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9.4: बीजगणितीय अंशों को युक्तिसंगत बनाना

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    परिभाषा: तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का भाजक

    यदि एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति के भाजक में कणों से जुड़े रकम या अंतर होते हैं, तो भाजक के संयुग्म द्वारा अंश और भाजक को गुणा करके हमेशा भाजक को तर्कसंगत बनाना अच्छा होता है।

    भाजक के संयुग्म में समान शब्द होते हैं, लेकिन विपरीत ऑपरेशन (जोड़ या घटाव)।

    उदाहरण Template:index

    भाजक को युक्तिसंगत बनाएं और सरल बनाएं:

    1. \(\dfrac{1}{1 − \sqrt{x}}\)
    2. \(\dfrac{1}{\sqrt{x} − \sqrt{y}}\)
    3. \(\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} − \sqrt{y}}\)

    समाधान

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{1}{1 − \sqrt{x}} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(1)(1 + \sqrt{x})}{(1 − \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})} &\text{Multiply both numerator and denominator by the conjugate, which is \((1+\sqrt{x})\)}\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 −\ sqrt {x} +\ sqrt {x} − (\ sqrt {x}) ^2} &\ text {1\ sqrt {x}} {1\ sqrt {x}} {1 −\ रद्द {\ sqrt {x}} {\ sqrt {x}} {x}} − (\ sqrt {x}) ^2} और\ text {शून्य के बराबर विपरीत शब्दों को हटा दें.}\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 − x} और\ text {वर्ग की जड़\(x\), मात्रा वर्ग है\(x\).}\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 − x} और\ text {भाजक के साथ अंतिम उत्तर तर्कसंगत है, जिसका अर्थ है कि भाजक में वर्गमूल शब्द नहीं हैं.} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{1}{\sqrt{x} − \sqrt{y}} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(1)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} − \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} &\text{Multiply both numerator and denominator by the conjugate, which is \((\sqrt{x} + \sqrt{y})\)}\\ &\ dfrac {(\ sqrt {x} +\ sqrt {y})} {(\ sqrt {x}) ^2 -\ sqrt {x}\ sqrt {y} +\ sqrt {x}\ sqrt {y} - (\ sqrt {y}) ^ 2} और\ text {फ़ॉइल द डायनोमिनेटर}}\\ &\ dfrac (
      ParseError: invalid DekiScript (click for details)
      Callstack:
    at (हिन्दी_भाषा/व्यवसाय_और_सामाजिक_विज्ञान_के_लिए_कैलकुलस_कोरिक्युसाइट_वर्कबुक_(डोमिंगुएज़,_मार्टिनेज,_और_सायकली)/09:_तर्कसंगत_अभिव्यक्तियां/9.04:_बीजगणितीय_अंशों_को_युक्तिसंगत_बनाना), /content/body/section[2]/ol[3]/li/span[2], line 1, column 1
      {x - y} &\ text {\ sqrt का\(x\) वर्गमूल है\(x\)\(y\), और मात्रा का वर्गमूल है\(y\)।}\\ &\ dfrac {\ sqrt {x} +\ sqrt {y}} {x − y} और\ text {अंक के साथ अंतिम उत्तर तर्कसंगत, अर्थ कि भाजक में कोई वर्गमूल शब्द नहीं हैं।} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} − \sqrt{y}} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} − \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} &\text{Multiply both numerator and denominator by the conjugate, which is \((\sqrt{x} + \sqrt{y})\)}\\ &\ dfrac {(\ sqrt {x}) ^2 + 2 (\ sqrt {x}\ sqrt {y}) + (\ sqrt {y}) ^2} {(\ sqrt {x}) ^2\ − sqrt {x}\ sqrt {y}\ sqrt {y} = (\ sqrt {y}) ^ 2} &\ text {x अंश और भाजक को फ़ॉइल करें.}\\ &\ dfrac {x + 2\ sqrt {x}\ sqrt {y} + y} {(\ sqrt {x}) ^ 2 -\ रद्द करें {\ sqrt {\ sqrt {x} sqrt {y}}\\ रद्द करें {\ sqrt {x\} sqrt {y}} sqrt {y}) ^2} और\ text {x शून्य के बराबर विपरीत शब्दों को हटाएं.}\\ &\ dfrac {x + 2\ sqrt {x}\ sqrt {y} + y} {x − y} और\ text {का वर्गमूल\(x\), मात्रा का वर्गमूल है\(x\), और मात्रा का\(y\) वर्गमूल है\(y\).}\\ &\ dfrac {x + 2\ sqrt x {}\ sqrt {y} + y} {x − y} &\ पाठ {भाजक के साथ अंतिम उत्तर को तर्कसंगत बनाया गया है, जिसका अर्थ है कि भाजक में वर्गमूल शब्द नहीं हैं।} \ end {array}\)
    व्यायाम Template:index

    भाजक को युक्तिसंगत बनाएं और सरल बनाएं:

    1. \(\dfrac{x}{1 − \sqrt{x}}\)
    2. \(\dfrac{1}{1 − \sqrt{x}}\)
    3. \(\dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} − 1}\)
    4. \(\dfrac{x − 1}{\sqrt{x} − 1}\)