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9.3: तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को जोड़ें और घटाएं

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    परिभाषा: तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को जोड़ें या घटाएं

    तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को जोड़ने या घटाने के लिए, इसे चर के साथ अंश के रूप में सोचें। जोड़ और घटाव के लिए एक सामान्य भाजक (जिसे एलसीडी कहा जाता है) की आवश्यकता होती है।

    एलसीडी/एलसीएम का पता लगाएं

    परिभाषा: एलसीडी/एलसीएम

    एलसीडी खोजने के लिए, सबसे पहले सभी भाजक को पूरी तरह से कारक बनाते हैं। सभी भाजक में पाए जाने वाले कारकों से एलसीडी का निर्माण करें। प्रत्येक कारक को किसी भी अभिव्यक्ति में होने वाली सबसे बड़ी संख्या को गुणा करें। यदि दोनों अभिव्यक्तियों में एक ही कारक एक से अधिक बार होता है, तो कारक को किसी भी अभिव्यक्ति में होने वाली सबसे बड़ी संख्या में गुणा करें। इसे इस सेक्शन (लिस्ट कॉमन मल्टीपल) में एलसीएम कहा जाएगा, क्योंकि इन समस्याओं में कोई अंश नहीं है।

    उदाहरण Template:index
    1. \((x^2 − 2x − 3)\)और\((x^2 + 2x − 15)\)
    2. \((x^2 − 9)\)और\((2x^2 − 5x − 3)\)
    3. \((x^2 + x − 2)\)और\((x^2 + 4x + 4)\)

    समाधान

    1. \(\begin{array} &&(x^2 − 2x − 3) \text{ and } (x^2 + 2x − 15) &\text{Example problem} \\ &(x − 3)(x + 1) \text{ and } (x − 3)(x + 5) &\text{Factor} \\ &\text{The LCM is } (x − 3)(x + 1)(x + 5) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\& &\text{Only one copy of \((x − 3)\)आवश्यक है, क्योंकि यह प्रत्येक अभिव्यक्ति में पाए गए कारक का प्रतिनिधित्व करता है।} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&(x^2 − 9) \text{ and } (2x^2 − 5x − 3) &\text{Example problem} \\ &(x−3)(x+3) \text{ and } (2x^2−6x+1x−3) &\text{Factor; the first polynomial is a difference of squares, and use factor by grouping for the second polynomial.} \\ &(x−3)(x+3) \text{ and } (2x(x−3)+1(x− 3)) &\text{Factor by grouping.} \\ &(x − 3)(x + 3) \text{ and } (2x + 1)(x − 3) &\text{Completely factored.} \\ &\text{The LCM is } (x − 3)(x + 3)(2x + 1) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\ & &\text{Only one copy of \((x − 3)\)आवश्यक है, क्योंकि यह प्रत्येक अभिव्यक्ति में पाए गए कारक का प्रतिनिधित्व करता है।} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&(x^2 + x − 2) \text{ and } (x^2 + 4x + 4) &\text{Example problem} \\ &(x − 1)(x + 2) \text{ and } (x + 2)(x + 2) &\text{Factor.} \\ &\text{The LCM is } (x − 1)(x + 2)(x + 2) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\ & &\text{Two copies of \((x + 2)\)आवश्यक हैं, क्योंकि यह किसी भी अभिव्यक्ति में पाए जाने वाले कारकों की सबसे बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।}\\ &\ text {LCM} (x − 1) (x + 2) ^2 और\ text {वैकल्पिक उत्तर} \ end {array}\)
    व्यायाम Template:index

    LCM ढूंढें:

    1. \((3x^2 − 13x + 4)\)और\((x^2 − 16)\)
    2. \((2x^2 + x − 3)\)और\((x^2 − 2x + 1)\)
    3. \((x − 1)\)और\((x^2 − 4x − 5)\)
    4. \((6x^2 − 23x + 20)\)और\((4x^2 − 25)\)

    तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को घटाएं और एकल तर्कसंगत अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

    परिभाषा: LCD का उपयोग करके तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को जोड़ें या घटाएं

    तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ चर के साथ अंश हैं (जिन्हें बीजगणितीय अंश भी कहा जाता है)। तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को जोड़ने या घटाने के लिए, पहले सामान्य भाजक (एलसीडी) ढूंढें, फिर समान (सामान्य) भाजक को रखते हुए, अंकगणितीय को जोड़ें या घटाएं। अंत में, यदि संभव हो तो अंश और भाजक से सामान्य कारकों को हटाकर कारक और सरल बनाएं।

    उदाहरण Template:index

    जोड़ें या घटाएं और सरल बनाएं:

    1. \(\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5}\)
    2. \(\dfrac{4}{x^2 − 9} - \dfrac{5}{x^2 − 6x + 9}\)
    3. \(\dfrac{x}{1 + x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1}\)

    समाधान

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5} &\text{Find the LCD, which is \((2x − 1)(2x + 5)\)}\\ &\ dfrac {2x (2x + 5)} {(2x − 1) (2x + 5)} -\ dfrac {2x (2x − 1)} {(2x − 1) (2x + 5)} और\ text {एलसीडी में लापता शब्दों से प्रत्येक तर्कसंगत अभिव्यक्ति के अंश और भाजक को गुणा करें.}\ &\ dfrac {2x (2x + 5) [2x (2x − 1)]} {(2x − 1) (2x + 5)} और\ टेक्स्ट {घटाव को इसमें रखें एक सामान्य भाजक से अधिक अंश.}\\ &\ dfrac {4x^2 + 10x − [4x^2 − 2x]} {(2x − 1) (2x + 5)} और\ टेक्स्ट {वितरित करें, शब्दों की तरह संयोजित करें और अंश को सरल बनाएं.}\\ &\ dfrac {4x^2 + 10x - 4x^2 + 2x} {(2x = 1) 2x + 5)} &\ text {दोनों शब्दों में घटाव बांटने का ध्यान रखें.}\\ &\ dfrac { 12x} {(2x − 1) (2x + 5)} और\ text {अंतिम उत्तर} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{4}{x^2 − 9} - \dfrac{5}{x^2 − 6x + 9} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{4}{(x + 3)(x − 3)} - \dfrac{5}{(x − 3)(x − 3)} &\text{Factor the denominators.} \\ &\dfrac{4}{(x + 3)(x − 3)} - \dfrac{5}{(x − 3)(x − 3)} &\text{Find the LCD, which is \((x − 3)(x − 3)(x + 3)\)}\\ &\ dfrac {4 (x − 3)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} -\ dfrac {5 (x + 3)} {(x − 3) (x − 3) (x + 3)} (x + 3)} और\ text {एलसीडी में लापता शब्दों से प्रत्येक तर्कसंगत अभिव्यक्ति के अंश और भाजक को गुणा करें.}\\ frac {4} {(x − 3) − 5 (x + 3)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} और\ text {घटाव को अंदर रखें एक सामान्य भाजक से अधिक अंश.}\\ &\ dfrac {4x − 12 − [5x + 15]} {(x + 3) (x − 3)} और\ टेक्स्ट {वितरित करें, शब्दों की तरह संयोजित करें और अंश को सरल बनाएं.}\\ &\ dfrac {4x − 12 − 5x − 15} {(x + 3) (x 3) (x 3) (x = 3) (x − 3)} और\ text {दोनों शब्दों में घटाव बांटने का ध्यान रखें.}\\ &\ dfrac {−x − 27} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} और\ text {अंतिम उत्तर}\\ &\ dfrac {− (x + 27)} {(x + 3) (x + 3) (x − 3) (x − 3)} और\ text {वैकल्पिक उत्तर}\ end {array\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{x}{1 + x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{2x + 3}{(x − 1)(x + 1)} &\text{Factor the denominators.} \\ &\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{2x + 3}{(x − 1)(x + 1)} &\text{Find the LCD, which is \((x − 1)(x + 1)\)}\\ &\ dfrac {x (x − 1)} {(x + 1) (x − 1)} +\ dfrac {(2x + 3)} {(x − 1)} &\ text {एलसीडी में लापता शब्दों से प्रत्येक तर्कसंगत अभिव्यक्ति के अंश और भाजक को गुणा करें.}\\ & &\ text {ध्यान दें कि दूसरी तर्कसंगत अभिव्यक्ति पहले से ही है एलसीडी इसके भाजक के रूप में.}\\ [0.125 in] और\ dfrac {x (x − 1) + (2x + 3)} {(x + 1) (x − 1)} और\ text {एक सामान्य भाजक के ऊपर न्यूमेरेटर में घटाव रखें.}\\ &\ dfrac {x^2 − x + 3} {(x + 1) (x − 1) (x − 1)} और\ टेक्स्ट {वितरित करें, शब्दों को मिलाएं और जैसे शब्दों को मिलाएं और अंश को सरल बनाएं.}\\ &\ dfrac {x^2 + x+ 3} {(x + 1) (x − 1)} और\ text { घटाव को दोनों शब्दों में बांटने का ध्यान रखें.}\\ &\ dfrac {x^2 + x + 3} {(x + 1) (x − 1)} और\ text {अंतिम उत्तर} \ end {array}\)
    व्यायाम Template:index

    जोड़ें या घटाएं और सरल बनाएं:

    1. \(\dfrac{x}{x^2 + 1} + \dfrac{24x^3}{x3 + 2}\)
    2. \(\dfrac{x}{1 − x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1}\)
    3. \(\dfrac{5}{x + 3} + \dfrac{x^2 − 4x − 21}{x^2 − 9}\)
    4. \(\dfrac{39x + 36}{x^2 − 3x − 10} - \dfrac{23x − 16}{x^2 − 7x + 10}\)