2.9: منتجات المتجهات (الجزء 2)

منتجات المتجهات لمتجهين (المنتج المتقاطع)

ينتج عن تكاثر المتجهات لمتجهين منتجًا متجهًا.

منتج متجه (منتج متقاطع)

المنتج المتجه لمتجهين$\vec{A}$$\vec{B}$ ويشار إليه بـ x$\vec{A}$$\vec{B}$ وغالبًا ما يشار إليه باسم المنتج المتقاطع. المنتج المتجه هو متجه يكون اتجاهه عموديًا على كلا المتجهين$\vec{A}$ و$\vec{B}$. بمعنى آخر،$\vec{B}$ يكون المتجه$\vec{A}$ × عموديًا على المستوى الذي يحتوي على متجهات$\vec{B}$،$\vec{A}$ وكما هو موضح في الشكل$\PageIndex{1}$. يتم تعريف حجم المنتج المتجه على النحو التالي:

$$|\vec{A} × \vec{B}| = AB \sin \varphi, \label{2.35}$$

حيث يتم قياس الزاوية$\varphi$، بين المتجهين، من المتجه$\vec{A}$ (المتجه الأول في المنتج) إلى المتجه$\vec{B}$ (المتجه الثاني في المنتج)، كما هو موضح في الشكل$\PageIndex{1}$، وتتراوح بين 0 و 180 درجة.

وفقًا للمعادلة\ ref {2.35}، يختفي المنتج المتجه لأزواج المتجهات التي تكون إما متوازية ($\varphi$= 0 درجة) أو مضادة للمتوازية ($\varphi$= 180 درجة) لأن sin 0° = sin 180° = 0.

الشكل$\PageIndex{1}$: يتم رسم المنتج المتجه لمتجهين في فضاء ثلاثي الأبعاد. (أ) المنتج المتجه$\vec{A} \times \vec{B}$ هو ناقل عمودي على المستوى الذي يحتوي على متجه$\vec{A}$ و$\vec{B}$. تشير المربعات الصغيرة المرسومة في المنظور إلى الزوايا$\vec{A}$ القائمة بين وبين$\vec{B}$ وبين الأرض$\vec{C}$،$\vec{C}$ وبالتالي إذا$\vec{A}$$\vec{B}$ استلقيت على الأرض،$\vec{B}$ يشير المتجه رأسيًا لأعلى إلى السقف. (ب) المنتج الناقل$\vec{B} \times \vec{A}$ هو ناقل مضاد للناقل$\vec{A} \times \vec{B}$.

على الخط العمودي على المستوى الذي يحتوي على متجهات$\vec{A}$$\vec{B}$ ويوجد اتجاهان بديلان - إما لأعلى أو لأسفل، كما هو موضح في الشكل$\PageIndex{1}$ - وقد يكون اتجاه المنتج المتجه واحدًا منهما. في الاتجاه القياسي لليد اليمنى، حيث يتم قياس الزاوية بين المتجهات بعكس اتجاه عقارب الساعة من المتجه الأول،$\vec{A} \times \vec{B}$ يشير المتجه لأعلى، كما هو موضح في الشكل$\PageIndex{1}$ (أ). إذا قمنا بعكس ترتيب الضرب، بحيث$\vec{B}$ يأتي الآن أولاً في المنتج،$\vec{B} \times \vec{A}$ فيجب أن يشير المتجه إلى الأسفل، كما هو موضح في الشكل$\PageIndex{1}$ (ب). هذا يعني أن المتجهات$\vec{B} \times \vec{A}$ A$\vec{A} \times \vec{B}$ و A مضادان لبعضهما البعض وأن تكاثر المتجهات ليس تبديليًا ولكنه مضاد للإبدال. تعني الخاصية المضادة للإبدال أن المنتج المتجه يعكس العلامة عند عكس ترتيب الضرب:

$$\vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A} \ldotp \label{2.36}$$

قاعدة المفتاح الأيمن هي عبارة عن ذاكري شائع يستخدم لتحديد اتجاه المنتج المتجه. كما هو موضح في الشكل$\PageIndex{2}$، يتم وضع المفتاح في اتجاه عمودي على المستوى الذي يحتوي على متجهات$\vec{B}$،$\vec{A}$ ويتم تدوير المقبض في الاتجاه من المتجه الأول إلى المتجه الثاني في المنتج. يتم تحديد اتجاه المنتج المتقاطع من خلال تقدم المفتاح.

الشكل$\PageIndex{2}$: يمكن استخدام قاعدة المفتاح الأيمن لتحديد اتجاه المنتج المتقاطع$\vec{A} \times \vec{B}$. ضع مفتاحًا في الاتجاه العمودي على المستوى الذي يحتوي على متجهات$\vec{B}$،$\vec{A}$ وقم بتدويره في الاتجاه من المتجه الأول إلى المتجه الثاني في المنتج. يتم تحديد اتجاه المنتج المتقاطع من خلال تقدم المفتاح. (أ) الحركة التصاعدية تعني أن متجه المنتجات المتقاطعة يشير لأعلى. (ب) الحركة الهبوطية تعني أن ناقلات المنتجات المتقاطعة تشير إلى الأسفل.

مثال$\PageIndex{1}$: The Torque of a Force

تعتمد الميزة الميكانيكية التي توفرها أداة مألوفة تسمى مفتاح الربط (الشكل$\PageIndex{3}$) على الحجم F للقوة المطبقة، وعلى اتجاهها فيما يتعلق بمقبض مفتاح الربط، وعلى المسافة من الصمولة التي يتم تطبيق هذه القوة عليها. تسمى المسافة R من الجوز إلى النقطة التي$\vec{F}$ يتم فيها توصيل متجه القوة بذراع الرافعة ويتم تمثيلها بواسطة المتجه الشعاعي$\vec{R}$. تُسمى كمية المتجهات الفيزيائية التي تجعل الصمولة تدور بعزم الدوران (يُشار إليه بـ$\vec{\tau}$)، وهي المنتج المتجه لذراع الرافعة مع القوة:$\vec{\tau} = \vec{R} \times \vec{F}$.

لفك الصمولة الصدئة، يتم تطبيق قوة 20.00-N على مقبض مفتاح الربط بزاوية$\varphi$ = 40 درجة وعلى مسافة 0.25 متر من الصمولة، كما هو موضح في الشكل$\PageIndex{3}$ (أ). أوجد مقدار واتجاه عزم الدوران المُطبّق على الصمولة. ماذا سيكون مقدار واتجاه عزم الدوران إذا تم تطبيق القوة بزاوية$\varphi$ = 45 درجة، كما هو موضح في الشكل$\PageIndex{3}$ (ب)؟ ما قيمة الزاوية$\varphi$ التي يكون لعزم الدوران فيها أكبر مقدار؟

الشكل$\PageIndex{3}$: يوفر مفتاح الربط قبضة وميزة ميكانيكية في تطبيق عزم الدوران لتحويل الصمولة. (أ) قم بالدوران عكس اتجاه عقارب الساعة لفك الصمولة. (ب) أدر في اتجاه عقارب الساعة لتشديد الصمولة.

إستراتيجية

نعتمد الإطار المرجعي الموضح في الشكل$\PageIndex{3}$، حيث$\vec{F}$ تقع المتجهات$\vec{R}$ في المستوى xy ويكون الأصل في موضع الجوز. الاتجاه الشعاعي على طول المتجه$\vec{R}$ (الذي يشير بعيدًا عن الأصل) هو الاتجاه المرجعي لقياس الزاوية$\varphi$ لأنه$\vec{R}$ المتجه الأول في منتج المتجه$\vec{\tau}$ =$\vec{R} \times \vec{F}$. $\vec{\tau}$يجب أن يقع المتجه على طول المحور z لأن هذا هو المحور العمودي على المستوى السيني، حيث$\vec{R}$ يقع$\vec{F}$ كلاهما. لحساب الحجم$\tau$، نستخدم المعادلة\ ref {2.35}. للعثور على اتجاهه$\vec{\tau}$، نستخدم قاعدة المفتاح الأيمن (الشكل$\PageIndex{2}$).

الحل

بالنسبة للحالة في (أ)، تعطي قاعدة المفتاح الاتجاه$\vec{R} \times \vec{F}$ في الاتجاه الإيجابي للمحور z. من الناحية المادية، يعني ذلك أن متجه عزم الدوران$\vec{\tau}$ يشير إلى خارج الصفحة، عموديًا على مقبض مفتاح الربط. نحدد F = 20.00 N و R = 0.25 م، ونحسب الحجم باستخدام المعادلة\ المرجع {2.35}:

$$\tau = |\vec{R} \times \vec{F}| = RF \sin \varphi = (0.25\; m)(20.00\; N) \sin 40^{o} = 3.21\; N \cdotp m \ldotp$$

بالنسبة للحالة في (ب)، تعطي قاعدة المفتاح الاتجاه$\vec{R} \times \vec{F}$ في الاتجاه السلبي للمحور z. من الناحية المادية، يعني ذلك أن المتجه$\vec{\tau}$ يشير إلى الصفحة، عموديًا على مقبض مفتاح الربط. حجم عزم الدوران هذا هو

$$\tau = |\vec{R} \times \vec{F}| = RF \sin \varphi = (0.25\; m)(20.00\; N) \sin 45^{o} = 3.53\; N \cdotp m \ldotp$$

يكون لعزم الدوران أكبر قيمة عندما تكون sin$\varphi$ = 1، وهو ما يحدث عندما$\varphi$ = 90 درجة. من الناحية المادية، فهذا يعني أن مفتاح الربط يكون أكثر فاعلية - مما يمنحنا أفضل ميزة ميكانيكية - عندما نطبق القوة بشكل عمودي على مقبض مفتاح الربط. بالنسبة للحالة في هذا المثال، فإن أفضل قيمة لعزم الدوران هي$\tau_{best}$ = RF = (0.25 م) (20.00 N) = 5.00 N • m.

الأهمية

عند حل مشكلات الميكانيكا، لا نحتاج غالبًا إلى استخدام قاعدة المفتاح على الإطلاق، كما سنرى الآن في الحل المكافئ التالي. لاحظ أنه بمجرد تحديد هذا المتجه$\vec{R} \times \vec{F}$ الموجود على طول المحور z، يمكننا كتابة هذا المتجه من حيث متجه الوحدة$\hat{k}$ للمحور z:

$$\vec{R} \times \vec{F} = RF \sin \varphi \hat{k} \ldotp$$

في هذه المعادلة، الرقم الذي يتضاعف$\hat{k}$ هو المكون z القياسي للمتجه$\vec{R} \times \vec{F}$. عند حساب هذا المكون، يجب الحرص على قياس الزاوية$\varphi$ بعكس اتجاه عقارب الساعة من$\vec{R}$ (المتجه الأول) إلى$\vec{F}$ (المتجه الثاني) باتباع هذا المبدأ للزوايا، نحصل على RF sin (+ 40°) = + 3.2 N • m للحالة في (أ)، ونحصل على RF sin (−45°) = −3 5. N • m للحالة في (ب). في الحالة الأخيرة، تكون الزاوية سالبة لأن الرسم البياني في الشكل$\PageIndex{3}$ يشير إلى أن الزاوية تقاس في اتجاه عقارب الساعة؛ ولكن يتم الحصول على نفس النتيجة عندما يتم قياس هذه الزاوية بعكس اتجاه عقارب الساعة لأن + (360 درجة − 45 درجة) = + 315 درجة وsin (+ 315 درجة) = sin (−45°). بهذه الطريقة نحصل على الحل دون الرجوع إلى قاعدة المفتاح. بالنسبة للحالة في (أ)، يكون الحل$\vec{R} \times \vec{F}$ = + 3.2 N • m$\hat{k}$؛ بالنسبة للحالة في (b)، يكون الحل$\vec{R} \times \vec{F}$ = −3.5 N • m$\hat{k}$.

التمرين 2.15

بالنسبة للمتجهات الواردة في الشكل 2.3.6، ابحث عن منتجات المتجهات$\vec{A} \times \vec{B}$ و$\vec{C} \times \vec{F}$.

على غرار المنتج النقطي (المعادلة 2.8.10)، يحتوي المنتج المتقاطع على خاصية التوزيع التالية:

$$\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C} \ldotp \label{2.37}$$

يتم تطبيق خاصية التوزيع بشكل متكرر عندما يتم التعبير عن المتجهات في أشكالها المكونة، من حيث متجهات الوحدة للمحاور الديكارتية. عندما نطبق تعريف المنتج المتقاطع، المعادلة\ ref {2.35}، على متجهات الوحدة$\hat{i}$$\hat{j}$، والذي يحدد الاتجاهات الإيجابية x- و$\hat{k}$ y- و z في الفضاء، نجد ذلك

$$\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0 \ldotp \label{2.38}$$

يجب أن تكون جميع المنتجات المتقاطعة الأخرى لمتجهات الوحدات الثلاث هذه متجهات$\hat{i}$$\hat{j}$ لمقاييس الوحدة لأنها$\hat{k}$ متعامدة. على سبيل المثال، بالنسبة للزوج$\hat{i}$ والحجم$\hat{j}$ هو |$\hat{i} \times \hat{j}$ | = ij sin 90° = (1) (1) (1) = 1. $\hat{i} \times \hat{j}$يجب أن يكون اتجاه المنتج المتجه متعامدًا مع المستوى xy، مما يعني أنه يجب أن يكون على طول المحور z. متجهات الوحدة الوحيدة على طول المحور z هي −$\hat{k}$ أو +$\hat{k}$. وفقًا لقاعدة المفتاح،$\hat{i} \times \hat{j}$ يجب أن يكون اتجاه المتجه موازيًا للمحور z الموجب. لذلك،$\hat{i} \times \hat{j}$ تكون نتيجة الضرب مطابقة لـ +$\hat{k}$. يمكننا تكرار نفس المنطق للأزواج المتبقية من متجهات الوحدة. نتائج هذه المضاعفات هي

$$\begin{cases} \hat{i} \times \hat{j} = + \hat{k}, \\ \hat{j} \times \hat{k} = + \hat{i}, \\ \hat{k} \times \hat{i} = + \hat{j} \ldotp \end{cases} \label{2.39}$$

لاحظ أنه في المعادلة\ ref {2.39}$\hat{i}$$\hat{j}$،$\hat{k}$ تظهر متجهات الوحدات الثلاث، بالترتيب الدوري الموضح في الرسم التخطيطي بالشكل$\PageIndex{4}$ (أ). يعني الترتيب الدوري أنه في صيغة المنتج، يتبع ويأتي قبل، أو$\hat{i}$ يتبع$\hat{k}$ ويأتي قبل$\hat{j}$، أو$\hat{k}$ يتبع$\hat{j}$ ويأتي قبل$\hat{i}$، أو$\hat{j}$ يتبع$\hat{i}$ ويأتي قبل$\hat{k}$. دائمًا ما يكون المنتج المتقاطع لمتجه الوحدة المختلفين متجه الوحدة الثالثة. عندما يظهر متجه الوحدة في المنتج المتقاطع بالترتيب الدوري، تكون نتيجة هذا الضرب هي متجه الوحدة المتبقي، كما هو موضح في الشكل$\PageIndex{4}$ (ب). عندما تظهر متجهات الوحدة في المنتج المتقاطع بترتيب مختلف، تكون النتيجة متجه الوحدة مضادًا لمتجه الوحدة المتبقي (أي أن النتيجة تكون بعلامة الطرح، كما هو موضح في الأمثلة في الشكل$\PageIndex{4}$ (ج) والشكل$\PageIndex{4}$ (د). في الممارسة العملية، عندما تكون المهمة هي العثور على المنتجات المتقاطعة للمتجهات المعطاة في شكل مكون متجه، فإن هذه القاعدة الخاصة بالضرب المتقاطع لمتجهات الوحدة مفيدة جدًا.

الشكل$\PageIndex{4}$: (أ) رسم تخطيطي للترتيب الدوري لمتجهات الوحدة للمحاور. (ب) المنتجات المتقاطعة الوحيدة التي تظهر فيها متجهات الوحدة بالترتيب الدوري. هذه المنتجات لها علامة إيجابية. (ج) د) مثالان للمنتجات المتقاطعة حيث لا تظهر متجهات الوحدة بالترتيب الدوري. هذه المنتجات لها علامة سلبية.

لنفترض أننا نريد العثور على المنتج المتقاطع$\vec{A} \times \vec{B}$ للمتجهات$\vec{A}$ = A _x$\hat{i}$ + A _y$\hat{j}$ + A _z$\hat{k}$ و$\vec{B}$ = B _x$\hat{i}$ + B _y$\hat{j}$ + B _z$\hat{k}$. يمكننا استخدام خاصية التوزيع (المعادلة\ ref {2.37})، والخاصية المضادة للإبدال (المعادلة\ المرجع {2.36})، والنتائج في المعادلة\ ref {2.38} والمعادلة\ ref {2.39} لمتجهات الوحدة لإجراء الجبر التالي:

$$\begin{split} \vec{A} \times \vec{B} & = (A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}) \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) \\ & = A_{x}\; \hat{i} \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) + A_{y}\; \hat{j} \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) + A_{z}\; \hat{k} \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) \\ & = A_{x}B_{x}\; \hat{i} \times \hat{i} + A_{x}B_{y}\; \hat{i} \times \hat{j} + A_{z}B_{z}\; \hat{i} \times \hat{k} \\ & + A_{y}B_{x}\; \hat{j} \times \hat{i} + A_{y}B_{y}\; \hat{j} \times \hat{j} + A_{y}B_{z}\; \hat{j} \times \hat{k} \\ & + A_{z}B_{x}\; \hat{k} \times \hat{i} + A_{z}B_{y}\; \hat{k} \times \hat{j} + A_{z}B_{z}\; \hat{k} \times \hat{k} \\ & = A_{x}B_{x}(0) + A_{x}B_{y}(+\hat{k}) + A_{x}B_{z}(-\hat{j}) \\ & + A_{y}B_{x}(-\hat{k}) + A_{y}B_{y}(0) + A_{y}B_{z}(+\hat{i}) \\ & + A_{z}B_{x}(+\hat{j}) + A_{z}B_{y}(- \hat{i}) + A_{z}B_{z}(0) \ldotp \end{split}$$

عند تنفيذ العمليات الجبرية التي تتضمن المنتج المتقاطع، كن حذرًا جدًا في الحفاظ على الترتيب الصحيح للضرب لأن المنتج المتقاطع مضاد للإبدال. الخطوتان الأخيرتان اللتان لا يزال يتعين علينا القيام بهما لإكمال مهمتنا هما، أولاً، تجميع المصطلحات التي تحتوي على متجه وحدة مشترك، وثانيًا، العوملة. بهذه الطريقة نحصل على التعبير التالي المفيد جدًا لحساب المنتج المتقاطع:

$$\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} = (A_{y}B_{z} - A_{z}B_{y})\; \hat{i} + (A_{z}B_{x} - A_{x}B_{z})\; \hat{j} + (A_{x}B_{y} - A_{y}B_{x})\; \hat{k} \ldotp \label{2.40}$$

في هذا التعبير، تكون المكونات العددية لمتجه المنتجات المتقاطعة هي

$$\begin{cases} C_{x} = A_{y}B_{z} - A_{z}B_{y}, \\ C_{y} = A_{z}B_{x} - A_{x}B_{z}, \\ C_{z} = A_{x}B_{y} - A_{y}B_{x} \ldotp \end{cases} \label{2.41}$$

عند العثور على المنتج المتقاطع، من الناحية العملية، يمكننا استخدام إما المعادلة\ ref {2.35} أو المعادلة\ ref {2.40}، اعتمادًا على أي منها يبدو أقل تعقيدًا من الناحية الحسابية. كلاهما يؤدي إلى نفس النتيجة النهائية. إحدى الطرق للتأكد من صحة النتيجة النهائية هي استخدامهما معًا.

مثال$\PageIndex{2}$: A Particle in a Magnetic Field

عند التحرك في مجال مغناطيسي، قد تواجه بعض الجسيمات قوة مغناطيسية. دون الخوض في التفاصيل - تأتي دراسة مفصلة للظواهر المغناطيسية في فصول لاحقة - دعونا نعترف بأن المجال$\vec{B}$ المغناطيسي$\vec{F}$ هو ناقل، والقوة المغناطيسية هي ناقل، وسرعة$\vec{u}$ الجسيم هي ناقل. يتناسب متجه القوة المغناطيسية مع المنتج المتجه لمتجه السرعة مع متجه المجال المغناطيسي، والذي نعبر عنه كـ$\vec{F}$ =$\zeta \vec{u} \times \vec{B}$. في هذه المعادلة،$\zeta$ يعتني الثابت بالاتساق في الوحدات المادية، حتى نتمكن من حذف الوحدات الفيزيائية على المتجهات$\vec{u}$ و$\vec{B}$. في هذا المثال، لنفترض$\zeta$ أن الثابت إيجابي. $\hat{k}$يدخل جسيم يتحرَّك في الفضاء مع متجه السرعة$\vec{u}$ = −5.0$\hat{i}$ − 2.0$\hat{j}$ + 3.5 منطقة ذات مجال مغناطيسي ويختبر قوة مغناطيسية. أوجد القوة المغناطيسية$\vec{F}$ المؤثِّرة على هذا الجسيم عند نقطة الدخول إلى المنطقة التي يكون فيها متجه المجال المغناطيسي (a)$\vec{B}$ = 7.2$\hat{i}$ −$\hat{j}$ − 2.4$\hat{k}$ و (b)$\vec{B}$ = 4.5$\hat{k}$. في كل حالة، أوجد المقدار F للقوة المغناطيسية والزاوية$\theta$ التي$\vec{F}$ يصنعها متجه القوة مع متجه المجال المغناطيسي المُعطى$\vec{B}$.

إستراتيجية

أولاً، نريد العثور على المنتج المتجه$\vec{u} \times \vec{B}$، لأنه يمكننا بعد ذلك تحديد القوة المغناطيسية باستخدام$\vec{F}$ =$\zeta \vec{u} \times \vec{B}$. يمكن العثور على الحجم F إما باستخدام المكونات، F =$\sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}$، أو عن طريق حساب الحجم |$\vec{u} \times \vec{B}$ | مباشرة باستخدام المعادلة\ ref {2.35}. في النهج الأخير، سيتعين علينا إيجاد الزاوية بين المتجهات$\vec{u}$ و$\vec{B}$. عندما يكون لدينا$\vec{F}$، فإن الطريقة العامة لإيجاد زاوية الاتجاه$\theta$ تتضمن حساب المنتج القياسي$\vec{F} \cdotp \vec{B}$ والاستبدال في المعادلة 2.8.13. لحساب المنتج المتجه، يمكننا إما استخدام Equation\ ref {2.40} أو حساب المنتج مباشرة، أيًا كانت الطريقة الأكثر بساطة.

الحل

مكونات متجه السرعة هي u _x = −5.0 و u _y = −2.0 و u _z = 3.5. (أ) مكونات متجه المجال المغناطيسي هي B _x = 7.2، B _y = −1.0، و B _z = −2.4. إن استبدالها في المعادلة\ ref {2.41} يعطي المكونات العددية للمتجه$\vec{F} = \zeta \vec{u} \times \vec{B}$:

$$\begin{cases} F_{x} = \zeta (u_{y}B_{z} - u_{z}B_{y}) = \zeta [(-2.0)(-2.4) - (3.5)(-1.0)] = 8.3 \zeta \\ F_{y} = \zeta (u_{z}B_{x} - u_{x}B_{z}) = \zeta [(3.5)(7.2) - (-5.0)(-2.4)] = 13.2 \zeta \\ F_{z} = \zeta (u_{x}B_{y} - u_{y}B_{x}) = \zeta [(-5.0)(-1.0) - (-2.0)(7.2)] = 19.4 \zeta \end{cases}$$

وبالتالي، فإن القوة المغناطيسية هي$\vec{F}$ =$\zeta$ (8.3$\hat{i}$$\hat{j}$ + 13.2 + 19.4$\hat{k}$) وحجمها هو

$$F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}} = \zeta \sqrt{(8.3)^{2} + (13.2)^{2} + (19.4)^{2}} = 24.9 \zeta \ldotp$$

لحساب الزاوية$\theta$، قد نحتاج إلى إيجاد حجم متجه المجال المغناطيسي

$$B = \sqrt{B_{x}^{2} + B_{y}^{2} + B_{z}^{2}} = \sqrt{(7.2)^{2} + (-1.0)^{2} + (-2.4)^{2}} = 7.6,$$

والمنتج القياسي$\vec{F} \cdotp \vec{B}$:

$$\vec{F} \cdotp \vec{B} = F_{x}B_{x} + F_{y}B_{y} + F_{z}B_{z} = (8.3 \zeta)(7.2) + (13.2 \zeta)(-1.0) + (19.4 \zeta)(-2.4) = \ldotp$$

الآن، الاستبدال في المعادلة 2.8.13 يعطي الزاوية$\theta$:

$$\cos \theta = \frac{\vec{F} \cdotp \vec{B}}{FB} = \frac{0}{(18.2 \zeta)(7.6)} = 0 \Rightarrow \theta = 90^{o} \ldotp$$

وبالتالي، يكون متجه القوة المغناطيسية عموديًا على متجه المجال المغناطيسي. (كان بإمكاننا توفير بعض الوقت إذا قمنا بحساب المنتج القياسي مسبقًا.)

(ب) نظرًا لأن$\vec{B}$ vector = 4.5$\hat{k}$ يحتوي على مكون واحد فقط، يمكننا إجراء الجبر بسرعة والعثور على منتج المتجه مباشرةً:

$$\begin{split} \vec{F} & = \zeta \vec{u} \times \vec{B} = \zeta (-5.0 \hat{i} - 2.0 \hat{j} + 3.5 \hat{k}) \times (4.5 \hat{k}) \\ & = \zeta [(-5.0)(4.5) \hat{i} \times \hat{k} + (-2.0)(4.5) \hat{j} \times \hat{k} + (3.5)(4.5) \hat{k} \times \hat{k}] \\ & = \zeta [-22.5 (- \hat{j}) - 9.0 (+ \hat{i}) + 0] = \zeta (-9.0 \hat{i} + 22.5 \hat{j}) \ldotp \end{split}$$

حجم القوة المغناطيسية هو

$$F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}} = \zeta \sqrt{(-9.0)^{2} + (22.5)^{2} + (0.0)^{2}} = 24.2 \zeta \ldotp$$

لأن المنتج القياسي هو

$$\vec{F} \cdotp \vec{B} = F_{x}B_{x} + F_{y}B_{y} + F_{z}B_{z} = (-9.0 \zeta)(90) + (22.5 \zeta)(0) + (0)(4.5) = 0,$$

$\vec{F}$يكون متجه القوة المغناطيسية عموديًا على متجه المجال المغناطيسي$\vec{B}$.

الأهمية

حتى بدون حساب المنتج القياسي فعليًا، يمكننا التنبؤ بأن متجه القوة المغناطيسية يجب أن يكون دائمًا عموديًا على متجه المجال المغناطيسي بسبب الطريقة التي يتم بها بناء هذا المتجه. وبالتحديد، فإن متجه القوة المغناطيسية هو المنتج المتجه$\vec{F}$ =،$\zeta \vec{u} \times \vec{B}$ وبتعريف المنتج المتجه (انظر الشكل$\PageIndex{1}$)،$\vec{F}$ يجب أن يكون المتجه عموديًا على كلا المتجهين$\vec{u}$ و$\vec{B}$.

التمرين 2.16

بمعلومية متجهين$\vec{A} = - \hat{i} + \hat{j}$ و$\vec{B}$ = 3$\hat{i}$ −$\hat{j}$، أوجد (أ)$\vec{A} \times \vec{B}$، (ب)$\vec{A} \times (\vec{B}$ | |، (ج) الزاوية$\vec{A}$ الواقعة بين و$\vec{B}$، و (د) الزاوية بين$\vec{A} \times \vec{B}$ المتجه$\vec{C} = \hat{i} + \hat{k}$.

في ختام هذا القسم، نريد التأكيد على أن «المنتج النقطي» و «المنتج المتقاطع» هما كائنات رياضية مختلفة تمامًا لها معان مختلفة. المنتج النقطي هو رقم قياسي؛ المنتج المتقاطع هو ناقل. تستخدم الفصول اللاحقة مصطلحي المنتج النقطي والمنتج القياسي بالتبادل. وبالمثل، يتم استخدام مصطلحي المنتج المتقاطع والمنتج المتجه بالتبادل.

المساهمون

• Template:ContribOpenStaxUni