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4.9: कार्य संरचना

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    निम्नलिखित ग्राफ़िक एक बार फिर कैलावे, हॉफमैन और लिपमैन, 2013 की ओईआर पाठ्यपुस्तक बिजनेस कैलकुलस से है और इसका उपयोग अनुमति (क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन 3.0 यूनाइटेड स्टेट्स लाइसेंस) के साथ किया जाता है।

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    चित्र Template:index

    संरचना ऑपरेटर का उपयोग करने की तुलना में नोटेशन\(f(g(x))\) और समझना आसान\(g(f(x))\) हो सकता है। के लिए\(f(g(x))\), एक पैकेज लपेटने के बारे में सोचें। उपहार को बॉक्स में रखा जाता है (उपहार है\(g(x)\), बॉक्स है\(f(x)\)) और लपेटे गए उपहार में उपहार होता है\(g(x)\)।\(f(x)\)

    उदाहरण Template:index

    यदि\(f(x) = x^2 − 2\) और\(g(x) =\sqrt{x}\), तो ढूंढें:

    1. \(f(g(x))\)और समग्र फ़ंक्शन का डोमेन
    2. \(g(f(x))\)और समग्र फ़ंक्शन का डोमेन
    समाधान
    1. कार्यों की संरचना,\(f(g(x))\) यह है:

    \(\begin{aligned} f(g(x)) &&\text{ Function composition, }f \text{ of }g\text{ of }x \\ f(\sqrt{x}) &&\text{ Replace } g(x)\text{ with }\sqrt{x} \\ ( \sqrt{x})^2 − 2 && \text{ In the function } f(x)\text{, every }x \text{ is replaced with } g(x) =\sqrt{x} \\ x − 2 && f(g(x))\text{, answer simplified.} \end{aligned}\)

    कम्पोजिट फ़ंक्शन के डोमेन में आंतरिक फ़ंक्शन के डोमेन के प्रतिबंध, साथ ही समग्र फ़ंक्शन के प्रतिबंध शामिल हैं।

    आंतरिक फ़ंक्शन का डोमेन,\(g(x) = \sqrt{x}\) यह गैर-नकारात्मक\(x\) होना चाहिए, या अंतराल नोटेशन में होना चाहिए\([0, \infty )\)

    कम्पोजिट फ़ंक्शन का डोमेन,\(x − 2\) सभी वास्तविक संख्याएं हैं,\((−\infty , \infty )\)

    इसलिए, का डोमेन\(f(g(x))\) है\([0, \infty )\)।

    1. कार्यों की संरचना,\(g(f(x))\) यह है:

    \(\begin{aligned} g(f(x)) &&\text{ Function composition, }g \text{ of } f \text{ of } x \\ g(x^2 − 2)&& \text{ Replace }f(x)\text{ with } x^2 − 2 \\ \sqrt{x^2 − 2} &&\text{ In the function } g(x)\text{, every }x \text{ is replaced with } f(x) = x^2−2 \\ x^2 − 2 && g(f(x))\text{, answer simplified. }\end{aligned}\)

    कम्पोजिट फ़ंक्शन के डोमेन में आंतरिक फ़ंक्शन के डोमेन के साथ-साथ कम्पोजिट फ़ंक्शन के प्रतिबंध शामिल हैं।

    आंतरिक फ़ंक्शन का डोमेन,\(f(x) = x^2 − 2\) सभी वास्तविक संख्याएं हैं, या अंतराल नोटेशन में हैं\((−\infty , \infty )\)

    कम्पोजिट फ़ंक्शन का डोमेन\(\sqrt{x^2} − 2\) यह है कि मात्रा गैर-नकारात्मक\(x^2 −2\) होनी चाहिए, या\(x^2 −2 \geq 0\)।

    \(x^2 − 2 \geq 0\)के लिए हल करना\(x\),\(x \geq 2\) और\(x \leq −2\)। अंतराल नोटेशन में,\((−\infty , −2] \cup [2, \infty )\)

    इसलिए, कम्पोजिट फ़ंक्शन का डोमेन, g (f (x)) अधिक प्रतिबंधात्मक डोमेन है\((−\infty , −2] \cup [2, \infty )\)।

    उदाहरण Template:index

    यदि\(f(x) = \dfrac{1 }{x − 4}\) और\(g(x) = \dfrac{5 }{x} + 4\), तो ढूंढें:

    1. \(f(g(x))\)और समग्र फ़ंक्शन का डोमेन
    2. \(g(f(x))\)और समग्र फ़ंक्शन का डोमेन
    समाधान
    1. कार्यों की संरचना,\(f(g(x))\) यह है:

    \(\begin{aligned} f(g(x)) \text{ Function composition, } f\text{ of }g \text{ of }x\\ f\left( \dfrac{5}{ x} + 4\right) && \text{ Replace }g(x)\text{ with }\dfrac{5 }{x} + 4 \\ \dfrac{1 }{\left(5 x + 4\right)− 4} && \text{ In the function } f(x)\text{, every x is replaced with } g(x) = \dfrac{5}{ x} + 4 \\ \dfrac{1 }{\dfrac{5 }{x}}&&\text{ Simplify} \\ \dfrac{x }{5} && f(g(x))\text{, answer simplified. }\end{aligned}\)

    कम्पोजिट फ़ंक्शन के डोमेन में आंतरिक फ़ंक्शन के डोमेन के प्रतिबंध, साथ ही समग्र फ़ंक्शन के प्रतिबंध शामिल हैं।

    आंतरिक फ़ंक्शन का डोमेन,\(g(x) = 5 x + 4\)\(x\) ऐसे सभी मान हैं जो 0 या अंतराल नोटेशन में नहीं होने\(x\) चाहिए\((−\infty , 0) \cup (0, \infty )\)

    कम्पोजिट फ़ंक्शन का डोमेन,\(\dfrac{x }{5}\) सभी वास्तविक संख्याएं हैं,\((−\infty , \infty )\) इसलिए, का डोमेन\(f(g(x))\) है\((−\infty , 0) \cup (0, \infty )\)

    1. कार्यों की संरचना,\(g(f(x))\) है

    \(\begin{aligned} g(f(x))&&\text{Function composition, } g \text{ of } f\text{ of }x \\ g\left( \dfrac{1 }{x −4}\right) &&\text{Replace } f(x) \text{ with }\dfrac{1}{ x − 4}\\ \dfrac{5 }{\dfrac{1 }{x − 4}} + 4 &&\text{In the function } g(x)\text{, every x is replaced with } f(x) = \dfrac{1 }{x − 4}\\ 5(x − 4) + 4 && \text{ Simplify the fraction} \\ 5x − 20 + 4 &&\text{ Simplify more}\\ 5x − 16 && g(f(x))\text{, answer simplified.} \end{aligned}\)

    कम्पोजिट फ़ंक्शन के डोमेन में आंतरिक फ़ंक्शन के डोमेन के साथ-साथ कम्पोजिट फ़ंक्शन के प्रतिबंध शामिल हैं।

    आंतरिक फ़ंक्शन का डोमेन, वह\(f(x) = \dfrac{1}{ x − 4 }\) है\(x\neq 4\), या अंतराल नोटेशन में\((−\infty , 4) \cup (4, \infty )\)

    कम्पोजिट फ़ंक्शन का डोमेन,\(5x − 16\) सभी वास्तविक संख्याएं\((−\infty , \infty )\) हैं।

    इसलिए, कम्पोजिट फ़ंक्शन का डोमेन, अधिक प्रतिबंधात्मक डोमेन\(g(f(x))\) है\((−\infty , 4) \cup (4, \infty)\)।

    व्यायाम Template:index

    दिए गए फ़ंक्शंस के लिए, दोनों को ढूंढें\(f(g(x))\) और\(g(f(x))\), और कम्पोजिट फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें।

    1. \(f(x) = 3x^ 2 + x − 10\),\(g(x) = 1 − 20x\)
    2. \(f(x) = 3x − 2\),\(g(x) = \dfrac{1}{ 3} x + \dfrac{2 }{3}\)
    3. \(f(x) = 4x − 1\),\(g(x) = \sqrt{6 + 7x}\)
    4. \(f(x) = 5x + 2\),\(g(x) = x^2 − 14x\)
    5. \(f(x) = x^ 2 − 2x + 1\),\(g(x) = 8 − 3x ^2\)
    6. \(f(x) = x ^2 + 3\),\(g(x) = \sqrt{5 + x^2} \)