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5.4: जीरो एक्सपोनेंट नियम

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    खंड 5.3 में, अंश में संख्या का प्रतिपादक हमेशा भाजक में संख्या के प्रतिपादक से अधिक था।

    खंड 5.4 में, अंश में संख्या का प्रतिपादक उस संख्या के प्रतिपादक के बराबर होगा।

    परिभाषा: शून्य एक्सपोनेंट नियम

    किसी भी वास्तविक संख्या के लिए\(a\), शून्य एक्सपोनेंट नियम निम्नलिखित है

    \(a^0= 1\)

    आइडिया:

    पिछले अनुभागों से:

    \[x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \nonumber \]

    और

    \[\dfrac{x^5 }{x^5} =\dfrac{ x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }= \dfrac{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}{\cancel{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}= 1 \nonumber \]

    अत,

    \[\dfrac{x ^5 }{x^5} = x^{5−5 }= x^0=1 \nonumber \]

    उदाहरण Template:index

    अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए शून्य एक्सपोनेंट नियम का उपयोग करें।

    1. \(\dfrac{x^9 }{x^9}\)
    2. \(\dfrac{d^5 }{d^2 \cdot d^3}\)
    3. \(\dfrac{5(xy)^3 }{(xy)^3}\)
    4. \(-\dfrac{y^3 }{\sqrt{5}y^3}\)
    5. \(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^2 \cdot (ab^2)^4 ˙(ab^2)}\)
    समाधान
    एक्सप्रेशन शून्य एक्सपोनेंट नियम
    \(\dfrac{x^9 }{x^9}\) \(x^{9−9} = x^0 = 1\)
    \(\dfrac{d^5 }{d^2 \cdot d^3}\) \(\dfrac{d^5 }{d^{2+3 }}= \dfrac{d^5 }{d^5} = d^{5−5 }= d^{0} = 1\)
    \(\dfrac{5(xy)^3 }{(xy)^3}\)

    \(5 \cdot \dfrac{(xy)^3 }{(xy)^3 }= 5 \cdot (xy)^{3−3 }= 5 \cdot (xy)^0 = 5 \cdot 1 = 5 \)

    निरंतर 5, को सामान्य आधारों को स्पष्ट रूप से देखने के लिए अलग किया जा सकता है।
    \(-\dfrac{y^3 }{\sqrt{5}y^3}\)

    \(− \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot \dfrac{y^3 }{y^3 }= − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot y ^{3−3 }= − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot y^0 = − \dfrac{1}{ \sqrt{5}} \cdot 1 = − \dfrac{1}{ \sqrt{5}}\)

    सामान्य आधारों को स्पष्ट रूप से देखने के लिए स्थिरांक\(−\left( \dfrac{1 }{\sqrt{5}}\right )\) को अलग किया जा सकता है।
    \(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^2 \cdot (ab^2)^4 ˙(ab^2)}\)

    \(\dfrac{(ab^2 )^7 }{(ab^2)^{2+4+1}}= \dfrac{(ab^2 )^7}{ (ab^2)^7} = (ab^2 )^{7−7 }= (ab^2 )^0 = 1\)

    सबसे पहले, एक्सपोनेंट के उत्पाद नियम का उपयोग करके भाजक को सरल बनाएं। फिर शेष अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए एक्सपोनेंट्स के भागफल नियम का उपयोग करें।

    नोट: 1 के बराबर\(0^0\) नहीं है। यह एक विशेष मामला है जो उन्नत पाठ्यक्रमों में शामिल है। अभी के लिए अपरिभाषित\(0^0\) होने पर विचार करें।

    एक्सपोनेंट्स के साथ अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए उपयोगी कदम

    1. सामान्य आधारों को पहचानें
    2. यदि आवश्यक हो, तो एक्सपोनेंट के उत्पाद नियम का उपयोग करके सामान्य आधारों को मिलाएं।
    3. यदि अभिव्यक्ति में अंश और भाजक दोनों में सामान्य आधार शामिल हैं, तो आवश्यकतानुसार एक्सपोनेंट्स के भागफल नियम का उपयोग करें।
    व्यायाम Template:index

    निम्नलिखित को सरल बनाने के लिए इस अध्याय में अब तक शामिल किए गए एक्सपोनेंट्स के सभी नियमों का उपयोग करें।

    1. \(\dfrac{z ^4 }{z^ 4}\)
    2. \(\dfrac{d^2 \cdot d^8}{ d^7 \cdot d^3}\)
    3. \(\dfrac{5(x + y)^3 }{2(x + y)^3}\)
    4. \(−\dfrac{\sqrt{9}{y^3 }}{y^3}\)
    5. \(\dfrac{(a^3b^2 )^9}{ (a^3b^2)^3 \cdot (a^3b^2)^4 ˙(a^3b^2)^2}\)
    6. \(\dfrac{(xyz)^{19} }{(xyz)^{19}}\)