Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

2.7: أمثلة جبر المتجهات

مثال2.7.1: Analytical Computation of a Resultant

يتم تحديد ثلاثة متجهات للإزاحةAB،C وفي المستوى (الشكل 2.3.6) بمقاييسها A = 10.0، B = 7.0، C = 8.0، على التوالي، ومن خلال زوايا الاتجاه الخاصة بكل منها مع الاتجاه الأفقيα = 35 درجة،β = −110 درجة، و γ= 30 درجة. الوحدات المادية للمقاييس هي سنتيمترات. قم بحل المتجهات إلى مكوناتها العددية وابحث عن مجاميع المتجهات التالية:

  1. R=A +B +C،
  2. D=AB، و
  3. S=A − 3B +C.
إستراتيجية

أولاً، نستخدم المعادلة 2.4.13 لإيجاد المكونات العددية لكل متجه ثم نعبر عن كل متجه في شكل مكون المتجه الخاص به المعطى بـA=Axˆi+Ayˆj. ثم نستخدم الطرق التحليلية للجبر المتجه للعثور على النتائج.

الحل

نقوم بحل المتجهات المعطاة لمكوناتها العددية:

{Ax=Acosα=(10.0cm)cos35o=8.19cmAy=Asinα=(10.0cm)sin35o=5.73cm

{Bx=Bcosβ=(7.0cm)cos(110o)=2.39cmBy=Bsinβ=(7.0cm)sin(110o)=6.58cm

{Cx=Ccosγ=(8.0cm)cos(30o)=6.93cmCy=Csinγ=(8.0cm)sin(30o)=4.00cm

بالنسبة لـ (أ) قد نستبدل مباشرة بالمعادلة 2.6.7 للعثور على المكونات العددية للنتيجة:

{Rx=Ax+Bx+Cx=8.19cm2.39cm+6.93cm=12.73cmRy=Ay+By+Cy=5.73cm6.58cm+4.00cm=3.15cm

لذلك، يكون المتجه الناتج هوR=Rxˆi+Ryˆj=(12.7ˆi+3.1ˆj) cm. بالنسبة إلى (b)، قد نرغب في كتابة فرق المتجهات على النحو التالي

D=AB=(Axˆi+Ayˆj)(Bxˆi+Byˆj)=(AxBx)ˆi+(AyBy)ˆj.

ومن ثم فإن متجه الفرق هوD=Dxˆi+Dyˆj=(10.6ˆi+12.3ˆj) سم.

بالنسبة لـ (c)، يمكننا كتابة المتجهS بالشكل الصريح التالي:

S=A3B+C=(Axˆi+Ayˆj)3(Bxˆi+Byˆj)+(Cxˆi+Cyˆj)=(Ax3Bx+Cx)ˆi+(Ay3By+Cy)ˆj.

ثم المكونات العدديةS هي

{Sx=Ax3Bx+Cx=8.19cm3(2.39cm)+6.93cm=22.29cmSy=Ay3By+Cy=5.73cm3(6.58cm)+4.00cm=29.47cm

المتجه هوS=Sxˆi+Syˆj=(22.3ˆi+29.5ˆj) سم.

الدلالة

بعد العثور على مكونات المتجهات، يمكننا توضيح المتجهات بالرسم البياني أو يمكننا حساب المقادير وزوايا الاتجاه، كما هو موضح في الشكل2.7.1. يمكن مقارنة نتائج المقادير في (ب) و (ج) بنتائج نفس المشكلات التي تم الحصول عليها باستخدام الطريقة الرسومية، الموضحة في الشكل 2.3.7 والشكل 2.3.8. لاحظ أن الطريقة التحليلية تنتج نتائج دقيقة وأن دقتها لا تقتصر على دقة المسطرة أو المنقلة، كما كان الحال مع الطريقة الرسومية المستخدمة في المثال 2.3.2 للعثور على نفس النتيجة.

يبلغ حجم المتجه R 13.11. الزاوية بين R والاتجاه x الموجب هي theta sub R تساوي 13.9 درجة. مكونات R هي R الفرعية x على المحور x و R الفرعية y على المحور y. يبلغ حجم المتجه D 16.23. الزاوية بين D والاتجاه x الموجب هي theta sub D تساوي 49.3 درجة. مكونات D هي D sub x على المحور x و D الفرعي y على المحور y. يبلغ حجم المتجه S 36.95. الزاوية بين S والاتجاه x الموجب هي theta sub S تساوي 52.9 درجة. مكونات S هي S sub x على المحور x و S الفرعية y على المحور y.
الشكل2.7.1: رسم توضيحي للحلول التي تم الحصول عليها تحليليًا.
التمرين 2.8

يتم تحديد ثلاثة متجهات للإزاحةAB، وF (الشكل 2.3.6) بمقاييسها A = 10.00، B = 7.00، و F = 20.00، على التوالي، ومن خلال زوايا الاتجاه الخاصة بكل منها مع الاتجاه الأفقيα = 35 درجة،β = −110 درجة، وφ = 110 °. الوحدات المادية للمقاييس هي سنتيمترات. استخدم الطريقة التحليلية لإيجاد المتجهF =A + 2BF. تحقق من أن G = 28.15 سم وذاكθG = −68.65 درجة.

مثال2.7.2: The Tug-of-War Game

تلعب أربعة كلاب اسمها أسترو وبالتو وكليفورد ودوغ لعبة شد الحبل باستخدام لعبة (الشكل2.7.2). يسحب أسترو اللعبة في الاتجاهα = 55 درجة جنوب الشرق، ويسحب بالتو في الاتجاهβ = 60 درجة شرق الشمال، ويسحب كليفورد في الاتجاهγ = 55 درجة غرب الشمال. يسحب أسترو بقوة بـ 160.0 وحدة من القوة (N)، والتي نختصرها كـ A = 160.0 N. يسحب Balto بقوة أقوى من Astro بقوة مقدارها B = 200.0 N، ويسحب كليفورد بقوة مقدارها C = 140.0 N. عندما يسحب دوغ اللعبة بطريقة تجعل قوته توازن ناتج القوى الثلاث الأخرى، لا تتحرك اللعبة في أي اتجاه. ما حجم القوة وفي أي اتجاه يجب أن يسحب دوغ اللعبة حتى يحدث هذا؟

رسم توضيحي لـ 4 كلاب تسحب لعبة. اللعبة هي أصل نظام الإحداثيات، حيث تمت محاذاة علامة زائد x مع الشرق بالإضافة إلى y مع الشمال. يقوم Astro بالسحب بزاوية ألفا وهي 55 درجة في اتجاه عقارب الساعة من اتجاه زائد x (الشرق). يسحب Balto بزاوية بيتا وهي 60 درجة في اتجاه عقارب الساعة من اتجاه زائد y (الشمال). يسحب كليفورد بزاوية جاما مقدارها 55 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة من اتجاه زائد y (الشمال). يتم سحب الحفر في اتجاه غير محدد في الربع الثالث.
الشكل2.7.2: تلعب أربعة كلاب لعبة شد الحبل مع لعبة.

إستراتيجية

نفترض أن الشرق هو اتجاه المحور السيني الموجب والشمال هو اتجاه المحور y الموجب. كما هو الحال في المثال2.7.1، يتعين علينا حل القوى الثلاث المعطاة -A (السحب من أسترو)،B (السحب من بالتو)، وC (السحب من كليفورد) - في مكوناتها العددية ثم العثور على المكونات العددية للمتجه الناتجR =A +B + C. عندما تقوم قوة السحبD من Dug بموازنة هذا الناتج، يجب أن يعطي مجموع المتجه الفارغD +R =DR ويجب أن يعطي ذلك المتجه الفارغ0. هذا يعني أنD =R لذا يجب أن يكون السحب من Dog مضادًا لـR.

الحل

زوايا الاتجاه هيθAα = −55°،θB = 90° −β = 30°، وθC = 90° +γ = 145°، واستبدالها في المعادلة 2.4.13 يعطي المكونات العددية للقوى الثلاث المعطاة:

{Ax=AcosθA=(160.0N)cos(55o)=+91.8NAy=AsinθA=(160.0N)sin(55o)=131.1N

{Bx=BcosθB=(200.0N)cos30o=+173.2NBy=BsinθB=(200.0N)sin30o=+100.0N

{Cx=CcosθC=(140.0N)cos145o=114.7NCy=CsinθC=(140.0N)sin145o=+80.3N

الآن نحسب المكونات العددية للمتجه الناتجR=A+B+C:

{Rx=Ax+Bx+Cx=+91.8N+173.2N114.7N=+150.3NRy=Ay+By+Cy=131.1N+100.0N+80.3N=+49.2N

المتجه المضاد للنتيجةR هو

D=R=RxˆiRyˆj=(150.3ˆi49.2ˆj)N.

حجم قوة سحب دوغ هو

D=D2x+D2y=(150.3)2+(49.2)2N=158.1N.

اتجاه قوة سحب دوغ هو

θ=tan1(DyDx)=tan1(49.2N150.3N)=tan1(49.2150.3)=18.1o.

يتم السحب المحفور في اتجاه 18.1 درجة جنوب الغرب لأن كلا المكونين سالبين، مما يعني أن متجه السحب يقع في الربع الثالث (الشكل 2.4.4).

التمرين 2.9

لنفترض أن Balto in Example2.7.2 يغادر اللعبة ليهتم بأمور أكثر أهمية، لكن Astro و Clifford و Dug يواصلون اللعب. لا تتغير قوة سحب أسترو وكليفورد، لكن دوغ يركض ويعض اللعبة في مكان مختلف. ما مقدار القوة والاتجاه الذي يجب أن يسحبه دوغ في اللعبة الآن لموازنة عمليات السحب المجمعة من كليفورد وأسترو؟ قم بتوضيح هذا الموقف من خلال رسم مخطط متجه يشير إلى جميع القوى المعنية.

مثال2.7.3: Vector Algebra

أوجد مقدار المتجهC الذي يفي بالمعادلة ٢A − ٦B + ٣C = ٢ˆj،A =ˆi − ٢،ˆkB و= −ˆj +ˆk2.

إستراتيجية

نحل أولاً المعادلة المعطاة للمتجه غير المعروفC. ثم نستبدلAB ونجمع المصطلحات على طول كل من الاتجاهات الثلاثةˆiˆj،ˆk ونحدد المكونات العددية C x و C y و C z. أخيرًا، نستبدل المعادلة 2.5.6 لإيجاد المقدار C.

الحل

2A6B+3C=2ˆj3C=2ˆj2A+6BC=23ˆj23A+2B=23ˆj23(ˆi2ˆk)+2(ˆj+ˆk2)=23ˆj23ˆi+43ˆk2ˆj+ˆk=23ˆi+(232)ˆj+(43 +1)ˆk=23ˆi43ˆj+73ˆk

المكونات هي C x =23، C y =43، و C z =73، والاستعاضة في المعادلة 2.5.6 تعطي

C=C2x+C2y+C2z=(23)2+(43)2+(73)2=233.

مثال2.7.4: Displacement of a Skier

بدءًا من نزل التزلج، يذهب المتزلج الريفي على الثلج لمسافة 5.0 كم شمالًا، ثم 3.0 كم غربًا، وأخيرًا 4.0 كم جنوب غرب قبل أخذ قسط من الراحة. ابحث عن إجمالي متجه الإزاحة بالنسبة إلى النزل عندما يكون في نقطة الراحة. إلى أي مدى وفي أي اتجاه يجب أن يتزلج من نقطة الراحة للعودة مباشرة إلى النزل؟

إستراتيجية

نفترض نظام إحداثيات مستطيل مع الأصل في نزل التزلج ومتجه الوحدة الذيˆi يشير إلى الشرق ومتجه الوحدة الذيˆj يشير إلى الشمال. هناك ثلاث عمليات نزوح:D1،D2، وD3. نحدد مقاييسها على النحو D 1 = 5.0 كم، D 2 = 3.0 كم، و D 3 = 4.0 كم. نحدد اتجاهاتها وهي الزواياθ1 = 90 درجة،θ2 = 180 درجة، وθ3 = 180 درجة + 45 درجة = 225 درجة. نقوم بحل كل متجه للإزاحة بمكوناته العددية ونستبدل المكونات في المعادلة 2.6.5 للحصول على المكونات العددية للإزاحة الناتجةD من النزل إلى نقطة الراحة. في طريق العودة من نقطة الراحة إلى النزل، يكون الإزاحةB = −D. أخيرًا، نجد حجم واتجاهB.

الحل

المكونات العددية لناقلات الإزاحة هي

{D1x=D1cosθ1=(5.0km)cos90o=0D1y=D1sinθ1=(5.0km)sin90o=5.0km

{D2x=D2cosθ2=(3.0km)cos180o=3.0kmD2y=D2sinθ2=(3.0km)sin180o=0

{D3x=D3cosθ3=(4.0km)cos225o=2.8kmD3y=D3sinθ3=(4.0km)sin225o=2.8km

المكونات العددية لناقل الإزاحة الصافي هي

{Dx=D1x+D2x+D3x=(03.02.8)km=5.8kmDy=D1y+D2y+D3y=(5.0+02.8)km=+2.2km

وبالتالي، فإن متجه الإزاحة الصافي للمتزلج هوD = D xˆi + D yˆj = (−5.8ˆi + 2.2ˆj) كم. في طريق العودة إلى النزل، كانت نزوحتهB = −D = (−5.8ˆi + 2.2ˆj) كم = (5.8ˆi - 2.2ˆj) كم. حجمها هو B =B2x+B2y =(5.8)2+(2.2)2 km = 6.2 كم وزاوية اتجاهها هيθ = تان −1(2.25.8) = −20.8°. لذلك، للعودة إلى النزل، يجب عليه السير لمسافة 6.2 كم في اتجاه حوالي 21 درجة جنوب الشرق.

الأهمية

لاحظ أنه لا توجد حاجة إلى رقم لحل هذه المشكلة بالطريقة التحليلية. الأرقام مطلوبة عند استخدام طريقة رسومية؛ ومع ذلك، يمكننا التحقق مما إذا كان حلنا منطقيًا من خلال رسمه، وهي خطوة نهائية مفيدة في حل أي مشكلة في المتجهات.

مثال2.7.5: Displacement of a Jogger

يركض عداء في رحلة من 200 خطوة متطابقة إلى أعلى التل ثم يركض على طول قمة التل 50.0 مترًا قبل أن يتوقف عند نافورة الشرب (الشكل2.7.3). متجه الإزاحة الخاص به من النقطة A في أسفل الدرجات إلى النقطة B عند النافورة يساويDAB = (−90.0ˆi + 30.0ˆj) m، ما ارتفاع وعرض كل خطوة في الرحلة؟ ما هي المسافة الفعلية التي يغطيها العداء؟ إذا قام بعمل حلقة وعاد إلى النقطة A، فما هو متجه الإزاحة الصافي الخاص به؟

يظهر نظام الإحداثيات مع x الموجب إلى اليمين والإيجابي y لأعلى. يوجد عداء عند النقطة A في أسفل الخطوات المؤدية إلى الأعلى وإلى اليسار. يُصنف الجزء العلوي من الدرجات بالنقطة T. وفي أعلى الدرجات يوجد قسم مسطح يمتد من النقطة T إلى النافورة عند النقطة B. وتبلغ المسافة بين T و B 50 مترًا.
الشكل2.7.3: يركض عداء على متن مجموعة من الدرجات.

إستراتيجية

متجه الإزاحةDAB هو المجموع المتجه لمتجه الإزاحة الخاص بالعداءDAT على طول الدرج (من النقطة A في أسفل الدرج إلى النقطة T في أعلى الدرج) ومتجه الإزاحة الخاص بهDRB على قمة التل (من النقطة T في أعلى الدرج إلى نافورة عند النقطة B). يجب أن نجد المكونات الأفقية والعمودية لـDTB. إذا كانت كل خطوة لها عرض w وارتفاع h،DTB يجب أن يكون طول المكون الأفقي 200 واط ويجب أن يكون طول المكون الرأسي 200 ساعة. المسافة الفعلية التي يقطعها العداء هي مجموع المسافة التي يجرها صعودًا على الدرج والمسافة 50.0 مترًا التي يجريها على طول قمة التل.

الحل

في نظام الإحداثيات الموضح في الشكل2.7.3، يكون متجه الإزاحة الخاص بالمهرول على قمة التلDRB = (−50.0 m)ˆi. ناقل الإزاحة الصافي الخاص به هو

DAB=DAT+DTB.

لذلك، فإن ناقل نزوحهDTB على طول الدرج هو

DAT=DABDTB=(90.0ˆi+30.0ˆj)m(50.0m)ˆi)=[(90.050.0)hati+30.0ˆj)]m=(40.0ˆi+30.0ˆj)m.

مكوناته العددية هي D Tax = −40.0 m و D Tay = 30.0 m، لذلك يجب أن يكون لدينا

200w=|40.0|m and 200h=30.0m.

وبالتالي، فإن عرض الخطوة هو w40.0m200 = = 0.2 م = 20 سم، وارتفاع الخطوة هو w30.0m200 = 0.15 m = 15 سم. المسافة التي يغطيها العداء على طول الدرج هي

DAT=D2ATx+D2ATy=(40.0)2+(30.0)2m=50.0m.

وبالتالي، فإن المسافة الفعلية التي يركضها هي D AT + D TB = 50.0 m + 50.0 m = 100.0 m، وعندما يصنع حلقة ويعود من النافورة إلى موضعه الأولي عند النقطة A، فإن المسافة الإجمالية التي يغطيها هي ضعف هذه المسافة، أو 200.0 م، ومع ذلك، فإن متجه الإزاحة الصافي الخاص به هو صفر، لأن عندما يكون موضعه النهائي هو نفس موضعه الأولي، تكون المكونات العددية لمتجه الإزاحة الصافي الخاص به صفرًا (المعادلة 2.4.4).

في العديد من الحالات المادية، نحتاج غالبًا إلى معرفة اتجاه المتجه. على سبيل المثال، قد نرغب في معرفة اتجاه متجه المجال المغناطيسي عند نقطة ما أو اتجاه حركة الجسم. لقد قلنا بالفعل أن الاتجاه يُعطى بواسطة متجه الوحدة، وهو كيان بلا أبعاد - أي أنه لا يحتوي على وحدات مادية مرتبطة به. عندما يقع المتجه المعني على طول أحد المحاور في نظام الإحداثيات الديكارتية، تكون الإجابة بسيطة، لأن متجه الوحدة الخاص به يكون إما موازيًا أو مضادًا لاتجاه متجه الوحدة للمحور. على سبيل المثال، اتجاه المتجهd = -5 mˆi هو متجه الوحدةd = -ˆi. القاعدة العامة لإيجاد متجهV الوحدة لأي متجهV هي تقسيمه على حجمه V:

ˆV=VV

نرى من هذا التعبير أن متجه الوحدة للاتجاه هو بالفعل بلا أبعاد لأن البسط والمقام في المعادلة\ ref {2.26} لهما نفس الوحدة المادية. بهذه الطريقة، تسمح لنا المعادلة\ ref {2.26} بالتعبير عن متجه الوحدة من حيث متجه الوحدة للمحاور. يوضح المثال التالي هذا المبدأ.

مثال2.7.6: The Unit Vector of Direction

إذا كان متجه السرعة للقافلة العسكرية في المثال 2.6.1 هوv = (4.000ˆi + 3.000ˆj + 0.100ˆk) كم/ساعة، فما هو متجه الوحدة لاتجاه حركتها.

إستراتيجية

متجه الوحدة لاتجاه حركة القافلة هو متجهˆv الوحدة الموازي لمتجه السرعة. يتم الحصول على متجه الوحدة بقسمة المتجه على حجمه، وفقًا للمعادلة\ ref {2.26}.

الحل

حجم المتجهv هو

v=v2x+v2y+v2z=4.0002+3.0002+0.1002km/h=5.001km/h.

للحصول على متجه الوحدةˆv، قمv بالقسمة على حجمه:

ˆv=vv=(4.000ˆi+3.00ˆj+0.100ˆk)km/h5.001km/h=(4.000ˆi+3.000ˆj+0.1100ˆk)5.001=4.0005.001ˆi+3.0005.001ˆj+0.1005.001ˆk=(79.98ˆi+59.99ˆj+2.00ˆk)×102.

الدلالة

لاحظ أنه عند استخدام الطريقة التحليلية مع الآلة الحاسبة، يُنصح بإجراء العمليات الحسابية إلى ثلاث خانات عشرية على الأقل ثم تقريب الإجابة النهائية إلى العدد المطلوب من الأرقام المهمة، وهي الطريقة التي أجرينا بها العمليات الحسابية في هذا المثال. إذا أنهيت إجابتك الجزئية مبكرًا جدًا، فإنك تخاطر بحدوث خطأ عددي كبير في إجابتك النهائية، وقد تكون بعيدة عن الإجابة الدقيقة أو عن القيمة المقاسة في التجربة.

التمرين 2.10

تحقق من أن المتجه الذيˆv تم الحصول عليه في المثال2.7.3 هو بالفعل متجه وحدة عن طريق حساب حجمه. إذا كانت القافلة في المثال 2.6.1 تتحرك عبر أرض صحراوية مسطحة - أي إذا كان المكون الثالث لسرعتها صفرًا - فما متجه الوحدة لاتجاه حركتها؟ ما الاتجاه الجغرافي الذي تمثله؟