6.3: इंटरवल नोटेशन में निरपेक्ष मूल्य असमानताओं और लेखन उत्तरों को हल करना

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

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पिछले अनुभाग ने सिखाया कि निरपेक्ष मूल्य समीकरणों को कैसे हल किया जाए। यह खंड सिखाता है कि निरपेक्ष मूल्य असमानताओं को कैसे हल किया जाए। ऐसा करने के लिए, पहले निम्नलिखित दो गुणों पर विचार करें:

परिभाषा: निरपेक्ष मूल्य असमानताओं के गुण

संपत्ति 1: सभी सकारात्मक संख्याओं$b$ और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए$p$ और$q$,

$|a| < b$अगर और केवल अगर$−b < a < b$।

समाधान सेट फॉर्म का है$(p,q)$, एक खुला अंतराल।

$|a| ≤ b$अगर और केवल अगर$−b ≤ a ≤ b$।

समाधान सेट फॉर्म का है$[p,q]$, एक बंद अंतराल।

प्रॉपर्टी 2 पर विचार करने से पहले, दो अंतरालों के मिलन को परिभाषित करना महत्वपूर्ण है। किसी भी दो अंतरालों का मिलन$A$ और$B$, या$A$$B$, या दोनों में तत्वों का समूह है। संघ को प्रतीक के साथ दर्शाया गया है$∪$।

संपत्ति 2: सभी सकारात्मक संख्याओं$b$ और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए$p$ और$q$,

$|a| > b$अगर और केवल अगर$a < −b$ या$a > −b$

समाधान सेट फॉर्म का है$(−∞, p) ∪ (q, ∞)$, एक अलग अंतराल है।

$|a| ≥ b$अगर और केवल अगर$a ≤ −b$ या$a ≥ b$।

समाधान सेट फॉर्म का है$(−∞, p] ∪ [q, ∞)$, एक अलग अंतराल है।

ध्यान दें कि असमानताओं के गुणों को लागू करने से पहले, असमानता के दोनों ओर पूर्ण मूल्य अभिव्यक्ति को अलग करें।

उदाहरण Template:index

निम्नलिखित असमानताओं को हल करें और समाधान सेट को ग्राफ़ करें।

$|5x − 2| < 7$
$|8x − 6| < −1$
$2|x − 3| + 5 ≤ 9$

समाधान

यह फ़ॉर्म की सकारात्मक संख्या से कम एक निरपेक्ष मान अभिव्यक्ति$|a| < b$ है। संपत्ति 1 (i) को$a = 5x − 2$ और के साथ लागू करें$b = 7$।

$\begin{array} &&|5x − 2| < 7 &\text{Given} \\ &−7 < 5x − 2 < 7 &\text{Property 1 (i)} \end{array}$

असमानता को हल करने के लिए, अलग करें$x$। पिछला चरण बन जाता है,

$\begin{array} &&−5 < 5x < 9 &\text{Add \(2$सभी पक्षों के लिए}\\ &−1 < x <\ dfrac {9} {5} &\ text {$5$}\ end {array}\)

समाधान सेट एकल खुला अंतराल है$\left(−1, \dfrac{9}{5} \right)$ और ग्राफ नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

$clipboard_eee2ec390ebb3481038f3625204438819.png$

याद रखें कि किसी भी संख्या का निरपेक्ष मान संख्या रेखा पर उस संख्या$0$ से दूरी है। इसका अर्थ है, किसी भी संख्या का निरपेक्ष मान हमेशा उससे अधिक या उसके बराबर होता है$0$।

यह उदाहरण देता$|8x − 6| < −1,$ है कि ऐसा नहीं हो सकता क्योंकि दूरी कभी नकारात्मक नहीं होती है। इसलिए, निरपेक्ष मूल्य असमानता का कोई समाधान नहीं है और समाधान सेट खाली सेट है, जिसे लिखा गया है$\phi$।

हल करने के लिए$2|x − 3| + 5 ≤ 9$, निरपेक्ष मान को अलग करें।

$\begin{array} &&2|x − 3| + 5 ≤ 9 &\text{Given} \\ &2|x − 3| ≤ 4 &\text{Subtract \(5$दोनों तरफ से}\\ &|x − 3| ≤ 2 &\ text {दोनों तरफ से विभाजित करें$2$}\ end {array}\)

अब, फॉर्म का$|x − 3| ≤ 2$ है$|a| ≤ b$। संपत्ति 1 (ii) को$a = x − 3$ और के साथ लागू करें$b = 2$।

$\begin{array} &&|x − 3| ≤ 2 & \\&− 2 ≤ x − 3 ≤ 2 &\text{Property 1(ii)} \\ &1 ≤ x ≤ 5 & \end{array}$

समाधान सेट एकल अंतराल है$[1, 5]$ और ग्राफ नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

$clipboard_e335bc0a4c68c53a86ca3273caf045e67.png$

उदाहरण Template:index

समाधान सेट को हल करें और ग्राफ़ करें।

$\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3$
$2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5$
$|2 − 4x| ≥ −7$

समाधान

निरपेक्ष मूल्य असमानता$\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3$ किस रूप में है$|a| ≥ b$। असमानता को हल$b = 3$ करने के लिए$a = \dfrac{6 − x}{10}$ और उसके साथ संपत्ति 2 (ii) लागू करें।

$\begin{array} & & &\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3 &&\text{Given} \\ &\dfrac{6 − x}{10} ≤ −3 &\text{ or } &\dfrac{6 − x}{10} ≥ 3 &\text{Property 2 (ii)} \\ &6 − x ≤ −30 &\text{ or } &6 − x ≥ 30 &\text{Multiply by \(10$दोनों तरफ}\\ &−x ≤ −36 &\ text {या} &−x ≥ 24 &\ टेक्स्ट {दोनों तरफ$6$ से घटाएं}\\ &x ≥ 36 &\ text {या} &x ≤ −24 &\ text {गुणा$−1$}\ end {array}\)

ध्यान दें कि चूंकि असमानताओं को एक नकारात्मक संख्या से गुणा किया गया था$−1$, अर्थात्, असमानता की दिशा बदल गई।

समाधान सेट दो अंतरालों का मिलन है। इस प्रकार,$(−∞, −24] ∪ [36, ∞)$ समाधान अंतराल नोटेशन में सेट किया गया है। समाधान का ग्राफ नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

$clipboard_e994fe946d0c11e329dc3c0829b29b123.png$

निरपेक्ष मान को अलग करें।

$\begin{array} &&2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5 &\text{Given} \\ &7 < \left| \dfrac{3}{4} x − 3 \right| &\text{Add \(5$दोनों तरफ}\ end {array}\)

ध्यान दें कि उपरोक्त असमानता को दाएं से बाएं पढ़ा जाता है क्योंकि “अभिव्यक्ति का निरपेक्ष मान इससे बड़ा$\dfrac{3}{4} x − 3$ है$7$” या समकक्ष रूप से निरपेक्ष मूल्य असमानता के क्रम को स्विच करने के लिए स्विच करें$\dfrac{3}{4} x − 3 > 7$, जो हल करने के लिए एक अधिक परिचित रूप है।

अब, फॉर्म का$\dfrac{3}{4} x − 3 > 7$ है$|a| > b$। और के साथ प्रॉपर्टी 2 (ii) का उपयोग$a = \dfrac{3x}{4} − 3$ करें$b = 7$।

$\begin{array} && &\dfrac{3}{4} x − 3 > 7 &&\text{Given} \\ &\dfrac{3}{4} x − 3 < −7 &\text{ or } &\dfrac{3}{4}x − 3 > 7 &\text{Property 2 (ii)}\\ &\dfrac{3}{4} x < −4 &\text{ or } &\dfrac{3}{4} x > 10 &\text{Add \(3$सभी पक्षों के लिए}\\ &x < −\ dfrac {16} {3} &\ text {or} &x >\ dfrac {40} {3} &\ text {दोनों तरफ से गुणा करें$\dfrac{4}{3}$.} \ end {array}\)

समाधान सेट दो अंतरालों का मिलन है$(− ∞, −\dfrac{16}{3}] ∪ [\dfrac{40}{3}, ∞)$। समाधान का ग्राफ नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है

$clipboard_efb943e2ff7407d1b4777246c86c52bee.png$

चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या से हमेशा बड़ा या$x$ उसके बराबर$0$ होता$|2 − 4x|$ है, इसलिए सभी वास्तविक संख्याओं के लिए पूर्ण मूल्य असमानता सही होती है। कोई भी वास्तविक संख्या, नकारात्मक या सकारात्मक$x$ होने दें, फिर निरपेक्ष मान$0$ या तो एक सकारात्मक संख्या होगी।

इसलिए, समाधान सेट नंबर लाइन पर सभी वास्तविक संख्याएं हैं, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। अंतराल नोटेशन में सेट किया गया समाधान है$(−∞, ∞)$।

$clipboard_e0e607828723541fb83638051b94dbe29.png$

व्यायाम Template:index

निम्नलिखित असमानताओं को हल करें, अंतराल नोटेशन में उत्तर लिखें, और समाधान सेट को ग्राफ़ करें:

$|−6x + 1| < 20$
$\left| \dfrac{2}{3} x + 5 \right| > 5$
$\left| 5 − \dfrac{1}{4} x \right| < −71$
$2 \left| − x + \dfrac{4}{5} \right| ≤ \dfrac{5}{2}$
$−\dfrac{1}{7} < |x + 10| − 10$
$|−12 − 3x| < −0.6$
$\left|\dfrac{16 − 2x}{8} \right| ≥ 11$
$|2 − 6x| − 5 ≥ −9$
$\left| \dfrac{2}{3} x − \dfrac{1}{4} \right| ≤ \dfrac{1}{12}$
$|.02x + 5| < .02$
$\left| \dfrac{1}{2} − x \right| < 8$
$| − 6x + 9| − 5 < −6$