Skip to main content
Global

11.E: الزخم الزاوي (تمارين)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    199894

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أسئلة مفاهيمية

    11.1 رولينغ موشن

    1. هل يمكن لجسم دائري خرج من السكون في الجزء العلوي من منحدر غير احتكاكي أن يخضع لحركة دوران؟
    2. تدور علبة أسطوانية نصف قطرها R عبر سطح أفقي دون أن تنزلق. (أ) بعد ثورة كاملة للعلبة، ما هي المسافة التي قطعها مركز كتلتها؟ (ب) هل ستكون هذه المسافة أكبر أم أصغر في حالة حدوث انزلاق؟
    3. يتم تحرير العجلة من الأعلى على منحدر. هل من المرجح أن تنزلق العجلة إذا كان المنحدر حادًا أو مائلًا برفق؟
    4. ما الذي يتدحرج على مستوى مائل بشكل أسرع، أو أسطوانة مجوفة أم كرة صلبة؟ كلاهما لهما نفس الكتلة ونصف القطر.
    5. تدور كرة مجوفة وأسطوانة مجوفة من نفس نصف القطر والكتلة صعودًا دون انزلاق ويكون لهما نفس المركز الأولي لسرعة الكتلة. ما الجسم الذي يصل إلى ارتفاع أكبر قبل التوقف؟

    11.2 الزخم الزاوي

    1. هل يمكنك تعيين زخم زاوي لجسيم دون تحديد نقطة مرجعية أولاً؟
    2. بالنسبة للجسيم الذي يتحرك في خط مستقيم، هل توجد نقاط يكون الزخم الزاوي حولها صفرًا؟ افترض أن الخط يتقاطع مع الأصل.
    3. تحت أي ظروف يكون للجسم الصلب زخم زاوي ولكن ليس زخمًا خطيًا؟
    4. إذا كان الجسيم يتحرك بالنسبة للأصل المختار، فسيكون له زخم خطي. ما الشروط التي يجب توفرها لكي يكون الزخم الزاوي لهذا الجسيم صفرًا عند نقطة الأصل المختارة؟
    5. إذا كنت تعرف سرعة الجسيم، هل يمكنك قول أي شيء عن الزخم الزاوي للجسيم؟

    11.3 الحفاظ على الزخم الزاوي

    1. ما الغرض من المروحة الصغيرة الموجودة في الجزء الخلفي من الطائرة العمودية التي تدور في الطائرة بشكل عمودي على المروحة الكبيرة؟
    2. لنفترض أن الطفل يمشي من الحافة الخارجية لمسرح دوار إلى الداخل. هل تزداد السرعة الزاوية لمسار المرح أو تنقص أو تظل كما هي؟ اشرح إجابتك. افترض أن جولة المرح تدور بدون احتكاك.
    3. عندما يلتف حبل الكرة المربوطة حول عمود، ماذا يحدث للسرعة الزاوية للكرة؟
    4. لنفترض أن الصفائح الجليدية القطبية تحررت وطفت باتجاه خط استواء الأرض دون أن تذوب. ماذا سيحدث للسرعة الزاوية للأرض؟
    5. اشرح لماذا تدور النجوم بشكل أسرع عندما تنهار.
    6. يقوم الغواصون المتنافسون بسحب أطرافهم إلى الداخل ولف أجسادهم عندما يقلبون. قبل دخول الماء مباشرة، يقومون بتمديد أطرافهم بالكامل للدخول مباشرة إلى الأسفل (انظر أدناه). اشرح تأثير كلا الإجراءين على سرعتهما الزاوية. اشرح أيضًا التأثير على زخمها الزاوي.

    رسم لغطاس في عدة نقاط من الغوص، من بعد مغادرة لوح الغوص مباشرة إلى ما قبل دخول الماء مباشرة. بعد مغادرة اللوح، تكون الغواصة في وضع رمح، مع سحب ساقيها بالقرب من جسدها والأوميغا كبيرة. عندما تقترب من الماء، تمد جسدها. تصل إلى الماء بشكل كامل ممتد وعمودي، وأوميغا برايم صغيرة.

    11.4 حركة الجيروسكوب

    1. يجب أن تحتوي الجيروسكوبات المستخدمة في أنظمة التوجيه للإشارة إلى الاتجاهات في الفضاء على زخم زاوي لا يتغير في الاتجاه. عند وضعها في السيارة، يتم وضعها في مقصورة منفصلة عن جسم الطائرة الرئيسي، بحيث لا تؤثر التغييرات في اتجاه جسم الطائرة على اتجاه الجيروسكوب. إذا تعرضت المركبة الفضائية لقوى وتسارعات كبيرة، فكيف يمكن أن يكون اتجاه الزخم الزاوي للجيروسكوب ثابتًا في جميع الأوقات؟
    2. تتحدد الأرض حول محورها الرأسي بفترة 26000 سنة. ناقش ما إذا كان يمكن استخدام المعادلة 11.12 لحساب السرعة الزاوية التمهيدية للأرض.

    مشاكل

    11.1 رولينغ موشن

    1. ما السرعة الزاوية لإطار قطره ٧٥٫٠ سم على سيارة تسير بسرعة ٩٠٫٠ كم/س؟
    2. صبي يركب دراجته لمسافة 2.00 كم. يبلغ قطر العجلات 30.0 سم. ما الزاوية الكلية التي تدور خلالها الإطارات خلال رحلته؟
    3. إذا تسارع الصبي الموجود على الدراجة في المشكلة السابقة من السكون إلى سرعة ١٠٫٠ م/ث خلال ١٠٫٠ ث، فما التسارع الزاوي للإطارات؟
    4. تحتوي سيارات سباق الفورمولا 1 على إطارات قطرها 66 سم. إذا كان متوسط سرعة الفورمولا 1 300 كم/ساعة أثناء السباق، فما الإزاحة الزاوية في دورات العجلات إذا حافظت سيارة السباق على هذه السرعة لمدة 1.5 ساعة؟
    5. يتدحرج الرخام نحو الأسفل ويميل بزاوية 30 درجة من الراحة. (أ) ما هي سرعته؟ (ب) إلى أي مدى تذهب في 3.0 ثانية؟
    6. كرر المشكلة السابقة باستبدال الرخام بأسطوانة صلبة. اشرح النتيجة الجديدة.
    7. يتم تحرير جسم صلب ذو مقطع عرضي أسطواني من أعلى منحدر بزاوية 30 درجة. تدحرج مسافة ١٠٫٠ م إلى الأسفل في ٢٫٦٠ ثانية، فأوجد لحظة القصور الذاتي للجسم بدلالة كتلته m ونصف قطره r.
    8. يمكن اعتبار اليويو عبارة عن أسطوانة صلبة كتلتها m ونصف قطرها r لها خيط خفيف ملفوف حول محيطها (انظر أدناه). يتم تثبيت أحد طرفي السلسلة في الفضاء. إذا سقطت الأسطوانة أثناء فك الخيط دون انزلاق، فما عجلة الأسطوانة؟

    رسم توضيحي لأسطوانة ونصف قطرها r والقوى الموجودة عليها. تعمل القوة m g على مركز الأسطوانة وتشير إلى الأسفل. تعمل القوة T على الحافة اليمنى وتشير لأعلى.

    1. تتدحرج أسطوانة صلبة نصف قطرها ١٠٫٠ سم إلى أسفل منحدر مع انزلاقها. زاوية المنحدر هي 30 درجة. معامل الاحتكاك الحركي على السطح يساوي 0.400. ما التسارع الزاوي للأسطوانة الصلبة؟ ما التسارع الخطي؟
    2. تتدحرج كرة البولينج على منحدر بارتفاع 0.5 متر دون الانزلاق إلى التخزين. تبلغ السرعة الأولية لمركز كتلتها ٣٫٠ م/ث. (أ) ما سرعتها عند أعلى المنحدر؟ (ب) إذا كان ارتفاع المنحدر مترًا واحدًا، فهل يصل إلى القمة؟
    3. تدور أسطوانة صلبة بوزن ٤٠٫٠ كجم على سطح أفقي بسرعة ٦٫٠ م/ث، ما مقدار الجهد المطلوب لإيقافها؟
    4. كرة صلبة وزنها ٤٠٫٠ كجم تتدحرج عبر سطح أفقي بسرعة ٦٫٠ م/ث، ما مقدار الجهد المطلوب لإيقافها؟ قارن النتائج بالمشكلة السابقة.
    5. تتدحرج أسطوانة صلبة بزاوية 20 درجة. إذا بدأ المسار من الأسفل بسرعة ١٠ م/ث، فما المسافة التي يقطعها لأعلى المنحدر؟
    6. تُسحب عجلة أسطوانية صلبة كتلتها M ونصف قطرها R بقوة\(\vec{F}\) مطبقة على مركز العجلة بزاوية ٣٧ درجة على الأفقي (انظر الشكل التالي). إذا كانت العجلة ستتدحرج دون انزلاق، فما القيمة القصوى لـ\(|\vec{F}|\)؟ معاملات الاحتكاك الساكن والحركي هي\(\mu_{S}\) = 0.40 و\(\mu_{k}\) = 0.30.

    تظهر القوى المؤثِّرة على العجلة، نصف قطرها R، على سطح أفقي. تتمركز العجلة في نظام إحداثيات x y يحتوي على x موجب إلى اليمين وإيجابي y لأعلى. تعمل القوة F على مركز العجلة بزاوية 37 درجة فوق اتجاه x الموجب. تعمل القوة M g على مركز العجلة وتشير إلى الأسفل. تشير Force N لأعلى وتعمل عند نقطة التلامس حيث تلامس العجلة السطح. تشير قوة f sub s إلى اليسار وتعمل عند نقطة التلامس حيث تلامس العجلة السطح.

    1. أُعطيت سرعة أسطوانة مجوفة تتدحرج دون انزلاق مقدارها ٥٫٠ م/ث وتتدحرج نحو ارتفاع رأسي يساوي ١٫٠ م، وإذا أُعطيت كرة مجوفة لها نفس الكتلة ونصف القطر نفس السرعة الأولية، فما ارتفاعها رأسيًّا لتلتف لأعلى المنحدر؟

    11.2 الزخم الزاوي

    1. يتحرك جسم وزنه 0.2 كجم على طول الخط y = 2.0 m بسرعة 5.0 m/s. ما مقدار الحركة الزاوي للجسيم عند نقطة الأصل؟
    2. طائر يطير فوق المكان الذي تقف فيه على ارتفاع 300.0 م وبسرعة أفقية إلى الأرض مقدارها ٢٠٫٠ م/ث، وكتلته ٢٫٠ كجم. يصنع متجه نصف القطر للطائر زاوية\(\theta\) بالنسبة للأرض. يقع متجه نصف القطر للطائر ومتجه زخمه في المستوى السيني. ما مقدار الزخم الزاوي للطائر حول النقطة التي تقف فيها؟
    3. تسير سيارة سباق فورمولا 1 بكتلة 750.0 كجم بسرعة في مسار في موناكو وتدخل في دورة دائرية بسرعة 220.0 كم/ساعة في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة حول أصل الدائرة. في جزء آخر من الدورة، تدخل السيارة دورة دائرية ثانية بسرعة 180 كم/ساعة أيضًا في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة. إذا كان نصف قطر انحناء الانعطاف الأول 130.0 مترًا ونصف قطر الثانية 100.0 مترًا، فقارن بين اللحظات الزاوية لسيارة السباق في كل منعطف مأخوذ حول أصل الانعطاف الدائري.
    4. جسم كتلته ٥٫٠ كجم له متجه موضعه\(\vec{r}\) = (٢٫٠\(\hat{i}\) − ٣٫٠\(\hat{j}\)) م في لحظة زمنية معينة عندما تكون سرعته\(\vec{v}\) = (٣٫٠\(\hat{i}\)) م/ث بالنسبة إلى نقطة الأصل. (أ) ما مقدار الزخم الزاوي للجسيم؟ (ب) إذا كانت قوة\(\vec{F}\) = 5.0\(\hat{j}\) نيوتن تؤثِّر على الجسم في هذه اللحظة، فما عزم الدوران حول الأصل؟
    5. استخدم قاعدة اليد اليمنى لتحديد اتجاهات اللحظات الزاوية حول أصل الجسيمات كما هو موضح أدناه. المحور z خارج الصفحة.

    يتم عرض أربعة جسيمات في المستوى x y بموضع مختلف ومتجهات السرعة. يُظهر المحوران x و y الموضع بالأمتار ويتراوح مداهما من -4.0 إلى 4.0 أمتار. كتلة الجسيم 1 م الفرعية 1، تكون عند x = 0 متر و y = 2.0 متر، و v نقطة فرعية 1 في اتجاه x الموجب. كتلة الجسيم 2 م الفرعية 2، تكون عند x = 2.0 متر و y=-2.0 متر، و v الفرعية 2 تشير إلى اليمين وإلى الأسفل، أي حوالي 45 درجة تحت اتجاه x الموجب. كتلة الجسيم 3 م الفرعية 3، تكون عند x=-3.0 متر و y=1.0 متر، و v دون 3 نقاط لأسفل، في اتجاه y السالب. كتلة الجسيم 4 م الفرعية 4، تكون عند x = 4.0 متر و y=0 متر، و v دون 4 نقاط إلى اليسار، في اتجاه x السالب.

    1. لنفترض أن الجسيمات في المشكلة السابقة لها كتل m 1 = 0.10 كجم، m 2 = 0.20 كجم، m 3 = 0.30 كجم، m 4 = 0.40 كجم. سرعات الجسيمات هي v 1 = 2.0\(\hat{i}\) م/ث، v 2 = (3.0\(\hat{i}\) − 3.0\(\hat{j}\)) م/ث، v 3 = −1.5\(\hat{j}\) م/ث، v 4 = −4.0\(\hat{i}\) م/ث. (أ) احسب الزخم الزاوي لكل جسيم حول الأصل. (ب) ما مقدار الزخم الزاوي الكلي لنظام الجسيمات الأربعة حول الأصل؟
    2. يتحرك جسيمان متساويان في الكتلة بنفس السرعة في اتجاهين متعاكسين على طول خطوط متوازية مفصولة بمسافة d. أظهر أن الزخم الزاوي لهذا النظام ثنائي الجسيمات هو نفسه بغض النظر عن النقطة المستخدمة كمرجع لحساب الزخم الزاوي.
    3. تطير طائرة كتلتها ٤٫٠ × ١٠ ٤ كجم أفقيًّا على ارتفاع ١٠ كم بسرعة ثابتة مقدارها ٢٥٠ م/ث بالنسبة إلى الأرض. (أ) ما مقدار الزخم الزاوي للطائرة بالنسبة إلى مراقب أرضي يقع مباشرة أسفل الطائرة؟ (ب) هل يتغير الزخم الزاوي عندما تطير الطائرة على طول مسارها؟
    4. في لحظة معينة، يكون موضع جسيم وزنه 1.0 كجم\(\vec{r}\) = (2.0\(\hat{i}\) − 4.0\(\hat{j}\) + 6.0\(\hat{k}\)) م، وسرعته\(\vec{v}\) = (−1.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) + 1.0\(\hat{k}\)) م/ث، والقوة عليه هي\(\vec{F}\) = (10.0\(\hat{i}\) + 15.0\(\hat{j}\)) N. (a) ما هو الزخم الزاوي للجسيم حول الأصل؟ (ب) ما عزم دوران الجسيم حول الأصل؟ (ج) ما المعدل الزمني لتغير الزخم الزاوي للجسيم في هذه اللحظة؟
    5. سقط جسيم كتلته m عند النقطة (−d، 0) ويسقط رأسيًّا في مجال جاذبية الأرض −g\(\hat{j}\). (أ) ما التعبير عن الزخم الزاوي للجسيم حول المحور z، الذي يشير مباشرة إلى خارج الصفحة كما هو موضح أدناه؟ (ب) احسب عزم الدوران على الجسيم حول المحور z. (ج) هل عزم الدوران يساوي المعدل الزمني لتغير الزخم الزاوي؟

    يظهر نظام الإحداثيات x y، مع وجود x الموجب إلى اليمين والإيجابي y لأعلى. يظهر الجسيم على المحور x، على يسار المحور y، في الموقع ناقص d فاصلة صفر. قوة ناقص m g j تؤثر هبوطًا على الجسيم.

    1. (أ) احسب الزخم الزاوي للأرض في مدارها حول الشمس. (ب) قارن هذا الزخم الزاوي مع الزخم الزاوي للأرض حول محورها.
    2. تتدحرج صخرة كتلتها ٢٠ كجم ونصف قطرها ٢٠ سم إلى أسفل تل يبلغ ارتفاعه ١٥ مترًا من السكون. ما مقدار الحركة الزاوية عندما يكون في منتصف الطريق إلى أسفل التل؟ (ب) في الأسفل؟
    3. يدور القمر الصناعي بسرعة 6.0 دورة/ثانية، ويتكون من جسم رئيسي في شكل كرة نصف قطرها 2.0 متر وكتلتها 10000 كجم، وهوائيان يبرزان من مركز كتلة الجسم الرئيسي ويمكن تقريبهما بقضبان طول كل منها 3.0 متر وكتلتها 10 كجم. يقع الهوائي في مستوى الدوران. ما مقدار الزخم الزاوي للقمر الصناعي؟
    4. تتكون المروحة من شفرتين طول كل منهما ٣٫٠ م وكتلة ١٢٠ كجم لكل منهما. يمكن تقريب المروحة بقضيب واحد يدور حول مركز كتلتها. تبدأ المروحة من السكون وتدور حتى 1200 دورة في الدقيقة في 30 ثانية بمعدل ثابت. (أ) ما مقدار الزخم الزاوي للمروحة عند t = 10 ثوانٍ؛ t = 20 ثانية؟ (ب) ما هو عزم الدوران على المروحة؟
    5. النجم النابض هو نجم نيوتروني سريع الدوران. تبلغ مدّة سديم السرطان النابض في كوكبة برج الثور 33.5 × 10 −3 ثانية، ونصف قطره 10.0 كم، وكتلته 2.8 × 10 30 كجم. ستزداد فترة دوران النجم النابض بمرور الوقت بسبب إطلاق الإشعاع الكهرومغناطيسي، الذي لا يغير نصف قطره ولكنه يقلل من طاقته الدورانية. (أ) ما مقدار الزخم الزاوي للنبض؟ (ب) لنفترض أن السرعة الزاوية تتناقص بمعدل 10 −14 راد/ثانية 2. ما عزم الدوران على النجم النابض؟
    6. يبلغ طول شفرات توربينات الرياح 30 مترًا وتدور بمعدل دوران أقصى يبلغ 20 لفة/دقيقة. (أ) إذا كان وزن كل شفرة 6000 كجم وكانت مجموعة الدوار تحتوي على ثلاث شفرات، فاحسب الزخم الزاوي للتوربين بمعدل الدوران هذا. (ب) ما هو عزم الدوران المطلوب لتدوير الشفرات حتى الحد الأقصى لمعدل الدوران في 5 دقائق؟
    7. كتلة السفينة الدوارة 3000.0 kg وتحتاج إلى المرور بأمان عبر حلقة دائرية عمودية نصف قطرها 50.0 m. ما الحد الأدنى للزخم الزاوي للسفينة في الجزء السفلي من الحلقة لتجعلها تمر بأمان؟ إهمال الاحتكاك على المسار. خذ السفينة على أنها جسيم نقطي.
    8. يقفز راكب الدراجة الجبلية في سباق ويطير جواً. تسير الدراجة الجبلية بسرعة ١٠٫٠ م/ث قبل أن تطير في الهواء. إذا كانت كتلة العجلة الأمامية على الدراجة ٧٥٠ جم ونصف قطرها ٣٥ سم، فما مقدار الزخم الزاوي للعجلة الدوارة في الهواء لحظة خروج الدراجة من الأرض؟

    11.3 الحفاظ على الزخم الزاوي

    1. يدور قرص كتلته ٢٫٠ كجم ونصف قطره ٦٠ سم وكتلة صغيرة مقدارها ٠٫٠٥ كجم متصلة عند الحافة بسرعة ٢٫٠ لفة/ثانية، وتنفصل الكتلة الصغيرة فجأة عن القرص. ما معدل الدوران النهائي للقرص؟
    2. تبلغ كتلة الشمس 2.0 × 10 30 كجم، ونصف قطرها 7.0 × 10 5 كم، وتبلغ فترة دورانها 28 يومًا تقريبًا. إذا انهارت الشمس إلى قزم أبيض نصف قطره ٣٫٥ × ١٠ ٣ كم، فماذا ستكون فترتها إذا لم تُخرج أي كتلة وتمكن كرة ذات كثافة موحدة من تشكيل صورة الشمس قبل وبعد ذلك؟
    3. أسطوانة ذات قصور دوراني I 1 = 2.0 kg • m 2 تدور في اتجاه عقارب الساعة حول محور عمودي من خلال مركزها بسرعة زاوية\(\omega_{1}\) = 5.0 rad/s، أما الأسطوانة الثانية ذات القصور الذاتي الدوراني I 2 = 1.0 kg • m 2 تدور عكس اتجاه عقارب الساعة حول نفس المحور باستخدام السرعة الزاوية\(\omega_{2}\) = 8.0 راد/ثانية. إذا كانت الأسطوانتان مزدوجتين بحيث يكون لهما نفس المحور الدوراني، فما السرعة الزاوية للمجموعة؟ ما النسبة المئوية من طاقة الحركة الأصلية المفقودة بسبب الاحتكاك؟
    4. يقوم الغواص بعيدًا عن اللوح العالي بإجراء دوران أولي مع تمديد جسمه بالكامل قبل الدخول في الثنية وتنفيذ ثلاث شقلبات خلفية قبل الاصطدام بالماء. إذا كانت لحظة القصور الذاتي لديه قبل الثنية 16.9 كجم • م 2 وبعد الثنية أثناء الشقلبات 4.2 كجم • م 2، فما معدل الدوران الذي يجب أن ينقله إلى جسمه مباشرة خارج اللوح وقبل الثنية إذا استغرق 1.4 ثانية لتنفيذ الشقلبات قبل الاصطدام بالماء؟
    5. يبلغ أوج القمر الصناعي الأرضي 2500 كم فوق سطح الأرض ونقطة الحضيض على ارتفاع 500 كم فوق سطح الأرض. عند نقطة الأوج، تبلغ سرعتها ٧٣٠ م/ث، ما سرعتها عند نقطة الأوج؟ يبلغ نصف قطر الأرض 6370 كم (انظر أدناه).

    رسم توضيحي لمدار بيضاوي بعكس اتجاه عقارب الساعة. المحور الرئيسي أفقي والكتلة M في النقطة البؤرية اليسرى على يسار المركز. يقع الموضع A في أقصى اليمين من الشكل البيضاوي، على مسافة r الفرعية A إلى يمين الكتلة M. السرعة عند النقطة A هي المتجه v sub A وهي أعلى. يقع الموضع P في أقصى يسار الحافة البيضاوية، على مسافة r فرعية إلى الكتلة اليسرى M. السرعة عند النقطة P هي المتجه v sub P وهي لأسفل.

    1. مدار مولنيا هو مدار غريب للغاية لساتل الاتصالات وذلك لتوفير تغطية اتصالات مستمرة للدول الاسكندنافية وروسيا المجاورة. يتم وضع المدار بحيث تتمكن هذه البلدان من عرض القمر الصناعي لفترات طويلة من الزمن (انظر أدناه). إذا كانت نقطة أوج ساتل في مثل هذا المدار تبلغ قوته 40,000.0 كم مقاسًا من مركز الأرض وسرعته 3,0 كم/ثانية، فما مقدار سرعته عند نقطة الحضيض عند ارتفاع 200.0 كم؟

    يظهر مدار بيضاوي غريب للغاية حول الأرض. تقع الأرض في نقطة محورية واحدة من الشكل البيضاوي. يتم تحديد 11 نقطة المقابلة للوقت بالساعات في المدار. الوقت 0 عند نقطة الحضيض (النقطة في المدار الأقرب إلى الأرض)، والنقطة 6 عند الأوج، وهي النقطة في المدار الأبعد عن الأرض. تتناقص المسافات بين النقاط من 0 إلى 6 على طول المدار بمرور الوقت، وتزداد المسافات من 6 إلى 11 والعودة إلى 0.

    1. يوضِّح أدناه جُسيم صغير كتلته ٢٠ جم يتحرَّك بسرعة ١٠٫٠ م/ث عندما يصطدم ويلتصق بحافة أسطوانة صلبة منتظمة. تتمتع الأسطوانة بحرية الدوران حول محورها من خلال مركزها وتكون عمودية على الصفحة. يبلغ وزن الأسطوانة 0.5 كجم ونصف قطرها 10 سم، وهي في البداية في حالة سكون. (أ) ما هي السرعة الزاوية للنظام بعد التصادم؟ (ب) ما مقدار طاقة الحركة المفقودة في التصادم؟

    تظهر مشاهد لجسيم يصطدم بأسطوانة قبل التصادم وبعده. يوجد وجه الأسطوانة في مستوى الصفحة. في السابق، كان الجسيم يتحرك أفقيًا باتجاه الحافة العلوية للأسطوانة بسرعة 10 أمتار في الثانية. الأسطوانة في حالة راحة. بعد ذلك، يلتصق الجسيم بالأسطوانة التي تدور في اتجاه عقارب الساعة.

    1. توجد حشرة كتلتها 0.020 kg في وضع السكون على حافة قرص أسطواني صلب (M = 0.10 kg، R = 0.10 m) تدور في مستوى أفقي حول المحور الرأسي من خلال مركزه. يدور القرص بسرعة 10.0 راد/ثانية. يزحف الخطأ إلى منتصف القرص. (أ) ما هي السرعة الزاوية الجديدة للقرص؟ (ب) ما التغيُّر في طاقة حركة النظام؟ (ج) إذا زحف الخطأ عائدًا إلى الحافة الخارجية للقرص، فما السرعة الزاوية للقرص إذن؟ (د) ما هي طاقة الحركة الجديدة للنظام؟ (هـ) ما سبب زيادة الطاقة الحركية ونقصها؟
    2. يمكن لقضيب منتظم كتلته ٢٠٠ جم وطوله ١٠٠ سم أن يدور بحرية في مستوى أفقي حول محور عمودي ثابت يمر عبر مركزه، عموديًا على طوله. تم تثبيت خرزتين صغيرتين، كتلة كل منهما 20 جرامًا، في أخاديد على طول القضيب. في البداية، يتم تثبيت الحبتين بواسطة مصدات على جانبي مركز القضيب، على بعد 10 سم من محور الدوران. ومع وجود الخرز في هذا الموضع، يدور القضيب بسرعة زاوية تبلغ 10.0 راد/ثانية، وعندما يتم إطلاق المصيد، تنزلق الخرزات إلى الخارج على طول القضيب. (أ) ما السرعة الزاوية للقضيب عندما تصل الخرزات إلى طرفي القضيب؟ (ب) ما السرعة الزاوية للقضيب إذا كانت الخرزات تطير من القضيب؟
    3. يبلغ نصف قطر جولة مرح ٢٫٠ م ولحظة القصور الذاتي ٣٠٠ كجم • م ٢. يمر صبي كتلته ٥٠ كجم مماسًا للحافة بسرعة ٤٫٠ م/ث ويقفز. إذا كانت جولة المرح في وضع السكون في البداية، فما السرعة الزاوية بعد قفز الصبي؟
    4. يبلغ وزن ملعب مرح دائري ١٢٠ كجم ونصف قطر ١٫٨٠ م، وتدور بسرعة زاويّة مقدارها ٠٫٥٠٠ لفة/ثانية، ما سرعتها الزاوية بعد أن يصطدم بها طفل وزنه ٢٢,٠ كجم عن طريق الإمساك بالحافة الخارجية؟ الطفل في البداية في حالة راحة.
    5. يركب ثلاثة أطفال على حافة دراجة نارية تزن 100 كجم، ويبلغ نصف قطرها 1.60 مترًا، وتدور بسرعة 20.0 دورة في الدقيقة. تبلغ كتل الأطفال 22.0 و 28.0 و 33.0 كجم. إذا انتقل الطفل الذي كتلته ٢٨٫٠ كجم إلى مركز دورة المرح، فما السرعة الزاوية الجديدة بعدد الدورات في الدقيقة؟
    6. (أ) احسب الزخم الزاوي لمتزلج على الجليد يدور بسرعة ٦٫٠٠ لفة/ثانية إذا كانت لحظة القصور الذاتي لديه تساوي ٠٫٤٠٠ كجم • م ٢. (ب) يخفض معدل دورانه (سرعته الزاوية) عن طريق مد ذراعيه وزيادة لحظة الجمود. أوجد قيمة لحظة القصور الذاتي إذا انخفضت سرعته الزاوية إلى ١٫٢٥ لفة/ثانية. (ج) لنفترض بدلًا من ذلك أنه أبقى ذراعيه في مكانها وسمح احتكاك الجليد بإبطائه إلى ٣٫٠٠ لفة/ثانية. ما متوسط عزم الدوران الذي حدث إذا استغرق ذلك ١٥٫٠ ثانية؟
    7. يقترب المتزلجون التوأم من بعضهم البعض كما هو موضح أدناه ويقفلون أيديهم. (أ) احسب السرعة الزاوية النهائية، علمًا أن سرعة كل منها تبلغ 2.50 متر/ثانية بالنسبة للجليد. كتلة كل منها 70.0 كجم، ولكل منها مركز كتلة يقع على بعد 0.800 متر من الأيدي المقفلة. يمكنك تقريب لحظات القصور الذاتي الخاصة بهم لتكون تلك الخاصة بالكتل النقطية في نصف القطر هذا. (ب) قارن طاقة الحركة الأولية والطاقة الحركية النهائية.

    الشكل أ، على اليسار، عبارة عن رسم لاثنين من المتزلجين على الجليد يُنظر إليهما من الأعلى يتحركان بسرعة v تجاه بعضهما البعض على طول خطوط متوازية. يتزلج الجزء العلوي إلى اليمين والجزء السفلي إلى اليسار، ويتم فصلهما بحيث تلتقي أيديهما أثناء عبورهما. يُظهر الشكل ب، على اليمين، المتزلجين وهم يمسكون بأيديهم ويتحركون معًا في دائرة ذات سرعة زاوية أوميغا. حركتهم في اتجاه عقارب الساعة كما هو موضح من الأعلى.

    1. يمد صائد البيسبول ذراعه بشكل مستقيم لالتقاط كرة سريعة بسرعة 40 متر/ثانية، ويبلغ وزن كرة البيسبول 0.145 كجم وطول ذراع الماسك 0.5 متر وكتلتها 4.0 كجم. (أ) ما هي السرعة الزاوية للذراع مباشرة بعد الإمساك بالكرة مقاسة من تجويف الذراع؟ (ب) ما مقدار العزم المطبق إذا أوقف الماسك دوران ذراعه بعد 0.3 ثانية من اصطدامه بالكرة؟
    2. في عام 2015، في وارسو، بولندا، حطمت أوليفيا أوليفر من نوفا سكوتيا الرقم القياسي العالمي لكونها أسرع سبينر على الجليد. حققت رقمًا قياسيًا بلغ 342 لفة/دقيقة، متفوقة على الرقم القياسي العالمي الحالي في موسوعة غينيس بـ 34 دورة. إذا قامت متزلجة على الجليد بتمديد ذراعيها بمعدل الدوران هذا، فماذا سيكون معدل دورانها الجديد؟ افترض أنه يمكن تقريبها بقضيب وزنه 45 كجم يبلغ طوله 1.7 مترًا ونصف قطره 15 سم في الدوران القياسي. مع تمدد ذراعيها، قم بالتقريب لقضيب طوله ١٣٠ سم مع محاذاة ١٠٪ من كتلة جسمها بشكل عمودي على محور الدوران. إهمال قوى الاحتكاك.
    3. يقع القمر الصناعي في مدار دائري متزامن مع الأرض على بعد 42,164.0 كم من مركز الأرض. يصطدم كويكب صغير بالقمر الصناعي مرسلًا إياه إلى مدار بيضاوي يبلغ أوج 45000.0 كم. ما سرعة القمر الصناعي عند الأوج؟ افترض أن زخمها الزاوي محفوظ.
    4. تقوم لاعبة جمباز بعجلات على طول الأرض ثم تطلق نفسها في الهواء وتنفذ عدة تقلبات في الثنية أثناء حملها جواً. إذا كانت لحظة الجمود عند تنفيذ العجلات هي 13.5 كجم • م 2 ومعدل دورانها 0.5 لفة/ثانية، فما عدد الدورات التي تقوم بها في الهواء إذا كانت لحظة القصور الذاتي في الثنية هي 3.4 كجم • م 2 ولديها 2.0 ثانية للقيام بالتقلبات في الهواء؟
    5. يبلغ نصف قطر جهاز الطرد المركزي في مركز أبحاث ناسا أميس 8.8 مترًا ويمكنه إنتاج قوى على حمولته تبلغ 20 جرامًا أو 20 ضعفًا من قوة الجاذبية على الأرض. (أ) ما مقدار الزخم الزاوي لحمولة وزنها 20 كيلوغراماً تتعرض لعشرة غرامات في جهاز الطرد المركزي؟ (ب) إذا تم إيقاف تشغيل محرك السائق في النقطة (أ) وفقدت الحمولة 10 كيلوغرامات، فما هو معدل دورانه الجديد، مع مراعاة عدم وجود قوى احتكاك؟
    6. تحتوي الرحلة في الكرنفال على أربعة قضبان يتم ربط القرون بها والتي يمكن أن تستوعب شخصين. يبلغ طول كل سلك 15 مترًا ويتم توصيله بمحور مركزي. وكتلة كل ساق 200.0 كجم، وكتلة كل كبسولة 100.0 كجم. إذا كانت الرحلة تدور بسرعة 0.2 لفة/ثانية حيث تحتوي كل كبسولة على طفلين بوزن 50.0 كجم، فما معدل الدوران الجديد إذا قفز جميع الأطفال من الركوب؟
    7. متزلج على الجليد يستعد للقفز مع المنعطفات ويمد ذراعيه. تبلغ لحظة القصور الذاتي لديه 1.8 كجم • م 2 أثناء تمديد ذراعيه، وهو يدور بسرعة 0.5 لفة/ثانية، وإذا أطلق نفسه في الهواء بسرعة 9.0 م/ث بزاوية 45 درجة بالنسبة للجليد، فكم عدد الثورات التي يمكنه تنفيذها أثناء الطيران إذا كانت لحظة الجمود في الهواء تساوي 0.5 كجم • م 2؟
    8. تتكون المحطة الفضائية من أسطوانة مجوفة عملاقة دوارة كتلتها ١٠٦ كجم بما في ذلك الأشخاص الموجودين في المحطة ونصف قطر ١٠٫٠٠ م، وتدور في الفضاء بمعدل ٣٫٣٠ لفة/دقيقة لإنتاج جاذبية اصطناعية. إذا سار 100 شخص يبلغ متوسط كتلتهم 65.00 كجم في الفضاء إلى سفينة فضائية منتظرة، فما معدل الدوران الجديد عندما يكون جميع الأشخاص خارج المحطة؟
    9. تبلغ كتلة نبتون 1.0 × 10 26 كجم، وتبعد 4.5 × 10 9 كم عن الشمس بفترة مدارية تبلغ 165 عامًا. اندمجت الكواكب الصغيرة في النظام الشمسي البدائي الخارجي منذ 4.5 مليار سنة في كوكب نبتون على مدى مئات الملايين من السنين. إذا كان القرص البدائي الذي تطور إلى نظامنا الشمسي الحالي يبلغ نصف قطره 10 11 كم، وإذا كانت المادة التي تتكون منها هذه الكواكب الصغيرة التي أصبحت فيما بعد نبتون منتشرة بالتساوي على حوافها، فما هي الفترة المدارية للحواف الخارجية للقرص البدائي؟

    11.4 حركة الجيروسكوب

    1. يحتوي جيروسكوب على قرص وزنه 0.5 كجم يدور بسرعة 40 لفة/ثانية، ويقع مركز كتلة القرص على بعد 10 سم من محور وهو أيضًا نصف قطر القرص. ما السرعة الزاوية للسلك؟
    2. السرعة الزاوية التمهيدية للجيروسكوب تساوي ١٫٠ راد/ثانية، وإذا كانت كتلة القرص الدوار ٤٫٤ كجم ونصف قطره ٣٠ سم، وكذلك المسافة من مركز الكتلة إلى المحور، فما معدل دوران القرص بالدورات في الثانية؟
    3. يصنع محور الأرض زاوية 23.5 درجة مع اتجاه عمودي على مستوى مدار الأرض. كما هو موضح أدناه، يتم ضبط هذا المحور مسبقًا، مما يؤدي إلى دوران كامل واحد في 25,780 y. (أ) احسب التغيُّر في الزخم الزاوي بمقدار النصف هذا الوقت. (ب) ما متوسط عزم الدوران الذي يُحدث هذا التغيير في الزخم الزاوي؟ (ج) إذا كان عزم الدوران هذا ناتجًا عن زوج من القوى المؤثرة عند النقطة الأكثر فعالية على خط الاستواء، فماذا سيكون مقدار كل قوة؟

    في الشكل، تظهر صورة الأرض. يظهر مستوى مدار الأرض كخط أفقي عند خط الاستواء. يميل المحور الشمالي الجنوبي للأرض بزاوية 23.5 درجة من العمودي. هناك متجهان، L و L Prime، يميلان بزاوية ثلاث وعشرين نقطة إلى خمس درجات إلى الرأسي، بدءًا من مركز الأرض. يمر المتجه L عبر القطب الشمالي للأرض. على رأس المتجهين توجد دائرة موجهة في اتجاه عقارب الساعة كما هو موضح من الأعلى. يظهر متجه الزخم الزاوي، Delta L، الموجه نحو اليسار، على طول قطره.

    مشاكل إضافية

    1. يتدحرج رخام على الأرض بسرعة ٧٫٠ م/ثانية عندما يبدأ تشغيل مستوًى يميل بزاوية ٣٠ درجة إلى الأفقي. (أ) إلى أي مدى ينتقل الرخام على طول الطائرة قبل أن يستريح؟ (ب) كم من الوقت ينقضي أثناء تحرك الرخام إلى أعلى الطائرة؟
    2. كرر المشكلة السابقة باستبدال الرخام بكرة مجوفة. اشرح النتائج الجديدة.
    3. كتلة طوق نصف قطره ١٫٠ م تساوي ٦٫٠ كجم. يتدحرج على سطح أفقي بسرعة ١٠٫٠ م/ث. (أ) ما مقدار الجهد المطلوب لإيقاف الطوق؟ (ب) إذا بدأ الطوق صعودًا على سطح بزاوية ٣٠ درجة على الأفقي بسرعة ١٠٫٠ م/ث، فما المسافة التي سيقطعها الطوق على طول المنحدر قبل توقفه وتدحرجه لأسفل؟
    4. كرر المشكلة السابقة مع كرة مجوفة بنفس نصف القطر والكتلة والسرعة الأولية. اشرح الاختلافات في النتائج.
    5. جسم كتلته ٠٫٥ كجم ويسير على طول الخط x = ٥٫٠ م بسرعة ٢٫٠ م/ث في الاتجاه الصادي الموجب. ما مقدار الحركة الزاوي للجسيم حول نقطة الأصل؟
    6. يتحرَّك جسم وزنه ٤٫٠ كجم في دائرة نصف قطرها ٢٫٠ م، ويتغير الزخم الزاوي للجسيم بمرور الوقت وفقًا للمقياس l = ٥٫٠t ٢. (أ) ما عزم الدوران المؤثِّر على الجسم المحيط بمركز الدائرة عند t = 3.4 s؟ (ب) ما السرعة الزاوية للجسيم عند t = 3.4 s؟
    7. تتسارع بروتون في سيكلوترون إلى ٥٫٠ × ١٠ ٦ م/ث خلال 0.01 ثانية، ويتبع البروتون مسارًا دائريًا. إذا كان نصف قطر السيكلوترون 0.5 كم، (أ) ما مقدار الحركة الزاوية للبروتون حول المركز عند سرعته القصوى؟ (ب) ما عزم دوران البروتون حول المركز أثناء تسارعه إلى السرعة القصوى؟
    8. (أ) ما مقدار الزخم الزاوي للقمر في مداره حول الأرض؟ (ب) كيف يمكن مقارنة هذا الزخم الزاوي مع الزخم الزاوي للقمر على محوره؟ تذكر أن القمر يحافظ على جانب واحد تجاه الأرض في جميع الأوقات.
    9. يتم تدوير قرص DVD بسرعة 500 دورة في الدقيقة. ما مقدار الحركة الزاوي لقرص DVD إذا كان نصف قطره 6.0 سم وكتلته 20.0 g؟
    10. يدور قرص الخزاف من السكون حتى 10 دورات في الثانية في 15 ثانية، وكتلة القرص 3.0 كجم ونصف قطره 30.0 سم. ما مقدار الحركة الزاوي للقرص عند t = 5 ثوانٍ، t = 10 ثوانٍ؟
    11. لنفترض أنك شغّلت سيارة عتيقة بفعل قوة مقدارها ٣٠٠ نيوتن على كرنها لمدة ٠٫٢٥٠ ثانية، فما مقدار الزخم الزاوي الذي يُعطى للمحرك إذا كان مقبض الكرنك على بُعد ٠٫٣٠٠ متر من المحور وكانت القوة مُؤثِّرة لتوليد أقصى عزم دوران طوال الوقت؟
    12. تدور أسطوانة صلبة كتلتها ٢٫٠ كجم ونصف قطرها ٢٠ سم بعكس اتجاه عقارب الساعة حول محور عمودي يمر عبر مركزها بسرعة ٦٠٠ لفة/دقيقة. تدور أسطوانة صلبة ثانية من نفس الكتلة في اتجاه عقارب الساعة حول نفس المحور الرأسي بسرعة 900 لفة/دقيقة. إذا كانت الأسطوانات مزدوجة بحيث تدور حول نفس المحور الرأسي، فما السرعة الزاوية للمجموعة؟
    13. يقف صبي في منتصف منصة تدور دون احتكاك بسرعة 1.0 لفة/ثانية، ويحمل الصبي أوزانًا بعيدة عن جسده قدر الإمكان. في هذا الموضع، يبلغ إجمالي عزم القصور الذاتي للصبي والمنصة والأوزان 5.0 كجم • م 2. يرسم الصبي الأوزان بالقرب من جسده، مما يقلل من إجمالي لحظة القصور الذاتي إلى 1.5 كجم • م 2. (أ) ما هي السرعة الزاوية النهائية للمنصة؟ (ب) ما مقدار زيادة طاقة الحركة الدورانية؟
    14. يتسلق ثمانية أطفال، يبلغ وزن كل منهم 40 كجم، في جولة صغيرة من المرح. يضعون أنفسهم بالتساوي على الحافة الخارجية ويتعاونون. يبلغ نصف قطر جولة المرح 4.0 م ولحظة القصور الذاتي 1000.0 كجم • م 2. بعد إعطاء دورة المرح سرعة زاوية قدرها 6.0 لفة/دقيقة، يمشي الأطفال إلى الداخل ويتوقفون عندما يكونون على بعد 0.75 مترًا من محور الدوران. ما السرعة الزاوية الجديدة لجولة مرح الدوران؟ افترض وجود عزم احتكاك ضئيل على الهيكل.
    15. تدور عصا مترية رقيقة كتلتها ١٥٠ جم حول محور عمودي على المحور الطويل للعصا بسرعة زاوية قدرها ٢٤٠ لفة/دقيقة. ما مقدار الحركة الزاوي للعصا إذا كان محور الدوران (أ) يمر عبر مركز العصا؟ (ب) يمر عبر أحد طرفي العصا؟
    16. يدور قمر صناعي على شكل كرة كتلتها ٢٠٠٠٠ كجم ونصف قطره ٥٫٠ م حول محور يمر عبر مركز كتلته. يبلغ معدل دورانه 8.0 لفة/ثانية، وينتشر هوائيان في مستوى الدوران الممتد من مركز كتلة القمر الصناعي. يمكن تقريب كل هوائي في صورة قضيب كتلته 200.0 kg وطوله 7.0 m. ما معدل الدوران الجديد للقمر الصناعي؟
    17. عزم القصور الذاتي لقمة مقدارها ٣٫٢ × ١٠ −٤ كجم • م ٢ ونصف قطرها ٤٫٠ سم من مركز الكتلة إلى النقطة المحورية. إذا كانت تدور بسرعة ٢٠٫٠ لفة/ثانية وتتم معالجتها مسبقًا، فما عدد الدورات التي تقوم بمعالجتها في ١٠٫٠ ث؟

    مشاكل التحدي

    1. الشاحنة الموضحة أدناه في حالة سكون مبدئيًا مع وجود لفة أسطوانية صلبة من الورق على سريرها. إذا تحركت الشاحنة للأمام بتسارع منتظم a، فما المسافة s التي تقطعها قبل أن يتدحرج الورق عن طرفه الخلفي؟ (تلميح: إذا تسارعت اللفافة للأمام بمقدار a ′، فإنها تتسارع للخلف بالنسبة للشاحنة مع تسارع a − a′. أيضًا، R\(\alpha\) = a − a′.)

    رسم لشاحنة مسطحة على طريق أفقي. تتسارع الشاحنة إلى الأمام مع التسارع أ. يحتوي سرير الشاحنة على أسطوانة على مسافة d من الطرف الخلفي للسرير.

    1. قُذفت كرة بولينج نصف قطرها ٨٫٥ سم على ممر بولينج بسرعة ٩٫٠ م/ث، ويكون اتجاه الرمية يسارًا، كما يراها الراصد، لذلك تبدأ كرة البولينج في الدوران بعكس اتجاه عقارب الساعة عند ملامستها للأرض. معامل الاحتكاك الحركي على المسار هو 0.3. (أ) ما هو الوقت اللازم لكي تصل الكرة إلى النقطة التي لا تنزلق فيها؟ ما المسافة d إلى النقطة التي تتدحرج فيها الكرة دون انزلاق؟
    2. كرة صغيرة كتلتها ٠٫٥٠ كجم متصلة بواسطة خيط بدون كتلة بقضيب عمودي يدور كما هو موضح أدناه. عندما تبلغ السرعة الزاوية للقضيب 6.0 راد/ثانية، يصنع الخيط زاوية قدرها 30 درجة بالنسبة للعمودي. (أ) إذا زادت السرعة الزاوية إلى 10.0 راد/ثانية، فما الزاوية الجديدة للخيط؟ (ب) احسب اللحظات الزاوية الأولية والنهائية للكرة. (ج) هل يمكن للقضيب أن يدور بسرعة كافية بحيث تكون الكرة أفقية؟

    يدور قضيب عمودي على محوره. يتم ربط خيط بأعلى القضيب في أحد طرفيه وكرة في الطرف الآخر. يتدلى الخيط بزاوية من القضيب.

    1. يصطدم خطأ يحلق أفقيًا بسرعة ١٫٠ م/ث ويلتصق بنهاية عصا موحدة معلقة رأسيًّا. بعد الاصطدام، تتأرجح العصا إلى زاوية قصوى تبلغ 5.0 درجة من الوضع الرأسي قبل الدوران للخلف. إذا كانت كتلة العصا 10 أضعاف كتلة الحشرة، فاحسب طول العصا.

    المساهمون والصفات

    Template:ContribOpenStaxUni