10.8: قانون نيوتن الثاني للدوران

Last updated
Save as PDF

Page ID: 200001

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

أهداف التعلم

احسب عزم الدوران في الأنظمة الدوارة حول محور ثابت للعثور على التسارع الزاوي
اشرح كيف تؤثر التغييرات في لحظة القصور الذاتي للنظام الدوار على التسارع الزاوي مع عزم دوران مطبق ثابت

في هذا القسم الفرعي، قمنا بتجميع كل القطع التي تم تعلمها حتى الآن في هذا الفصل لتحليل ديناميكيات الأجسام الصلبة الدوارة. لقد قمنا بتحليل الحركة باستخدام الكينماتيكا والطاقة الحركية الدورانية ولكننا لم نربط هذه الأفكار بعد بالقوة و/أو عزم الدوران. في هذا القسم الفرعي، نقدم المكافئ الدوراني لقانون نيوتن الثاني للحركة ونطبقه على الأجسام الصلبة ذات دوران المحور الثابت.

قانون نيوتن الثاني للدوران

لقد وجدنا حتى الآن العديد من النظراء للمصطلحات المترجمة المستخدمة في هذا النص، وآخرها عزم الدوران، التناظري الدوراني للقوة. هذا يثير السؤال التالي: هل هناك معادلة مماثلة لقانون نيوتن الثاني،$\sum \vec{F}$ = m$\vec{a}$، الذي يتضمن عزم الدوران والحركة الدورانية؟ ولدراسة ذلك، نبدأ بقانون نيوتن الثاني لجسيم واحد يدور حول محور وينفذ حركة دائرية. دعونا نؤثر بقوة$\vec{F}$ على نقطة كتلتها m تقع على مسافة أو من نقطة محورية (الشكل$\PageIndex{1}$). يتم تقييد الجسيم للتحرك في مسار دائري بنصف قطر ثابت والقوة مماس الدائرة. نطبق قانون نيوتن الثاني لتحديد مقدار العجلة a =$\frac{F}{m}$ في اتجاه$\vec{F}$. تذكر أن حجم التسارع العرضي يتناسب مع حجم التسارع الزاوي بمقدار a = r$\alpha$. باستبدال هذا التعبير في قانون نيوتن الثاني، نحصل على

\[F = mr \alpha \ldotp\]

يوضح الشكل طاولة ذات سطح طاولة بدون احتكاك. يتم دعم جسم كتلته m بجدول أفقي بدون احتكاك ويتم توصيله بنقطة محورية بواسطة سلك طوله r. يتم تطبيق القوة F على الجسم عموديًا على السلك r. — الشكل$\PageIndex{1}$: يتم دعم الكائن بجدول أفقي بدون احتكاك ويتم توصيله بنقطة محورية بواسطة سلك يوفر قوة الجاذبية المركزية. $\vec{F}$تُطبّق قوة على الجسم بشكل عمودي على نصف القطر r، مما يؤدي إلى تسريعه حول النقطة المحورية. القوة متعامدة مع r.

اضرب كلا طرفي هذه المعادلة في r،

\[rF = mr^{2} \alpha \ldotp\]

لاحظ أن الجانب الأيسر من هذه المعادلة هو عزم الدوران حول محور الدوران، حيث r هو ذراع الرافعة و F هي القوة، عموديًا على r. تذكر أن لحظة القصور الذاتي للجسيم النقطي هي I = mr ². لذلك فإن عزم الدوران المطبق بشكل عمودي على الكتلة النقطية في الشكل$\PageIndex{1}$ هو

\[\tau = I \alpha \ldotp\]

عزم الدوران على الجسيم يساوي لحظة القصور الذاتي حول محور الدوران مضروبًا في التسارع الزاوي. يمكننا تعميم هذه المعادلة على جسم صلب يدور حول محور ثابت.

قانون نيوتن الثاني للدوران

إذا كان هناك أكثر من عزم دوران يعمل على جسم صلب حول محور ثابت، فإن مجموع عزم الدوران يساوي لحظة القصور الذاتي مضروبًا في التسارع الزاوي:

\[\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha \ldotp \label{10.25}\]

المصطلح I$\alpha$ هو كمية قياسية ويمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا (عكس اتجاه عقارب الساعة أو في اتجاه عقارب الساعة) اعتمادًا على علامة عزم الدوران الصافي. تذكر أن التسارع الزاوي بعكس اتجاه عقارب الساعة إيجابي. وبالتالي، إذا كان الجسم الصلب يدور في اتجاه عقارب الساعة ويواجه عزم دوران إيجابي (عكس اتجاه عقارب الساعة)، فإن التسارع الزاوي يكون موجبًا.

المعادلة\ ref {10.25} هي قانون نيوتن الثاني للدوران وتخبرنا بكيفية ربط عزم الدوران ولحظة القصور الذاتي وحركات الدوران. وهذا ما يسمى بمعادلة الديناميكيات الدورانية. باستخدام هذه المعادلة، يمكننا حل فئة كاملة من المشكلات التي تتضمن القوة والدوران. من المنطقي أن العلاقة بين مقدار القوة اللازمة لتدوير الجسم ستشمل لحظة القصور الذاتي، لأن هذه هي الكمية التي تخبرنا بمدى سهولة أو صعوبة تغيير الحركة الدورانية للكائن.

اشتقاق قانون نيوتن الثاني للدوران في الصورة المتجهية

كما كان من قبل، عندما وجدنا التسارع الزاوي، قد نجد أيضًا متجه عزم الدوران. $\vec{a}$يخبرنا القانون الثاني$\sum \vec{F}$ = m بالعلاقة بين القوة الصافية وكيفية تغيير الحركة الانتقالية للكائن. لدينا مكافئ دوراني متجه لهذه المعادلة، والذي يمكن العثور عليه باستخدام المعادلة 10.2.10 والشكل 10.2.7. تربط المعادلة 10.2.10 التسارع الزاوي بالموضع ومتجهات التسارع العرضي:

\[\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} \ldotp\]

نشكل المنتج المتقاطع لهذه المعادلة باستخدام هوية المنتج المتقاطع$\vec{r}$ ونستخدمها (لاحظ أن$\vec{r}\; \cdotp \vec{\alpha}$ = 0):

\[\vec{r} \times \vec{a} = \vec{r} \times (\vec{\alpha} \times \vec{r}) = \vec{\alpha} (\vec{r}\; \cdotp \vec{r}) - \vec{r} (\vec{r}\; \cdotp \vec{\alpha}) = \vec{\alpha} (\vec{r}\; \cdotp \vec{r}) = \vec{\alpha} r^{2} \ldotp\]

نحن الآن نشكل الناتج المتقاطع لقانون نيوتن الثاني مع متجه الموضع$\vec{r}$،

\[\sum (\vec{r} \times \vec{F}) = \vec{r} \times (m \vec{a}) = m \vec{r} \times \vec{a} = mr^{2} \vec{\alpha} \ldotp\]

بتحديد الحد الأول على اليسار كمجموع عزم الدوران، و mr ² كلحظة القصور الذاتي، نصل إلى قانون نيوتن الثاني للدوران في شكل متجه:

\[\sum \tau = I \alpha \ldotp \label{10.26}\]

هذه المعادلة هي بالضبط المعادلة\ ref {10.25} ولكن مع عزم الدوران والتسارع الزاوي كمتجهات. النقطة المهمة هي أن متجه عزم الدوران في نفس اتجاه التسارع الزاوي.

تطبيق معادلة الديناميكا الدورانية

قبل تطبيق معادلة الديناميكا الدورانية على بعض المواقف اليومية، دعونا نراجع إستراتيجية عامة لحل المشكلات لاستخدامها مع هذه الفئة من المشكلات.

إستراتيجية حل المشكلات: الديناميكا الدورانية

افحص الموقف لتحديد مدى مشاركة عزم الدوران والكتلة في الدوران. ارسم رسمًا دقيقًا للوضع.
تحديد نظام الاهتمام.
ارسم مخططًا للجسم الحر. أي رسم وتسمية جميع القوى الخارجية التي تعمل على نظام الاهتمام.
حدد النقطة المحورية. إذا كان الكائن في حالة توازن، يجب أن يكون في حالة توازن لجميع النقاط المحورية الممكنة - اختر النقطة التي تبسط عملك أكثر من غيرها.
$\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha$قم بتطبيق المكافئ الدوراني لقانون نيوتن الثاني لحل المشكلة. يجب توخي الحذر لاستخدام لحظة القصور الذاتي الصحيحة والنظر في عزم الدوران حول نقطة الدوران.
كما هو الحال دائمًا، تحقق من الحل لمعرفة ما إذا كان معقولًا.

مثال 10.16: حساب تأثير التوزيع الكتلي على جولة مرح

ضع في اعتبارك الأب الذي يدفع في الملعب بطريقة مرحة في الشكل$\PageIndex{2}$. ويمارس قوة مقدارها ٢٥٠ نيوتن على حافة العجلة الدائرية التي تزن ٢٠٠ كجم، والتي يبلغ نصف قطرها ١٫٥٠ مترًا. احسب التسارع الزاوي الناتج عن (أ) عندما لا يكون هناك أحد في جولة المرح و (ب) عندما يجلس طفل وزنه 18.0 كجم على بُعد 1.25 مترًا من المركز. ضع في اعتبارك أن لعبة المرح نفسها عبارة عن قرص موحد مع احتكاك ضئيل.

يوضِّح الشكل رجلًا يضغط على شكل دائري دائري عند حافته وعموديًا على نصف قطره. — الشكل$\PageIndex{2}$: يدفع الأب ملعبًا مستديرًا على حافته وعموديًا على نصف قطره لتحقيق أقصى عزم دوران.

إستراتيجية

يتم إعطاء عزم الدوران الصافي مباشرة من خلال التعبير$\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha$، لحلها$\alpha$، يجب علينا أولاً حساب عزم الدوران الصافي$\tau$ (وهو نفسه في كلتا الحالتين) ولحظة القصور الذاتي I (والتي تكون أكبر في الحالة الثانية).

الحل

يتم إعطاء لحظة القصور الذاتي للقرص الصلب حول هذا المحور في الشكل 10.5.4 لتكون $$\ frac {1} {2} MR^ {2}\ lDotP$$لدينا M = 50.0 كجم و R = 1.50 م، لذلك $I = (0.500) (50.0\; kg) (1.50\; م) ^ {2} = 56.25\; kg\;\ cdotp m^ 2}\ lDotP$$لإيجاد عزم الدوران الصافي، نلاحظ أن القوة المطبقة عمودية إلى نصف القطر ويكون الاحتكاك ضئيلًا، بحيث يكون $$\ tau = rF\ sin\ theta = (1.50\; m) (250.0\; N) - 375.0\; N\;\ cdotp m\ ldotp$$الآن، بعد استبدال القيم المعروفة، نجد أن التسارع الزاوي هو $$\ alpha =\ frac {\ alpha =\ frac {\ alpha =\ frac {\ alpha =\ frac {\ alpha =\ frac {\ alpha =\;\ cdotp m} {56.25\; كجم\;\ cdotp m^ {2}} = 6.67\; راد/s ^ {2}\ ldotp$$
نتوقع أن يكون التسارع الزاوي للنظام أقل في هذا الجزء لأن لحظة القصور الذاتي تكون أكبر عندما يكون الطفل في جولة مرحة. لإيجاد اللحظة الكلية للقصور الذاتي I، نجد أولاً لحظة القصور الذاتي للطفل I _c عن طريق تقريب الطفل في صورة كتلة نقطية على مسافة 1.25 متر من المحور. ثم $I_ {c} = mr^ {2} = (18.0\; كجم) (1.25\; م) ^ {2} = 28.13\; kg\;\ cdotp m^ {2}\ lDotp$مجموع لحظة القصور الذاتي في جولة المرح والطفل (حول نفس المحور): $$I = (28.13\; kg\;\ cd dotp m^ {2}) + (56.25\؛ كجم\؛\ cdotp m^ {2}) = 84.38\؛ كجم\؛\ cdotp m^ {2}\ dotp $$ استبدال القيم المعروفة في المعادلة بـ $$\ alpha =\ frac {\ tau} {I} =\ frac {375.0\; N\;\ cdotp m} {84.38\; kg\;\ cdotp m^ {2}} = 4.44\; rad/s\ ldotp $$$\alpha$

الأهمية

يكون التسارع الزاوي أقل عندما يكون الطفل في جولة مرح منه عندما يكون المرح فارغًا، كما هو متوقع. التسارع الزاوي الموجود كبير جدًا، ويرجع ذلك جزئيًا إلى حقيقة أن الاحتكاك كان يعتبر ضئيلًا. على سبيل المثال، إذا استمر الأب في الضغط بشكل عمودي لمدة 2.00 ثانية، فإنه سيعطي الأرض المرحة سرعة زاوية قدرها 13.3 راد/ثانية عندما تكون فارغة ولكن فقط 8.89 راد/ثانية عندما يكون الطفل عليها. من حيث عدد الدورات في الثانية، تبلغ هذه السرعات الزاوية 2.12 لفة/ثانية و 1.41 لفة/ثانية على التوالي. سينتهي الأمر بالأب بالركض بسرعة 50 كم/ساعة في الحالة الأولى.

التمرين 10.7

تتميز شفرات المروحة في المحرك النفاث بفترة من القصور الذاتي 30.0 كجم • م ². في غضون 10 ثوانٍ، تدور في عكس اتجاه عقارب الساعة من السكون إلى معدل دوران يبلغ 20 لفة/ثانية. (أ) ما عزم الدوران الذي يجب تطبيقه على الشفرات لتحقيق هذا التسارع الزاوي؟ (ب) ما هو عزم الدوران المطلوب لجعل شفرات المروحة تدور بسرعة 20 لفة/ثانية للاستراحة في 20 ثانية؟