7.5: एक पंक्ति के समीकरण के रूप

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

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पिछले अनुभाग में लंबवत और क्षैतिज रेखाओं के समीकरणों की व्याख्या की गई थी। अब एक लाइन के समीकरणों के तीन और रूपों की खोज करें, अर्थात्, स्लोप-इंटरसेप्ट फॉर्म, पॉइंट-स्लोप फॉर्म और स्टैंडर्ड फॉर्म।

एक रेखा के समीकरण का स्लोप-इंटरसेप्ट फॉर्म

परिभाषा: स्लोप-इंटरसेप्ट फॉर्म

एक पंक्ति के समीकरण का स्लोप-इंटरसेप्ट प्रपत्र इस रूप का है:

\[y = mx + b \nonumber \]

रेखा का ढलान कहाँ$m$$(0, b)$ है और$y$ −इंटरसेप्ट है।

ध्यान दें कि$y$ -इंटरसेप्ट वह बिंदु है जहां रेखा$y$ −अक्ष को काटती है, यानी जब$x = 0$।

उदाहरण Template:index

दी गई ढलानों और$y$ -इंटरसेप्ट्स के साथ लाइन का एक समीकरण लिखें।

ढलान =$5$;$y$ -अवरोधन$(0, \dfrac{1}{2})$
ढलान$y$ =$−\dfrac{5}{6}$; - अवरोधन$(0, −\dfrac{3}{4})$

समाधान

$m = 5$और$b = \dfrac{1}{2}$

एक पंक्ति का समीकरण किसका है$y = mx + b$। इस प्रकार,

$\begin{array} &&y = mx + b &\text{Slope-intercept form} \\ &= 5x + \dfrac{1}{2} &\text{Substitute \(m = 5$और$b = \dfrac{1}{2}$}\ end {array}\)

इसलिए,$y = 5x + \dfrac{1}{2}$ दी गई ढलान और$y$ -इंटरसेप्ट के साथ रेखा का समीकरण है।

दिया गया$m = −\dfrac{5}{6}$ और$b = −\dfrac{3}{4}$

इस प्रकार,

$\begin{array} &&y = mx + b &\text{Slope-intercept form} \\ &= −\dfrac{5}{6}x −\dfrac{3}{4} &\text{Substitute values} \end{array}$

इसलिए,$y = −\dfrac{5}{6}x − \dfrac{3}{4}$ दी गई ढलान और$y$ -इंटरसेप्ट के साथ रेखा का समीकरण है।

उदाहरण Template:index

ढलान को पहचानें और$y$ −इंटरसेप्ट करें, फिर प्रत्येक पंक्ति को ग्राफ़ करने के लिए उनका उपयोग करें।

$y = −2x + 4$
$5y − 3x = 10$

समाधान

क. ध्यान दें कि दिया गया रेखीय समीकरण ढलान-अवरोधन रूप में है। तो,$m = −2$ या समकक्ष रूप से,$m = −\dfrac{2}{1}$ और$b = 4$

$m$लाइन का ढलान है, फिर$m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} = −\dfrac{2}{1}$। लाइन को ग्राफ करने के लिए, कम से कम दो बिंदुओं को प्लॉट करें। $y$−इंटरसेप्ट पर शुरू करें$(0, 4)$ और$2$ यूनिट को नीचे ले जाएं और फिर दूसरे बिंदु को प्लॉट करने के लिए दाएं$1$ यूनिट पर जाएं। अब नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए अनुसार एक सीधी रेखा के साथ दो बिंदुओं को मिलाएं।

$clipboard_e5fcc0c548a6809df50a713b48295362a.png$

ख) ध्यान दें कि यह स्पष्ट नहीं है कि इस दिए गए रेखीय समीकरण में ढलान और$y$ -अवरोधन की पहचान कैसे करें क्योंकि यह ढलान-अवरोधन रूप में नहीं है। इस प्रकार, ढलान-अवरोधन रूप में समीकरण को निम्नानुसार हल करें,$y$

$\begin{array} &&5y − 3x = −10 &\text{Given} \\ &5y = 3x − 10 &\text{Add \(3x$समीकरण के दोनों ओर}\\ &y =\ dfrac {3} {5} x − 2 और\ text {{end$y$}\ end {array}\)$5$

अभी,$m = \dfrac{3}{5}$ और$b = −2$। $y$-इंटरसेप्ट को प्लॉट करके शुरू करें,$(0, −2)$ फिर$3$ इकाइयों को ऊपर की ओर ले जाएं और$5$ इकाइयों को दाईं ओर ले जाएं और दूसरे बिंदु को प्लॉट करें जो है$(5, 1)$। अब, दो बिंदुओं को शामिल करें, अर्थात्,$(0, −2)$ और$(5, 1)$ नीचे दिए गए चित्र में दिखाई गई रेखा का ग्राफ प्राप्त करें।

$clipboard_eca3205bebd002556f4570dc0193cd9f6.png$

व्यायाम Template:index

दी गई ढलान और$y$ -इंटरसेप्ट के साथ एक पंक्ति का समीकरण लिखें।

ढलान:$2$$y$ -अवरोधन:$(0, \dfrac{3}{4})$
ढलान:$\dfrac{5}{7}$$y$ -अवरोधन:$(0, −6)$
ढलान:$−\dfrac{1}{2}$$y$ -अवरोधन:$(0, −\dfrac{7}{11} )$

व्यायाम Template:index

ढलान और$y$ -इंटरसेप्ट को पहचानें फिर प्रत्येक पंक्ति को ग्राफ़ करने के लिए उनका उपयोग करें।

$y = 5x − 3$
$2y = −6x + 1$

एक रेखा के समीकरण का बिंदु-ढलान प्रपत्र

परिभाषा: प्वाइंट-स्लोप फॉर्म

एक सीधी रेखा के समीकरण का बिंदु-ढलान रूप है:

\[y − y_1 = m(x − x_1) \nonumber \]

रेखा का ढलान कहाँ$m$$(x_1, y_1)$ है और सीधी रेखा पर कोई भी बिंदु है।

उदाहरण Template:index

दिए गए बिन्दु और दिए गए ढलान से गुज़रने वाली प्रत्येक पंक्ति का समीकरण ज्ञात करें।

ढलान$3$ और बिन्दु$(−1, 8)$
ढलान$−\dfrac{5}{2}$ और बिन्दु$(\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{3})$

समाधान

ढलान के$(−1, 8)$ साथ बिंदु के माध्यम से रेखा के समीकरण को खोजने के लिए$m = 3$, बिंदु-ढलान प्रपत्र का उपयोग निम्नानुसार करें:

$\begin{array} &&y − y_1 = m(x − x_1) &\text{Point-Slope form} \\ &y − 8 = 3[x − (−1)] &\text{Substitute \(m = 3$$x_1 = −1$, और$y_1 = 8$}\\ &y − 8 = 3 (x + 1) और\ text {सरल बनाएं}\\ &y − 8 = 3x+ 3 &\ text {समीकरण के दाईं ओर दोनों शब्दों को गुणा करें$3$}\\ &y = 3x+ 11 &\ text {अलग$8$ करने के लिए समानता के दोनों पक्षों में जोड़ें$y$}\ अंत {सरणी\})

इसलिए,$y = 3x + 11$ दी गई ढलान और बिंदु के साथ रेखा का समीकरण है। लाइन स्लोप-इंटरसेप्ट फॉर्म में है।

भाग a के समान, प्वाइंट-स्लोप फ़ॉर्म का उपयोग इस प्रकार करें:

$\begin{array} &&y − y_1 = m(x − x_1) &\text{Point-Slope form} \\ & y−(−\dfrac{1}{3}) = −\dfrac{5}{2} (x −\dfrac{4}{3}) &\text{Substitute \(m = −\dfrac{5}{2},\;\; x_1 = \dfrac{4}{3}$, और$y_1 = −\dfrac{1}{3}$}\\ &y +\ dfrac {1} {3} = −\ dfrac {5} {2} x +\ dfrac {20} {6} और\ टेक्स्ट {वितरित करें और सरल बनाएं}\\ &y =\ dfrac {5} {2} x +\ dfrac {20} {6}}\ dfrac {1} {3} और\ टेक्स्ट {सबट्रैक्ट {3} दोनों तरफ$\dfrac{1}{3}$ से}\\ &y = −\ dfrac {5} {2} x + 3 &\ text {दो अंशों को मिलाने के लिए, ध्यान दें कि एलसीडी$= 6$.}\\ &\ text {$\dfrac{1}{3}$द्वारा संख्यात्मक और भाजक को गुणा करें$2$ और सरल बनाएं:}\\ & &\ text {$\dfrac{20}{6} − \dfrac{1(2)}{3(2)} = \dfrac{20}{6} − \dfrac{2}{6} = \dfrac{18}{6} = 3$}\ end {array}\)

इसलिए,$y = −\dfrac{5}{2}x + 3$ दी बिन्दु और दी गई ढलान के माध्यम से रेखा का समीकरण है।

उदाहरण Template:index

दिए गए बिंदुओं का एक समीकरण ढूंढें$(2, 4)$ और$(−3, 9)$।

ध्यान दें कि इस अध्याय में पहले यह बताया गया था कि ढलान और$y$ -इंटरसेप्ट दी गई रेखा के समीकरण को कैसे खोजना है। इस अध्याय में यह भी बताया गया है कि रेखा और ढलान पर किसी भी बिंदु को देखते हुए एक रेखा का समीकरण कैसे खोजा जाए। इसलिए, दोनों तरीकों से, ढलान दिया गया है।

समाधान

लाइन पर किसी भी दो बिंदुओं पर दी गई रेखा का एक समीकरण खोजने के लिए, सबसे पहले लाइन सूत्र के ढलान का उपयोग करके ढलान का पता लगाएं। इसके बाद, दिए गए किसी भी बिंदु के साथ बिंदु-ढलान फ़ॉर्म लागू करें। सबसे पहले, लाइन के ढलान को खोजने के लिए दो बिंदुओं का उपयोग करें। चलो$(x_1, y_1) = (2, 4)$ और$(x_2, y_2) = (−3, 9)$। फिर,

$\begin{array} &&m = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} &\text{Slope of the line formula} \\ &= \dfrac{9 − 4}{−3 − 2} &\text{Substitute values} \\ &= \dfrac{5}{−5} &\text{Simplify} \\ &= −1 & \end{array}$

अब ढलान मिल गया है, इसलिए नीचे दिए गए बिंदुओं में से किसी एक का उपयोग करके रेखा का समीकरण ढूंढें। इस प्रकार,$m = −1$ और बिंदु का उपयोग करने पर विचार करें$(2, 4)$।

$\begin{array} &&y − y_1 = m(x − x_1) &\text{Point-slope form} \\ &y − 4 = −1(x − 2) &\text{Substitute \(m = −1$,$x_1 = 2$,$y_1 = 4$}\\ &y − 4 = −x+ 2 &\ text {दाईं ओर दोनों शब्दों में वितरित करें$-1$}\\ &y = −x+ 6 &\ text {अलग$4$ करने के लिए समीकरण के दोनों किनारों में जोड़ें$y$}\ end {array}\)

इसलिए,$y = −x + 6$ देने वाले बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है और इसमें ढलान-अवरोधन रूप है।

व्यायाम Template:index

दिए गए बिन्दु से गुज़रने वाली प्रत्येक पंक्ति का समीकरण ज्ञात करें और उसमें दी गई ढलान हो।

ढलान$−\dfrac{5}{2}$ और बिन्दु$(3, 0)$।
ढलान$\dfrac{1}{2}$ और बिन्दु$(−2, −3)$।

व्यायाम Template:index

निम्नलिखित बिंदुओं को दी गई पंक्ति का एक समीकरण ज्ञात करें।

$(−9, −3)$और$(6, −2)$
$(4, 1)$और$(−2, 2)$

एक रेखा के समीकरण का मानक रूप (रैखिक समीकरण का उर्फ सामान्य रूप)

परिभाषा: मानक प्रपत्र

गैर-लंबवत रेखा का मानक रूप प्रपत्र में है

\[Ax + By = C \nonumber \]

एक सकारात्मक पूर्णांक कहाँ$A$ है,$B$ और$C$ इसके साथ पूर्णांक हैं$B \neq 0$।

उदाहरण Template:index

निम्नलिखित समीकरणों की प्रत्येक पंक्ति को ग्राफ़ करें:

$4x − 3y = 6$
$\dfrac{1}{2} − y + 1 = 0$

ध्यान दें कि$x$ -इंटरसेप्ट वह बिंदु है जहां रेखा$x$ -अक्ष को काटती है। यानी कब$y = 0$। इस प्रकार,$x$ -इंटरसेप्ट फॉर्म का एक बिंदु है$(a, 0)$, जहां कोई वास्तविक संख्या$a$ है।

समाधान

समीकरण मानक रूप में$4x − 3y = 6$ है। दिए गए समीकरण की रेखा को ग्राफ करने के लिए एक से अधिक तरीकों का उपयोग करना संभव हो सकता है। उदाहरण के लिए, स्लोप-इंटरसेप्ट फॉर्म में समीकरण प्राप्त$y$ करने के लिए हल करना, फिर, लाइन को ग्राफ़ करना। दो बिंदुओं को खोजना भी संभव है, फिर लाइन को ग्राफ़ करें। जल्दी से खोजने के लिए दो सबसे आसान बिंदु हैं$x$ और$y$ इंटरसेप्ट्स। इसलिए, इस विधि की सिफारिश की गई है।

$x$-इंटरसेप्ट को खोजने के लिए, दिए गए समीकरण$y = 0$ में सेट करें और$x$ निम्नानुसार हल करें,

$\begin{array} &&4x − 3y = 6 &\text{Given} \\ &4x − 3(0) = 6 &\text{Substitute \(y = 0$}\\ &4x = 6 &\ text {सरल बनाएं}\\ &x =\ dfrac {6} {4} &\ text {समीकरण के$4$ दोनों ओर से विभाजित करें}\\ &x =\ dfrac {3} {2} &\ text {सरल}\ end {array}\)

इसलिए,$x$ -इंटरसेप्ट बिंदु है$(\dfrac{3}{2}, 0)$

अब,$y$ -इंटरसेप्ट खोजने के लिए,$x = 0$ निम्नानुसार सेट करें,

$\begin{array} &&4x − 3y = 6 &\text{Given} \\ &4(0) − 3y = 6 &\text{Substitute \(x = 0$}\\ &−3y = 6 &\ text {सरलीकृत करें}\\ &y = 6 −3 &\ text {समीकरण के$−3$ दोनों ओर से विभाजित करें}\\ &y = −2 &\ text {सरलीकृत}\ end {array}\)

अब, बिंदुओं को प्लॉट करें$(\dfrac{3}{2}, 0)$$(0, −2)$ और नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए अनुसार उनके माध्यम से गुजरने वाली सीधी रेखा को ग्राफ़ करें।

$clipboard_ede795f89eb03e5b448b62ec8dc0b7663.png$

समीकरण मानक रूप में नहीं$\dfrac{1}{2} x − y + 1 = 0$ है। इसलिए, समीकरण के दोनों ओर$1$ से घटाएं$\dfrac{1}{2}x − y = −1$ जो अब मानक रूप में है।

फिर, भाग बी के समान,$x$ और$y$ -इंटरसेप्ट्स ढूंढें। सबसे पहले, सेट करके$x$ -इंटरसेप्ट ढूंढें$y = 0$ और$x$ निम्नानुसार हल करें।

$ \begin{array} &&\dfrac{1}{2}x − y = −1 &\text{Standard form of the given equation} \\ &\dfrac{1}{2}x − (0) = −1 &\text{Substitute \(y = 0$}\\ &\ dfrac {1} {2} x = −1 &\ text {सरल बनाएं}\\ &x = −2 &\ text {समीकरण के$2$ दोनों ओर से गुणा करें.} \ end {array}\)

इस प्रकार,$x$ -इंटरसेप्ट बिंदु है$(−2, 0)$।

अब,$y$ -इंटरसेप्ट$x = 0$ को खोजने के लिए सेट करें, जैसा कि निम्नानुसार है,

$ \begin{array} &&\dfrac{1}{2}x − y = −1 &\text{Standard form of the given equation} \\ &\dfrac{1}{2}(0) − y = −1 &\text{Substitute \(x = 0$}\\ &−y = −1 &\ text {सरल बनाएं}\\ &y = 1 &\ text {गुणा$-1$ करें} \ end {array}\)

इसलिए,$y$ -इंटरसेप्ट है$(0, 1)$।

$x$और$y$ -इंटरसेप्ट्स को प्लॉट करें$(0, 1)$,$(−2, 0)$ और फिर नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए अनुसार उनके माध्यम से गुजरने वाली सीधी रेखा को ग्राफ़ करें।

$clipboard_e3475016017c80b2298d3517f4bef3bf0.png$

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