Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

2.8: منتجات المتجهات (الجزء الأول)

أهداف التعلم
  • اشرح الفرق بين المنتج القياسي والمنتج المتجه لمتجهين.
  • أوجد حاصل الضرب القياسي لمتجهين.
  • أوجد حاصل الضرب المتجه لمتجهين.
  • وصف كيفية استخدام منتجات المتجهات في الفيزياء.

يمكن ضرب المتجه بمتجه آخر ولكن قد لا يتم تقسيمه بواسطة متجه آخر. هناك نوعان من منتجات المتجهات المستخدمة على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة. أحد أنواع الضرب هو الضرب القياسي لمتجهين. ينتج عن أخذ منتج قياسي لمتجهين رقم (قياسي)، كما يشير اسمه. تستخدم منتجات Scalar لتحديد علاقات العمل والطاقة. على سبيل المثال، يتم تعريف العمل الذي تقوم به القوة (المتجه) على كائن ما أثناء التسبب في إزاحته (متجه) على أنه منتج قياسي لمتجه القوة مع متجه الإزاحة. نوع مختلف تمامًا من الضرب هو الضرب المتجهي للمتجهات. يؤدي أخذ منتج متجه لمتجهين إلى إرجاع المتجه كنتيجة للمتجه، كما يوحي اسمه. تُستخدم منتجات المتجهات لتحديد كميات المتجهات المشتقة الأخرى. على سبيل المثال، عند وصف الدورات، يتم تعريف كمية متجهة تسمى عزم الدوران على أنها منتج متجه لقوة مطبقة (ناقل) وذراع الرافعة (ناقل). من المهم التمييز بين هذين النوعين من مضاعفات النواقل لأن المنتج القياسي هو كمية قياسية ومنتج ناقلات هو كمية ناقلات.

حاصل الضرب القياسي لمتجهين (المنتج النقطي)

ينتج عن الضرب العددي لمتجهين منتجًا قياسيًا.

التعريف: المنتج القياسي (المنتج النقطي)

حاصل الضربAB القياسي لمتجهينAB وهو رقم تحدده المعادلة

AB=ABcosφ,

أينϕ الزاوية بين المتجهات (كما هو موضح في الشكل2.8.1). يُطلق على المنتج القياسي أيضًا اسم المنتج النقطي بسبب الترميز النقطي الذي يشير إليه.

في تعريف المنتج النقطي،φ لا يهم اتجاه الزاوية،φ ويمكن قياسه من أي من المتجهين إلى الآخر لأنcosφ =cos(φ) =cos(2πφ). يكون منتج النقاط رقمًا سالبًا عندما يكون 90 درجة <φ ≤ 180 درجة ويكون رقمًا موجبًا عند 0 درجة ≤ϕ < 90 درجة. علاوة على ذلك، فإن المنتج النقطي لمتجهين متوازيين هوAB = AB cos 0° = AB، والمنتج النقطي لمتجهين مضادين للتوازي هوAB = AB cos 180° = −AB. يختفي المنتج القياسي لمتجهين متعامدين:AB = AB cos 90° = 0. المنتج القياسي للمتجه بحد ذاته هو مربع حجمه:

A2AA=AAcos0o=A2

الشكل أ: تظهر المتجهات A و B من الذيل إلى الذيل. A أطول من B. الزاوية بينهما هي phi. الشكل ب: يمتد المتجه B باستخدام خط متقطع ويتم رسم خط متقطع آخر من رأس A إلى امتداد B، عموديًا على B، عموديًا على B. A شبه العمودي يساوي مقدار A مضروبًا في جيب التمام phi وهو المسافة من قمة الرأس حيث يلتقي ذيول A و B بالموقع الذي يلتقي فيه العمودي من A إلى B يقابل امتداد B. الشكل ج: يتم رسم خط متقطع من رأس B إلى A، عموديًا على A. والمسافة من ذيولي A و B إلى حيث يلتقي الخط المتقطع B هي B دون عمودي وتساوي المقدار B مضروبًا في جيب التمام phi.
الشكل2.8.1: المنتج القياسي لمتجهين. (أ) الزاوية بين المتجهين. (ب) الإسقاط المتعامد A للمتجهA على اتجاه المتجهB. (ج) الإسقاط المتعامد B للمتجهB على اتجاه المتجهA.
مثال2.8.1: The Scalar Product

بالنسبة للمتجهات الموضَّحة في الشكل 2.3.6، أوجد حاصل الضرب القياسيAF.

إستراتيجية

من الشكل 2.3.6،B تكون مقادير المتجهاتA A = 10.0 و F = 20.0. الزاويةθ، بينهما، هي الفرق:θ=φα = 110 درجة - 35 درجة = 75 درجة. إن استبدال هذه القيم في المعادلة\ ref {2.27} يعطي المنتج القياسي.

الحل

يمنحنا الحساب المباشر

AF=AFcosθ=(10.0)(20.0)cos75o=51.76.

التمرين 2.11

بالنسبة للمتجهات الواردة في الشكل 2.3.6، أوجد النواتج العدديةAB وBC.

في نظام الإحداثيات الديكارتية، تختفي دائمًا المنتجات العددية لمتجه الوحدة للمحور مع متجهات الوحدة الأخرى للمحاور لأن متجهات الوحدة هذه متعامدة:

ˆiˆj=|ˆi||ˆj|cos90o=(1)(1)(0)=0,

ˆiˆk=|ˆi||ˆk|cos90o=(1)(1)(0)=0,

ˆkˆj=|ˆk||ˆj|cos90o=(1)(1)(0)=0.

في هذه المعادلات، نستخدم حقيقة أن مقادير جميع متجهات الوحدة هي واحدة:|ˆi|=|ˆj|=|ˆk| = 1. بالنسبة لمتجهات الوحدات للمحاور، تعطي المعادلة\ ref {2.28} الهويات التالية:

ˆiˆi=i2=ˆjˆj=j2=ˆkˆk=1.

ABيمكن أيضًا تفسير المنتج القياسي على أنه إما منتج B مع الإسقاط A للمتجهA على اتجاه المتجهB (الشكل2.8.1 (ب)) أو منتج A مع الإسقاط B للمتجهB على اتجاه المتجه A(الشكل2.8.1 (ج)):

AB=ABcosφ=B(Acosφ)=BA=A(Bcosφ)=AB.

على سبيل المثال، في نظام الإحداثيات المستطيلة في المستوى، يكون المكون x القياسي للمتجه هو منتجه النقطي مع متجه الوحدةˆi، والمكون y العددي للمتجه هو منتجه النقطي مع متجه الوحدةˆj:

{Aˆi=|A||ˆi|cosθA=AcosθA=AcosθA=AxAˆj=|A||ˆj|cos(90oθA)=AsinθA=Ay

التكاثر العددي للنواقل أمر تصرفي،

AB=BA,

ويطيع قانون التوزيع:

A(B+C)=AB+AC.

يمكننا استخدام قوانين الإبدال والتوزيع لاشتقاق العلاقات المختلفة للمتجهات، مثل التعبير عن المنتج النقطي لمتجهين بدلالة مكوناتهما العددية.

التمرين 2.12

للمتجهA=Axˆi+Ayˆj+Azˆk في نظام الإحداثيات المستطيل، استخدم المعادلة\ ref {2.29} من خلال المعادلة\ المرجع {2.32} لإظهار ذلكAˆi=AxAˆj=Ay وAˆk=Az.

عندما يتم إعطاء المتجهات في المعادلة\ ref {2.27} في أشكال مكونات المتجهات الخاصة بها،

A=Axˆi+Ayˆj+AzˆkandB=Bxˆi+Byˆj+Bzˆk,

يمكننا حساب المنتج القياسي الخاص بهم على النحو التالي:

AB=(Axˆi+Ayˆj+Azˆk)(Bxˆi+Byˆj+Bzˆk)=AxBxˆiˆi+AxByˆiˆj+AxBzˆiˆk+AyBxˆjˆi+AyByˆjˆj+AyBzˆjˆk+AzBxˆkˆi+AzByˆkˆj+AzBzˆkˆk.

نظرًا لأن المنتجات العددية لمتجه وحدة مختلفة من المحاور تعطي صفرًا، بينما تعطي المنتجات العددية لمتجهات الوحدة بحد ذاتها واحدًا (انظر المعادلة\ ref {2.29} والمعادلة\ ref {2.30})، فهناك ثلاثة مصطلحات غير صفرية فقط في هذا التعبير. وبالتالي، فإن المنتج القياسي يبسط إلى

AB=AxBx+AyBy+AzBz.

يمكننا استخدام Equation\ ref {2.33} للمنتج القياسي من حيث المكونات العددية للمتجهات لإيجاد الزاوية بين متجهين. عندما نقسم المعادلة\ ref {2.27} بواسطة AB، نحصل على معادلة cosφ، التي نستبدل بها المعادلة\ ref {2.33}:

cosφ=ABAB=AxBx+AyBy+AzBzAB.

Bيتم الحصول على الزاويةφA بين المتجهات بأخذ جيب التمام العكسي للتعبير في المعادلة\ ref {2.34}.

مثال2.8.2

تقوم ثلاثة كلاب بسحب العصا في اتجاهات مختلفة، كما هو موضح في الشكل2.8.2. يسحب الكلب الأول بقوةF1 = (10.0ˆi − 20.4ˆj + 2.0ˆk) N، والكلب الثاني يسحب بقوةF2 = (−15.0ˆi − 6.2ˆk) N، والكلب الثالث يسحب بقوةF3 = (5.0ˆi + 12.5ˆj) N. ما الزاوية بينF1 القوتينF2؟

ثلاثة كلاب تسحب العصا.
الشكل2.8.2: ثلاثة كلاب تلعب بعصا.

إستراتيجية

مكونات متجه القوةF1 هي F 1x = 10.0 N، F 1y = −20.4 N، و F 1z = 2.0 N، في حين أن مكونات متجه القوةF2 هي F 2x = −15.0 N، F 2y = 0.0 N، F 2z = −6.2 N. حساب الناتج القياسي لهذه المتجهات ومقاييسها، والاستعاضة عنها في المعادلة\ المرجع {2.34} تعطي زاوية الاهتمام.

الحل

مقادير القوىF1F2 و

F1=F21x+F21y+F21z=10.02+20.42+2.02N=22.8N

و

F2=F22x+F22y+F22z=15.02+6.22N=16.2N.

يؤدي استبدال المكونات العددية في المعادلة\ ref {2.33} إلى إنتاج المنتج القياسي

F1F2=F1xF2x+F1yF2y+F1zF2z=(10.0N)(15.0N)+(20.4N)(0.0N)+(2.0N)(6.2N)=162.4N2.

أخيرًا، استبدال كل شيء بالمعادلة\ ref {2.34} يعطي الزاوية

cosφ=F1F2F1F2=162.4N2(22.8N)(16.2N)=0.439φ=cos1(0.439)=116.0o.

الدلالة

لاحظ أنه عندما يتم إعطاء المتجهات بدلالة متجهات الوحدة للمحاور، يمكننا إيجاد الزاوية بينها دون معرفة تفاصيل الاتجاهات الجغرافية التي تمثلها متجهات الوحدة. هنا، على سبيل المثال، قد يكون اتجاه +x إلى الشرق وقد يكون الاتجاه +y في الشمال. لكن الزاوية بين القوى في المشكلة هي نفسها إذا كان الاتجاه +x إلى الغرب والاتجاه +y في الجنوب.

التمرين 2.13

ابحث عن الزاوية بين القوىF1F3 وفي المثال2.8.2.

مثال2.8.3: The Work of a Force

عندماF تسحب القوة شيئًا ما وعندما تتسبب في إزاحتهD، نقول إن القوة تؤدي العمل. مقدار العمل الذي تقوم به القوة هو المنتج القياسيFD. إذا2.8.2 تحركت العصا في المثال مؤقتًا وتم إزاحتها بواسطة المتجهD = (−7.9ˆj − 4.2ˆk) سم، فما مقدار العمل الذي قام به الكلب الثالث في المثال2.8.2؟

إستراتيجية

نحسب المنتج القياسي لمتجه الإزاحةD باستخدام متجه القوةF3 = (5.0ˆi + 12.5ˆj) N، وهو السحب من الكلب الثالث. دعونا نستخدم W 3 للإشارة إلى العمل المنجز بالقوةF3 عند النزوحD.

الحل

يعد حساب العمل تطبيقًا مباشرًا لمنتج النقاط:

W3=F3D=F3xDx+F3yDy+F3zDz=(5.0N)(0.0cm)+(12.5N)(7.9cm)+(0.0N)(4.2cm)=98.7Ncm.

الدلالة

تُسمى وحدة عمل SI بالجول (J)، حيث 1 J = 1 N · m، ويمكن كتابة الوحدة سم · N على النحو 10 −2 م · N = 10 −2 J، لذلك يمكن التعبير عن الإجابة كـ W 3 = −0.9875 J ≈ −1.0 J.

التمرين 2.14

ما مقدار العمل الذي يقوم به الكلب الأول والكلب الثاني2.8.2 في مثال الإزاحة في المثال2.8.3؟

المساهمون والصفات