10.9: العمل والقوة للحركة الدورانية
- Page ID
- 200004
- استخدم نظرية الشغل والطاقة لتحليل الدوران للعثور على العمل المنجز على النظام عندما يتم تدويره حول محور ثابت لإزاحة زاوية محدودة
- حل السرعة الزاوية لجسم جامد دوار باستخدام نظرية الشغل والطاقة
- أوجد القدرة التي يتم توصيلها إلى جسم صلب دوار بالنظر إلى عزم الدوران المُطبّق والسرعة الزاوية
- تلخيص المتغيرات والمعادلات الدورانية وربطها بنظيراتها الانتقالية
حتى الآن في هذا القسم، تناولنا على نطاق واسع الكينماتيكا والديناميكيات لتدوير الأجسام الصلبة حول محور ثابت. في هذا القسم الفرعي الأخير، نحدد العمل والقوة في سياق الدوران حول المحور الثابت، والذي له تطبيقات على كل من الفيزياء والهندسة. إن مناقشة العمل والقوة تجعل معالجتنا للحركة الدورانية شبه كاملة، باستثناء الحركة الدورانية والزخم الزاوي، والتي تمت مناقشتها في Angular Momentum. نبدأ هذا القسم الفرعي بمعالجة نظرية الشغل والطاقة للدوران.
العمل من أجل الحركة الدورانية
الآن وقد حددنا كيفية حساب الطاقة الحركية للأجسام الصلبة الدوارة، يمكننا المضي قدمًا في مناقشة العمل المنجز على جسم صلب يدور حول محور ثابت. \(\PageIndex{1}\)يوضِّح الشكل جسمًا صلبًا استدار بزاوية d\(\theta\) من A إلى B تحت تأثير قوة\(\vec{F}\). \(\vec{F}\)يتم تطبيق القوة الخارجية على النقطة P، التي يكون موضعها\(\vec{r}\)، والجسم الصلب مقيد بالدوران حول محور ثابت عمودي على الصفحة ويمر عبر O. محور الدوران ثابت، لذلك\(\vec{r}\) يتحرك المتجه في دائرة نصف قطرها r، والمتجه d \(\vec{s}\)متعامد على\(\vec{r}\).
لدينا
\[\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r} \ldotp\]
وهكذا،
\[d \vec{s} = d (\vec{\theta} \times \vec{r}) = d \vec{\theta} \times \vec{r} + d \vec{r} \times \vec{\theta} = d \vec{\theta} \times \vec{r} \ldotp\]
لاحظ أن d\(\vec{r}\) هي صفر لأنها\(\vec{r}\) ثابتة على الجسم الصلب من الأصل O إلى النقطة P. باستخدام تعريف العمل، نحصل على
\[W = \int \sum \vec{F}\; \cdotp d \vec{s} = \int \sum \vec{F}\; \cdotp (d \vec{\theta} \times \vec{r}) = \int d \vec{\theta}\; \cdotp (\vec{r} \times \sum \vec{F})\]
حيث استخدمنا الهوية\(\vec{a}\; \cdotp (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}\; \cdotp (\vec{c} \times \vec{a})\). مع ملاحظة ذلك\((\vec{r} \times \sum \vec{F}) = \sum \vec{\tau}\)، نصل إلى التعبير عن العمل الدوراني المنجز على جسم صلب:
\[W = \int \sum \vec{\tau}\; \cdotp d \vec{\theta} \ldotp \label{10.27}\]
إجمالي العمل المنجز على الجسم الصلب هو مجموع عزم الدوران المدمج فوق الزاوية التي يدور الجسم من خلالها. العمل الإضافي هو
\[dW = \left(\sum_{i} \tau_{i}\right) d \theta \label{10.28}\]
حيث أخذنا المنتج النقطي في Equation\ ref {10.27}، ولم يتبق سوى عزم الدوران على طول محور الدوران. في الجسم الصلب، تدور جميع الجسيمات من خلال نفس الزاوية؛ وبالتالي فإن عمل كل قوة خارجية يساوي عزم الدوران مضروبًا في الزاوية الإضافية الشائعة d\(\theta\). الكمية\(\left(\sum_{i} \tau_{i}\right)\) هي عزم الدوران الصافي على الجسم بسبب القوى الخارجية.
وبالمثل، وجدنا الطاقة الحركية لجسم صلب يدور حول محور ثابت من خلال جمع الطاقة الحركية لكل جسيم يتكون منه الجسم الصلب. نظرًا لأن نظرية العمل والطاقة W i =\(\Delta\) K i صالحة لكل جسيم، فهي صالحة لمجموع الجسيمات والجسم بأكمله.
نظرية الشغل والطاقة لجسم جامد يدور حول محور ثابت هي
\[W_{AB} = K_{B} - K_{A} \label{10.29}\]
حيث
\[K = \frac{1}{2} I \omega^{2}\]
والعمل الدوراني الذي تقوم به قوة صافية تقوم بتدوير الجسم من النقطة A إلى النقطة B هو
\[W_{AB} = \int_{\theta_{A}}^{\theta_{B}} \left(\sum_{i} \tau_{i}\right) d \theta \ldotp \label{10.30}\]
نقدم إستراتيجية لاستخدام هذه المعادلة عند تحليل الحركة الدورانية.
- حدد القوى الموجودة على الجسم وارسم مخططًا للجسم الحر. احسب عزم الدوران لكل قوة.
- احسب العمل المنجز أثناء دوران الجسم بكل عزم دوران.
- طبّق نظرية الشغل والطاقة عن طريق معادلة الشغل الكلي الذي حدث على الجسم بالتغير في طاقة الحركة الدورانية
لنلقِ نظرة على مثالين ونستخدم نظرية الشغل والطاقة لتحليل الحركة الدورانية.
يتم تطبيق عزم دوران 12.0 نيوتن • م على دولاب الموازنة الذي يدور حول محور ثابت وتبلغ لحظة القصور الذاتي 30.0 كجم • م 2. إذا كانت دولاب الموازنة في وضع السكون في البداية، فما سرعتها الزاوية بعد مرورها بثماني دورات؟
إستراتيجية
نحن نطبق نظرية الشغل والطاقة. نعلم من وصف المشكلة ما هو عزم الدوران والإزاحة الزاوية لعجلة الموازنة. ثم يمكننا حل السرعة الزاوية النهائية.
الحل
تدور دولاب الموازنة خلال ثماني دورات، أي 16\(\pi\) راديان. العمل الذي يقوم به عزم الدوران، وهو ثابت وبالتالي يمكن أن يخرج عن التكامل في المعادلة\ ref {10.30}، هو
\[W_{AB} = \tau (\theta_{B} - \theta_{A}) \ldotp\]
نطبق نظرية العمل والطاقة:
\[W_{AB} = \tau (\theta_{B} - \theta_{A}) = \frac{1}{2} I \omega_{B}^{2} - \frac{1}{2} I \omega_{A}^{2} \ldotp\]
العرض\(\tau\) = 12.0 نيوتن • م،\(\theta_{B} - \theta_{A}\) = 16.0\(\pi\) راد، I = 30.0 كجم • م 2، و\(\omega_{A}\) = 0، لدينا
\[(12.0\; N\; \cdotp m)(16.0 \pi\; rad) = \frac{1}{2} (30.0\; kg\; \cdotp m^{2})(\omega_{B}^{2}) - 0 \ldotp\]
لذلك،
\[\omega_{B} = 6.3\; rad/s \ldotp\]
هذه هي السرعة الزاوية لعجلة الموازنة بعد ثماني دورات.
الأهمية
توفر نظرية العمل والطاقة طريقة فعالة لتحليل الحركة الدورانية، وربط عزم الدوران بالطاقة الحركية الدورانية.
سُحب خيط ملفوف حول البكرة في الشكل\(\PageIndex{2}\) بقوة هبوطية ثابتة\(\vec{F}\) مقدارها ٥٠ نيوتن، ونصف قطر R ولحظة القصور الذاتي I للبكرة يساوي ٠٫١٠ م و٢٫٥ × ١٠ −٣ كجم • م ٢، على التوالي. إذا لم تنزلق السلسلة، فما السرعة الزاوية للبكرة بعد فكها لمسافة 1.0 متر؟ افترض أن البكرة تبدأ من السكون.
إستراتيجية
بالنظر إلى مخطط الجسم الحر، نرى أن القوة على محامل البكرة، ولا M\(\vec{g}\)، وزن البكرة، تؤثر على عزم الدوران حول محور الدوران، وبالتالي لا تعمل على البكرة.\(\vec{B}\) عندما تدور البكرة بزاوية\(\theta\)، فإنها\(\vec{F}\) تعمل عبر مسافة d بحيث d = R\(\theta\).
الحل
نظرًا لأن عزم الدوران الناتج\(\vec{F}\) عن حجم\(\tau\) الغاز = RF، لدينا
\[W = \tau \theta = (FR) \theta = FD \ldotp\]
إذا كانت القوة المؤثِّرة على الخيط تؤثِّر على مسافة ١٫٠ م، فلدينا، من نظرية الشغل والطاقة،
\[\begin{split} W_{AB} & = K_{B} - K_{A} \\ Fd & = \frac{1}{2} I \omega^{2} - 0 \\ (50.0\; N)(1.0\; m) & = \frac{1}{2} (2.5 \times 10^{-3}\; kg\; \cdotp m^{2}) \omega^{2} \ldotp \end{split}\]
نحصل\(\omega\) على حل المشكلة
\[\omega = 200.0\; rad/s \ldotp\]
قوة الحركة الدورانية
تأتي الطاقة دائمًا في مناقشة التطبيقات في الهندسة والفيزياء. قوة الحركة الدورانية لا تقل أهمية عن القوة في الحركة الخطية ويمكن اشتقاقها بطريقة مماثلة للحركة الخطية عندما تكون القوة ثابتة. القوة الخطية عندما تكون القوة ثابتة هي P =\(\vec{F}\; \cdotp \vec{v}\). إذا كان عزم الدوران الصافي ثابتًا فوق الإزاحة الزاوية، يتم تبسيط المعادلة 10.8.4 ويمكن إخراج عزم الدوران الصافي من التكامل. في المناقشة التالية، نفترض أن عزم الدوران الصافي ثابت. يمكننا تطبيق تعريف القوة المشتقة في الطاقة على الحركة الدورانية. من العمل والطاقة الحركية، يتم تعريف القوة اللحظية (أو القوة فقط) على أنها معدل أداء العمل،
\[P = \frac{dW}{dt} \ldotp\]
إذا كان لدينا عزم دوران ثابت، تصبح المعادلة 10.8.4 W =\(\tau \theta\) والقوة هي
\[P = \frac{dW}{dt} = \frac{d}{dt} (\tau \theta) = \tau \frac{d \theta}{dt}\]
أو
\[P = \tau \omega \ldotp \label{10.31}\]
يعمل محرك قارب يعمل بقوة 9.0 × 10 4 واط بسرعة 300 لفة/دقيقة. ما عزم الدوران على عمود المروحة؟
إستراتيجية
يتم إعطاؤنا معدل الدوران في لفة/دقيقة واستهلاك الطاقة، حتى نتمكن من حساب عزم الدوران بسهولة.
الحل
\[300.0\; rev/min = 31.4\; rad/s;\]
\[\tau = \frac{P}{\omega} = \frac{9.0 \times 10^{4}\; N\; \cdotp m/s}{31.4\; rad/s} = 2864.8\; N\; \cdotp m \ldotp\]
الأهمية
من المهم ملاحظة أن الراديان وحدة بلا أبعاد لأن تعريفها هو نسبة الطولين. لذلك لا يظهر في الحل.
يتم تطبيق عزم دوران ثابت قدره 500 كيلو نيوتن • م على توربين الرياح للحفاظ على دورانه بسرعة 6 راد/ثانية، ما الطاقة اللازمة للحفاظ على دوران التوربين؟
ملخص العلاقات الدورانية والانتقالية
يتم تلخيص الكميات الدورانية ونظيرتها الخطية في ثلاثة جداول. يلخص الجدول 10.5 المتغيرات الدورانية للحركة الدائرية حول محور ثابت مع نظائرها الخطية ومعادلة التوصيل، باستثناء التسارع المركزي، الذي يقف بمفرده. يلخص الجدول 10.6 المعادلات الحركية الدورانية والانتقالية. يلخص الجدول 10.7 معادلات ديناميكيات الدوران بنظائرها الخطية.
الجدول 10.5 - المتغيرات الدورانية والانتقالية: ملخص
| دوراني | متعدية | علاقة |
|---|---|---|
| $$\ theta$$ | $x$$ | $$\ theta =\ frac {s} {r} $$ |
| $$\ أوميغا $$ | $$v_ {f} $$ | $$\ أوميغا =\ frac {v_ {t}} {r} $$ |
| $$\ alpha$$ | $$a_ {t} $$ | $$\ ألفا =\ frac {a_ {t}} {r} $$ |
| $$a_ {c} $$ | $a_ {c} =\ frac {v_ {t} ^ {2}} {r} $$ |
الجدول 10.6 - المعادلات الحركية الدورانية والانتقالية: ملخص
| دوراني | متعدية |
|---|---|
| $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ بار {\ أوميغا} t$$ | $x = x_ {0} +\ بار {v} t$$ |
| $$\ أوميغا _ {f} =\ أوميغا _ {0} +\ ألفا t$$ | $$v_ {f} = v_ {0} + بسعر $$ |
| $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ أوميغا _ {0} t +\ frac {1} {2}\ ألفا t^ {2} $$ | $x_ {f} = x_ {0} + v_ {0} t +\ frac {1} {2} في ^ {2} $$ |
| $$\ omega_ {f} ^ {2} =\ أوميغا _ {0} ^ {2} + 2\ ألفا (\ دلتا\ ثيتا) $$ | $v_ {f} ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a (\ دلتا x) $$ |
الجدول 10.7 - المعادلات الدورانية والانتقالية: الديناميات
| دوراني | متعدية |
|---|---|
| $$I =\ sum_ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2} $$ | $$m$$ |
| $$K =\ frac {1} {2} أنا\ أوميغا ^ {2} $$ | $$K =\ frac {1} {2} mv^ {2} $$ |
| $$\ sum_ {i}\ tau_ {i} = I\ alpha$$ | $$\ sum_ {i}\ vec {F} _ {i} = m\ vec {a} $$ |
| $W_ {AB} =\ int_ {\ theta_ {A}} ^ {\ theta_ {B}}\ يسار (\ sum_ {i}\ tau_ {i}\ يمين)\ theta$$ | $W =\ int\ vec {F}\;\ cdotp d\ vec {s} $$ |
| $$P =\ تاو\ أوميغا $$ | $$P =\ vec {F}\ cdotp\ vec {v} $$ |