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5.2: प्रतिपादकों के लिए उत्पाद नियम

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    परिभाषा: एक्सपोनेंट्स के लिए उत्पाद नियम

    किसी भी वास्तविक संख्या\(a\) और सकारात्मक संख्या के लिए\(n\),\(m\) और, प्रतिपादकों के लिए उत्पाद नियम निम्नलिखित है।

    \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)

    नोट: उत्पाद नियम का उपयोग करने के लिए आधार समान होने चाहिए।

    आइडिया:

    पिछले भाग से,\(x^3 = \textcolor{blue}{ x \cdot x \cdot x }\qquad x^5 = \textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}\)

    उनका उत्पाद

    \(x^3 \cdot x^5 = \textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x} \textcolor{red}{\cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x} = x^8\)

    अत,\(x^3 \cdot x^5 = x^{3+5 }= x^8\)

    उदाहरण Template:index

    अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए एक्सपोनेंट्स के उत्पाद नियम का उपयोग करें।

    1. \(k^3 \cdot k^9\)
    2. \(\left(\dfrac{2 }{7}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{2 }{7}\right)^6\)
    3. \((−2a)^3 \cdot (−2a)^7\)
    4. \(x \cdot x^3 \cdot x^{11}\)
    5. \(y^{13 }\cdot y^{33}\)
    6. \(x^3 \cdot y^2 \cdot x \cdot y^4\)
    समाधान
    एक्सप्रेशन उत्पाद नियम बेस
    \(k^3 \cdot k^9\) \(k^{3+9}= k^{12}\) \(k\)
    \(\left(\dfrac{2 }{7}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{2 }{7}\right)^6\) \(\left( \dfrac{2 }{7}\right)^{2+6 }= \left(\dfrac{2 }{7}\right)^8\) \(\dfrac{2}{7}\)
    \((−2a)^3 \cdot (−2a)^7\) \((−2a)^{3+7 }= (−2a)^{10}\) \(-2a\)
    \(x \cdot x^3 \cdot x^{11}\) \(x ^{1+3+11 }= x^{15}\) \(x\)
    \(y^{13 }\cdot y^{33}\) \(y^{13+33 }= y^46\) \(y\)
    \(x^3 \cdot y^2 \cdot x \cdot y^4\) \(x^{3+1 }\cdot y ^{2+4 }= x^{ 4 }\cdot y^{6}\) \(x\)और\(y\)

    नोट: फिर से, एक्सपोनेंट के उत्पाद नियम का उपयोग करके सरल बनाने के लिए आधारों को समान होना चाहिए

    एक्सपोनेंट्स के उत्पाद नियम का उपयोग करके सरल बनाने के लिए उपयोगी कदम:

    1. सामान्य आधारों से शब्दों को पहचानें
    2. सामान्य आधारों के प्रतिपादक को पहचानें।
    3. सामान्य आधारों के एक्सपोनेंट जोड़ें और योग का परिणाम नया एक्सपोनेंट बनाएं।
    4. आवश्यकतानुसार चरणों को दोहराएं
    व्यायाम Template:index

    निम्नलिखित को सरल बनाने के लिए एक्सपोनेंट्स के उत्पाद नियम का उपयोग करें।

    1. \(f^3 \cdot f^11\)
    2. \(\left(\dfrac{x}{7}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{x }{7}\right)^3\)
    3. \((−7x)^9 \cdot (−7x)^7\)
    4. \(h^5 \cdot h^3 \cdot h^{11}\)
    5. \(t^{13} \cdot t^{33}\)
    6. \(x^8 \cdot y^2 \cdot z \cdot x^ 3 \cdot y^2 \cdot z^{17}\)
    7. \(x^3 \cdot y^4 \cdot x^3\)