Skip to main content
Global

11.5: حركة الجيروسكوب

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    199879

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم

    • وصف العمليات الفيزيائية الكامنة وراء ظاهرة التسابق
    • احسب السرعة الزاوية التمهيدية للجيروسكوب

    \(\PageIndex{1}\)يوضح الشكل جيروسكوب، يُعرَّف بأنه قرص دوار يكون فيه محور الدوران حرًا لاتخاذ أي اتجاه. عند الدوران، لا يتأثر اتجاه محور الدوران باتجاه الجسم الذي يحيط به. يمكن نقل الجسم أو السيارة التي تحتوي على الجيروسكوب من مكان إلى آخر وسيظل اتجاه محور الدوران كما هو. هذا يجعل الجيروسكوبات مفيدة جدًا في الملاحة، خاصة عندما لا يمكن استخدام البوصلات المغناطيسية، كما هو الحال في المركبات الفضائية المأهولة وغير المأهولة، والصواريخ الباليستية العابرة للقارات، والمركبات الجوية بدون طيار، والأقمار الصناعية مثل تلسكوب هابل الفضائي.

    رسم لجيروسكوب، يتكون من قرص يمكن أن يدور على عمود، عموديًا على مستوى القرص وعبر مركزه. حلقتان تحيط بالجيروسكوب. أحدهما متصل بالعمود الموجود أعلى القرص وأسفله، والآخر متصل بالدائرة الأولى وهو في مستوى القرص بحيث تكون هذه الحلقة الثانية متحدة المركز مع القرص.
    الشكل\(\PageIndex{1}\): يتكون الجيروسكوب من قرص دوار حول محور حر في اتخاذ أي اتجاه.

    نوضح حركة الجيروسكوب بمثال للجزء العلوي في الشكلين التاليين. إذا تم وضع الجزء العلوي على سطح مستوٍ بالقرب من سطح الأرض بزاوية رأسية ولا يدور، فسوف يسقط بسبب قوة الجاذبية التي تنتج عزم دوران يعمل على مركز كتلته. يظهر هذا في الشكل\(\PageIndex{2a}\). ومع ذلك، إذا كان الجزء العلوي يدور حول محوره، بدلًا من أن يتدحرج بسبب عزم الدوران هذا، فإنه يدور حول المحور الرأسي، كما هو موضح في\(\PageIndex{2b}\). ويرجع ذلك إلى عزم الدوران الموجود في مركز الكتلة، والذي يوفر التغيير في الزخم الزاوي.

    الشكل أ: يتم عرض نظام الإحداثيات x y z، مع إخراج x من الصفحة، و y إلى اليمين، و z لأعلى. نقطة الأصل هي النقطة O. يظهر الجزء العلوي بنقطته عند نقطة الأصل ومحوره مائل بعيدًا عن المحور z العمودي. محور الجزء العلوي هو خط O O Prime. يمتد المتجه r من نقطة الأصل إلى مركز الكتلة، المسمى C M، في الجزء العلوي. تعمل القوة M g نزولًا عند مركز الكتلة. عزم الدوران حول نقطة الأصل يساوي المتجه r المتقاطع مع المتجه M g، وعزم الدوران هذا هو متجه في المستوى x y، عموديًا على المتجه r. الشكل ب: يتم عرض إحداثيات x y z والجزء العلوي. يميل الجزء العلوي مرة أخرى بعيدًا عن المحور z ويدور بسرعة عكس اتجاه عقارب الساعة حول المحور O الرئيسي كما هو موضح من الأعلى. تتبع سرعة الجزء العلوي دائرة بعكس اتجاه عقارب الساعة كما تُرى من الأعلى وتتركز على المحور z. يشار إلى المخروط الذي اجتاحه مقدمة الجزء العلوي باستخدام خطوط متقطعة.
    الشكل\(\PageIndex{2}\): (أ) إذا لم يكن الجزء العلوي يدور، فهناك عزم دوران\(\vec{r} \times M\vec{g}\) حول الأصل، ويسقط الجزء العلوي. (ب) إذا كان الجزء العلوي يدور حول محوره OO′، فإنه لا يسقط بل يتحرك بسرعة حول المحور z.

    \(\PageIndex{3}\)يوضِّح الشكل القوى المؤثِّرة على قمة دوارة. يكون عزم الدوران الناتج عموديًا على متجه الزخم الزاوي. يؤدي هذا إلى تغيير اتجاه متجه الزخم الزاوي\(\vec{L}\) وفقًا لـ d\(\vec{L}\) =\(\vec{\tau}\) dt، ولكن ليس حجمه. يدور الجزء العلوي حول المحور الرأسي، نظرًا لأن عزم الدوران دائمًا ما يكون أفقيًا وعموديًا عليه\(\vec{L}\). إذا لم يكن الجزء العلوي يدور، فإنه يكتسب زخمًا زاويًا في اتجاه عزم الدوران، ويدور حول محور أفقي، ويسقط تمامًا كما نتوقع.

    يتم عرض نظام إحداثيات x y z، مع إخراج x من الصفحة، و y إلى اليمين، و z لأعلى. نقطة الأصل هي النقطة O. يظهر الجزء العلوي بنقطته عند نقطة الأصل ومحوره مائل بزاوية ثيتا بعيدًا عن المحور z العمودي، في اتجاه عقارب الساعة أثناء مشاهدتنا لها. يمتد المتجه r من نقطة الأصل إلى مركز الكتلة، المسمى C M، في الجزء العلوي. تعمل القوة M g نزولًا عند مركز الكتلة. عزم الدوران، tau، حول نقطة الأصل يساوي المتجه r المتقاطع مع المتجه M g، وعزم الدوران هذا هو متجه في المستوى x y، عموديًا على المتجه r، في الصفحة. السرعة الزاوية، أوميغا، للجزء العلوي هي عكس اتجاه عقارب الساعة كما هو موضح من الأعلى. يقع الزخم الزاوي، L، في نفس اتجاه متجه r، ويميل لأعلى على طول محور الجزء العلوي. تظهر الدائرة التي تتبعها مقدمة الجزء العلوي كدائرة أفقية فوق الجزء العلوي. تكون السرعة الزاوية الأولية للأوميغا الفرعية p عكس اتجاه عقارب الساعة كما هو موضح من الأعلى. نصف قطر الدائرة التمهيدية هو L مع ثيتا. يكون المتجه d L مماسًا للدائرة، ويشير إلى الصفحة، ويساوي المتجه tau d t. ويظهر المثلث المكون L sine theta و d L، والزاوية المقابلة من d L تسمى d phi.
    الشكل\(\PageIndex{3}\): قوة الجاذبية المؤثرة على مركز الكتلة تنتج عزم دوران\(\vec{\tau}\) في الاتجاه العمودي على\(\vec{L}\). \(\vec{L}\)لا يتغير الحجم ولكن اتجاهه يتغير، ويضغط الجزء العلوي على المحور z.

    يمكننا تجربة هذه الظاهرة بشكل مباشر من خلال الإمساك بعجلة دراجة دوارة ومحاولة تدويرها حول محور عمودي على محور الدوران. كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{4}\)، يقوم الشخص بتطبيق القوى بشكل عمودي على محور الدوران في محاولة لتدوير العجلة، ولكن بدلاً من ذلك، يبدأ محور العجلة في تغيير الاتجاه إلى يسارها بسبب عزم الدوران المطبق.

    في الشكل (أ)، تواجه امرأة المشاهد وتمسك بعجلة دراجة دوارة نصف قطرها r بجانب المحور. تكون العجلة بحيث تكون أوميغا السرعة الزاوية والزخم الزاوي L على طول محور دوران العجلة، إلى يسارها (يمين المشاهد.) أي أن حركة العجلة تجعل الجزء السفلي من العجلة يتحرك نحوها (في الصفحة). يظهر اتجاه القوة F التي طبقتها يدها اليسرى لأسفل ويدها اليمنى في الاتجاه التصاعدي. عزم الدوران هو تجاهها (في الصفحة.) في الشكل b، يظهر إضافة متجهين L و Delta-L، وهو موازٍ لعزم الدوران تاو. يُطلق على ناتج المتجهين اسم L زائد دلتا L. واتجاه الدوران، أوميغا الفرعية p، هو عكس اتجاه عقارب الساعة كما هو موضح من الأعلى.
    الشكل\(\PageIndex{4}\): (أ) شخص يحمل عجلة الدراجة الدوارة يرفعها بيدها اليمنى ويدفعها لأسفل بيدها اليسرى في محاولة لتدوير العجلة. يخلق هذا الإجراء عزم دوران مباشر تجاهها. يتسبب عزم الدوران هذا في تغيير الزخم الزاوي\(\Delta \vec{L}\) في نفس الاتجاه تمامًا. (ب) رسم تخطيطي متجه يوضح كيفية\(\Delta \vec{L}\)\(\vec{L}\) الجمع، وينتج عنه زخم زاوي جديد يشير أكثر نحو الشخص. تتحرك العجلة باتجاه الشخص بشكل عمودي على القوى التي تمارسها عليها.

    نعلم جميعًا مدى سهولة انقلاب الدراجة عند الجلوس عليها أثناء الراحة. ولكن عند ركوب الدراجة بوتيرة جيدة، يصعب قلبها لأنه يجب علينا تغيير متجه الزخم الزاوي للعجلات الدوارة.

    ملاحظة

    شاهد هذا الفيديو عن حركة الجيروسكوب للحصول على عرض كامل لسرعة عجلة الدراجة.

    أيضًا، عند وضع قرص دوار في صندوق مثل مشغل Blu-Ray، حاول نقله. من السهل ترجمة الصندوق في اتجاه معين ولكن من الصعب تدويره حول محور عمودي على محور القرص الدوار، نظرًا لأننا نضع عزم دوران على الصندوق سيؤدي إلى ضغط متجه الزخم الزاوي للقرص الدوار.

    يمكننا حساب معدل السرعة للجزء العلوي في الشكل\(\PageIndex{3}\). من الشكل\(\PageIndex{3}\)، نرى أن حجم عزم الدوران هو

    \[\tau = rMg \sin \theta \ldotp\]

    وهكذا،

    \[dL = rMg \sin \theta dt \ldotp\]

    الزاوية التي يضغط عليها الجزء العلوي في الوقت المحدد هي

    \[d \phi = \frac{dL}{L \sin \theta} = \frac{rMg \sin \theta}{L \sin \theta} dt = \frac{rMg}{L} dt \ldotp\]

    السرعة الزاوية للسلك هي\(\omega_{P} = \frac{d \phi}{dt}\) ومن هذه المعادلة نرى ذلك

    \[\omega_{P} = \frac{rMg}{L} \ldotp\]

    أو، بما أن L = I\(\omega\)،

    \[\omega_{P} = \frac{rMg}{I \omega} \ldotp \label{11.12}\]

    في هذا الاشتقاق، افترضنا أنه\(\omega_{P}\) <<\(\omega\)، أي أن السرعة الزاوية التمهيدية أقل بكثير من السرعة الزاوية لقرص الجيروسكوب. تضيف السرعة الزاوية التمهيدية مكونًا صغيرًا إلى الزخم الزاوي على طول المحور z. يظهر هذا في شكل انحناء طفيف لأعلى ولأسفل أثناء ضغط الجيروسكوب، ويشار إليه باسم التعويم.

    تعمل الأرض نفسها مثل جيروسكوب عملاق. يقع زخمها الزاوي على طول محورها ويشير حاليًا إلى Polaris، نجمة الشمال. لكن الأرض تستعد ببطء (مرة واحدة في حوالي 26000 سنة) بسبب عزم الشمس والقمر على شكله غير الكروي.

    مثال\(\PageIndex{1}\): Period of Precession

    يدور الجيروسكوب بطرفه على الأرض ويدور بمقاومة احتكاك ضئيلة. كتلة قرص الجيروسكوب 0.3 كجم ويدور بسرعة 20 لفة/ثانية، ومركز كتلته على بعد 5.0 سم من المحور ونصف قطر القرص 5.0 سم. ما هي الفترة التمهيدية للجيروسكوب؟

    إستراتيجية

    نستخدم المعادلة\ ref {11.12} لإيجاد السرعة الزاوية التمهيدية للجيروسكوب. هذا يسمح لنا بالعثور على فترة الحركة.

    الحل

    لحظة القصور الذاتي للقرص هي

    \[I = \frac{1}{2} mr^{2} = \frac{1}{2} (0.30\; kg)(0.05\; m)^{2} = 3.75 \times 10^{-4}\; kg\; \cdotp m^{2} \ldotp \nonumber\]

    السرعة الزاوية للقرص هي

    \[20.0\; rev/s = (20.0)(2 \pi)\; rad/s = 125.66\; rad/s \ldotp \nonumber\]

    يمكننا الآن الاستبدال في المعادلة\ ref {11.12}. السرعة الزاوية الاستباقية هي

    \[\omega_{P} = \frac{rMg}{I \omega} = \frac{(0.05\; m)(0.3\; kg)(9.8\; m/s^{2})}{(3.75 \times 10^{-4}\; kg\; \cdotp m^{2})(125.66\; rad/s)} = 3.12\; rad/s \ldotp \nonumber\]

    الفترة التمهيدية للجيروسكوب هي

    \[T_{P} = \frac{2 \pi}{3.12\; rad/s} = 2.0\; s \ldotp \nonumber\]

    الأهمية

    التردد الزاوي التمهيدي للجيروسكوب، 3.12 راد/ثانية، أو حوالي 0.5 لفة/ثانية، أقل بكثير من السرعة الزاوية 20 لفة/ثانية لقرص الجيروسكوب. لذلك، لا نتوقع ظهور مكون كبير من الزخم الزاوي بسبب الحركة التمهيدية، والمعادلة 11.12 هي تقريب جيد للسرعة الزاوية التمهيدية.

    التمارين\(\PageIndex{1}\)

    يحتوي الجزء العلوي على تردد سابق يبلغ 5.0 راد/ثانية على الأرض. ما تردُّد حركته على القمر؟