n-1}\)

8。 \(\dfrac{10 x^{2}+16 x-7}{8 x-3}+\dfrac{2 x^{2}+3 x-1}{3-8 x}\)

9。 \(\dfrac{\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}}\)

回答

\(\dfrac{n-m}{m+n}\)

在以下练习中，求解每个方程。

10。 \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{8}\)

11。 \(\dfrac{1}{z-5}+\dfrac{1}{z+5}=\dfrac{1}{z^{2}-25}\)

回答

\(z=\dfrac{1}{2}\)

12。 \(\dfrac{z}{2 z+8}-\dfrac{3}{4 z-8}=\dfrac{3 z^{2}-16 z-16}{8 z^{2}+2 z-64}\)

在以下练习中，求解每个有理不等式并用区间表示法写出解。

13。 \(\dfrac{6 x}{x-6} \leq 2\)

回答

\([-3,6)\)

14。 \(\dfrac{2 x+3}{x-6}>1\)

15。 \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{12}{x^{2}} \geq \dfrac{5}{x}\)

回答

\((-\infty, 0) \cup(0,4] \cup[6, \infty)\)

在以下练习中，找到\(R(x)\)给定的\(f(x)=\dfrac{x-4}{x^{2}-3 x-10}\)和\(g(x)=\dfrac{x-5}{x^{2}-2 x-8}\)。

16。 \(R(x)=f(x)-g(x)\)

17。 \(R(x)=f(x) \cdot g(x)\)

回答

\(R(x)=\dfrac{1}{(x+2)(x+2)}\)

18。 \(R(x)=f(x) \div g(x)\)

19。 给定函数\(R(x)=\dfrac{2}{2 x^{2}+x-15}\)，求出\(x\)使函数小于或等于 0 的值。

回答

\((2,5]\)

在以下练习中，求解。

20。 它直接\(y\)随时间\(x\)而变化\(x=5\)\(y=30\)，找出\(x\)时间\(y=42\)。

21。 如果与\(y\) when\(x\) 和\(x=3\) when 的平方成反比\(y=9\)，请找出\(y\)时间\(x=4\)。

回答

\(y=\dfrac{81}{16}\)

22。 马修斯可以在风中骑自行车 30 英里，时间与逆风行驶 21 英里的时间相同。 如果风速为 6 英里/小时，那么 Matheus 骑自行车的速度是多少？

23。 奥利弗可以在 8 小时内拆分一卡车的原木，但是和他父亲一起工作他们可以在 3 小时内完成。 奥利弗的爸爸独自工作要花多长时间才能拆分日志？

回答

奥利弗的爸爸要花\(4 \dfrac{4}{5}\)几个小时才能亲自拆分日志。

24。 容器中气体的体积与气体上的压力成反比。 如果氮气容器的容量为 29.5 升，体积为 2000 psi，那么如果储罐的额定值为 14.7 psi，那么容量是多少？ 四舍五入到最接近的整数。

25。

代顿、哥伦布和辛辛那提等城市在俄亥俄州南部形成了一个三角形。 该图以英寸为单位给出了这些城市之间的地图距离。

从代顿到辛辛那提的实际距离为 48 英里。 代顿和哥伦布之间的实际距离是多少？

回答

代顿和哥伦布之间的距离是 64 英里。