6.2: निरपेक्ष मूल्य समीकरणों को हल करना

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

निरपेक्ष मूल्य समीकरणों को हल करने के लिए, पहले निरपेक्ष मान के निम्नलिखित दो गुणों पर विचार करें:

परिभाषा: निरपेक्ष मान के गुण

संपत्ति 1: के लिए$b > 0$,$|a| = b$ अगर और केवल अगर$a = b$ या$a = −b$

संपत्ति 2: किसी भी वास्तविक संख्या के लिए$a$ और$b$,$|a| = |b|$ यदि और केवल अगर$a = b$ या$a = −b$

प्रॉपर्टी 1 लागू होने से पहले, समीकरण के दोनों ओर निरपेक्ष मान अभिव्यक्ति को अलग करें।
उन्हें वापस मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके समाधानों की जांच करें।
समाधान फ़ॉर्म के समाधान सेट के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं$\{p, q\}$, जहां$p$ और कोई वास्तविक संख्याएं$q$ हैं।
निरपेक्ष मान समीकरण के समाधान सेट को संख्या रेखा पर बिंदुओं के रूप में ग्राफ़ किया गया है।

उदाहरण Template:index

प्रत्येक समीकरण को हल करें और समाधान सेट को ग्राफ़ करें।

$|x| = 7$
$|5x – 3| = 2$
$|20 – x| = −80$

समाधान

हल करने के लिए$|x| = 7$, प्रॉपर्टी 1 को$a = x$ और के साथ लागू करें$b = 7$।

इसलिए, समाधान हैं,$x = −7$ और$x = 7$, और समाधान सेट है$\{-7,7\}$। समाधान सेट का ग्राफ नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

$clipboard_e4e661622afb19f733118b1049d678a57.png$

भाग ए में उपयोग की जाने वाली समीकरण-सुलझाने की विधि को इस भाग में दिए गए समीकरण तक$a = 5x – 3$ और के साथ बढ़ाया जा सकता$b = 2$ है।

इस प्रकार, निरपेक्ष मान समीकरण$|5x – 3| = 2$ इसके बराबर है:

$\begin{array} &&5x − 3 = 2 &\text{ or } &5x − 3 = −2 &\text{Property 1} \\ &5x = 5 &\text{ or } &5x = 1 &\text{Add \(3$समीकरणों के दोनों किनारों पर}\\ &x = 1 &\ text {या} &x =\ dfrac {1} {5} &\ text {समीकरणों के$5$ दोनों ओर से विभाजित करें}\ end {array}\)

अब, जाँचें कि क्या दिए गए निरपेक्ष मूल्य समीकरण के समाधान$x = \dfrac{1}{5}$ हैं$x = 1$ और क्या हैं।

$\begin{array} &&\text{For } x = 1 &\text{For } x = \dfrac{1}{5} &\\ &|5x − 3| = 2 &|5x − 3| = 2 &\text{Given} \\ &|5(1) − 3| \stackrel{?}{=} 2 &|5 \left( \dfrac{1}{5} \right) − 3| \stackrel{?}{=} 2 &\text{Substitute the \(x$-मूल्य}\\ &|5 − 3|\ stackrel {?} {=} 2 &|1 − 3|\ stackrel {?} {=} 2 &\ टेक्स्ट {सरल बनाएं}\\ &|2|\ stackrel {?} {=} 2 &|- 2|\ stackrel {?} {=} 2 &\ टेक्स्ट {निरपेक्ष मान परिभाषा लागू करें}\\ &2 = 2\;\ चेकमार्क &2 = 2\;\ चेकमार्क\ end {array}\)

चूंकि उपरोक्त समीकरण सत्य हैं, तब,$x = 1$ और दिए गए निरपेक्ष मूल्य समीकरण के समाधान$x = \dfrac{1}{5}$ हैं। समाधान सेट है$\left\{\dfrac{1}{5} , 1\right\}$। समाधान सेट का ग्राफ नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

$clipboard_e78f4a9bbcf248134874230631b7dada3.png$

चूंकि एक निरपेक्ष मान कभी भी नकारात्मक नहीं हो सकता है, इसलिए कोई वास्तविक संख्या नहीं है$x$ जो$|20 – x| = −80$ सही हो। समीकरण का कोई हल नहीं है और समाधान सेट है$∅$।

उदाहरण Template:index

समाधान सेट को हल करें और ग्राफ़ करें।

$\left| \dfrac{4}{3} x + 3 \right| + 8 = 18$
$4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| − 5 = −5$
$|4x – 3| = |x + 6|$

समाधान

ध्यान दें कि निरपेक्ष मान अभिव्यक्ति अलग नहीं है जिसका अर्थ है कि गुणों को लागू नहीं किया जा सकता है। सबसे पहले, समीकरण के बाईं$\left| \dfrac{4}{3}x + 3 \right|$ ओर अलग करें, फिर, संपत्ति 1 लागू करें।

$\begin{array} &&\left| \dfrac{4}{3} x + 3 \right| + 8 = 18 &\text{Given equation} \\ & \left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10 &\text{Subtract \(8$समीकरण के दोनों ओर से}\ end {array}\)

अब अलग किए गए निरपेक्ष मान के साथ, संपत्ति 1$\left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10$ का उपयोग करके हल करें, इसके साथ$a = \dfrac{4}{3} x + 3$ और$b = 10$ निम्नानुसार,

$\begin{array} && &\left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10 & & \\ &\dfrac{4}{3} + 3 = 10 &\text{ or } & \dfrac{4}{3} + 3 = -10 &\text{Property 1} \\ &\dfrac{4}{3} x = 7 &\text{ or } &\dfrac{4}{3}x = −13 &\text{Subtract \(3$दोनों तरफ से}\\ &x =\ dfrac {21} {4} और\ text {या} &x = −\ dfrac {39} {4} और\ text {दोनों तरफ से गुणा करें$\dfrac{3}{4}$}\ end {array}\)

समाधानों की जांच करें$x = −\dfrac{39}{4}$ और उन्हें मूल निरपेक्ष मूल्य समीकरण में प्रतिस्थापित$x = \dfrac{21}{4}$ करके देखें। समाधान सेट है$\left\{ −\dfrac{39}{4}, \dfrac{21}{4} \right\}$ और समाधान सेट का ग्राफ नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

$clipboard_e42b1bbc90f71c52e8a95664a185e2c67.png$

भाग a के समान, निरपेक्ष मान अभिव्यक्ति को अलग करें। इसलिए, पहले समीकरण के बाईं$\left| \dfrac{1}{3} x − 6 \right|$ ओर अलग करें और संपत्ति 1 लागू करें।

$\begin{array} &&4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| − 5 = −5 &\text{Given equation} \\ &4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| = 0 &\text{Add \(5$समीकरण के दोनों ओर}\\ &\ बाएं|\ dfrac {1} {3} x − 6\ दाएं| = 0 &\ text {समीकरण के$4$ दोनों ओर से विभाजित करें}\ end {array}\)

निरपेक्ष मान पृथक है। चूंकि एकमात्र संख्या$0$ है जिसका निरपेक्ष मान है$0$, अभिव्यक्ति इसके बराबर$\dfrac{1}{3}x − 6$ होनी चाहिए$0$। इसलिए,

$\begin{array} &&\dfrac{1}{3}x − 6 = 0 & \\ &\dfrac{1}{3}x − 6 &\text{Add \(6$समीकरण के दोनों ओर}\\ &x = 18 &\ text {दोनों पक्षों को$3$}\ end {array}\) से गुणा करें

समाधान है$18$ और समाधान सेट है$\{18\}$। सत्यापित करें कि यह मूल समीकरण को संतुष्ट करता है। समाधान सेट का ग्राफ नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

$clipboard_e2acd5153df84bfef5569962926db627b.png$

$|4x − 7| = |x + 14|$ध्यान दें कि हल करने के लिए$|4x − 7| = |x + 14|$, संपत्ति 2 का उपयोग$a = 4x − 7$ और के साथ करें$b = x + 14$।

$\begin{array} && &|4x − 7| = |x + 14| & &\text{Given} \\ &4x−7 = x+14 &\text{ or } &4x − 7 = −(x + 14) &\text{Property 2} \\ &4x−7 = x+14 &\text{ or } &4x − 7 = −x − 14 &\text{Distribute \(−1$सही समीकरण को सरल बनाने के लिए}\\ &4x = x + 21 &\ text {या} &4x = −x − 7 &\ text {प्रत्येक समानता के दोनों पक्षों में जोड़ें$7$}\\ &3x = 21 &\ text {या} &5x = −7 &\ text {सरल}\\ x = 7 &\ text {या} &x = −\ dfrac {7} {5} &\} पाठ {प्रत्येक समीकरण को विभाजित करें $x$-गुणांक}\ end {सरणी}\)

समाधानों की जांच करें$x = −\dfrac{7}{5}$ और उन्हें मूल निरपेक्ष मूल्य समीकरण में प्रतिस्थापित$x = 7$ करके देखें। समाधान सेट है$\left\{ −\dfrac{7}{5}, 7\right\}$। समाधान का ग्राफ नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

$clipboard_eb0f0ab26e578678046e463bf1d8ac854.png$

व्यायाम Template:index

प्रत्येक समीकरण को हल करें, समाधान की जांच करें और समाधान सेट को ग्राफ़ करें।

$|x| = 19$
$|x − 4| = 10$
$|2x − 5| = 12$
$\left|\dfrac{x}{11} \right| = 2.5$
$|x − 3.8| = −2.7$
$|3x − 4.5| = 9.3$
$\dfrac{8}{3} |x − 6| = 14$
$|x + 15| − 19 = 7$
$|11x + 3| + 28 = 16$
$ \left| \dfrac{8}{7} x + 9 \right| − 2 = 8$
$ −3|2x − 7| + 13 = 13$
$ 8 − 5|10x + 6| = 5$
$ |5x − 14| = |3x − 9|$
$ |15x| = |x − 21|$
$ |4x − 7| = |5(2x + 3)|$
$ \dfrac{7}{8} = \dfrac{3x}{2} + \dfrac{2x}{5}$