2.6: جبر المتجهات

أهداف التعلم

• قم بتطبيق الطرق التحليلية للجبر المتجه للعثور على المتجهات الناتجة وحل المعادلات المتجهية للمتجهات غير المعروفة.
• قم بتفسير المواقف المادية من حيث التعبيرات المتجهة.

يمكن إضافة المتجهات معًا وضربها بالأرقام. جمع المتجهات هو جمع ترابطي (المعادلة 2.2.8) وإبدال (المعادلة 2.2.7)، وضرب المتجهات بمجموع الأرقام القياسية هو توزيعي (المعادلة 2.2.9). كما أن الضرب القياسي بمجموع المتجهات يكون توزيعيًا:

$$\alpha(\vec{A} + \vec{B}) = \alpha \vec{A} + \alpha{B} \ldotp \label{2.22}$$

في هذه المعادلة،$\alpha$ هو أي رقم (قياسي). على سبيل المثال،$\hat{k}$ يمكن التعبير عن المتجه المضاد للمتجه$\vec{A}$ = A _x$\hat{i}$$\hat{j}$ + A _y + A _z ببساطة عن$\vec{A}$ طريق الضرب بالعدد القياسي$\alpha$ = −1:

$$- \vec{A} = A_{x} \hat{i} - A_{y} \hat{j} - A_{z} \hat{k} \ldotp \label{2.23}$$

مثال$\PageIndex{1}$: Direction of Motion

في نظام الإحداثيات الديكارتية حيث$\hat{i}$ يشير إلى الشرق الجغرافي،$\hat{j}$ ويشير إلى الشمال الجغرافي،$\hat{k}$ ويشير إلى الارتفاع فوق مستوى سطح البحر، تتقدم قافلة عسكرية في موقعها عبر منطقة غير معروفة بسرعة$\vec{v}$ = (4.0$\hat{i}$ + 3.0$\hat{j}$ + 0.1$\hat{k}$) كم /ح. إذا اضطرت القافلة إلى التراجع، في أي اتجاه جغرافي ستتحرك؟

الحل

يحتوي متجه السرعة على المكون الثالث$\vec{v}_{z}$ = (+ 0.1 كم/ساعة)$\hat{k}$، والذي يقول أن القافلة تتسلق بمعدل 100 م/ساعة عبر التضاريس الجبلية. في الوقت نفسه، تبلغ سرعته 4.0 كم/ساعة إلى الشرق و3.0 كم/ساعة إلى الشمال، لذلك يتحرك على الأرض في اتجاه أسمر ⁻¹ (3 /4) ≈ 37 درجة شمال الشرق. إذا اضطرت القافلة إلى التراجع، فسيتعين على متجه$\vec{u}$ السرعة الجديد أن يكون مضادًا$\vec{v}$ وأن يكون بالشكل$\vec{u} = - \alpha \vec{v}$، حيث$\alpha$ يكون الرقم موجبًا. وبالتالي، ستكون سرعة التراجع$\vec{u}$ =$\alpha$ (−4.0$\hat{i}$ − 3.0$\hat{j}$ − 0.1$\hat{k}$) كم/ساعة، وتشير العلامة السالبة للمكون الثالث إلى أن القافلة ستهبط. زاوية اتجاه سرعة التراجع هي أسمر ⁻¹ (−3$\alpha$ − 4$\alpha$) ≈ 37° جنوب الغرب. لذلك، ستتحرك القافلة على الأرض في اتجاه 37 درجة جنوب الغرب بينما تنزل في طريق العودة.

يُطلق على تعميم الرقم صفر إلى الجبر المتجه اسم المتجه الفارغ، ويُشار إليه بـ$\vec{0}$. جميع مكونات المتجه الفارغ هي صفر،$\vec{0}$ = 0$\hat{i}$ + 0$\hat{j}$ + 0$\hat{k}$، وبالتالي فإن المتجه الفارغ ليس له طول ولا اتجاه.

$\vec{A}$متجهان$\vec{B}$ متساويان فقط إذا كان الفرق بينهما هو المتجه الفارغ:$\vec{0}$ =$\vec{A}$ −$\vec{B}$ = (A _x$\hat{i}$ + A _y$\hat{j}$ + A _z$\hat{k}$) - (B _x$\hat{i}$ + B _y) $\hat{j}$+ ب _ض$\hat{k}$) = (أ _س − ب _س)$\hat{i}$ + (أ _ص - ب _ص)$\hat{j}$ + (أ _ز - ب _ز)$\hat{k}$. تعني معادلة المتجهات هذه أنه يجب أن يكون لدينا في نفس الوقت A _{x − B x} = 0، A _{y − B y} = 0، و A _z − B _z = 0. وبالتالي، يمكننا كتابة ما$\vec{A} = \vec{B}$ إذا كانت المكونات المقابلة للمتجهات متساوية وفقط إذا كانت العناصر المقابلة للمتجهات$\vec{A}$$\vec{B}$ متساوية:

$$\vec{A} = \vec{B} \Leftrightarrow \begin{cases} A_{x} = B_{x} \\ A_{y} = B_{y} \\ A_{z} = B_{z} \end{cases} \ldotp \label{2.24}$$

يتساوى متجهان عندما تكون المكونات العددية المقابلة لهما متساوية. يسمح لنا حل المتجهات في مكوناتها العددية (أي العثور على مكوناتها العددية) والتعبير عنها تحليليًا في شكل مكون متجه (المعطى بواسطة المعادلة 2.5.4) باستخدام الجبر المتجه للعثور على مجموع أو اختلافات العديد من المتجهات تحليليًا (أي بدون استخدام طرق رسومية). على سبيل المثال، للعثور على ناتج متجهين$\vec{A}$$\vec{B}$، نقوم ببساطة بإضافتهما مكونًا تلو الآخر، على النحو التالي:

$$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}) + (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) = (A_{x} + B_{x})\; \hat{i} + (A_{y} + B_{y})\; \hat{j} + (A_{z} + B_{z})\; \hat{k} \ldotp$$

بهذه الطريقة، باستخدام المعادلة\ ref {2.24}، تكون المكونات العددية للمتجه الناتج$\vec{R}$ = R _x$\hat{i}$$\hat{j}$ + R _y + R _z$\hat{k}$ هي مجموع المكونات العددية المقابلة للمتجهات$\vec{A}$ و$\vec{B}$:

$$\begin{cases} R_{x} = A_{x} + B_{x}, \\ R_{y} = A_{y} + B_{y}, \\ R_{z} = A_{z} + B_{z} \end{cases} \ldotp$$

يمكن استخدام الطرق التحليلية للعثور على مكونات ناتج العديد من المتجهات. _{على سبيل المثال، إذا أردنا تلخيص متجه N$\vec{F}_{1}$،$\vec{F}_{2}$$\vec{F}_{3}$،،...$\vec{F}_{N}$، حيث يكون كل متجه$\vec{F}_{k}$ = F kx$\hat{i}$$\hat{j}$ + F kz$\hat{k}$، فإن المتجه الناتج$\vec{F}_{R}$ هو}

$$\vec{F}_{R} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} + \ldots + \vec{F}_{N} = \sum_{k = 1}^{N} \vec{F}_{k} = \sum_{k = 1}^{N} \big(F_{kx} \hat{i} + F_{ky} \hat{j} + F_{kz} \hat{k}\big) = \bigg(\sum_{k = 1}^{N} F_{kx}\bigg) \hat{i} + \bigg(\sum_{k = 1}^{N} F_{ky}\bigg) \hat{j} + \bigg(\sum_{k = 1}^{N} F_{kz}\bigg) \hat{k} \ldotp$$

لذلك، المكونات العددية للمتجه الناتج هي

$$\begin{cases} F_{Rx} = \sum_{k = 1}^{N} F_{kx} = F_{1x} + F_{2x} + \ldots + F_{Nx} \\ F_{Ry} = \sum_{k = 1}^{N} F_{ky} = F_{1y} + F_{2y} + \ldots + F_{Ny} \\ F_{Rz} = \sum_{k = 1}^{N} F_{kz} = F_{1z} + F_{2z} + \ldots + F_{Nz} \ldotp \end{cases} \label{2.25}$$

بعد العثور على المكونات العددية، يمكننا كتابة النتيجة في شكل مكون متجه:

$$\vec{F}_{R} = F_{Rx}\; \hat{i} + F_{Ry}\; \hat{j} + F_{Rz}\; \hat{k} \ldotp$$

تعد الطرق التحليلية لإيجاد الناتج، وبشكل عام، لحل معادلات المتجهات مهمة جدًا في الفيزياء لأن العديد من الكميات الفيزيائية هي ناقلات. على سبيل المثال، نستخدم هذه الطريقة في علم الحركة للعثور على متجهات الإزاحة الناتجة ومتجهات السرعة الناتجة، وفي الميكانيكا للعثور على متجهات القوة الناتجة ونواتج العديد من كميات المتجهات المشتقة، وفي الكهرباء والمغناطيسية للعثور على مجالات المتجهات الكهربائية أو المغناطيسية الناتجة.

في العديد من الحالات المادية، نحتاج غالبًا إلى معرفة اتجاه المتجه. على سبيل المثال، قد نرغب في معرفة اتجاه متجه المجال المغناطيسي عند نقطة ما أو اتجاه حركة الجسم. لقد قلنا بالفعل أن الاتجاه يُعطى بواسطة متجه الوحدة، وهو كيان بلا أبعاد - أي أنه لا يحتوي على وحدات مادية مرتبطة به. عندما يقع المتجه المعني على طول أحد المحاور في نظام الإحداثيات الديكارتية، تكون الإجابة بسيطة، لأن متجه الوحدة الخاص به يكون إما موازيًا أو مضادًا لاتجاه متجه الوحدة للمحور. على سبيل المثال، اتجاه المتجه$\vec{d}$ = −5 m$\hat{i}$ هو متجه الوحدة$\hat{d}$ = −$\hat{i}$. القاعدة العامة لإيجاد متجه$\hat{V}$ الوحدة لأي متجه$\vec{V}$ هي تقسيمه على حجمه V:

$$\hat{V} = \frac{\vec{V}}{V} \ldotp \label{2.26}$$

نرى من هذا التعبير أن متجه الوحدة للاتجاه هو بالفعل بلا أبعاد لأن البسط والمقام في المعادلة\ ref {2.26} لهما نفس الوحدة المادية. بهذه الطريقة، تسمح لنا المعادلة\ ref {2.26} بالتعبير عن متجه الوحدة من حيث متجه الوحدة للمحاور. يوضح المثال 2.7.6 هذا المبدأ.

المساهمون

• Template:ContribOpenStaxUni