Skip to main content
Global

10.E: مقدمة دوران المحور الثابت (تمارين)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    199994

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أسئلة مفاهيمية

    10.1 المتغيرات الدورانية

    1. ساعة مثبتة على الحائط. عندما تنظر إليها، ما اتجاه متجه السرعة الزاوي لعقرب الثواني؟
    2. ما قيمة التسارع الزاوي لعقرب الساعة الثاني على الحائط؟
    3. يتم تأرجح مضرب بيسبول. هل جميع النقاط على الخفاش لها نفس السرعة الزاوية؟ نفس السرعة العرضية؟
    4. تدور شفرات الخلاط على المنضدة في اتجاه عقارب الساعة وأنت تنظر إليها من الأعلى. إذا تم وضع الخلاط بسرعة أكبر، فما اتجاه التسارع الزاوي للشفرات؟

    10.2 الدوران مع التسارع الزاوي الثابت

    1. إذا كان الجسم الصلب له تسارع زاوي ثابت، فما الشكل الوظيفي للسرعة الزاوية بدلالة متغير الوقت؟
    2. إذا كان الجسم الصلب له تسارع زاوي ثابت، فما الشكل الوظيفي للموضع الزاوي؟
    3. إذا كان التسارع الزاوي لجسم صلب صفرًا، فما الشكل الوظيفي للسرعة الزاوية؟
    4. يدور حبل بلا كتلة بكتل مرتبطة بكلا الطرفين حول محور ثابت عبر المركز. هل يمكن أن يكون التسارع الكلي لتركيبة الحبل/الكتلة صفرًا إذا كانت السرعة الزاوية ثابتة؟

    10.3 ربط الكميات الزاويّة والانتقالية

    1. اشرح لماذا يغير التسارع المركزي اتجاه السرعة في الحركة الدائرية ولكن ليس حجمها.
    2. في الحركة الدائرية، يمكن للعجلة المماسية أن تغير حجم السرعة ولكن ليس اتجاهها. اشرح إجابتك.
    3. لنفترض أن قطعة من الطعام موجودة على حافة لوحة فرن الميكروويف الدوارة. هل تتعرض لتسارع عرضي غير صفري أو تسارع الجاذبية المركزية أو كليهما عندما: (أ) تبدأ اللوحة في الدوران بشكل أسرع؟ (ب) تدور اللوحة بسرعة زاويّة ثابتة؟ (ج) تتباطأ اللوحة حتى تتوقف؟

    10.4 لحظة القصور الذاتي والطاقة الحركية الدورانية

    1. ماذا لو تم وضع كوكب آخر بنفس حجم الأرض في مدار حول الشمس جنبًا إلى جنب مع الأرض. هل ستزداد لحظة القصور الذاتي للنظام أم ستنخفض أم ستبقى كما هي؟
    2. تدور كرة صلبة حول محور عبر مركزها بمعدل دوران ثابت. تدور كرة مجوفة أخرى لها نفس الكتلة ونصف القطر حول محورها عبر المركز بنفس معدل الدوران. ما الكرة التي تحتوي على طاقة حركية دورانية أكبر؟

    10.5 حساب لحظات القصور الذاتي

    1. إذا كان الطفل يمشي نحو مركز جولة المرح، فهل تزداد لحظة القصور الذاتي أم تنقص؟
    2. يدور قاذف القرص مع قرص في يده قبل تركه. (أ) كيف تتغير لحظة الجمود بعد إطلاق القرص؟ (ب) ما هو التقدير التقريبي الجيد الذي يمكن استخدامه في حساب لحظة القصور الذاتي لقاذف القرص والقرص؟
    3. هل تؤدي زيادة عدد الشفرات في المروحة إلى زيادة أو تقليل لحظة القصور الذاتي، ولماذا؟
    4. لحظة القصور الذاتي لقضيب طويل يدور حول محور يمر بأحد طرفيه عموديًا على طوله هي\(\frac{mL^{2}}{3}\). لماذا تكون لحظة القصور الذاتي هذه أكبر مما ستكون عليه إذا قمت بتدوير كتلة نقطية m في موقع مركز كتلة القضيب (at\(\frac{L}{2}\)) (سيكون ذلك\(\frac{mL^{2}}{4}\))
    5. لماذا تكون لحظة القصور الذاتي لطوق كتلته M ونصف قطره R أكبر من لحظة القصور الذاتي لقرص له نفس الكتلة ونصف القطر؟

    10.6 عزم الدوران

    1. ما العوامل الثلاثة التي تؤثر على عزم الدوران الناتج عن قوة بالنسبة إلى نقطة محورية معينة؟
    2. أعط مثالاً تمارس فيه قوة صغيرة عزم دوران كبير. أعط مثالاً آخر تمارس فيه قوة كبيرة عزم دوران صغير.
    3. عند تقليل كتلة دراجة السباق، يتم تحقيق أكبر فائدة من تقليل كتلة الإطارات وحواف العجلات. لماذا يسمح هذا للمتسابق بتحقيق تسارع أكبر من الانخفاض المماثل في كتلة إطار الدراجة؟
    4. هل يمكن لقوة واحدة إنتاج عزم دوران صفري؟
    5. هل يمكن لمجموعة من القوى أن يكون لها عزم دوران صافٍ يساوي صفرًا وقوة صافية ليست صفرًا؟
    6. هل يمكن أن تحتوي مجموعة من القوى على قوة صافية تساوي صفرًا وعزم دوران صافٍ ليس صفرًا؟
    7. في التعبير\(\vec{r} \times \vec{F}\) يمكن\(|\vec{r}|\) أن يكون أقل من ذراع الرافعة؟ هل يمكن أن تكون مساوية لذراع الرافعة؟

    10.7 قانون نيوتن الثاني للدوران

    1. إذا كنت تريد إيقاف عجلة دوارة بقوة ثابتة، فأين ستقوم بتطبيق القوة على العجلة لإنتاج أقصى تسارع سلبي؟
    2. يدور القضيب حول أحد طرفيه. قوتان\(\vec{F}\)\(− \vec{F}\) ويتم تطبيقهما عليها. تحت أي ظروف لن يدور القضيب؟

    مشاكل

    10.1 المتغيرات الدورانية

    1. احسب السرعة الزاوية للأرض.
    2. يخوض نجم مضمار سباقًا لمسافة 400 متر على مسار دائري طوله 400 متر في 45 ثانية، ما سرعته الزاوية بافتراض سرعة ثابتة؟
    3. تدور العجلة بمعدل ثابت يبلغ 2.0 × 10 3 لفة/دقيقة. (أ) ما سرعتها الزاوية بالراديان في الثانية؟ (ب) ما الزاوية التي تدور من خلالها خلال 10 ثوانٍ؟ عبّر عن الحل بالراديان والدرجات.
    4. يتحرك جسم مسافة ٣٫٠ م على طول دائرة نصف قطرها ١٫٥ م. (أ) ما الزاوية التي تدور من خلالها؟ (ب) إذا قام الجسم بهذه الرحلة خلال 1.0 ثانية بسرعة ثابتة، فما سرعته الزاوية؟ (ج) ما هي سرعته؟
    5. يدور القرص المضغوط بسرعة 500 لفة/دقيقة. إذا كان قطر القرص 120 مم، (أ) ما السرعة العرضية لنقطة عند حافة القرص؟ (ب) عند نقطة في منتصف الطريق إلى مركز القرص؟
    6. نتائج غير معقولة. تدور مروحة الطائرة بسرعة 10 دورات/ثانية عندما يقوم الطيار بإيقاف تشغيل المحرك. تُخفِّض المروحة سرعتها الزاوية بمعدل ثابت يبلغ 2.0 راد/ثانية لمدة زمنية قدرها ٤٠ ثانية، فما معدل دوران المروحة في ٤٠ ثانية؟ هل هذا وضع معقول؟
    7. يتباطأ الجيروسكوب من معدل أولي يبلغ 32.0 راد/ثانية بمعدل 0.700 راد/ثانية 2. كم من الوقت يستغرق الراحة؟
    8. عند الإقلاع، تزيد المراوح الموجودة على متن طائرة بدون طيار من سرعتها الزاوية لمدة 3.0 ثانية من السكون بمعدل\(\omega\) = (25.0t) راد/ثانية حيث يتم قياس t بالثواني. (أ) ما السرعة الزاوية اللحظية للمراوح عند t = 2.0 ثانية؟ (ب) ما هو التسارع الزاوي؟
    9. يختلف الموضع الزاوي للقضيب بمقدار 20.0t 2 راديان من الوقت t = 0. يحتوي القضيب على خرزتين كما هو موضح في الشكل التالي، واحدة على بعد 10 سم من محور الدوران والأخرى على بعد 20 سم من محور الدوران. (أ) ما السرعة الزاوية اللحظية للقضيب عند t = 5 s؟ (ب) ما هو التسارع الزاوي للقضيب؟ (ج) ما هي السرعات العرضية للخرزات عند t = 5 ثوانٍ؟ (د) ما هي التسارعات العرضية للخرزات عند t = 5 s؟ (هـ) ما هي التسارع المركزي للخرزات عند t = 5 s؟

    الشكل عبارة عن رسم لقضيب يدور عكس اتجاه عقارب الساعة. يحتوي القضيب على خرزتين، واحدة على بعد 10 سم من محور الدوران والأخرى على بعد 20 سم من محور الدوران.

    10.2 الدوران مع التسارع الزاوي الثابت

    1. عجلة لها تسارع زاوي ثابت يبلغ 5.0 راد/ثانية 2. بدءًا من الراحة، يمر عبر 300 راد. (أ) ما هي سرعته الزاوية النهائية؟ (ب) كم من الوقت ينقضي أثناء مروره عبر الـ 300 راديان؟
    2. خلال فترة زمنية مقدارها 6.0 ثوانٍ، تدور دولاب الموازنة ذو التسارع الزاوي الثابت عبر 500 راديان يكتسب سرعة زاوية مقدارها 100 راد/ثانية. (أ) ما السرعة الزاوية في بداية 6.0 ثانية؟ (ب) ما هو التسارع الزاوي لدولاب الموازنة؟
    3. تزداد السرعة الزاوية لجسم صلب دوار من 500 إلى 1500 لفة/دقيقة في 120 ثانية. (أ) ما التسارع الزاوي للجسم؟ (ب) ما الزاوية التي تدور من خلالها في هذه الزاوية التي تبلغ 120 ثانية؟
    4. تتباطأ دولاب الموازنة من 600 إلى 400 لفة/دقيقة أثناء الدوران خلال 40 دورة. (أ) ما هو التسارع الزاوي لدولاب الموازنة؟ (ب) كم من الوقت ينقضي خلال الثورات الأربعين؟
    5. تدور عجلة نصف قطرها ١٫٠ م بتسارع زاوي مقداره ٤٫٠ راد/ث ٢. (أ) إذا كانت السرعة الزاوية الأولية للعجلة تبلغ 2.0 راد/ثانية، فما سرعتها الزاوية بعد 10 ثوانٍ؟ (ب) ما الزاوية التي تدور من خلالها في الفترة الفاصلة بين 10 ثوانٍ؟ (ج) ما هي السرعة العرضية والتسارع لنقطة على حافة العجلة في نهاية الفاصل الزمني البالغ 10 ثوان؟
    6. تبدأ عجلة عمودية بقطر 50 سم من السكون وتدور بتسارع زاوي ثابت يبلغ 5.0 راد/ثانية حول محور ثابت يمر عبر مركزها بعكس اتجاه عقارب الساعة. (أ) أين النقطة التي تقع في البداية في الجزء السفلي من العجلة عند t = 10 ثوانٍ؟ (ب) ما هو التسارع الخطي للنقطة في هذه اللحظة؟
    7. قرص دائري نصف قطره ١٠ سم له تسارع زاوي ثابت يساوي ١٫٠ راد/ث ٢؛ وعند t = ٠ تكون سرعته الزاوية ٢٫٠ راد/ثانية. (أ) حدِّد السرعة الزاوية للقرص عند t = ٥٫٠ ثانية. (ب) ما هي الزاوية التي دارت خلالها خلال هذا الوقت؟ (ج) ما التسارع العرضي لنقطة على القرص عند t = 5.0 ثانية؟
    8. تظهر أدناه السرعة الزاوية مقابل الوقت للمروحة على الحوامة. (أ) ما هي الزاوية التي تدور من خلالها شفرات المروحة في أول 8 ثوانٍ؟ (ب) تحقق من النتيجة باستخدام المعادلات الحركية.

    الشكل عبارة عن رسم لقضيب يدور عكس اتجاه عقارب الساعة. يحتوي القضيب على خرزتين، واحدة على بعد 10 سم من محور الدوران والأخرى على بعد 20 سم من محور الدوران.

    1. قضيب طوله 20 سم به خرزتان متصلتان بنهاياته. يبدأ القضيب ذو الخرز بالدوران من الراحة. إذا كان من المقرر أن تبلغ سرعة الخرز العرضي ٢٠ م/ث في ٧ ثوانٍ، فما التسارع الزاوي للقضيب لتحقيق ذلك؟

    10.3 ربط الكميات الزاويّة والانتقالية

    1. يبلغ قطر الإعصار في ذروته 60.0 مترًا ويحمل رياحًا تبلغ سرعتها 500 كم/ساعة. ما سرعتها الزاوية بعدد الدورات في الثانية؟
    2. رجل يقف على شكل دائري مرح يدور بسرعة 2.5 راد/ثانية، وإذا كان معامل الاحتكاك الإستاتيكي بين حذاء الرجل وحذاء الدرن هو\(\mu\) S = 0.5، فما مدى المسافة من محور الدوران التي يمكنه الوقوف عليها دون انزلاق؟
    3. يتسارع جهاز الطرد المركزي الفائق من السكون إلى 100000 دورة في الدقيقة في 2.00 دقيقة. (أ) ما متوسط التسارع الزاوي في rad/s 2؟ (ب) ما مقدار التسارع العرضي لنقطة على بعد 9.50 cm من محور الدوران؟ (ج) ما مقدار التسارع المركزي بوحدة م/ث 2 ومضاعفات g لهذه النقطة عند دورة كاملة في الدقيقة؟ (د) ما المسافة الكلية التي تقطعها نقطة مقدارها 9.5 cm من محور دوران جهاز الطرد المركزي؟
    4. يدور توربين الرياح عكس اتجاه عقارب الساعة بسرعة 0.5 لفة/ثانية ويتباطأ حتى يتوقف في 10 ثوانٍ، ويبلغ طول شفراته 20 مترًا. (أ) ما هو التسارع الزاوي للتوربين؟ (ب) ما التسارع المركزي لطرف الشفرات عند t = 0 ثانية؟ (ج) ما مقدار واتجاه التسارع الخطي الكلي لطرف الشفرات عند t = 0 ثانية؟
    5. ما هي (أ) السرعة الزاوية و (ب) السرعة الخطية لنقطة على سطح الأرض عند خط عرض 30 درجة شمالاً، اعتبر أن نصف قطر الأرض يساوي 6309 كم. (ج) في أي خط عرض ستكون سرعتك الخطية 10 م/ث؟
    6. يجلس طفل كتلته ٣٠ كجم على حافة جولة مرح على مسافة ٣ أمتار من محور دورانه. تتسارع دورة المرح من السكون إلى 0.4 لفة/ثانية في 10 ثوانٍ، وإذا كان معامل الاحتكاك الإستاتيكي بين الطفل وسطح جولة المرح يساوي 0.6، فهل يسقط الطفل قبل 5 ثوانٍ؟
    7. تدور عجلة دراجة نصف قطرها 0.3 متر من السكون إلى 3 دورات في الثانية خلال 5 ثوانٍ، ما مقدار واتجاه متجه التسارع الكلي عند حافة العجلة عند 1.0 ثانية؟
    8. تختلف السرعة الزاوية لحدافة نصف قطرها 1.0 متر وفقًا لـ\(\omega\) (t) = 2.0t. ارسم c (t) و t (t) من t = 0 إلى 3.0 ثانية لـ r = 1.0 m. قم بتحليل هذه النتائج لشرح متى a c >> a t ومتى c << a t لنقطة على دولاب الموازنة في دائرة نصف قطرها 1.0 متر.

    10.4 لحظة القصور الذاتي والطاقة الحركية الدورانية

    1. يظهر نظام الجسيمات النقطية في الشكل التالي. كتلة كل جسيم 0.3 كجم وكلها تقع في نفس المستوى. (أ) ما هي لحظة قصور النظام عن المحور المعطى؟ (ب) إذا كان النظام يدور بسرعة 5 دورات في الثانية، فما طاقة حركته الدورانية؟

    يعرض الشكل نظام الإحداثيات XYZ. توجد ثلاث جسيمات على المحور X على بعد 20 سم من المركز، وعند المحور Y عند 60 سم من المركز، وعند المحور Z على بعد 40 سم من المركز.

    1. (أ) احسب طاقة الحركة الدورانية للأرض على محورها. (ب) ما هي طاقة الحركة الدورانية للأرض في مدارها حول الشمس؟
    2. احسب طاقة الحركة الدورانية لعجلة دراجة نارية وزنها ١٢ كجم إذا كانت سرعتها الزاوية ١٢٠ راد/ثانية ونصف قطرها الداخلي ٠٫٢٨٠ م ونصف قطرها الخارجي ٠٫٣٣٠ م.
    3. يرمي إبريق البيسبول الكرة بحركة حيث يدور الساعد حول مفصل الكوع بالإضافة إلى الحركات الأخرى. إذا كانت السرعة الخطية للكرة بالنسبة إلى مفصل المرفق ٢٠٫٠ م/ث على مسافة ٠٫٤٨٠ م من المفصل، وكانت لحظة القصور الذاتي للساعد تساوي ٠٫٥٠٠ كجم/م ٢، فما طاقة الحركة الدورانية للساعد؟
    4. تدخل غواصة في شقلبة أثناء الغوص عن طريق دس أطرافها. إذا كانت طاقة حركتها الدورانية 100 J ولحظة القصور الذاتي في الثنية تساوي 9.0 كجم • m 2، فما معدل دورانها أثناء الشقلبة؟
    5. طائرة قادمة للهبوط على ارتفاع 300 متر عندما تسقط المروحة. تحلّق الطائرة بسرعة 40.0 متر/ثانية أفقيًا. يبلغ معدل دوران المروحة 20 لفة/ثانية، ولحظة من القصور الذاتي تبلغ 70.0 كجم • م 2، وكتلة 200 كجم. إهمال مقاومة الهواء. (أ) ما السرعة الانتقالية التي تصطدم بها المروحة بالأرض؟ (ب) ما هو معدل دوران المروحة عند الارتطام؟
    6. إذا كانت مقاومة الهواء موجودة في المشكلة السابقة وتقلل طاقة الحركة الدورانية للمروحة عند الارتطام بنسبة 30%، فما معدل دوران المروحة عند الارتطام؟
    7. تدور نجمة نيوترونية كتلتها ٢ × ١٠ ٣٠ كجم ونصف قطرها ١٠ كم بمدّة ٠٫٠٢ ثانية. ما طاقة حركتها الدورانية؟
    8. آلة صنفرة كهربائية تتكون من قرص دوار كتلته 0.7 كجم ونصف قطره 10 سم تدور بسرعة 15 لفة/ثانية، وعند وضعها على جدار خشبي خشن، ينخفض معدل الدوران بنسبة 20٪. (أ) ما طاقة الحركة الدورانية النهائية للقرص الدوار؟ (ب) ما مقدار انخفاض طاقة حركته الدورانية؟
    9. يتكون النظام من قرص كتلته ٢٫٠ كجم ونصف قطره ٥٠ سم تُركَّب عليه أسطوانة حلقية كتلتها ١٫٠ كجم نصف قطرها الداخلي ٢٠ سم ونصف قطرها الخارجي ٣٠ سم (انظر أدناه). يدور النظام حول محور عبر مركز القرص والأسطوانة الحلقية بسرعة 10 دورات في الثانية. (أ) ما هي لحظة القصور الذاتي للنظام؟ (ب) ما طاقة حركته الدورانية؟

    يوضِّح الشكل قرصًا نصف قطره ٥٠ سم مثبت عليه أسطوانة حلقية نصف قطرها الداخلي ٢٠ سم ونصف قطرها الخارجي ٣٠ سم

    10.5 حساب لحظات القصور الذاتي

    1. أثناء لعب كرة القدم، يقوم كيكر بتدوير ساقه حول مفصل الورك. عزم القصور الذاتي للساق يساوي 3.75 كجم • m 2 وطاقة حركته الدورانية 175 J. (a) ما السرعة الزاوية للساق؟ (ب) ما سرعة طرف حذاء المقامر إذا كان يبعد مسافة 1.05 متر عن مفصل الورك؟
    2. باستخدام نظرية المحور المتوازي، ما مقدار عزم القصور الذاتي لقضيب الكتلة m حول المحور الموضَّح أدناه؟

    يوضِّح الشكل قرصًا نصف قطره ٥٠ سم مثبت عليه أسطوانة حلقية نصف قطرها الداخلي ٢٠ سم ونصف قطرها الخارجي ٣٠ سم

    1. ابحث عن لحظة القصور الذاتي للقضيب في المشكلة السابقة عن طريق التكامل المباشر.
    2. يمكن لقضيب منتظم كتلته 1.0 كجم وطوله 2.0 متر أن يدور بحرية حول أحد طرفيه (انظر الشكل التالي). إذا خرج القضيب من السكون بزاوية ٦٠ درجة بالنسبة للأفقي، فما سرعة طرف القضيب عند مروره بالوضعية الأفقية؟

    يوضح الشكل قضيبًا تم تحريره من السكون بزاوية 60 درجة بالنسبة للأفقي.

    1. يتكون البندول من قضيب كتلته ٢ كجم وطوله ١ متر وكرة صلبة في أحد طرفيه كتلته ٠٫٣ كجم ونصف قطره ٢٠ سم (انظر الشكل التالي). إذا خرج البندول من السكون بزاوية مقدارها ٣٠ درجة، فما السرعة الزاوية عند أدنى نقطة؟

    يوضِّح الشكل بندولًا يتكون من قضيب كتلته ٢ كجم وطوله ١ متر وكرة صلبة في أحد طرفيه كتلته ٠٫٣ كجم ونصف قطره ٢٠ سم. يتم تحرير البندول من السكون بزاوية 30 درجة.

    1. يُسمح للكرة الصلبة التي يبلغ نصف قطرها 10 سم بالدوران بحرية حول المحور. أُعطيت الكرة ضربة حادة بحيث يبدأ مركز كتلتها من الموضع الموضح في الشكل التالي بسرعة 15 سم/ث، ما أقصى زاوية يصنعها القطر في العمود؟

    يوضِّح الشكل الأيسر كرة صلبة نصف قطرها ١٠ سم تدور أولًا بحرية حول محور ثم تتلقى ضربة حادة في مركز كتلتها. الشكل الصحيح هو صورة نفس المجال بعد الضربة. يتم وضع علامة ثيتا على الزاوية التي يصنعها القطر مع العمود الرأسي.

    1. احسب عزم القصور الذاتي عن طريق التكامل المباشر لقضيب رقيق كتلته M وطوله L حول محور يمر عبر القضيب عند L/3، كما هو موضح أدناه. تحقق من إجابتك باستخدام نظرية المحور المتوازي.

    يوضح الشكل قضيبًا يدور حول المحور الذي يمر عبره بطول 1/3 من أحد الطرفين وثلثي الطول من الطرف المقابل.

    10.6 عزم الدوران

    1. يتم ربط حذافتين بكتلة ضئيلة ونصف قطر مختلفة معًا وتدور حول محور مشترك (انظر أدناه). تحتوي دولاب الموازنة الأصغر الذي يبلغ نصف قطره 30 سم على سلك بقوة سحب تبلغ 50 نيوتن. ما قوة السحب التي يجب تطبيقها على السلك الذي يربط دولاب الموازنة الأكبر الذي يبلغ نصف قطره ٥٠ سم بحيث لا تدور المجموعة؟

    يوضِّح الشكل حذافتين بأقطار مختلفة مرتبطتان معًا وتدوران حول محور مشترك. تم تطبيق قوة مقدارها 50 نيوتن على دولاب الموازنة الأصغر. يتم تطبيق قوة غير معروفة الحجم على دولاب الموازنة الأكبر وتسحبها إلى الاتجاه المعاكس.

    1. يجب شد مسامير رأس الأسطوانة في السيارة بعزم دوران يبلغ ٦٢٫٠ نيوتن متر، وإذا استخدم الميكانيكي مفتاحًا طوله ٢٠ سم، فما القوة العمودية التي يجب أن يمارسها على طرف مفتاح الربط لشد المسمار بشكل صحيح؟
    2. (أ) عند فتح الباب، تضغط عليه بشكل عمودي بقوة 55.0 نيوتن على مسافة 0.850 مترًا من المفصلات. ما عزم الدوران الذي تمارسه بالنسبة إلى المفصلات؟ (ب) هل يهم إذا ضغطت بنفس ارتفاع المفصلات؟ يوجد زوج واحد فقط من المفصلات.
    3. عند شد البرغي، تضغط بشكل عمودي على مفتاح بقوة 165 نيوتن على مسافة 0.140 مترًا من مركز البرغي. ما مقدار عزم الدوران الذي تمارسه في نيوتن متر (بالنسبة إلى مركز البرغي)؟
    4. ما الكتلة المعلقة التي يجب وضعها على السلك لمنع البكرة من الدوران (انظر الشكل التالي)؟ الكتلة على المستوى الخالي من الاحتكاك تساوي 5.0 kg. نصف القطر الداخلي للبكرة يساوي 20 سم ونصف القطر الخارجي 30 سم.

    يوضِّح الشكل البكرة التي تستقر فيها كتلتها ٥ كجم على مستوًى مائل بزاوية مقدارها ٤٥ درجة وتعمل كثقل موازن لجسم ذي كتلة مجهولة مُعلَّق في الهواء.

    1. يتكون البندول البسيط من حبل بلا كتلة طوله 50 سم متصل بمحور وكتلة صغيرة مقدارها 1.0 كجم متصلة في الطرف الآخر. ما عزم الدوران حول المحور عندما يصنع البندول زاوية ٤٠ درجة بالنسبة للعمودي؟
    2. احسب عزم الدوران حول المحور z الموجود خارج الصفحة عند الأصل في الشكل التالي، علمًا بأن F 1 = 3 N، F 2 = 2 N، F 3 = 3 N، F 4 = 1.8 N.

    يوضح الشكل نظام الإحداثيات XY. يتم تطبيق Force F1 من النقطة الموجودة في الخط الذي ينشأ من مركز نظام الإحداثيات ويتم توجيهه نحو الزاوية اليمنى العليا. تقع النقطة على بعد 3 أمتار من الأصل ويتم توجيه القوة F1 نحو الزاوية السفلية اليمنى. يتم تطبيق القوة F2 من النقطة الموجودة عند المحور Y، على ارتفاع مترين فوق مركز نظام الإحداثيات. تشكل القوة F2 زاوية 30 درجة مع الخط الموازي للمحور X ويتم توجيهه نحو الزاوية السفلية اليسرى. يتم تطبيق القوة F3 من مركز نظام الإحداثيات ويتم توجيهها نحو الزاوية السفلية اليسرى. يتم تطبيق القوة F4 من النقطة الموجودة عند المحور X، على بعد مترين إلى اليمين من مركز نظام الإحداثيات. تشكل القوة F2 زاوية 20 درجة مع الخط الموازي للمحور Y ويتم توجيهه نحو الزاوية السفلية اليسرى.

    1. يبلغ طول الأرجوحة ١٠٫٠ م وكتلتها المنتظمة ١٠٫٠ كجم، وتستقر بزاوية ٣٠ درجة بالنسبة إلى الأرض (انظر الشكل التالي). يقع المحور عند ٦٫٠ م. ما مقدار القوة التي يجب تطبيقها بشكل عمودي على الأرجوحة عند الطرف المرتفع للسماح للمتأرجحة بالبدء بالكاد في الدوران؟

    يوضح الشكل الأرجوحة. يرتكز أحد طرفي الأرجوحة على الأرض بزاوية 30 درجة، وهناك طرف آخر معلق في الهواء.

    1. يتكون البندول من قضيب كتلته ١ كجم وطوله ١ متر متصل بمحور مع كرة صلبة متصلة في الطرف الآخر بكتلته ٠٫٥ كجم ونصف قطره ٣٠ سم. ما عزم دوران المحور عندما يصنع البندول زاوية مقدارها ٣٠ درجة بالنسبة للعمودي؟
    2. مطلوب عزم دوران يبلغ 5.00 × 10 3 نيوتن • م لرفع الجسر المتحرك (انظر الشكل التالي). ما مقدار الشد اللازم لإنتاج عزم الدوران هذا؟ هل سيكون من الأسهل رفع الجسر المتحرك إذا\(\theta\) كانت الزاوية أكبر أم أصغر؟

    يوضح الشكل الجسر المتحرك الذي يبلغ طوله 6 أمتار. تُؤثِّر قوة بزاوية مقدارها ٣٠ درجة على الجسر المتحرك.

    1. شعاع أفقي طوله ٣ أمتار وكتلته ٢٫٠ كجم كتلته ١٫٠ كجم وعرضه ٠٫٢ متر في نهاية الشعاع (انظر الشكل التالي). ما عزم دوران النظام عن الدعم الموجود على الحائط؟

    يوضِّح الشكل شعاعًا أفقيًا متصلًا بالحائط. يبلغ طول الشعاع 3 أمتار وكتلته 2.0 كجم. بالإضافة إلى ذلك، توجد كتلة مقدارها 1.0 كجم وعرض 0.2 متر في نهاية الشعاع.

    1. ما القوة التي يجب أن تُؤثِّر على طرف قضيب بطول المحور السيني بطول ٢٫٠ م لإنتاج عزم دوران على القضيب حول أصل ٨٫٠\(\hat{k}\) نيوتن • م؟
    2. ما عزم الدوران الناتج عن أصل القوة (5.0\(\hat{i}\) − 2.0\(\hat{j}\) + 1.0\(\hat{k}\)) N إذا تم تطبيقه عند النقطة التي يكون موضعها:\(\vec{r}\) = (−2.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\)) m؟

    10.7 قانون نيوتن الثاني للدوران

    1. لديك حجر طحن (قرص) وزنه 90.0 كجم، نصف قطره 0.340 مترًا، ويدور بسرعة 90.0 دورة في الدقيقة، وتضغط على فأس فولاذي ضده بقوة شعاعية مقدارها 20.0 نيوتن. (أ) بافتراض أن معامل الاحتكاك الحركي بين الفولاذ والحجر يساوي 0.20، فاحسب التسارع الزاوي لحجر الطحن. (ب) كم عدد المنعطفات التي سيجريها الحجر قبل أن يستريح؟
    2. لنفترض أنك تمارس قوة مقدارها 180 نيوتن مماس على حجر الطحن الذي يبلغ نصف قطره 0.280 م ووزنه 75.0 كجم (قرص صلب). (أ) ما عزم الدوران المؤثّر؟ (ب) ما هو التسارع الزاوي الذي يفترض احتكاكًا معاكسًا ضئيلًا؟ (ج) ما مقدار العجلة الزاوية إذا كانت هناك قوة احتكاك معاكسة مقدارها 20.0 نيوتن على مسافة 1.50 سم من المحور؟
    3. تكتسب دولاب الموازنة (I = 50 kg • m 2) بدءًا من السكون سرعة زاوية قدرها 200.0 راد/ثانية بينما تخضع لعزم دوران ثابت من محرك لمدة 5 ثوان. (أ) ما التسارع الزاوي لعجلة الموازنة؟ (ب) ما مقدار عزم الدوران؟
    4. يتم تطبيق عزم دوران ثابت على جسم صلب تبلغ لحظة القصور الذاتي فيه 4.0 كجم • م 2 حول محور الدوران. إذا بدأت العجلة في وضع السكون وبلغت سرعتها الزاوية ٢٠٫٠ راد/ثانية خلال ١٠٫٠ ث، فما عزم الدوران المُطبّق؟
    5. طُبق عزم دوران قدره 50.0 نيوتن • م على عجلة طحن (I = 20.0 kg • m 2) لمدة 20 ثانية. (أ) إذا بدأت من السكون، فما السرعة الزاوية لعجلة الطحن بعد إزالة عزم الدوران؟ (ب) ما الزاوية التي تتحرك خلالها العجلة أثناء تطبيق عزم الدوران؟
    6. يتم وضع دولاب الموازنة (I = 100.0 كجم • m 2) الذي يدور بسرعة 500.0 لفة/دقيقة للراحة عن طريق الاحتكاك في 2.0 دقيقة. ما عزم الاحتكاك على دولاب الموازنة؟
    7. يتم تشغيل عجلة طحن أسطوانية موحدة كتلتها 50.0 كجم وقطرها 1.0 متر بواسطة محرك كهربائي. الاحتكاك في المحامل ضئيل. (أ) ما هو عزم الدوران الذي يجب تطبيقه على العجلة لنقلها من السكون إلى 120 لفة/دقيقة في 20 دورة؟ (ب) تُضغط الأداة التي يكون معامل احتكاكها الحركي مع العجلة 0.60 بشكل عمودي على العجلة بقوة 40.0 نيوتن. ما عزم الدوران الذي يجب على المحرك توفيره للحفاظ على دوران العجلة بسرعة زاويّة ثابتة؟
    8. لنفترض أنه عندما تم إنشاء الأرض، لم تكن تدور. ومع ذلك، بعد تطبيق عزم دوران موحد بعد 6 أيام، كان يدور بمعدل دورة واحدة في اليوم. (أ) ما هو التسارع الزاوي خلال الأيام الستة؟ (ب) ما هو عزم الدوران الذي طُبق على الأرض خلال هذه الفترة؟ (ج) ما هي قوة المماس للأرض عند خط الاستواء التي تنتج عزم الدوران هذا؟
    9. تم تثبيت بكرة عزم القصور الذاتي مقدارها 2.0 كجم • م 2 على الحائط كما هو موضح في الشكل التالي. يتم لف الأوتار الخفيفة حول محيطين من البكرة ويتم تثبيت الأوزان. ما (أ) التسارع الزاوي للبكرة و (ب) التسارع الخطي للأوزان؟ افترض البيانات التالية: r 1 = 50 سم، ص 2 = 20 سم، م 1 = 1.0 كجم، م 2 = 2.0 كجم.

    يوضِّح الشكل بكرة مُثبتة على الحائط. يتم لف الأوتار الخفيفة حول محيطين من البكرة ويتم تثبيت الأوزان. يتم توصيل الوزن الأصغر m1 بالمحيط الخارجي لنصف القطر r1. يتم توصيل الوزن الأكبر M2 بالمحيط الداخلي لنصف القطر r2.

    1. تنزلق كتلة كتلتها ٣ كجم إلى أسفل مستوًى مائل بزاوية ٤٥ درجة بحبل عديم الكتلة متصل بكرة كتلتها ١ كجم ونصف قطرها ٠٫٥ م في أعلى المنحدر (انظر الشكل التالي). يمكن تقريب البكرة كقرص. معامل الاحتكاك الحركي على الطائرة هو 0.4. ما هو تسارع الكتلة؟

    يوضِّح الشكل كتلةً تنزلق لأسفل مستوًى مائل بزاوية 45 درجة باستخدام حبل متصل بكرة.

    1. تتحرك عربة التسوق الموضحة أدناه عبر سطح الطاولة عند سقوط الكتلة. ما هو تسارع العربة؟ اهمل الاحتكاك وافترض البيانات التالية: م 1 = 2.0 كجم، م 2 = 4.0 كجم، I = 0.4 كجم • م 2، r = 20 سم.

    يوضح الشكل البكرة المثبتة على الطاولة. عربة كتلتها m2 متصلة بأحد جانبي البكرة. يتم تثبيت الوزن m1 على جانب آخر ويتم تعليقه في الهواء.

    1. يُثبت قضيب منتظم كتلته وطوله رأسيًا بسلسلتين بكتلتهما ضئيلة، كما هو موضح أدناه. (أ) بعد قطع الخيط مباشرة، ما التسارع الخطي للطرف الحر للعصا؟ (ب) من منتصف العصا؟

    يوضِّح الشكل قضيبًا مُمسكًا رأسيًّا بخيطين متصلين في طرفيه. يتم قطع إحدى السلاسل بالمقص.

    1. عصا رقيقة كتلتها 0.2 كجم وطولها L = 0.5 متر متصلة بحافة قرص معدني كتلته M = 2.0 kg ونصف قطره R = 0.3 m، وتكون العصا حرة في الدوران حول محور أفقي من خلال طرفها الآخر (انظر الشكل التالي). (أ) إذا تم تحرير التركيبة مع وضع العصا أفقيًا، فما سرعة مركز القرص عندما تكون العصا رأسية؟ (ب) ما مقدار تسارع مركز القرص في اللحظة التي يتم فيها تحرير العصا؟ (ج) في اللحظة التي تمر فيها العصا عبر العمود؟

    يُظهر الشكل A عصا رقيقة متصلة بحافة قرص معدني. يُظهر الشكل B عصا رقيقة متصلة بحافة قرص معدني وتدور حول محور أفقي من خلال طرفها الآخر.

    10.8 العمل والقوة للحركة الدورانية

    1. تدور توربينات الرياح بسرعة 20 لفة/دقيقة. إذا كان خرج التوربين 2.0 ميجاوات، فما عزم الدوران الناتج عن الرياح على التوربين؟
    2. تدور أسطوانة طينية نصف قطرها 20 سم على عجلة خزاف بمعدل ثابت قدره 10 دورات في الثانية، ويطبق الخزاف بقوة 10 نيوتن على الصلصال بيديه حيث يكون معامل الاحتكاك 0.1 بين يديه والطين. ما القوة التي يجب على الخزاف إيصالها إلى العجلة للحفاظ على دورانها بهذا المعدل الثابت؟
    3. حجارة طحن أسطوانية منتظمة كتلتها ١٠ كجم ونصف قطرها ١٢ سم. (أ) ما هي طاقة الحركة الدورانية لحجر الطحن عندما يدور بسرعة 1.5 × 10 3 لفة/دقيقة؟ (ب) بعد إيقاف تشغيل محرك حجر الشحذ، يتم ضغط شفرة السكين على الحافة الخارجية لحجر الطحن بقوة عمودية قدرها 5.0 نيوتن، ومعامل الاحتكاك الحركي بين حجر الطحن والنصل هو 0.80. استخدم نظرية طاقة العمل لتحديد عدد الدورات التي يقوم بها حجر الطحن قبل توقفه.
    4. يتم تركيب قرص منتظم كتلته ٥٠٠ كجم ونصف قطره 0.25 متر على محامل خالية من الاحتكاك بحيث يمكن أن يدور بحرية حول محور عمودي من خلال مركزه (انظر الشكل التالي). يتم لف سلك حول حافة القرص ويتم سحبه بقوة 10 نيوتن. (أ) ما مقدار الجهد المبذول في اللحظة التي أكمل فيها القرص ثلاث دورات، بدءًا من السكون؟ (ب) تحديد عزم الدوران الناتج عن القوة، ثم حساب العمل المنجز بواسطة عزم الدوران هذا في اللحظة التي يكمل فيها القرص ثلاث دورات؟ (ج) ما هي السرعة الزاوية في تلك اللحظة؟ (د) ما هو ناتج الطاقة للقوة في تلك اللحظة؟

    يوضح الشكل قرصًا موحدًا يدور حول محور عمودي من خلال مركزه. يتم لف سلك حول حافة القرص ويتم سحبه بقوة 10 نيوتن.

    1. تتسارع المروحة من السكون إلى سرعة زاوية مقدارها 1000 لفة/دقيقة خلال فترة 6.0 ثوانٍ بواسطة عزم دوران ثابت يبلغ 2.0 × 10 3 نيوتن • م. (أ) ما هي لحظة القصور الذاتي للمروحة؟ (ب) ما القدرة التي يتم توفيرها للمروحة بعد 3.0 ثوانٍ من بدء دورانها؟
    2. تُربط كرة كتلتها ١٫٠ كجم ونصف قطرها ٠٫٥ م بنهاية قضيب عديم الكتلة طوله ٣٫٠ م، ويدور القضيب حول محور يقع في الطرف المقابل للكرة (انظر أدناه). يدور النظام أفقيًا حول المحور بمعدل ثابت قدره 400 لفة/دقيقة. بعد الدوران بهذه السرعة الزاوية في الفراغ، يتم إدخال مقاومة الهواء وتوفر قوة 0.15 نيوتن على الكرة المقابلة لاتجاه الحركة. ما القدرة التي توفرها مقاومة الهواء للنظام بعد 100.0 s بعد إدخال مقاومة الهواء؟

    يوضِّح الشكل كرة متصلة بنهاية القضيب. يدور القضيب حول محور يقع في الطرف المقابل من الكرة.

    1. يُثبت قضيب منتظم طوله L وكتلته M عموديًا مع وضع أحد طرفيه على الأرض كما هو موضح أدناه. عندما يتم تحرير القضيب، فإنه يدور حول طرفه السفلي حتى يصطدم بالأرض. بافتراض عدم انزلاق الطرف السفلي من القضيب، ما السرعة الخطية للطرف العلوي عند اصطدامه بالأرض؟

    يوضِّح الشكل قضيبًا موحدًا طوله L والكتلة M مُثبَّت رأسيًّا مع وضع أحد طرفيه على الأرض. عندما يتم تحرير القضيب، فإنه يدور حول طرفه السفلي حتى يصطدم بالأرض.

    1. يستخدم الرياضي في صالة الألعاب الرياضية قوة ثابتة تبلغ 50 نيوتن على دواسات الدراجة بمعدل تحرك الدواسات 60 لفة/دقيقة. يبلغ طول أذرع الدواسة 30 سم. ما القوة التي ينقلها الرياضي للدراجة؟
    2. كتلة وزنها ٢ كجم على مستوى مائل غير قابل للاحتكاك بزاوية ٤٠ درجة بها سلك متصل بكرة كتلتها ١ كجم ونصف قطرها ٢٠ سم (انظر الشكل التالي). (أ) ما هو تسارع الكتلة أسفل الطائرة؟ (ب) ما العمل الذي يقوم به السلك الموجود على البكرة؟

    يوضِّح الشكل كتلةً وزنها ٢ كجم على مستوًى مائل بزاوية ٤٠ درجة مع حبل متصل بكرة كتلتها ١ كجم ونصف قطرها ٢٠ سم.

    1. يتم ربط الأجسام الصغيرة التي كتلتها m 1 و m 2 بأطراف متقابلة لقضيب صلب رقيق طوله L وكتلته M. يتم تثبيت القضيب بحيث يكون حرًا في الدوران في مستوى أفقي حول محور عمودي (انظر أدناه). ما المسافة d من m 1 التي يجب أن يقطعها محور الدوران بحيث يتطلب الحد الأدنى من العمل لضبط دوران القضيب بسرعة زاويّة\(\omega\)؟

    يوضح الشكل قضيبًا رقيقًا طوله L وله كتل m1 و m2 متصلة بالأطراف المقابلة. يدور القضيب حول المحور الذي يمر عبره على مسافة d من m1 ومسافة l-d من m2.

    مشاكل إضافية

    1. يركب راكب الدراجة الهوائية بحيث يكون معدل دوران عجلات الدراجة ٣٫٠ لفة/ثانية، فإذا قام الدراج بالكبح بحيث ينخفض معدل دوران العجلات بمعدل 0.3 لفة/ثانية 2، فما المدة التي يستغرقها الدراج حتى يتوقف تمامًا؟
    2. احسب السرعة الزاوية للحركة المدارية للأرض حول الشمس.
    3. يتباطأ القرص الدوار للفونوغراف الذي يدور\(\frac{1}{3}\) بسرعة 33 لفة/دقيقة ويتوقف في 1.0 دقيقة. (أ) ما التسارع الزاوي للقرص الدوار بافتراض أنه ثابت؟ (ب) كم عدد الثورات التي يصنعها القرص الدوار أثناء التوقف؟
    4. بمساعدة خيط، يتم تسريع الجيروسكوب من السكون إلى 32 راد/ثانية في 0.40 ثانية تحت تسارع زاوي ثابت. (أ) ما هو التسارع الزاوي في الراد/S 2؟ (ب) كم عدد الثورات التي تمر بها في هذه العملية؟
    5. لنفترض أن قطعة من الغبار قد سقطت على قرص مضغوط. إذا كان معدل دوران القرص المضغوط 500 دورة في الدقيقة، وكانت قطعة الغبار على بُعد 4.3 سم من المركز، فما إجمالي المسافة التي يقطعها الغبار في ٣ دقائق؟ (تجاهل التسريع بسبب تدوير القرص المضغوط.)
    6. يدور نظام من الجسيمات النقطية حول محور ثابت بسرعة 4 دورات في الثانية، ويتم تثبيت الجسيمات فيما يتعلق ببعضها البعض. الكتل والمسافات إلى محور الجسيمات النقطية هي m 1 = 0.1 كجم، r 1 = 0.2 م، m 2 = 0.05 كجم، r 2 = 0.4 م، m 3 = 0.5 كجم، r 3 = 0.01 م. (أ) ما هي لحظة القصور الذاتي للنظام؟ (ب) ما هي طاقة الحركة الدورانية للنظام؟
    7. احسب لحظة القصور الذاتي للمتزلج بمعلومية المعلومات التالية. (أ) يُقرَّب المتزلج الذي يبلغ وزنه 60 كيلوغراماً في صورة أسطوانة يبلغ نصف قطرها 0.110 متر. (ب) يُقرّب المتزلج ذو الأذرع الممتدة بأسطوانة يبلغ وزنها 52.5 كجم ونصف قطرها 0.110 متر ولها ذراعان طولهما 0.900 متر ويبلغ وزن كل منهما 3.75 كجم ويمتدان للخارج مباشرة من الأسطوانة كما لو كانت القضبان تدور حول أطرافها.
    8. يمكن لعصا طولها 1.0 م وكتلتها 6.0 كجم أن تدور بحرية حول محور أفقي عبر المركز. ترتبط الأجسام الصغيرة ذات الكتل 4.0 و 2.0 كجم بطرفيها (انظر الشكل التالي). يتم تحرير العصا من الوضع الأفقي. ما السرعة الزاوية للعصا عندما تتأرجح في الوضع الرأسي؟

    يوضح الشكل A عصا رقيقة طولها 1 سم في الوضع الأفقي. تحتوي العصا على كتل 2.0 كجم و4.0 كجم متصلة بالطرفين المعاكسين. يوضح الشكل B نفس العصا التي تتأرجح في وضع عمودي بعد تحريرها.

    1. يتكون البندول من قضيب طوله ٢ م وكتلته ٣ كجم مع كرة صلبة كتلتها ١ كجم ونصف قطرها ٠٫٣ م متصلة في أحد طرفيه. محور الدوران كما هو موضح أدناه. ما السرعة الزاوية للبندول عند أدنى نقطة له إذا خرج من السكون بزاوية مقدارها ٣٠ درجة؟

    يوضِّح الشكل بندولًا يتكون من قضيب طوله ٢ م وكتلته متصلة في أحد طرفيه.

    1. احسب عزم دوران قوة 40-N حول المحور حتى O وعموديًا على مستوى الصفحة كما هو موضح أدناه.

    يوضِّح الشكل قضيبًا طوله ٤ أمتار. يتم تطبيق قوة مقدارها ٤٠ نيوتن في أحد طرفي القضيب بزاوية ٣٧ درجة.

    1. يضغط طفلان على جانبي الباب أثناء اللعب. كلاهما يدفع أفقيًا وعموديًا على الباب. يدفع أحد الأطفال بقوة ١٧٫٥ نيوتن على مسافة ٠٫٦٠٠ متر من المفصلات، بينما يدفع الطفل الثاني على مسافة ٠٫٤٥٠ م، ما القوة التي يجب أن يمارسها الطفل الثاني لمنع الباب من الحركة؟ افترض أن الاحتكاك لا يكاد يذكر.
    2. تؤثِّر قوة\(\hat{j}\) مقدارها 20 نيوتن عند\(\vec{r}\) = (4.0\(\hat{i}\) − 2.0\(\hat{j}\)) m، ما عزم دوران هذه القوة حول نقطة الأصل؟ 119. يمكن لمحرك السيارة إنتاج 200 نيوتن • م من عزم الدوران. احسب التسارع الزاوي الناتج إذا تم تطبيق 95.0% من عزم الدوران هذا على عمود الإدارة والمحور والعجلات الخلفية للسيارة، مع إعطاء المعلومات التالية. تم تعليق السيارة بحيث يمكن للعجلات أن تدور بحرية. تعمل كل عجلة كقرص وزنه 15.0 كجم يبلغ نصف قطره 0.180 مترًا. تعمل جدران كل إطار كحلقة حلقية تزن 2.00 كجم يبلغ نصف قطرها الداخلي 0.180 مترًا ونصف قطرها الخارجي 0.320 مترًا، ويعمل مداس كل إطار كطوق يبلغ قطره 10.0 كجم نصف قطره 0.330 مترًا، ويعمل المحور 14.0 كجم كقضيب يبلغ نصف قطره 2.00 سم. يعمل عمود القيادة الذي يبلغ وزنه 30.0 كجم كقضيب يبلغ نصف قطره 3.20 سم.
    3. يحافظ حجر الشحذ الذي كتلته ٥٠ كجم ونصف قطره ٠٫٨ م على معدل دوران ثابت مقداره ٤٫٠ لفة/ثانية بواسطة محرك، بينما يُضغط السكين على الحافة بقوة ٥٫٠ نيوتن، ويكون معامل الاحتكاك الحركي بين حجر الشحذ والنصل ٠٫٨. ما القدرة التي يوفرها المحرك للحفاظ على حجر الطحن عند معدل الدوران الثابت؟

    مشاكل التحدي

    1. يتم إعطاء التسارع الزاوي لجسم صلب دوار بواسطة\(\alpha\) = (2.0 - 3.0t) راد/ثانية 2. إذا بدأ الجسم في الدوران من السكون عند t = 0، (a) ما السرعة الزاوية؟ (ب) الموضع الزاوي؟ (ج) ما الزاوية التي تدور خلالها خلال 10 ثوانٍ؟ (د) أين يقع المتجه العمودي على محور الدوران الذي يشير إلى 0 درجة عند t = 0 عند t = 10 ثانية؟
    2. زاد يوم الأرض بمقدار 0.002 ثانية في القرن الماضي. إذا كانت هذه الزيادة في فترة الأرض ثابتة، فكم من الوقت ستستغرق الأرض لتستريح؟
    3. يحتوي قرص كتلته m ونصف قطره R ومساحة A على كثافة كتلة سطحية\(\sigma = \frac{mr}{AR}\) (انظر الشكل التالي). ما هي لحظة القصور الذاتي للقرص حول محور يمر عبر المركز؟

    يوضح الشكل قرصًا نصف قطره r يدور حول محور يمر عبر المركز.

    1. قرر زورش، العدو اللدود لـ Rotation Man، إبطاء دوران الأرض إلى مرة واحدة لكل 28.0 ساعة من خلال ممارسة قوة معارضة عند خط الاستواء وموازيته. لا يهتم رجل الدوران على الفور، لأنه يعلم أن Zorch يمكنه فقط ممارسة قوة 4.00 × 10 7 N (أكبر قليلاً من قوة دفع صاروخ Saturn V). إلى متى يجب على زورش أن يدفع بهذه القوة لتحقيق هدفه؟ (تمنح هذه الفترة Rotation Man وقتًا لتكريسه للأشرار الآخرين.)
    2. يُلف سلك حول حافة أسطوانة صلبة نصف قطرها 0.25 م، وتُؤثِّر قوة ثابتة مقدارها ٤٠ نيوتن على السلك الموضَّح، كما هو موضَّح في الشكل التالي. يتم تثبيت الأسطوانة على محامل غير قابلة للاحتكاك، وتبلغ لحظة القصور الذاتي 6.0 كجم • م 2. (أ) استخدم نظرية طاقة العمل لحساب السرعة الزاوية للأسطوانة بعد إزالة 5.0 متر من السلك. (ب) إذا استعيض عن قوة 40-N بوزن 40-N، فما السرعة الزاوية للأسطوانة بعد فك السلك لمسافة 5.0 أمتار؟

    يوضح الشكل سلكًا ملفوفًا حول حافة أسطوانة صلبة. توجد قوة ثابتة مقدارها ٤٠ نيوتن على السلك. يوضح الشكل سلكًا ملفوفًا حول حافة أسطوانة صلبة. يتم توصيل وزن 40 نيوتن بالسلك ويتم تعليقه في الهواء.

    المساهمون والصفات

    Template:ContribOpenStaxUni