Skip to main content
Global

9.1: तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    168384

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    परिभाषा: तर्कसंगत अभिव्यक्ति

    एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति को बहुपदों के भागफल के रूप में लिखा जाता है

    \[\dfrac{P(x)}{Q(x)} \nonumber \]

    एक चर\(x\) में बहुपद कहाँ\(P(x)\) और\(Q(x)\) हैं

    एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, अंश और भाजक दोनों को कारक बनाएं, और अंश और भाजक दोनों से सामान्य कारकों को हटा दें। एक सरलीकृत तर्कसंगत अभिव्यक्ति में केवल एक विभाजन होता है, और एक एकल अंश और भाजक होता है। यदि अभिव्यक्तियों को फैक्टर नहीं किया जा सकता है, तो तर्कसंगत अभिव्यक्ति को सरल नहीं किया जा सकता है।

    उदाहरण Template:index

    तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं:

    1. \(\dfrac{x^2 + 2x − 3}{x^2 + 4x + 3}\)
    2. \(\dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)(2)(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4}\)
    3. \(\dfrac{(x^2 + 1) \frac{1}{2} (x^{−\frac{1}{2}}) − (2x)(x^{\frac{1}{2}})}{(x^2 + 1)^2}\)

    समाधान

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{x^2 + 2x − 3}{x^2 + 4x + 3} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(x + 3)(x − 1)}{(x + 3)(x + 1)} &\text{Factor both numerator and denominator.} \\ &\dfrac{\cancel{(x + 3)}(x − 1)}{\cancel{(x + 3)}(x + 1)} &\text{Remove common factors, because \(\dfrac{x + 3}{x + 3} = 1\)}\\ &\ dfrac {x − 1} {x + 1} &\ text {अंतिम उत्तर}\ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)(2)(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{2(x^2 + 1)[(x^2 + 1)(−1) + (2x)(2x)]}{(x^2 + 1)^4} &\text{Factor out 2(x^2 + 1)} \\ &\dfrac{2 \cancel{(x^2 + 1)}[(x^2 + 1)(−1) + (2x)(2x)]}{\cancel{(x^2+1)}(x^2 + 1)^3} &\text{Remove common factors, because \(\dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1\)}\\ &\ dfrac {2 [−x^2 − 1+ 4x^2]} {(x^2 + 1) ^3} &\ text {2 जैसे शब्दों को गुणा करके और संयोजित करके सरल बनाएं}\\ &\ dfrac {2 (3x^2 − 1)} {(x^2 + 1) ^3} और\ text {अंतिम उत्तर}\ अंत {सरणी}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{(x^2 + 1) \frac{1}{2} (x^{−\frac{1}{2}}) − (2x)(x^{\frac{1}{2}})}{(x^2 + 1)^2} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{\frac{(x^2+1)}{2x^{\frac{1}{2}}} − (2x)(x^{ \frac{1}{2} })}{(x^2 + 1)^2} &\text{Work with the negative exponent in the first term of the numerator by moving the factor to the denominator of the first term, next to the \(2\).}\\ &\ dfrac {(x^2 + 1) − (2x) (x^ {\ frac {1} {2}}) 2 (x^ {\ frac {1} {2}}}} {\ dfrac {\ frac {1} {2}}} {(x^2 + 1) ^2}}} और\ टेक्स्ट {सामान्य भाजक}\\ &\ dfrac {x^2 + 1 − 4x^2} {(2x^ {\ frac {1} {2}}) (x^2 + 1) ^ 2} और\ text {{{\ शब्दों को गुणा करके और संयोजन करके सरल बनाएं}\\ &\ dfrac {−3x^2 + 1} {(2x^ {\ frac {1} {2}}) (x^2 + 1) ^2} और\ text {अंतिम उत्तर}\ end {array}\)
    व्यायाम Template:index

    तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं:

    1. \(\dfrac{2x^2 + 3x − 2}{2x^2 + 5x − 3}\)
    2. \(\dfrac{(t^2 + 4)(2t − 4) − (t^2 − 4t + 4)(2t)}{(t^2 + 4)^2}\)
    3. \(\dfrac{(2)(x − 4)(x^2 + 4x + 4)}{(x + 2)(x^2 − 16)}\)
    4. \(\dfrac{12x^2 + 19x − 21}{12x^2 + 38x − 40}\)