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9.2: तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को गुणा करें

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    परिभाषा: तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को गुणा करना

    तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को गुणा करने के लिए, अंश अभिव्यक्तियों को गुणा करें और भाजक अभिव्यक्तियों को गुणा करें। फिर, यदि संभव हो तो, अंश और भाजक दोनों को फैक्टरिंग करके और सामान्य कारकों को हटाकर सरल बनाएं।

    \(4\)-टर्म पॉलीनोमियल के साथ काम करते समय समूहबद्ध करके कारक का उपयोग करने का प्रयास करें।

    नोट: तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को गुणा करते समय सामान्य भाजक की आवश्यकता नहीं होती है!

    उदाहरण Template:index

    तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को गुणा करें:

    1. \(\dfrac{10t}{6t − 12} ∗ \dfrac{20t − 40}{30t^3}\)
    2. \(\dfrac{7x + 14}{ 2x^2 − 8} ∗ \dfrac{x^2 + 3x − 10}{14x + 21}\)
    3. \(\dfrac{3x^3 − 24}{2x^2 − 14x + 20} ∗ \dfrac{4x^3 − 20x^2 + 3x − 15}{3x^2 + 6x + 12}\)

    समाधान

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{10t}{6t − 12} ∗ \dfrac{20t − 40}{30t^3} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{10t}{6t − 12} ∗ \dfrac{20(t − 2)}{30t^3} &\text{Factor all numerators and denominators} \\ &\dfrac{(2)(5)(t)(2)(2)(5)(t − 2)}{(2)(3)(t − 2)(2)(3)(5)(t)(t^2)} &\text{Factor numbers into prime factors and write with one division bar} \\ &\dfrac{\cancel{(2)}(5)\cancel{(t)}(2)(2)\cancel{(5)}\cancel{(t − 2)}}{\cancel{(2)}(3)\cancel{(t − 2)}(2)(3)\cancel{(5)}\cancel{(t)}(t^2)} &\text{Remove common factors} \\ &\dfrac{(5)(2)(2)}{(3)(2)(3)(t^2)} &\text{Simplify} \\ &\dfrac{20}{18t^2} &\text{Final answer (it is good practice to show final answer as factored as possible)} \end{array} \)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{7x + 14}{2x^2 − 8} ∗ \dfrac{x^2 + 3x − 10}{14x + 21} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{7(x + 2)}{2(x^2 − 4)} ∗ \dfrac{(x + 5)(x − 2)}{7(2x + 3)} &\text{Factor all numerators and denominators} \\ &\dfrac{7(x + 2)(x + 5)(x − 2)}{2(x + 2)(x − 2)(7)(2x + 3)} &\text{Further factor algebraic expressions and numbers into prime factors and write with one division bar} \\ &\dfrac{\cancel{7}\cancel{(x + 2)}(x + 5)(x − 2)}{2\cancel{(x + 2)}(x − 2)\cancel{(7)}(2x + 3)} &\text{Remove common factors} \\ &\dfrac{(x + 5)(x − 2)}{2(x − 2)(2x + 3)} &\text{Final answer} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{3x^3 − 24}{2x^2 − 14x + 20} ∗ \dfrac{4x^3 − 20x^2 + 3x − 15}{3x^2 + 6x + 12} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{3(x^3 − 8)}{2(x^2 − 7x + 10)} ∗ \dfrac{4x^2 (x − 5) + 3(x − 5)}{3(x^2 + 2x + 4)} &\text{Factor all numerators and denominators. Use factor by grouping for the \(4\)-बहुपद.}\\ &\ dfrac {3 (x − 2) (x^2 + 2x + 4)} {2 (x − 5) (x − 2)}\ dfrac {(4x^2 + 3) (x − 5)} {3 (x + 2)} और\ text {आगे का कारक बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ}\\\ & dfrac {3 (x − 2) (x^2 + 2x + 4) (4x^2+ 3) (x − 5)} {2 (x − 5) (x − 2) (x + 2)} (x + 2)} और\ text {आगे का कारक बीजगणितीय अभिव्यक्तियों और संख्याओं को प्रमुख कारकों में लिखें और एक डिवीजन बार के साथ लिखें}\\ &\ dfrac {\ रद्द करें {3}\ रद्द करें {(x − 2)} (x^2 + 4)\ रद्द करें {(x − 5)} {2\ रद्द करें {(x − 5)}\ रद्द करें {(x 2 -)}\ रद्द करें {(x 2 -)}\ रद्द करें {(x 2 -)}\ रद्द करें {(x 2 -)}\ रद्द करें {(x 2 -)}\ रद्द करें {(x 2 -)}\ रद्द करें {(x 2 -)}\ रद्द करें {(x 2 -)}\ (x + 2)} और\ text {सामान्य कारकों को हटाएं}\\ &\ dfrac {(x^2 + 2x + 4) (4x^2 + 3)} {2 (x + 2) (x + 2)} (x + 2)} और amp;\ text {अंतिम उत्तर}\\ &\ dfrac {(x^2 + 2x + 4) (4x^2 + 3)} {2 (x + 2) ^ 2} &\ text {अंतिम उत्तर इस फ़ॉर्म में भी लिखा जा सकता है}\ end {array}\)
    व्यायाम Template:index

    तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को गुणा करें:

    1. \(\dfrac{x^2 + 4x + 3}{2x^2 − x − 10} ∗ \dfrac{2x^2 + 4x^3}{x^2 + 3x} ∗ \dfrac{x}{x^2 + 3x + 2}\)
    2. \(\dfrac{x^2 + 2x − 15}{x^2 − 4x − 45} ∗ \dfrac{x^2 − 5x − 36}{x^2 + x − 12}\)
    3. \(\dfrac{x^2 + 3x − 40}{x^2 + 2x − 35} ∗ \dfrac{x^2 + 3x − 18}{4x^2 − 5x − 32x + 40}\)