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4.12: कार्यों के लागू उदाहरण

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    फ़ंक्शन के लागू उदाहरण (AKA शब्द समस्याएं!) कई रूप ले सकते हैं।

    इस अध्याय में समीक्षा की गई किसी भी प्रकार के फ़ंक्शन का उपयोग करने के लिए तैयार रहें।

    उदाहरण Template:index

    यदि कोई कर्मचारी 40 घंटे से अधिक काम करता है, तो गर्मियों की नौकरी ओवरटाइम के लिए डेढ़ समय देती है। 40 घंटों के बाद, कार्यकर्ता को\($12.00\) प्रति घंटे की दर से 1.5 गुना भुगतान किया जाता है।

    1. एक टुकड़ा-वार फ़ंक्शन लिखें और ग्राफ़ करें जो काम किए गए घंटों की संख्या के संदर्भ में साप्ताहिक वेतन P देता है hint: यह मुश्किल हो सकता है, इस बारे में सोचें कि 40 से ऊपर के घंटों की संख्या को कैसे व्यक्त किया जाए।
    2. 45 घंटे काम करते हुए कितना कमाया जाएगा?
    समाधान
    1. टुकड़ा-वार फ़ंक्शन लिखने के लिए:

    \(P (h) = \left\{\begin{array}{cc} 12h &0 < h \leq 40 \\ 12(40) + 1.5(12)(h − 40) &h > 40\end{array} \right.\)

    इस फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने के लिए, समाधानों की एक तालिका बनाएं:

    के लिए समाधान की तालिका\(P (h) = 12h \)

    डोमेन\(0 < h \leq 40\)
    \(h\) \(P(h)\)
    1 \($12.00\)
    दस \($120.00\)
    40 \($480.00\)

    के लिए समाधान की तालिका\(P (h) = 12(40) + 1.5(7)(h − 40) \)

    सरलीकृत\(P (h) = 18h − 240 \)

    डोमेन\(h > 40\)
    \(h\) \(P(h)\)
    ४१ 498
    ४५ 570
    50 ६०
    ६० 840
    clipboard_ef0cbdf88861b06f2927739d371a66cd0.png
    चित्र Template:index

    1. \($570.00\)45 घंटे के काम के लिए (समाधान की तालिका देखें)
    उदाहरण Template:index

    नासा ने\(t=0\) कुछ ही सेकंड में एक रॉकेट लॉन्च किया। समय के एक फ़ंक्शन के रूप में, समुद्र तल से मीटर ऊपर की मीटर में इसकी ऊंचाई दी गई है\(h(t) = −4.9t^2 + 46t + 227\)।

    1. यह मानते हुए कि रॉकेट समुद्र में छप जाएगा, स्प्लैशडाउन किस समय होता है?
    2. रॉकेट अपने चरम पर समुद्र तल से कितना ऊंचा हो जाता है?
    समाधान
    1. स्प्लैश डाउन पर\(h(t) = 0\), इसलिए फ़ंक्शन को 0 के बराबर सेट करें और इसके लिए हल\(t\) करें।

    \(0 = −4.9t 2 + 46t + 227\)

    इस समीकरण को हल करने के लिए क्वाड्रैटिक फॉर्मूला का उपयोग करें, के साथ\(a = −4.9\)\(b = 46\),\(c = 227\)

    \(\begin{aligned} t &= \dfrac{−46 \pm \sqrt{46^2 − 4(−4.9)(227) }}{2(−4.9) } && \text{Quadratic Formula} \\ t &= \dfrac{−46 \pm \sqrt{ 2116 + 4449.2 }}{−9.8 } &&\text{Simplify the radical} \\ t &= \dfrac{46 \pm \sqrt{ 6565.2 }}{9.8 } &&\text{Further simplify the radical, divide all terms by -1 (still have } \pm\text{ )} \\t &= \dfrac{46 \pm 81.026 }{9.8 } &&\text{Square root} \\ t &= \dfrac{46 + 81.026 }{9.8 } &&\text{Addition} \\ t &= \dfrac{46 − 81.026 }{9.8} && \text{Subtraction} \\ t& = 12.96 \text{ and } t = −3.57&& \text{Two solutions, reject negative solution because time cannot be negative} \\ t &= 12.96 \text{ seconds }&&\text{Final Answer} \end{aligned}\)

    1. रॉकेट अपने चरम पर समुद्र तल से कितना ऊंचा हो जाता है?

    द्विघात फ़ंक्शन के अग्रणी शब्द के गुणांक का संकेत\(h(t) = −4.9t^2 + 46t + 227\) दिखाता है कि पैराबोला किस तरह से खुलता है। गुणांक है\(−4.9\), और चूंकि यह नकारात्मक है, इसलिए द्विघात फ़ंक्शन नीचे की ओर खुलता है।

    अब हमें वर्टेक्स ढूंढना होगा। वर्टेक्स ऑर्डर की गई जोड़ी का वाई-वैल्यू दिखाएगा कि रेंज कहाँ से शुरू होती है।

    शीर्ष के साथ\(\left(− \dfrac{b }{2a} , f\left( −\dfrac{ b }{2a}\right) \right)\),\(a = −4.9\) और\(b = 46\)

    शीर्ष है\(\left(−\dfrac{ 46 }{2(−4.9) }, f\left( − \dfrac{46 }{2(−4.9)}\right)\right)\)

    शीर्ष वह है\((4.694, f (4.694))\) जो है\((4.694, (−4.9)(4.694)^2 + (46)(4.694) + 227 ))\) या\((4.694, 334.959)\)

    अपने चरम पर स्थित रॉकेट की ऊंचाई समुद्र तल से\(334.959\) मीटर ऊपर है।

    उदाहरण Template:index

    अलास्का क्रूज के लिए समूह की बिक्री को बढ़ावा देने के लिए, एक ट्रैवल एजेंसी समूह में प्रत्येक व्यक्ति के\($5\) लिए नियमित टिकट की\($4500\) कीमत कम कर देती है।

    1. यदि\(p\) लोग समूह में यात्रा करते हैं\(f(p)\), तो एक रैखिक समीकरण लिखें जो प्रति-व्यक्ति लागत देता है।
    2. 50 लोगों की लागत निर्धारित करने के लिए समीकरण का उपयोग करें।
    समाधान
    1. चूंकि प्रति व्यक्ति लागत प्रत्येक व्यक्ति के लिए समान राशि कम हो जाती है, इसलिए यह एक रैखिक समीकरण है।

    प्रति व्यक्ति लागत के साथ इसका उपयोग करें\(f(x) = mx + b\)\(f(p) = mp + b\), या इसे\(f(p)\) इस रूप में लिखें।

    \(f(p) = mp + b\)

    चूंकि समूह में प्रत्येक व्यक्ति के लिए प्रति व्यक्ति लागत $5 कम हो जाती है, यानी लाइन का ढलान।

    \(\begin{aligned} f(p)&= −5p + b && \text{Slope-intercept form of the equation of a line} \\ f(p) &= −5p + 4500 &&\text{The y-intercept is the starting point, so the regular ticket price of }$4500 {is the y-intercept} \\ f(p)& = −5p + 4500 && \text{Linear Equation} \end{aligned}\)

    1. 50 लोगों की लागत निर्धारित करने के लिए समीकरण का उपयोग करें।

    \(\begin{aligned} f(50) &= −5(50) + 4500 && \text{Replace p with 50 people in the Linear Equation} \\ f(50) &= −250 + 4500 &&\text{Simplify} \\ f(50) &= 4250 &&\text{Simplify} \\ \text{If }50 &\text{ people take the cruise, the cost per-person for the cruise is } $4250&&\text{Final Answer }\end{aligned}\)

    व्यायाम Template:index

    निम्नलिखित लागू फ़ंक्शन समस्याओं को पूरा करें:

    1. एक टेलर एक जैकेट के पीछे एक एथलीट का नाम सिलने के लिए\($5\) प्रति अक्षर\($20\) प्लस का मूल शुल्क लेता है।
      1. एक रेखीय समीकरण लिखिए, जिसमें एक जैकेट के पीछे x अक्षर वाले नाम की लागत का पता चलेगा।
      2. 11 अक्षरों वाले नाम की लागत क्या है?
    2. मेक्सिको के अकापुल्को में, एक लोकप्रिय पर्यटक आकर्षण पुरुषों को एक चट्टान से 75 फीट नीचे पानी की ओर गोता लगाते हुए देखना है। गोताखोर की ऊँचाई पानी के\(f(t)\) ऊपर (पैरों में), गोताखोरी के\(t\) कुछ सेकंड बाद, किसके द्वारा दी जाती है\(f(t) = −16t^2+75\)।
      • एक गोता कितने समय तक चलता है?
    3. एक निश्चित देश में, आयकर का मूल्यांकन इस प्रकार किया जाता है: आय पर कोई कर नहीं लगता है\($15000\)। अधिक से अधिक\($15000\) आय पर कर लगाया\($30000\) जाता है\(12%\)। इनकम ओवर पर टैक्स लगाया\($30000\) जाता है\(18%\)।
      1. उपरोक्त जानकारी का टुकड़ा-वार फ़ंक्शन लिखें और इसके ग्राफ़ को स्केच करें।
      2. की आय पर भुगतान की जाने वाली कर की राशि निर्धारित\($18000\) करें।