10.S: مقدمة دوران المحور الثابت (ملخص)
- Page ID
- 199991
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
الشروط الرئيسية
| التسارع الزاوي | معدل الوقت لتغيير السرعة الزاوية |
| الموضع الزاوي | الزاوية التي مر بها الجسم في نظام إحداثيات ثابت |
| السرعة الزاويّة | معدل وقت تغيير الموضع الزاوي |
| تسارع زاوي فوري | مشتق من السرعة الزاوية فيما يتعلق بالوقت |
| السرعة الزاوية اللحظية | مشتق من الموضع الزاوي فيما يتعلق بالوقت |
| معادلات الحركة الدورانية | يصف العلاقات بين زاوية الدوران والسرعة الزاوية والتسارع الزاوي والوقت |
| ذراع الرافعة | المسافة العمودية من الخط الذي يقع عليه متجه القوة إلى محور معين |
| كثافة الكتلة الخطية | الكتلة لكل وحدة طول لكائن أحادي البعد |
| لحظة القصور الذاتي | الكتلة الدورانية للأجسام الصلبة التي تتعلق بمدى سهولة أو صعوبة تغيير السرعة الزاوية للجسم الصلب الدوار |
| قانون نيوتن الثاني للدوران | مجموع عزم الدوران في النظام الدوراني يساوي لحظة القصور الذاتي مضروبًا في التسارع الزاوي |
| المحور الموازي | محور الدوران الموازي للمحور الذي تُعرف عنه لحظة القصور الذاتي للكائن |
| نظرية المحور المتوازي | إذا كانت لحظة القصور الذاتي معروفة لمحور معين، فيمكن العثور عليها لأي محور موازٍ له |
| ديناميكا دورانية | تحليل الحركة الدورانية باستخدام عزم الدوران الصافي ولحظة القصور الذاتي لإيجاد التسارع الزاوي |
| طاقة حركية دورانية | الطاقة الحركية الناتجة عن دوران الجسم؛ هذا جزء من إجمالي طاقته الحركية |
| العمل الدوراني | يتم العمل على جسم صلب بسبب مجموع عزم الدوران المدمج فوق الزاوية مع دوران الجسم |
| كثافة الكتلة السطحية | الكتلة لكل وحدة مساحة\(\sigma\) لكائن ثنائي الأبعاد |
| عزم الدوران | المنتج المتقاطع للقوة وذراع الرافعة إلى محور معين |
| التسارع الخطي الكلي | مجموع متجه متجه متجه التسارع المركزي ومتجه التسارع العرضي |
| نظرية الشغل والطاقة للدوران | إجمالي العمل الدوراني المنجز على جسم صلب يساوي التغيير في الطاقة الحركية الدورانية للجسم |
المعادلات الرئيسية
| الموضع الزاوي | $$\ theta =\ frac {s} {r} $$ |
| السرعة الزاويّة | $$\ أوميغا =\ lim_ {\ دلتا تي\ السهم الأيمن 0}\ فراك {\ دلتا\ ثيتا} {\ دلتا تي} =\ فراك {د\ ثيتا} {dt} $$ |
| سرعة تماسية | $$v_ {t} = r\ أوميغا $$ |
| التسارع الزاوي | $$\ ألفا =\ lim_ {\ دلتا تي\ السهم الأيمن 0}\ فراك {\ دلتا\ أوميغا} {\ دلتا تي} =\ فراك {د\ أوميغا} {d} =\ frac {d^ {2}\ ثيتا} {dt^ {2}} {dt^ {2}} $$ |
| التسارع المماسي | $a_ {t} = r\ alpha$$ |
| متوسط السرعة الزاوية | $$\ بار {\ أوميغا} =\ فراك {\ أوميغا _ {0} +\ أوميغا _ {f}} {2} $$ |
| النزوح الزاوي | $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ بار {\ أوميغا} t$$ |
| السرعة الزاوية من التسارع الزاوي الثابت | $$\ أوميغا _ {f} =\ أوميغا _ {0} +\ ألفا t$$ |
| السرعة الزاوية من الإزاحة والتسارع الزاوي المستمر | $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ أوميغا _ {0} t +\ frac {1} {2}\ ألفا t^ {2} $$ |
| التغيير في السرعة الزاوية | $$\ omega_ {f} ^ {2} =\ أوميغا _ {0} ^ {2} + 2a (\ دلتا\ ثيتا) $$ |
| التسارع الكلي | $$\ vec {a} =\ vec {a} _ {c} +\ vec {a} _ {t} $$ |
| طاقة الحركة الدورانية | $$K =\ frac {1} {2}\ يسار (\ sum_ {j} m_ {j} r_ {j} ^ {2}\ يمين)\ أوميغا ^ {2} $$ |
| لحظة القصور الذاتي | $$I =\ sum_ {j} m_ {j} r_ {j} ^ {2} $$ |
| الطاقة الحركية الدورانية من حيث لحظة القصور الذاتي للجسم الصلب | $$K =\ frac {1} {2} أنا\ أوميغا ^ {2} $$ |
| لحظة القصور الذاتي لكائن مستمر | $$I =\ int r^ {2} dm$$ |
| نظرية المحور المتوازي | $I_ {المحور المتوازي} = I_ {الأولي} + md^ {2} $$ |
| لحظة القصور الذاتي لكائن مركب | $I_ {المجموع} =\ sum_ {i} I_ {i} $$ |
| ناقل عزم الدوران | $$\ vec {\ تاو} =\ فيك {r}\ مرات\ فيك {F} $$ |
| حجم عزم الدوران | $|\ فيك {\ تاو} | = r_ {\ perp} F$$ |
| عزم الدوران الكلي | $$\ vec {\ تاو} _ {net} =\ sum_ {i} |\ vec {\ tau} _ {i} |$$ |
| قانون نيوتن الثاني للدوران | $$\ sum_ {i}\ tau_ {i} = I\ alpha$$ |
| العمل الإضافي الذي يتم بواسطة عزم الدوران | $dw =\ يسار (\ sum_ {i}\ tau_ {i}\ يمين) d\ theta$$ |
| نظرية الشغل والطاقة | $W_ {AB} = K_ {B} - K_ {A} $$ |
| العمل الدوراني الذي يتم بواسطة القوة الصافية | $W_ {AB} =\ int_ {\ theta_ {A}} ^ {\ theta_ {B}}\ يسار (\ sum_ {i}\ tau_ {i}\ يمين)\ theta$$ |
| قوة دورانية | $$P =\ تاو\ أوميغا $$ |
ملخص
10.1 المتغيرات الدورانية
- الموضع\(\theta\) الزاوي للجسم الدوار هو الزاوية التي يدور الجسم خلالها في نظام الإحداثيات الثابت، والذي يعمل كإطار مرجعي.
- تُعرَّف السرعة الزاوية لجسم دوار حول محور ثابت على أنها\(\omega\) (rad/s)، وهو معدل دوران الجسم بالراديان في الثانية. السرعة الزاوية اللحظية للجسم الدوار\(\omega = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d \theta}{dt}\) هي المشتقة فيما يتعلق بوقت الموضع الزاوي\(\theta\)، والتي يتم العثور عليها بأخذ الحد\(\Delta\) t → 0 في متوسط السرعة الزاوية\(\bar{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}\). تربط السرعة الزاوية v t بالسرعة العرضية لنقطة على الجسم الدوار من خلال العلاقة v t = r\(\omega\)، حيث r هو نصف القطر إلى النقطة و v t هي السرعة العرضية عند النقطة المحددة.
- تم العثور\(\vec{\omega}\) على السرعة الزاوية باستخدام قاعدة اليد اليمنى. إذا كانت الأصابع تلتف في اتجاه الدوران حول محور ثابت، يشير الإبهام في اتجاه\(\vec{\omega}\) (انظر الشكل 10.5).
- إذا لم تكن السرعة الزاوية للنظام ثابتة، فسيكون للنظام تسارع زاوي. متوسط التسارع الزاوي خلال فترة زمنية معينة هو التغيير في السرعة الزاوية خلال هذه الفترة الزمنية,\(\bar{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\). التسارع الزاوي اللحظي هو المشتق الزمني للسرعة الزاوية،\(\alpha = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d \omega}{dt} = \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}}\). \(\vec{\alpha}\)يتم العثور على التسارع الزاوي من خلال تحديد السرعة الزاوية. في حالة انخفاض معدل دوران الجسم الدوار، يكون التسارع الزاوي في الاتجاه المعاكس لـ\(\vec{\omega}\). في حالة زيادة معدل الدوران، يكون التسارع الزاوي في نفس الاتجاه\(\vec{\omega}\).
- التسارع العرضي لنقطة عند دائرة نصف قطرها من محور الدوران هو التسارع الزاوي مضروبًا في نصف القطر إلى النقطة.
10.2 الدوران مع التسارع الزاوي الثابت
- تصف حركية الحركة الدورانية العلاقات بين زاوية الدوران (الموضع الزاوي) والسرعة الزاوية والتسارع الزاوي والوقت.
- بالنسبة للتسارع الزاوي الثابت، تختلف السرعة الزاوية خطيًا. لذلك، يبلغ متوسط السرعة الزاوية 1/2 السرعة الزاوية الأولية بالإضافة إلى السرعة النهائية خلال فترة زمنية معينة: $$\ bar {\ omega} =\ frac {\ omega_ {0} +\ omega_ {f}} {2}\ ldotp$$
- استخدمنا تحليلًا رسوميًا لإيجاد حلول لدوران المحور الثابت مع التسارع الزاوي المستمر. من خلال العلاقة\(\omega = \frac{d \theta}{dt}\)، وجدنا أن المنطقة الواقعة تحت السرعة الزاوية مقابل. - منحنى الوقت يعطي الإزاحة الزاوية،\(\theta_{f} - \theta_{0} = \Delta \theta = \int_{t_{0}}^{t} \omega (t)dt\). تم التحقق من نتائج التحليل الرسومي باستخدام المعادلات الحركية للتسارع الزاوي الثابت. وبالمثل، منذ ذلك الحين\(\alpha = \frac{d \omega}{dt}\)، فإن المنطقة الواقعة تحت التسارع الزاوي مقابل. - يعطي الرسم البياني - الوقت التغيير في السرعة الزاوية:\(\omega{f} - \omega{0} = \Delta \omega= \int_{t_{0}}^{t} \alpha (t)dt\).
10.3 ربط الكميات الزاويّة والانتقالية
- تحتوي المعادلات الحركية الخطية على نظيراتها الدورانية بحيث يكون هناك رسم خرائط x →\(\theta\)، v →\(\omega\)، a →\(\alpha\).
- النظام الذي يخضع لحركة دائرية منتظمة له سرعة زاوية ثابتة، لكن النقاط على مسافة r من محور الدوران لها تسارع مركزي خطي.
- النظام الذي يخضع لحركة دائرية غير منتظمة له تسارع زاوي وبالتالي يكون له تسارع مركزي خطي وتسارع مماسي خطي عند نقطة على بعد r من محور الدوران.
- التسارع الخطي الكلي هو مجموع متجه متجه التسارع المركزي ومتجه التسارع المماسي. نظرًا لأن متجهات التسارع المركزي والعجلة المماسية متعامدة مع بعضها البعض للحركة الدائرية، فإن حجم التسارع الخطي الكلي هو\(|\vec{a}| = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{t}^{2}}\).
10.4 لحظة القصور الذاتي والطاقة الحركية الدورانية
- الطاقة الحركية الدورانية هي الطاقة الحركية لدوران الجسم الصلب الدوار أو نظام الجسيمات، ويتم الحصول عليها من خلال\(K = \frac{1}{2} I \omega^{2}\)، حيث I هي لحظة القصور الذاتي، أو «الكتلة الدورانية» للجسم الصلب أو نظام الجسيمات.
- إن لحظة القصور الذاتي لنظام الجسيمات النقطية التي تدور حول محور ثابت هي\(I = \sum_{j} m_{j} r_{j}^{2}\)، حيث m j هي كتلة الجسيم النقطي و r j هي مسافة الجسيم النقطي إلى محور الدوران. بسبب مصطلح r 2، تزداد لحظة القصور الذاتي كمربع المسافة إلى محور الدوران الثابت. لحظة القصور الذاتي هي النظير الدوراني للكتلة في الحركة الخطية.
- في الأنظمة التي يتم تدويرها وترجمتها، يمكن استخدام الحفاظ على الطاقة الميكانيكية إذا لم تكن هناك قوى غير محافظة في العمل. ثم يتم حفظ الطاقة الميكانيكية الكلية وهي مجموع الطاقات الحركية الدورانية والانتقالية، وطاقة الجاذبية الكامنة.
10.5 حساب لحظات القصور الذاتي
- يمكن العثور على لحظات القصور الذاتي من خلال الجمع أو الدمج فوق كل «قطعة كتلة» تشكل كائنًا، مضروبًا في مربع مسافة كل «قطعة كتلة» إلى المحور. في شكل متكامل، فإن لحظة القصور الذاتي هي\(I = \int r^{2} dm\).
- تكون لحظة القصور الذاتي أكبر عندما تكون كتلة الجسم أبعد عن محور الدوران.
- من الممكن العثور على لحظة القصور الذاتي للكائن حول محور الدوران الجديد بمجرد معرفته بالمحور الموازي. وهذا ما يسمى بنظرية المحور المتوازي المعطاة بواسطة المحور المتوازي الأول = مركز الكتلة + md 2، حيث d هي المسافة من المحور الأولي إلى المحور الموازي.
- إن لحظة القصور الذاتي لكائن مركب هي ببساطة مجموع لحظات القصور الذاتي لكل كائن فردي يتكون منه الكائن المركب.
10.6 عزم الدوران
- يتم حساب حجم عزم الدوران حول محور ثابت من خلال إيجاد ذراع الرافعة إلى النقطة التي يتم فيها تطبيق القوة واستخدام العلاقة\(|\vec{\tau}|\) = r \(\perp\)F، حيث r \(\perp\)هي المسافة العمودية من المحور إلى الخط الذي يقع عليه متجه القوة.
- تم العثور على علامة عزم الدوران باستخدام قاعدة اليد اليمنى. إذا كانت الصفحة هي المستوى الذي يحتوي على\(\vec{r}\) و\(\vec{F}\)،\(\vec{r} \times \vec{F}\) فسيكون ذلك خارج الصفحة لعزم الدوران الإيجابي وفي الصفحة الخاصة بعزم الدوران السالب.
- يمكن العثور على عزم الدوران الصافي من خلال جمع عزم الدوران الفردي حول محور معين.
١٠.٧ قانون نيوتن الثاني للدوران
- قانون نيوتن الثاني للدوران\(\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha\),, يقول أن مجموع عزم الدوران على نظام دوار حول محور ثابت يساوي ناتج لحظة القصور الذاتي والتسارع الزاوي. هذا هو التناظر الدوراني لقانون نيوتن الثاني للحركة الخطية.
- في الشكل المتجه لقانون نيوتن الثاني للدوران،\(\vec{\tau}\) يكون متجه عزم الدوران في نفس اتجاه التسارع الزاوي\(\vec{\alpha}\). إذا كان التسارع الزاوي لنظام الدوران موجبًا، يكون عزم الدوران على النظام موجبًا أيضًا، وإذا كان التسارع الزاوي سالبًا، يكون عزم الدوران سالبًا.
10.8 العمل والقوة للحركة الدورانية
- العمل الإضافي dW في تدوير جسم صلب حول محور ثابت هو مجموع عزم الدوران حول المحور مضروبًا في الزاوية الإضافية d\(\theta\).
- إجمالي العمل المنجز لتدوير جسم صلب من خلال زاوية\(\theta\) حول محور ثابت هو مجموع عزم الدوران المدمج فوق الإزاحة الزاوية. إذا كان عزم الدوران ثابتًا كدالة لـ، ثم W AB =\(\tau\) (\(\theta_{B} − \theta_{A}\)).
- تربط نظرية الشغل والطاقة العمل الدوراني المنجز بالتغير في طاقة الحركة الدورانية: W AB = K B − K A حيث\(K = \frac{1}{2} I \omega^{2}\).
- الطاقة التي يتم توصيلها إلى نظام يدور حول محور ثابت هي عزم الدوران مضروبًا في السرعة الزاوية، P =\(\tau \omega\).