2.8: منتجات المتجهات (الجزء الأول)

أهداف التعلم

• اشرح الفرق بين المنتج القياسي والمنتج المتجه لمتجهين.
• أوجد حاصل الضرب القياسي لمتجهين.
• أوجد حاصل الضرب المتجه لمتجهين.
• وصف كيفية استخدام منتجات المتجهات في الفيزياء.

يمكن ضرب المتجه بمتجه آخر ولكن قد لا يتم تقسيمه بواسطة متجه آخر. هناك نوعان من منتجات المتجهات المستخدمة على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة. أحد أنواع الضرب هو الضرب القياسي لمتجهين. ينتج عن أخذ منتج قياسي لمتجهين رقم (قياسي)، كما يشير اسمه. تستخدم منتجات Scalar لتحديد علاقات العمل والطاقة. على سبيل المثال، يتم تعريف العمل الذي تقوم به القوة (المتجه) على كائن ما أثناء التسبب في إزاحته (متجه) على أنه منتج قياسي لمتجه القوة مع متجه الإزاحة. نوع مختلف تمامًا من الضرب هو الضرب المتجهي للمتجهات. يؤدي أخذ منتج متجه لمتجهين إلى إرجاع المتجه كنتيجة للمتجه، كما يوحي اسمه. تُستخدم منتجات المتجهات لتحديد كميات المتجهات المشتقة الأخرى. على سبيل المثال، عند وصف الدورات، يتم تعريف كمية متجهة تسمى عزم الدوران على أنها منتج متجه لقوة مطبقة (ناقل) وذراع الرافعة (ناقل). من المهم التمييز بين هذين النوعين من مضاعفات النواقل لأن المنتج القياسي هو كمية قياسية ومنتج ناقلات هو كمية ناقلات.

حاصل الضرب القياسي لمتجهين (المنتج النقطي)

ينتج عن الضرب العددي لمتجهين منتجًا قياسيًا.

التعريف: المنتج القياسي (المنتج النقطي)

حاصل الضرب$\vec{A}\; \cdotp \vec{B}$ القياسي لمتجهين$\vec{A}$$\vec{B}$ وهو رقم تحدده المعادلة

$$\vec{A}\; \cdotp \vec{B} = AB \cos \varphi, \label{2.27}$$

أين$\phi$ الزاوية بين المتجهات (كما هو موضح في الشكل$\PageIndex{1}$). يُطلق على المنتج القياسي أيضًا اسم المنتج النقطي بسبب الترميز النقطي الذي يشير إليه.

في تعريف المنتج النقطي،$\varphi$ لا يهم اتجاه الزاوية،$\varphi$ ويمكن قياسه من أي من المتجهين إلى الآخر لأن$\cos \varphi$ =$\cos (−\varphi)$ =$cos (2 \pi − \varphi)$. يكون منتج النقاط رقمًا سالبًا عندما يكون 90 درجة <$\varphi$ ≤ 180 درجة ويكون رقمًا موجبًا عند 0 درجة ≤$\phi$ < 90 درجة. علاوة على ذلك، فإن المنتج النقطي لمتجهين متوازيين هو$\vec{A} \cdotp \vec{B}$ = AB cos 0° = AB، والمنتج النقطي لمتجهين مضادين للتوازي هو$\vec{A}\; \cdotp \vec{B}$ = AB cos 180° = −AB. يختفي المنتج القياسي لمتجهين متعامدين:$\vec{A}\; \cdotp \vec{B}$ = AB cos 90° = 0. المنتج القياسي للمتجه بحد ذاته هو مربع حجمه:

$$\vec{A}^{2} \equiv \vec{A}\; \cdotp \vec{A} = AA \cos 0^{o} = A^{2} \label{2.28}$$

الشكل$\PageIndex{1}$: المنتج القياسي لمتجهين. (أ) الزاوية بين المتجهين. (ب) الإسقاط المتعامد _A للمتجه$\vec{A}$ على اتجاه المتجه$\vec{B}$. (ج) الإسقاط المتعامد _B للمتجه$\vec{B}$ على اتجاه المتجه$\vec{A}$.

مثال$\PageIndex{1}$: The Scalar Product

بالنسبة للمتجهات الموضَّحة في الشكل 2.3.6، أوجد حاصل الضرب القياسي$\vec{A}\; \cdotp \vec{F}$.

إستراتيجية

من الشكل 2.3.6،$\vec{B}$ تكون مقادير المتجهات$\vec{A}$ A = 10.0 و F = 20.0. الزاوية$\theta$، بينهما، هي الفرق:$\theta = \varphi - \alpha$ = 110 درجة - 35 درجة = 75 درجة. إن استبدال هذه القيم في المعادلة\ ref {2.27} يعطي المنتج القياسي.

الحل

يمنحنا الحساب المباشر

$$\vec{A}\; \cdotp \vec{F} = AF \cos \theta = (10.0)(20.0) \cos 75^{o} = 51.76 \ldotp$$

التمرين 2.11

بالنسبة للمتجهات الواردة في الشكل 2.3.6، أوجد النواتج العددية$\vec{A}\; \cdotp \vec{B}$ و$\vec{B}\; \cdotp \vec{C}$.

في نظام الإحداثيات الديكارتية، تختفي دائمًا المنتجات العددية لمتجه الوحدة للمحور مع متجهات الوحدة الأخرى للمحاور لأن متجهات الوحدة هذه متعامدة:

$$\hat{i}\; \cdotp\; \hat{j} = |\hat{i}||\hat{j}| \cos 90^{o} = (1)(1)(0) = 0, \label{2.29}$$

$$\hat{i}\; \cdotp\; \hat{k} = |\hat{i}||\hat{k}| \cos 90^{o} = (1)(1)(0) = 0,$$

$$\hat{k} \cdotp\; \hat{j} = |\hat{k}||\hat{j}| \cos 90^{o} = (1)(1)(0) = 0 \ldotp$$

في هذه المعادلات، نستخدم حقيقة أن مقادير جميع متجهات الوحدة هي واحدة:$|\hat{i}| = |\hat{j}| = |\hat{k}|$ = 1. بالنسبة لمتجهات الوحدات للمحاور، تعطي المعادلة\ ref {2.28} الهويات التالية:

$$\hat{i}\; \cdotp\; \hat{i} = i^{2} = \hat{j}\; \cdotp\; \hat{j} = j^{2} = \hat{k}\; \cdotp\; \hat{k} = 1 \ldotp \label{2.30}$$

$\vec{A}\; \cdotp \vec{B}$يمكن أيضًا تفسير المنتج القياسي على أنه إما منتج B مع الإسقاط A$_{\parallel}$ للمتجه$\vec{A}$ على اتجاه المتجه$\vec{B}$ (الشكل$\PageIndex{1}$ (ب)) أو منتج A مع الإسقاط B$_{\parallel}$ للمتجه$\vec{B}$ على اتجاه المتجه $\vec{A}$(الشكل$\PageIndex{1}$ (ج)):

$$\begin{split} \vec{A}\; \cdotp \vec{B} & = AB \cos \varphi \\ & = B(A \cos \varphi) = BA_{\parallel} \\ & = A(B \cos \varphi) = AB_{\parallel} \ldotp \end{split}$$

على سبيل المثال، في نظام الإحداثيات المستطيلة في المستوى، يكون المكون x القياسي للمتجه هو منتجه النقطي مع متجه الوحدة$\hat{i}$، والمكون y العددي للمتجه هو منتجه النقطي مع متجه الوحدة$\hat{j}$:

$$\begin{cases} \vec{A}\; \cdotp\; \hat{i} = |\vec{A}||\hat{i}| \cos \theta_{A} = A \cos \theta_{A} = A \cos \theta_{A} = A_{x} \\ \vec{A}\; \cdotp\; \hat{j} = |\vec{A}||\hat{j}| \cos (90^{o} - \theta_{A}) = A \sin \theta_{A} = A_{y} \end{cases}$$

التكاثر العددي للنواقل أمر تصرفي،

$$\vec{A}\; \cdotp \vec{B} = \vec{B}\; \cdotp \vec{A}, \label{2.31}$$

ويطيع قانون التوزيع:

$$\vec{A}\; \cdotp (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A}\; \cdotp \vec{B} + \vec{A}\; \cdotp \vec{C} \ldotp \label{2.32}$$

يمكننا استخدام قوانين الإبدال والتوزيع لاشتقاق العلاقات المختلفة للمتجهات، مثل التعبير عن المنتج النقطي لمتجهين بدلالة مكوناتهما العددية.

التمرين 2.12

للمتجه$\vec{A} = A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}$ في نظام الإحداثيات المستطيل، استخدم المعادلة\ ref {2.29} من خلال المعادلة\ المرجع {2.32} لإظهار ذلك$\vec{A}\; \cdotp \hat{i} = A_{x} \vec{A}\; \cdotp\; \hat{j} = A_{y}$ و$\vec{A}\; \cdotp\; \hat{k} = A_{z}$.

عندما يتم إعطاء المتجهات في المعادلة\ ref {2.27} في أشكال مكونات المتجهات الخاصة بها،

$$\vec{A} = A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}\; and \vec{B} = B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k},$$

يمكننا حساب المنتج القياسي الخاص بهم على النحو التالي:

$$\begin{split} \vec{A}\; \cdotp \vec{B} & = (A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k})\; \cdotp (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) \\ & = A_{x}B_{x}\; \hat{i}\; \cdotp\; \hat{i} + A_{x}B_{y}\; \hat{i}\; \cdotp\; \hat{j} + A_{x}B_{z}\; \hat{i}\; \cdotp\; \hat{k} \\ & + A_{y}B_{x}\; \hat{j} \cdotp\; \hat{i} + A_{y}B_{y}\; \hat{j}\; \cdotp\; \hat{j} + A_{y}B_{z}\; \hat{j} \cdotp\; \hat{k} \\ & + A_{z}B_{x}\; \hat{k}\; \cdotp\; \hat{i} + A_{z}B_{y}\; \hat{k}\; \cdotp\; \hat{j} + A_{z}B_{z}\; \hat{k}\; \cdotp\; \hat{k} \ldotp \end{split}$$

نظرًا لأن المنتجات العددية لمتجه وحدة مختلفة من المحاور تعطي صفرًا، بينما تعطي المنتجات العددية لمتجهات الوحدة بحد ذاتها واحدًا (انظر المعادلة\ ref {2.29} والمعادلة\ ref {2.30})، فهناك ثلاثة مصطلحات غير صفرية فقط في هذا التعبير. وبالتالي، فإن المنتج القياسي يبسط إلى

$$\vec{A}\; \cdotp \vec{B} = A_{x}B_{x} + A_{y}B_{y} + A_{z}B_{z} \ldotp \label{2.33}$$

يمكننا استخدام Equation\ ref {2.33} للمنتج القياسي من حيث المكونات العددية للمتجهات لإيجاد الزاوية بين متجهين. عندما نقسم المعادلة\ ref {2.27} بواسطة AB، نحصل على معادلة cos$\varphi$، التي نستبدل بها المعادلة\ ref {2.33}:

$$\cos \varphi = \frac{\vec{A}\; \cdotp \vec{B}}{AB} = \frac{A_{x}B_{x} + A_{y}B_{y} + A_{z}B_{z}}{AB} \ldotp \label{2.34}$$

$\vec{B}$يتم الحصول على الزاوية$\varphi$$\vec{A}$ بين المتجهات بأخذ جيب التمام العكسي للتعبير في المعادلة\ ref {2.34}.

مثال$\PageIndex{2}$

تقوم ثلاثة كلاب بسحب العصا في اتجاهات مختلفة، كما هو موضح في الشكل$\PageIndex{2}$. يسحب الكلب الأول بقوة$\vec{F}_{1}$ = (10.0$\hat{i}$ − 20.4$\hat{j}$ + 2.0$\hat{k}$) N، والكلب الثاني يسحب بقوة$\vec{F}_{2}$ = (−15.0$\hat{i}$ − 6.2$\hat{k}$) N، والكلب الثالث يسحب بقوة$\vec{F}_{3}$ = (5.0$\hat{i}$ + 12.5$\hat{j}$) N. ما الزاوية بين$\vec{F}_{1}$ القوتين$\vec{F}_{2}$؟

الشكل$\PageIndex{2}$: ثلاثة كلاب تلعب بعصا.

إستراتيجية

مكونات متجه القوة$\vec{F}_{1}$ هي F _1x = 10.0 N، F _1y = −20.4 N، و F _1z = 2.0 N، في حين أن مكونات متجه القوة$\vec{F}_{2}$ هي F _2x = −15.0 N، F _2y = 0.0 N، F _2z = −6.2 N. حساب الناتج القياسي لهذه المتجهات ومقاييسها، والاستعاضة عنها في المعادلة\ المرجع {2.34} تعطي زاوية الاهتمام.

الحل

مقادير القوى$\vec{F}_{1}$$\vec{F}_{2}$ و

$$F_{1} = \sqrt{F_{1x}^{2} + F_{1y}^{2} + F_{1z}^{2}} = \sqrt{10.0^{2} + 20.4^{2} + 2.0^{2}}N = 22.8\; N$$

و

$$F_{2} = \sqrt{F_{2x}^{2} + F_{2y}^{2} + F_{2z}^{2}} = \sqrt{15.0^{2} + 6.2^{2}}N = 16.2\; N \ldotp$$

يؤدي استبدال المكونات العددية في المعادلة\ ref {2.33} إلى إنتاج المنتج القياسي

$$\begin{split} \vec{F}_{1}\; \cdotp \vec{F}_{2} & = F_{1x}F_{2x} + F_{1y}F_{2y} + F_{1z}F_{2z} \\ & = (10.0\; N)(-15.0\; N) + (-20.4\; N)(0.0\; N) + (2.0\; N)(-6.2\; N) \\ & = -162.4\; N^{2} \ldotp \end{split}$$

أخيرًا، استبدال كل شيء بالمعادلة\ ref {2.34} يعطي الزاوية

$$\cos \varphi = \frac{\vec{F}_{1}\; \cdotp \vec{F}_{2}}{F_{1}F_{2}} = \frac{-162.4\; N^{2}}{(22.8\; N)(16.2\; N)} = -0.439 \Rightarrow \varphi = \cos^{-1} (-0.439) = 116.0^{o} \ldotp$$

الدلالة

لاحظ أنه عندما يتم إعطاء المتجهات بدلالة متجهات الوحدة للمحاور، يمكننا إيجاد الزاوية بينها دون معرفة تفاصيل الاتجاهات الجغرافية التي تمثلها متجهات الوحدة. هنا، على سبيل المثال، قد يكون اتجاه +x إلى الشرق وقد يكون الاتجاه +y في الشمال. لكن الزاوية بين القوى في المشكلة هي نفسها إذا كان الاتجاه +x إلى الغرب والاتجاه +y في الجنوب.

التمرين 2.13

ابحث عن الزاوية بين القوى$\vec{F}_{1}$$\vec{F}_{3}$ وفي المثال$\PageIndex{2}$.

مثال$\PageIndex{3}$: The Work of a Force

عندما$\vec{F}$ تسحب القوة شيئًا ما وعندما تتسبب في إزاحته$\vec{D}$، نقول إن القوة تؤدي العمل. مقدار العمل الذي تقوم به القوة هو المنتج القياسي$\vec{F}\; \cdotp \vec{D}$. إذا$\PageIndex{2}$ تحركت العصا في المثال مؤقتًا وتم إزاحتها بواسطة المتجه$\vec{D}$ = (−7.9$\hat{j}$ − 4.2$\hat{k}$) سم، فما مقدار العمل الذي قام به الكلب الثالث في المثال$\PageIndex{2}$؟

إستراتيجية

نحسب المنتج القياسي لمتجه الإزاحة$\vec{D}$ باستخدام متجه القوة$\vec{F}_{3}$ = (5.0$\hat{i}$ + 12.5$\hat{j}$) N، وهو السحب من الكلب الثالث. دعونا نستخدم W ₃ للإشارة إلى العمل المنجز بالقوة$\vec{F}_{3}$ عند النزوح$\vec{D}$.

الحل

يعد حساب العمل تطبيقًا مباشرًا لمنتج النقاط:

$$\begin{split} W_{3} & = \vec{F}_{3}\; \cdotp \vec{D} = F_{3x}D_{x} + F_{3y}D_{y} + F_{3z}D_{z} \\ & = (5.0\; N)(0.0\; cm) + (12.5\; N)(-7.9\; cm) + (0.0\; N)(-4.2\; cm) \\ & = -98.7\; N\; \cdotp cm \ldotp \end{split}$$

الدلالة

تُسمى وحدة عمل SI بالجول (J)، حيث 1 J = 1 N · m، ويمكن كتابة الوحدة سم · N على النحو 10 ⁻² م · N = 10 ⁻² J، لذلك يمكن التعبير عن الإجابة كـ W ₃ = −0.9875 J ≈ −1.0 J.

التمرين 2.14

ما مقدار العمل الذي يقوم به الكلب الأول والكلب الثاني$\PageIndex{2}$ في مثال الإزاحة في المثال$\PageIndex{3}$؟

المساهمون والصفات

• Template:ContribOpenStaxUni