Skip to main content
Global

10.7: عزم الدوران

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    199986

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم
    • وصف كيف يعتمد حجم عزم الدوران على حجم ذراع الرافعة والزاوية التي يصنعها متجه القوة بذراع الرافعة
    • حدد العلامة (الموجبة أو السلبية) لعزم الدوران باستخدام قاعدة اليد اليمنى
    • احسب عزم الدوران الفردي حول محور مشترك واجمعها للعثور على عزم الدوران الصافي

    يعتبر عزم الدوران من الكميات المهمة لوصف ديناميكيات الجسم الصلب الدوار. نرى تطبيق عزم الدوران بعدة طرق في عالمنا. لدينا جميعًا حدس حول عزم الدوران، كما هو الحال عندما نستخدم مفتاحًا كبيرًا لفك مسمار عنيد. يعمل عزم الدوران بطرق غير مرئية، كما هو الحال عندما نضغط على دواسة الوقود في السيارة، مما يتسبب في وضع المحرك لعزم دوران إضافي على مجموعة القيادة. أو في كل مرة نحرك فيها أجسادنا من وضعية الوقوف، نطبق عزم الدوران على أطرافنا. في هذا القسم، نحدد عزم الدوران ونقدم حجة للمعادلة لحساب عزم الدوران لجسم صلب مع دوران محور ثابت.

    تعريف عزم الدوران

    لقد حددنا حتى الآن العديد من المتغيرات التي تعتبر مكافئات دورانية لنظيراتها المترجمة. دعونا نفكر في ما يجب أن يكون نظير القوة. نظرًا لأن القوى تغير الحركة الانتقالية للأجسام، يجب أن يكون النظير الدوراني مرتبطًا بتغيير الحركة الدورانية لجسم حول محور. نسمي هذا عزم الدوران المقابل.

    في الحياة اليومية، نقوم بتدوير الأشياء حول المحور طوال الوقت، لذلك من البديهي أننا نعرف بالفعل الكثير عن عزم الدوران. فكر، على سبيل المثال، في كيفية تدوير الباب لفتحه. أولاً، نعلم أن الباب يفتح ببطء إذا اقتربنا كثيرًا من مفصلاته؛ فمن الأفضل تدوير الباب مفتوحًا إذا دفعنا بعيدًا عن المفصلات. ثانيًا، نعلم أننا يجب أن ندفع عموديًا على مستوى الباب؛ وإذا دفعنا بموازاة مستوى الباب، فلن نتمكن من تدويره. ثالثًا، كلما زادت القوة، زادت فعاليتها في فتح الباب؛ وكلما ضغطت بقوة، زادت سرعة فتح الباب. تشير النقطة الأولى إلى أنه كلما تم تطبيق القوة بعيدًا عن محور الدوران، زاد التسارع الزاوي؛ والثاني يعني أن الفعالية تعتمد على الزاوية التي يتم فيها تطبيق القوة؛ والثالث يعني أن حجم القوة يجب أن يكون أيضًا جزءًا من المعادلة. لاحظ أنه بالنسبة للدوران في الطائرة، فإن عزم الدوران له اتجاهان ممكنان. يكون عزم الدوران إما في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة بالنسبة للنقطة المحورية المختارة. \(\PageIndex{1}\)يوضح الشكل عمليات الدوران بعكس اتجاه عقارب الساعة.

    الشكل A عبارة عن رسم تخطيطي لباب بقوة F يتم تطبيقه على مسافة أو من المفصلات بزاوية 90 درجة. الشكل B عبارة عن رسم تخطيطي لباب بقوة أصغر يتم تطبيق F على مسافة أو من المفصلات بزاوية 90 درجة. الشكل C عبارة عن رسم تخطيطي لباب بقوة أصغر يتم تطبيق F على مسافة أصغر أو من المفصلات بزاوية 90 درجة. الشكل D عبارة عن رسم تخطيطي لباب بقوة F يتم تطبيقه على مسافة أو من المفصلات تحت زاوية ثيتا التي تقل عن 90 درجة.
    الشكل\(\PageIndex{1}\): عزم الدوران هو فعالية الدوران أو الالتواء للقوة، كما هو موضح هنا لدوران الباب على مفصلاته (كما هو موضح من الأعلى). عزم الدوران له كل من الحجم والاتجاه. (أ) يتم إنتاج عزم الدوران بعكس اتجاه عقارب الساعة بواسطة قوة\(\vec{F}\) تعمل على مسافة أو من المفصلات (النقطة المحورية). (ب) يتم إنتاج عزم دوران أصغر بعكس اتجاه عقارب الساعة عندما\(\vec{F}′\) تعمل قوة أصغر على نفس المسافة أو من المفصلات. (ج) تنتج نفس القوة الموجودة في (أ) عزم دوران أصغر بعكس اتجاه عقارب الساعة عند تطبيقه على مسافة أصغر من المفصلات. (د) يتم إنتاج عزم دوران أصغر بعكس اتجاه عقارب الساعة بنفس قوة المقدار مثل (أ) التي تعمل على نفس مسافة (أ) ولكن بزاوية\(\theta\) أقل من 90 درجة.

    الآن دعونا نفكر في كيفية تحديد عزم الدوران في الحالة العامة ثلاثية الأبعاد.

    عزم الدوران

    عندما\(\vec{F}\) يتم تطبيق قوة على النقطة P التي يكون موضعها\(\vec{r}\) بالنسبة إلى O (الشكل\(\PageIndex{2}\))، يكون عزم الدوران\(\vec{\tau}\) حول O

    \[\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} \ldotp \label{10.22}\]

    يعرض الشكل نظام الإحداثيات XYZ. يتم تطبيق القوة F في المستوى XY وهي موازية للمحور X. يقع Vector r في المستوى XY. يبدأ عند أصل أصل نظام الإحداثيات وينتهي عند بداية المتجه F. يبدأ Vector لعزم الدوران عند نقطة تقاطع متجه r و v. وهو عمودي على المستوى XY ويتم توجيهه إلى الاتجاه Z.

    الشكل\(\PageIndex{2}\): يكون عزم الدوران عموديًا على المستوى المحدد بـ\(\vec{r}\)\(\vec{F}\) و يتم تحديد اتجاهه من خلال قاعدة اليد اليمنى.

    من تعريف المنتج المتقاطع،\(\vec{\tau}\) يكون عزم الدوران عموديًا على المستوى الذي يحتوي على\(\vec{r}\)\(\vec{F}\) و وله حجم

    \[|\vec{\tau}| = |\vec{r} \times \vec{F}| = rF \sin \theta,\]

    \(\theta\)أين الزاوية بين المتجهات\(\vec{r}\) و\(\vec{F}\). وحدة عزم الدوران SI هي نيوتن في الأمتار، وعادة ما تكتب كـ N • m، والكمية r \(\perp\)= rsin\(\theta\) هي المسافة العمودية من O إلى الخط الذي يحدده المتجه\(\vec{F}\) وتسمى ذراع الرافعة. لاحظ أنه كلما زاد ذراع الرافعة، زاد حجم عزم الدوران. من حيث ذراع الرافعة، فإن حجم عزم الدوران هو

    \[|\vec{\tau}| = r_{\perp} F \ldotp \label{10.23}\]

    يخبرنا المنتج المتقاطع\(\vec{r} \times \vec{F}\) أيضًا بعلامة عزم الدوران. في الشكل\(\PageIndex{2}\)،\(\vec{r} \times \vec{F}\) يوجد المنتج المتقاطع على طول المحور z الموجب، والذي يمثل وفقًا للعادة عزم دوران إيجابي. \(\vec{r} \times \vec{F}\)إذا كان على طول المحور z السالب، ينتج عن ذلك عزم دوران سلبي.

    إذا نظرنا إلى قرص حر في الدوران حول محور عبر المركز، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{3}\)، يمكننا أن نرى كيف\(\vec{F}\) تؤثر الزاوية بين نصف القطر\(\vec{r}\) والقوة على حجم عزم الدوران. إذا كانت الزاوية صفرًا، يكون عزم الدوران صفرًا؛ وإذا كانت الزاوية 90 درجة، يكون عزم الدوران هو الحد الأقصى. عزم الدوران في الشكل إيجابي\(\PageIndex{3}\) لأن اتجاه عزم الدوران بالقاعدة اليمنى يكون خارج الصفحة على طول المحور z الموجب. يدور القرص بعكس اتجاه عقارب الساعة بسبب عزم الدوران، في نفس اتجاه التسارع الزاوي الإيجابي.

    يوضح الشكل قرصًا يدور بعكس اتجاه عقارب الساعة حول محوره خلال المركز.
    الشكل\(\PageIndex{3}\): القرص حر في الدوران حول محوره من خلال المركز. حجم عزم الدوران على القرص هو RFSin\(\theta\). عندما\(\theta\) = 0 درجة، يكون عزم الدوران صفرًا ولا يدور القرص. عندما\(\theta\) = 90 درجة، يكون عزم الدوران هو الحد الأقصى ويدور القرص بأقصى تسارع زاوي.

    يمكن حساب أي عدد من عزم الدوران حول محور معين. يتم إضافة عزم الدوران الفردي لإنتاج عزم دوران صافي حول المحور. عندما يتم تعيين العلامة المناسبة (الإيجابية أو السلبية) لمقاييس عزم الدوران الفردية حول محور محدد، فإن عزم الدوران الصافي حول المحور هو مجموع عزم الدوران الفردي:

    \[\vec{\tau}_{net} = \sum_{i} |\vec{\tau}_{i}| \ldotp \label{10.24}\]

    حساب عزم الدوران الصافي للأجسام الصلبة على محور ثابت

    في الأمثلة التالية، نحسب عزم الدوران بشكل تجريدي وكما هو مطبق على الجسم الصلب. نقدم أولاً استراتيجية حل المشكلات.

    إستراتيجية حل المشكلات: إيجاد عزم الدوران الصافي
    1. اختر نظام الإحداثيات مع النقطة المحورية أو محور الدوران كأصل لنظام الإحداثيات المحدد.
    2. حدد الزاوية بين ذراع الرافعة\(\vec{r}\) ومتجه القوة.
    3. خذ المنتج المتقاطع\(\vec{F}\) لـ\(\vec{r}\) وحدد ما إذا كان عزم الدوران موجبًا أم سلبيًا حول النقطة المحورية أو المحور.
    4. قم بتقييم مقدار عزم الدوران باستخدام r \(\perp\)F.
    5. قم بتعيين العلامة المناسبة، الإيجابية أو السلبية، للحجم.
    6. اجمع عزم الدوران لإيجاد عزم الدوران الصافي.
    مثال 10.14: حساب عزم الدوران

    تظهر أربع قوى في الشكل\(\PageIndex{4}\) في مواقع واتجاهات معينة فيما يتعلق بنظام الإحداثيات السينية المحدد. ابحث عن عزم الدوران الناتج عن كل قوة حول الأصل، ثم استخدم نتائجك للعثور على عزم الدوران الصافي حول الأصل.

    يوضح الشكل أربع قوى تنتج عزم الدوران المرسومة في نظام الإحداثيات XY. يرسم كل من محاور X و Y المسافة بالأمتار. يبدأ متجه القوة التي يبلغ مقدارها 40 نيوتن عند النقطة (4,0)، ويوازي المحور Y، ويتم توجيهه إلى الاتجاه الإيجابي. يبدأ متجه القوة التي يبلغ مقدارها 20 نيوتن عند النقطة (0، -3)، ويوازي المحور X، ويتم توجيهه إلى الاتجاه السالب. يبدأ متجه آخر للقوة التي مقدارها 20 نيوتن عند النقطة (0,1)، ويتم توجيهه إلى الجزء العلوي الأيسر من الرسم البياني مكونًا زاوية 60 درجة مع المحور X. يبدأ متجه القوة التي مقدارها 30 نيوتن عند النقطة (-5,0)، ويتم توجيهه إلى الجزء السفلي الأيسر من الرسم البياني الذي يشكل زاوية مقدارها 53 درجة مع المحور X.
    الشكل\(\PageIndex{4}\): أربع قوى تنتج عزم الدوران.

    إستراتيجية

    تتطلب هذه المشكلة حساب عزم الدوران. جميع الكميات المعروفة - القوات ذات الاتجاهات وأذرع الرافعة - موضحة في الشكل. الهدف هو العثور على كل عزم دوران فردي وعزم الدوران الصافي من خلال جمع عزم الدوران الفردي. احرص على تعيين العلامة الصحيحة لكل عزم دوران باستخدام المنتج المتقاطع\(\vec{r}\) ومتجه القوة\(\vec{F}\).

    الحل

    استخدم |\(\vec{\tau}\) | = r \(\perp\)F = rfSin\(\theta\) للعثور\(\vec{r} = \vec{r} \times \vec{F}\) على الحجم وتحديد علامة عزم الدوران.

    يتم إعطاء عزم الدوران من القوة 40 نيوتن في الربع الأول بواسطة (4) (40) sin 90° = 160 N • m.

    الناتج المتقاطع للصفحة وخارج الصفحة، إيجابي.\(\vec{r}\)\(\vec{F}\)

    يُعطى عزم الدوران الناتج عن القوة 20 نيوتن في الربع الثالث بمقدار − (3) (20) sin 90° = − 60 N • m.

    المنتج المتقاطع لـ\(\vec{r}\) and\(\vec{F}\) موجود في الصفحة، لذا فهو سلبي.

    يتم إعطاء عزم الدوران من قوة 30 نيوتن في الربع الثالث بواسطة (5) (30) sin 53° = 120 N • m.

    الناتج المتقاطع للصفحة وخارج الصفحة، إيجابي.\(\vec{r}\)\(\vec{F}\)

    يتم إعطاء عزم الدوران من قوة 20 نيوتن في الربع الثاني بواسطة (1) (20) sin 30° = 10 N • m.

    المنتج المتقاطع لـ\(\vec{r}\) and\(\vec{F}\) موجود خارج الصفحة.

    وبالتالي فإن عزم الدوران الصافي هو\(\tau_{net} = \sum_{i} |\tau_{i}|\) = 160 − 60 + 120 + 10 = 230 نيوتن • م.

    الدلالة

    لاحظ أن كل قوة تعمل في اتجاه عكس عقارب الساعة لها عزم دوران إيجابي، في حين أن كل قوة تعمل في اتجاه عقارب الساعة لها عزم دوران سلبي. يكون عزم الدوران أكبر عندما تكون المسافة أو القوة أو المكونات العمودية أكبر.

    مثال 10.15: حساب عزم الدوران على جسم صلب

    \(\PageIndex{5}\)يوضِّح الشكل عدة قوى تؤثِّر في مواقع وزوايا مختلفة على دولاب الموازنة. لدينا\(|\vec{F}_{1}|\) = 20 نيوتن،\(|\vec{F}_{2}|\) = 30 نيوتن،\(|\vec{F}_{3}|\) = 30 نيوتن، ص = 0.5 متر، أوجد عزم الدوران الصافي على دولاب الموازنة حول محور يمر بالمركز.

    يوضِّح الشكل دولاب الموازنة الذي تؤثِّر عليه ثلاث قوى في مواقع وزوايا مختلفة. يتم تطبيق القوة F3 في المركز وهي متعامدة مع محور الدوران. يتم تطبيق القوة F2 على الحافة اليسرى وهي متعامدة مع محور الدوران. يتم تطبيق القوة F1 في المركز وتشكل زاوية 30 درجة مع محور الدوران.
    الشكل\(\PageIndex{5}\): ثلاث قوى تعمل على دولاب الموازنة.

    إستراتيجية

    نحسب كل عزم دوران على حدة، باستخدام المنتج المتقاطع، ونحدد علامة عزم الدوران. ثم نجمع عزم الدوران لإيجاد عزم الدوران الصافي. الحل الذي نبدأ به\(\vec{F}_{1}\). إذا نظرنا إلى الشكل\(\PageIndex{5}\)، نرى أن هذا\(\vec{F}_{1}\) يجعل الزاوية 90°+ 60° مع متجه نصف القطر\(\vec{r}\). عند أخذ المنتج المتقاطع، نرى أنه خارج الصفحة وبالتالي فهو أمر إيجابي. نرى هذا أيضًا من حساب حجمه:

    \[|\vec{\tau}_{1}| = rF_{1} \sin 150^{o} = (0.5\; m)(20\; N)(0.5) = 5.0\; N\; \cdotp m \ldotp\]

    بعد ذلك ننظر إلى\(\vec{F}_{2}\). الزاوية بين\(\vec{F}_{2}\) و 90\(\vec{r}\) درجة والمنتج المتقاطع في الصفحة بحيث يكون عزم الدوران سالبًا. قيمتها هي

    \[|\vec{\tau}_{2}| = -rF_{2} \sin 90^{o} = (-0.5\; m)(30\; N) = -15.0\; N\; \cdotp m \ldotp\]

    عندما نقوم بتقييم عزم الدوران الناتج\(\vec{F}_{3}\)، نرى أن الزاوية التي يصنعها بها\(\vec{r}\) هي صفر لذا\(\vec{r} \times \vec{F}_{3}\) = 0. لذلك،\(\vec{F}_{3}\) لا ينتج أي عزم دوران على دولاب الموازنة.

    نقوم بتقييم مجموع عزم الدوران:

    \[\tau_{net} = \sum_{i} |\tau_{i}| = 5 - 15 = -10\; N\; \cdotp m \ldotp\]

    الدلالة

    يقع محور الدوران في مركز كتلة دولاب الموازنة. نظرًا لأن دولاب الموازنة موجود على محور ثابت، فلا يمكن ترجمته مجانًا. إذا كان على سطح غير قابل للاحتكاك ولم يتم تثبيته في مكانه،\(\vec{F}_{3}\) فسيؤدي ذلك إلى ترجمة دولاب الموازنة أيضًا\(\vec{F}_{1}\). سيكون اقتراحه مزيجًا من الترجمة والتناوب.

    التمرين 10.6

    جنحت سفينة كبيرة تسير في المحيط بالقرب من الساحل، على غرار مصير كوستا كونكورديا، وتقع في زاوية كما هو موضح أدناه. يجب على أطقم الإنقاذ تطبيق عزم الدوران لتصحيح السفينة من أجل تعويم السفينة للنقل. يجب تطبيق قوة مقدارها 5.0 × 10 5 نيوتن عند النقطة A على يمين السفينة. ما عزم الدوران حول نقطة اتصال السفينة بالأرض (الشكل\(\PageIndex{6}\))؟

    يوضِّح الشكل سفينة تقع بزاوية على شاطئ البحر. تُطبّق قوة مقدارها 50000 نيوتن بزاوية 10 درجات على الوضع الطبيعي عند نقطة أعلى بمقدار 100 متر من نقطة التلامس بين السفينة وشاطئ البحر.
    الشكل\(\PageIndex{6}\): جنحت السفينة وتميل، مما يتطلب تطبيق عزم الدوران لإعادة السفينة إلى وضع مستقيم.