11.S: الزخم الزاوي (ملخص)
- Page ID
- 199885
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
الشروط الرئيسية
| الزخم الزاوي | النظير الدوراني للزخم الخطي، الذي يُوجد بأخذ حاصل ضرب لحظة القصور الذاتي والسرعة الزاوية |
| قانون الحفاظ على الزخم الزاوي | يتم الحفاظ على الزخم الزاوي، أي أن الزخم الزاوي الأولي يساوي الزخم الزاوي النهائي عندما لا يتم تطبيق عزم دوران خارجي على النظام |
| مسلك | حركة دائرية لقطب محور جسم دوار حول محور آخر بسبب عزم الدوران |
| حركة التدحرج | مزيج من الحركة الدورانية والانتقالية مع أو بدون الانزلاق |
المعادلات الرئيسية
| سرعة مركز كتلة الجسم المتداول | $$v_ {CM} = R\ أوميغا $$ |
| تسريع مركز كتلة الجسم المتداول | $a_ {CM} = R\ alpha$$ |
| تهجير مركز كتلة الجسم المتداول | $$d_ {CM} = R\ theta$$ |
| تسريع دوران الجسم دون الانزلاق | $a_ {CM} =\ frac {mg\ sin\ theta} {م +\ يسار (\ dfrac {I_ {CM}} {r ^ {2}}\ يمين)} $$ |
| الزخم الزاوي | $$\ vec {l} =\ vec {r}\ مرات\ vec {p} $$ |
| مشتق الزخم الزاوي يساوي عزم الدوران | $$\ frac {d\ vec {l} {dt} =\ سوم\ فيك {\ تاو} $$ |
| الزخم الزاوي لنظام الجسيمات | $$\ vec {L} =\ vec {l} _ {1} +\ vec {l} _ {2} +\ cdots +\ vec {l} _ {N} $$ |
| بالنسبة لنظام الجسيمات، فإن مشتق الزخم الزاوي يساوي عزم الدوران | $$\ frac {d\ vec {L} {dt} =\ سوم\ فيك {\ تاو} $$ |
| الزخم الزاوي لجسم صلب دوار | $$L = أنا\ أوميغا $$ |
| الحفاظ على الزخم الزاوي | $$\ frac {d\ vec {L}} {dt} = 0$$ |
| الحفاظ على الزخم الزاوي | $$\ vec {L} =\ vec {l} _ {1} +\ vec {l} _ {2} +\ cdots +\ vec {l} _ {N} = ثابت $$ |
| السرعة الزاوية الاستباقية | $$\ أوميغا _ {P} =\ frac {rMg} {I\ أوميغا} $$ |
ملخص
11.1 رولينغ موشن
- في حركة التدحرج دون الانزلاق، توجد قوة احتكاك ثابتة بين الجسم المتداول والسطح. تنطبق\(\theta\) جميع العلاقات v CM = R\(\omega\)\(\alpha\) و a CM = R و d CM = R، بحيث تكون السرعة الخطية والتسارع والمسافة لمركز الكتلة هي المتغيرات الزاوية مضروبة في نصف قطر الكائن.
- في حركة التدحرج مع الانزلاق، تنشأ قوة احتكاك حركية بين الجسم المتداول والسطح. في هذه الحالة، v CM R\(\omega\) و CM R\(\alpha\) و d CM R\(\theta\).
- يمكن استخدام الحفاظ على الطاقة لتحليل الحركة الدورانية. يتم الحفاظ على الطاقة في الحركة الدورانية دون الانزلاق. لا يتم حفظ الطاقة في حركة التدحرج مع الانزلاق بسبب الحرارة الناتجة عن الاحتكاك الحركي.
11.2 الزخم الزاوي
- الزخم\(\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}\) الزاوي لجسيم واحد حول أصل معين هو المنتج المتجه لمتجه الموضع في نظام الإحداثيات المحدد والزخم الخطي للجسيم.
- الزخم\(\vec{l} = \sum_{i} \vec{l}_{i}\) الزاوي لنظام الجسيمات حول أصل معين هو المجموع المتجه للحظات الفردية للجسيمات التي تشكل النظام.
- إن عزم الدوران الصافي في نظام حول أصل معين هو المشتق الزمني للزخم الزاوي حول هذا الأصل:\(\frac{d \vec{L}}{dt} = \sum \vec{\tau}\)
- جسم دوار صلب له زخم زاوي L = I\(\omega\) موجه على طول محور الدوران. \(\frac{dL}{dt} = \sum \tau\)يعطي المشتق الزمني للزخم الزاوي عزم الدوران الصافي على جسم صلب ويتم توجيهه على طول محور الدوران.
11.3 الحفاظ على الزخم الزاوي
- في حالة عدم وجود عزم دوران خارجي، يتم الحفاظ على الزخم الزاوي الكلي للنظام. هذا هو النظير الدوراني للزخم الخطي الذي يتم الحفاظ عليه عندما تكون القوة الخارجية على النظام صفرًا.
- بالنسبة للجسم الصلب الذي يغير زخمه الزاوي في حالة عدم وجود عزم دوران خارجي صافي، فإن الحفاظ على الزخم الزاوي يعطي I f\(\omega_{f}\) = I i\(\omega_{i}\). تقول هذه المعادلة أن السرعة الزاوية تتناسب عكسياً مع لحظة القصور الذاتي. وبالتالي، إذا انخفضت لحظة القصور الذاتي، يجب أن تزداد السرعة الزاوية للحفاظ على الزخم الزاوي.
- يمكن تحليل الأنظمة التي تحتوي على كل من الجسيمات النقطية والأجسام الصلبة باستخدام الحفاظ على الزخم الزاوي. يجب أخذ الزخم الزاوي لجميع الهيئات في النظام حول محور مشترك.
11.4 حركة الجيروسكوب
- عندما يتم ضبط الجيروسكوب على محور بالقرب من سطح الأرض، فإنه يدور حول محور عمودي، نظرًا لأن عزم الدوران يكون دائمًا أفقيًا وعموديًا عليه\(\vec{L}\). إذا لم يكن الجيروسكوب يدور، فإنه يكتسب زخمًا زاويًا في اتجاه عزم الدوران، ويدور حول محور أفقي، ويسقط تمامًا كما نتوقع.
- يتم تحديد السرعة الزاوية التمهيدية بواسطة\(\omega_{P} = \frac{rMg}{I \omega}\)، حيث r هي المسافة من المحور إلى مركز كتلة الجيروسكوب، I هي لحظة القصور الذاتي لقرص الدوران للجيروسكوب، M هي كتلته،\(\omega\) وهو التردد الزاوي لقرص الجيروسكوب.