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7.3: लम्बवत रेखाएँ

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    परिभाषा: लम्बवत रेखाएँ

    दो अलग-अलग रेखाएँ\(l\) और लंबवत, लिखी\(q\) जाती हैं\(l ⊥ q\), यदि उनका प्रतिच्छेदन माप के साथ चार समकोण या कोण बनाते हैं\(90^{\circ}\)। लंबवत रेखाओं की ढलान\(l\) और नकारात्मक पारस्परिक\(q\) हैं। यह है,

    \[m_l = −\dfrac{1}{m_q} \nonumber \]

    और

    \[m_q = − \dfrac{1}{m_l} \nonumber \]

    उदाहरण Template:index

    निर्धारित करें कि दी गई रेखाएं लंबवत हैं या नहीं। \(l\)वह रेखा जो बिंदुओं से होकर गुजरती है\((1, 3)\),\((0, 1)\) और\(q\) वह रेखा जो बिंदुओं से होकर गुजरती\((5, 1)\) है\((−1, 4)\) और।

    समाधान

    यह निर्धारित करने के लिए कि क्या रेखाएं लंबवत हैं, सबसे पहले लाइन फॉर्मूला की ढलान का उपयोग करके उनकी ढलानों को ढूंढें। रेखा का ढलान\(l\)\(m_l\), जो बिंदुओं से होकर गुजरता\((1, 3)\) है\((0, 1)\) और है,

    \(\begin{array}s m_l &= \dfrac{3 − 1}{1 − 0} \\ &= \dfrac{2}{1} \\ &= 2 \end{array}\)

    रेखा का ढलान\(q\)\(m_q\), जो बिंदुओं से होकर गुजरता है\((−1, 4)\) और\((5, 1)\),

    \(\begin{array}s m_q &= \dfrac{1 − 4}{5 − (-1)} \\ &= \dfrac{-3}{6} \\ &= \dfrac{-1}{2} \end{array}\)

    अब,\(q\) रेखाएं\(l\) और लंबवत हैं यदि और केवल अगर:

    \(m_l = −\dfrac{1}{m_q} \text{ and } m_q = −\dfrac{1}{m_l}\)

    \(m_l = 2\)और\(m_q = −\dfrac{1}{m_l} = −\dfrac{1}{2}\)। इसलिए, रेखाओं की ढलान नकारात्मक पारस्परिक होती है, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि रेखाएँ\(l\) और लंबवत रेखाएँ\(q\) हैं।

    उदाहरण Template:index

    बिंदुओं से होकर गुज़रने\(l\) वाली रेखा से लंबवत रेखा के ढलान का पता\((3, 4)\) लगाएं\((−3, 0)\) और

    समाधान

    बिंदुओं से गुज़रने\(l\) वाली रेखा के ढलान को ढूंढकर\((−3, 0)\) और\((3, 4)\) लाइन सूत्र के ढलान का उपयोग करके शुरू करें। इस प्रकार,

    \(\begin{array} s m_l &= \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} \\ &= \dfrac{4 − 0}{3 − (−3)} \\ &= \dfrac{4}{6} \\ &= \dfrac{2}{3} \end{array}\)

    रेखा से लंबवत किसी भी रेखा में एक ढलान\(l\) होना चाहिए जो उसके ढलान के प्रति नकारात्मक पारस्परिक हो। \(m_l = \dfrac{2}{3}\)तब से लाइन के लंबवत रेखा का ढलान\(l\) होना चाहिए\(m = −\dfrac{3}{2}\)

    व्यायाम Template:index

    निर्धारित करें कि दी गई रेखाएं लंबवत हैं या नहीं।

    1. \(l\)वह रेखा जो बिंदुओं से होकर गुजरती है\((0, 4)\)\((5, 3)\) और\(q\) वह रेखा जो बिंदुओं से होकर गुजरती\((−1, −5)\) है\((1, 5)\) और।
    2. \(l\)वह रेखा जो बिंदुओं से होकर गुजरती है\((−2, −5)\)\((1, 7)\) और\(q\) वह रेखा जो बिंदुओं से होकर गुजरती\((−3, −3)\) है\((−4, 1)\) और।
    व्यायाम Template:index

    लम्बवत रेखा का ढलान ज्ञात करें:

    1. रेखा\(l\) जो बिंदुओं से होकर गुजरती\((−1, −2)\) है\((4, 2)\) और।
    2. रेखा\(q\) जो बिंदुओं से होकर गुजरती\((9, 1)\) है\((7, −8)\) और।