4.8: ग्राफ़िंग फ़ंक्शंस (कैलकुलस का उपयोग किए बिना)

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

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कुछ बुनियादी कार्य हैं, जिन्हें टूलकिट फ़ंक्शंस कहा जाता है, जिन्हें छात्रों को उनकी फ़ंक्शन परिभाषा और उनके ग्राफ़ द्वारा पहचानना चाहिए। इनमें से प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए,\(x\) इनपुट वैरिएबल\(f(x)\) है, और आउटपुट वैरिएबल है। निम्नलिखित ग्राफिक्स कैलावे, हॉफमैन और लिपमैन, 2013 की ओईआर पाठ्यपुस्तक बिजनेस कैलकुलस से हैं और इनका उपयोग अनुमति (क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन 3.0 यूनाइटेड स्टेट्स लाइसेंस) के साथ किया जाता है।

पारंपरिक STEM कैलकुलस I कोर्स के विपरीत, यह कैलकुलस फॉर बिजनेस एंड सोशल साइंसेज कोर्स फंक्शन ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग करके ग्राफ़िंग फ़ंक्शंस को नहीं सिखाता है।

इस कक्षा के छात्रों से अपेक्षा की जाती है कि वे समाधानों की एक तालिका बनाएं और फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें। छात्र यह भी सीखेंगे कि कैलकुलस का उपयोग करके फ़ंक्शंस को कैसे ग्राफ़ करना है!

उदाहरण Template:index

निम्नलिखित फ़ंक्शंस को ग्राफ़ करें:

\(f(x) = \sqrt[3]{x}\)
\(f(x) = \dfrac{1 }{x^2 − 3}\)

समाधान

समाधान की एक तालिका बनाएं और फ़ंक्शन के डोमेन को परिभाषित करें।

\(f(x) =\sqrt[3]{x}\)डोमेन के लिए समाधान तालिका\((−\infty , \infty )\)
\(x\)	\(f(x)\)
-8	-2
-1	-1
0	0
1	1
8	दो

समाधान की एक तालिका बनाएं और फ़ंक्शन के डोमेन को परिभाषित करें। इस तर्कसंगत कार्य के डोमेन की पहचान करने के लिए, भाजक पर ध्यान दें। भाजक 0 के बराबर नहीं हो सकता। x के लिए हल करने के लिए भाजक = 0 सेट करें और उन मानों को ढूंढें जिन्हें x के लिए अनुमति नहीं दी जाएगी।

\(\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{1 }{x^2 − 3}\\ 0 &= x^2 − 3 \\3 &= x^2 \\ \pm \sqrt{3} &=\sqrt{x^2} \\ \pm \sqrt{3}& = x \end{aligned}\)

इन नंबरों को इस फ़ंक्शन के डोमेन\(−\sqrt{3}\) (लगभग −1.732)) और\(\sqrt{3}\) (लगभग 1.732)) से बाहर रखा जाना चाहिए।

इस फ़ंक्शन को सही तरीके से ग्राफ़ करने के लिए, डोमेन से बाहर किए गए इन नंबरों के आसपास के व्यवहार की जांच करना महत्वपूर्ण है। इस प्रकार, समाधानों की तालिका में इतने सारे ऑर्डर किए गए जोड़े का कारण। इसके बारे में इस तरह सोचें: किसी डोमेन के साथ शुरू करें\((−\infty , \infty )\), लेकिन किसी भी संख्या को हटाना चाहिए जिससे समस्याएं पैदा होंगी (जैसे इस मामले में, संख्याएं जो फ़ंक्शन के भाजक को 0 होने का कारण बनेंगी, क्योंकि 0 से विभाजन अपरिभाषित है)। इस तरह के ग्राफ़िंग कार्य हाथ से बहुत थकाऊ होते हैं, लेकिन एक छात्र के लिए यह एक महत्वपूर्ण कौशल है कि वह व्यवसाय और सामाजिक विज्ञान के लिए कैलकुलस में सफल हो।

\(f(x) = \sqrt[3]{ x}\)डोमेन के लिए समाधान तालिका\((−\infty , \infty )\)
\(x\)	\(f(x)\)
-4	0.077
-3	0.167
-2	1
-1.5	-1.33
-1	-0.5
-0.5	-0.364
0	0
0.5	-0.364
1	-0.5
1.5	-1.33
दो	1
3	0.167
4	0.077

अभ्यास की समस्याएं: फ़ंक्शन के डोमेन पर ध्यान देते हुए, निम्नलिखित फ़ंक्शंस को ग्राफ़ करें।

\(f(x) = 2x^3\)
\(f(x) = \dfrac{1 }{2x^2}\)
\(f(x) = 4 \vert x − 2 \vert\)
\(f(x) = \dfrac{1 }{3} x − 12 \)
\(f(x) = \dfrac{1 }{x − 7}\)
\(f(x) = 3\sqrt{2x^3 + 1}\)