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5.3: प्रतिपादकों का भागफल नियम

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    परिभाषा: प्रतिपादकों के लिए भागफल नियम

    किसी भी वास्तविक संख्या\(a\) और सकारात्मक संख्या के लिए\(m\) और\(n\), कहाँ\(m > n\)।

    एक्सपोनेंट्स के लिए कोटिएंट नियम निम्नलिखित है।

    \(\dfrac{a^m }{a^n} = a^{ m−n}\)

    नोट: आधार समान होने चाहिए। परिणाम का एक ही आधार होगा।

    आइडिया:

    पिछले भाग से,

    \(x^3 = \textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x} \qquad x^5 = \textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}\)

    उनका भागफल

    \(\dfrac{x^ 5 }{x^3} = \dfrac{\textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}{\textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x }}= \dfrac{\textcolor{red}{\cancel{x \cdot x\cdot x \cdot x }\cdot x }}{\textcolor{blue}{\cancel{x \cdot x\cdot x }}}= \dfrac{\textcolor{red}{x \cdot x }}{1} = \textcolor{red}{x \cdot x}\)।

    इसलिए,\(\dfrac{x^5 }{x^3 }= x^{5−3 }= x^2\)

    उदाहरण Template:index

    अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए एक्सपोनेंट्स के भागफल नियम का उपयोग करना।

    1. \(\dfrac{k^3 }{k^2}\)
    2. \(\dfrac{r^{32} }{r^{21}}\)
    3. \(\dfrac{\sqrt{2}^ 7 }{\sqrt{2 }^4}\)
    4. \(\dfrac{(−7)^9 }{(−7)^6}\)
    5. \(\dfrac{(x \sqrt{5})^8 }{x\sqrt{ 5}}\)
    6. \(\dfrac{(xy)^{18} }{(xy)^{17}}\)
    समाधान
    एक्सप्रेशन कोटिएंट नियम बेस
    \(\dfrac{k^3 }{k^2}\) \(k^{3−2 }= k\) \(k\)
    \(\dfrac{r^{32} }{r^{21}}\) \(r^{32−21 }= r^{11}\) \(r\)
    \(\dfrac{\sqrt{2}^ 7 }{\sqrt{2 }^4}\) \(\sqrt{2 }^{7−4 }= \sqrt{2 }^3\) \(\sqrt{2}\)
    \(\dfrac{(−7)^9 }{(−7)^6}\) \((−7)^{9−6 }= (−7)^3\) \(-7\)
    \(\dfrac{(x \sqrt{5})^8 }{x\sqrt{ 5}}\) \((x \sqrt{5})^{8−1 }= (x \sqrt{5})^7\) \(x\sqrt{5}\)
    \(\dfrac{(xy)^{18} }{(xy)^{17}}\) \((xy)^{18−17 }= xy\) \(xy\)

    नोट: इस खंड में अंश का प्रतिपादक भाजक के प्रतिपादक से अधिक था। हमेशा ऐसा नहीं रहेगा। जिस मामले में भाजक अंश में प्रतिपादक अंश में प्रतिपादक से अधिक है, उस पर बाद के अनुभाग में चर्चा की जाएगी।

    व्यायाम Template:index

    दी गई अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए एक्सपोनेंट्स के भागफल नियम का उपयोग करें।

    1. \(\dfrac{−y ^{13} }{−y^7}\)
    2. \(\dfrac{(2x)^{25}}{ 2x}\)
    3. \(\dfrac{\sqrt{7 }^{17 }}{\sqrt{7 }^{12}}\)
    4. \(\dfrac{(−7)^9 }{(−7)^6}\)
    5. \(\dfrac{(x + y) ^{78}}{ (x + y)^{43}}\)
    6. \(\dfrac{\sqrt{xy }^{15 }}{\sqrt{xy }^{11}}\)