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5.9: तर्कसंगत प्रतिपादक

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    एक्सपोनेंट हमेशा पूर्णांक नहीं होते हैं। यह खंड उन मामलों की जांच करेगा जहां एक प्रतिपादक एक तर्कसंगत संख्या है। जब एक प्रतिपादक एक तर्कसंगत संख्या होता है, तो अभिव्यक्ति को एक कट्टरपंथी के साथ अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जा सकता है। नियम यह है कि अपने उत्तर को मूल समस्या के समान रूप में लिखें (यदि आप एक्सपोनेंट्स से शुरू करते हैं, तो एक्सपोनेंट्स के साथ समाप्त होते हैं, या यदि आप रेडिकल्स से शुरू करते हैं, तो रेडिकल्स के साथ समाप्त होते हैं)।

    परिभाषा: प्रपत्र के तर्कसंगत प्रतिपादक\(\dfrac{1}{n}\)

    किसी भी वास्तविक संख्या\(a\) और किसी भी पूर्णांक संख्या के लिए\(n\), एक्सपोनेंट के साथ एक अभिव्यक्ति को निम्नलिखित के रूप में व्यक्त किया जा\(\dfrac{1}{n}\) सकता है

    \[a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \nonumber \]

    नोट: रेडिकल में सूचकांक\(n\) है। \(\sqrt[n]{a}\)पढ़ता है "ए की नौवीं जड़”

    नोट: जब रेडिकल में दृश्यमान अनुक्रमणिका नहीं होती है, तो डिफ़ॉल्ट रूप से अनुक्रमणिका\(2\) (वर्गमूल) होती है। इससे अधिक सूचकांक रेडिकल पर अंकित\(2\) होंगे।

    उदाहरण Template:index
    1. \((4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\)\(\text{Index is \(2\)डिफ़ॉल्ट रूप से}\)
    2. \( (x)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{x}\)\(\text{Index is \(7\)}\)
    3. \((−3y)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{(-3y)}\)\(\text{Index is \(3\)}\)

    अब, आइए देखें कि क्या होता है जब प्रतिपादक अंश के साथ एक तर्कसंगत संख्या होती है\(\neq 1\)।

    परिभाषा: प्रपत्र के तर्कसंगत प्रतिपादक\(\dfrac{m}{n}\)

    किसी भी वास्तविक संख्या\(a\) और किसी भी पूर्णांक संख्या के लिए\(n\) और\(m\), एक्सपोनेंट के साथ एक अभिव्यक्ति को निम्नलिखित के रूप में व्यक्त किया जा\(\dfrac{m}{n}\) सकता है

    \[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \text{ or } (\sqrt[n]{a})^m \nonumber \]

    नोट:\(n\) रेडिकल में सूचकांक\(m\) है और आधार की शक्ति है।

    उदाहरण Template:index

    निम्नलिखित को कट्टरपंथी रूप में लिखें

    1. \((x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2\)\(\text{Index is \(3\)और आधार को\(2\).}\) की शक्ति तक बढ़ाया जाता है
    2. \((5t)^{\frac{7}{8}} = \sqrt[8]{5t^7} = (\sqrt[8]{5t})^7\)\(\text{Index is \(8\)और आधार को\(7\) सत्ता में उठाया जाता है।}\)
    3. \((x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2\)\(\text{Index is \(3\)और आधार को सत्ता में उठाया गया\(2\)।}\)
    4. \(\begin{array} &&(z)^{−\frac{5}{9}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Given} \\ &= \dfrac{1}{(z)^{\frac{5}{9}}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Negative exponent rule applied} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt[9]{x^5}} \text{ or } \left( \dfrac{1}{\sqrt[9]{x}} \right)^5 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Rational exponent written as a radical.} \end{array}\)
    5. \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{5}{7}} = \sqrt[7]{\dfrac{3}{4}^5}\)\(\text{Rational exponent written as radical with index \(7\)और आधार को\(5\).}\) की शक्ति तक उठाया गया
    व्यायाम Template:index

    निम्नलिखित को कट्टरपंथी रूप में लिखें।

    1. \((x)^{\frac{5}{7}}\)
    2. \((xy)^{\frac{9}{8}}\)
    3. \((x)^{\frac{9}{5}}\)
    4. \((z)^{−\frac{11}{13}}\)
    5. \(\left( \dfrac{x}{4} \right)^{\frac{6}{9}}\)
    6. \(6(y)^{\frac{1}{17}}\)
    7. \((6y)^{\frac{1}{17}}\)
    8. \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{x}{y}}\)
    9. \(\left( \dfrac{7}{4} \right)^{(−\frac{x}{y})}\)