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5.8: प्रतिपादकों के लिए एक भागफल नियम की शक्ति

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    प्रतिपादकों के लिए एक भागफल नियम की शक्ति इस बात पर ध्यान केंद्रित करेगी कि भागफल के साथ क्या होता है जब उसे किसी शक्ति तक उठाया जाता है।

    परिभाषा: एक्सपोनेंट्स के लिए एक कोटिएंट नियम की शक्ति

    किसी भी वास्तविक संख्या\(a\)\(b\) और किसी भी पूर्णांक के लिए\(n\), प्रतिपादकों के लिए भागफल नियम की शक्ति निम्नलिखित है:

    \(\left( \dfrac{a }{b} \right)^n = \dfrac{a^n }{b^n }\),

    कहाँ पे\(b \neq 0\)।

    प्रतिपादकों के लिए भागफल नियम की शक्ति का उपयोग करके निम्नलिखित को सरल बनाएं।

    उदाहरण Template:index

    प्रतिपादकों के लिए भागफल नियम की शक्ति का उपयोग करके निम्नलिखित को सरल बनाएं।

    \(\left( \dfrac{a }{b} \right)^4\)

    समाधान

    \(\begin{aligned} &\left( \dfrac{a}{ b} \right)^4 && \text{Given} \\ &= \dfrac{a }{b} \cdot \dfrac{a }{b} \cdot \dfrac{a }{b} \cdot \dfrac{a }{b} &&\text{Expand using the exponent definition} \\ &= \dfrac{a^4 }{b^4} && \text{Multiply as needed to simplify} \end{aligned}\)

    उदाहरण Template:index

    \(\left(\dfrac{x^2 }{3y^5} \right)^3\)

    समाधान

    \(\begin{aligned} &\left( \dfrac{x^2 }{3y^5 }\right)^3 && \text{Given} \\ &= \dfrac{x^{2\cdot 3 }}{3^3 \cdot y^{5\cdot 3 }} && \text{power of quotient rule for exponents applied} \\ &= \dfrac{x^6 }{3^3 \cdot y^{15 }} &&\text{Simplify exponent product} \\ &= \dfrac{x^6 }{27y^{15 }} && \text{Multiply as needed to simplify.} \end{aligned}\)

    उदाहरण Template:index

    \(\left( \dfrac{2x }{y }\right)^{−3}\)

    समाधान

    \(\begin{aligned} &\left( \dfrac{2x }{y }\right)^{−3 } &&\text{Given} \\ &= \left( \dfrac{y }{2x} \right)^3 && \text{Negative exponent rule applied} \\ &= \dfrac{y^3 }{2^3 \cdot x^3} && \text{Power of a quotient rule for exponents applied.} \\ &= \dfrac{y^3 }{8x^3 } && \text{Multiply as needed to simplify.} \end{aligned}\)

    जिस क्रम में प्रतिपादकों के नियम लागू होते हैं, उससे कोई फर्क नहीं पड़ता। उदाहरण तीन में, चरण 2 और 3 किसी भी क्रम में किए जा सकते हैं। परिणाम वही होंगे।

    व्यायाम Template:index

    प्रतिपादकों के लिए भागफल नियम की शक्ति का उपयोग करके अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

    1. \(\left( \dfrac{p^4 }{p^7 }\right) ^3\)
    2. \(−\left(\dfrac{ x^2 \cdot x^3 }{x \cdot y^3} \right) ^2\)
    3. \(\left( \dfrac{5x^3 }{2y^{13 }}\right) ^{−2}\)
    4. \(\left( \dfrac{2c^3}{ c^4} \right) ^3\)
    5. \(\left( \dfrac{a ^{−7}b }{a^2b^{−4 }}\right)^3\)
    6. \(\left( \dfrac{f^{−7 }}{f^5 }\right)^9\)
    7. \(\left(\dfrac{ xy^2z^3}{ x^3y^2z} \right) ^5\)