8.2: الضرب متعدد الحدود
- Page ID
- 166942
يمكن تصنيف كثيرات الحدود على النحو التالي:
- الموحددات إذا كانت تحتوي على مصطلح واحد.
- المعادلات ذات الحدين إذا كانت تحتوي على فترتين.
- ثلاثية الحدود إذا كانت تحتوي على ثلاثة مصطلحات.
- كثيرات الحدود إذا كانت تحتوي على ثلاثة مصطلحات أو أكثر.
لا توجد أمثلة أو واجبات منزلية في هذا القسم.
ضرب وحيدين من الحدين
لضرب وحدتين، اضرب الحدود معًا عن طريق جمع الأسس وضرب المعاملات الرقمية.
اضرب وحدتين:
- \((3x^2 )(6x^3 )\)
- \((4x)(x)\)
- \((−2x^3 )(−7x^4 )\)
الحل
- \(\begin{array} &&(3x^2 )(6x^3 ) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(3)(6)(x^{2+3}) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents on the variables using the Product Rule for Exponents} \\ &18x^5 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
- \(\begin{array} &&(4x)(x) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(4)(1)(x^{1+1}) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents. The coefficient on \(x\)هو\(1\)، والأس في كل منها\(x\) هو\(1\).}\\ &4x^2 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ النص {الحل}\ النهاية {المصفوفة}\)
- \(\begin{array} &&(−2x^3 )(−7x^4 ) &\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(−2)(−7)(x^{3+4}) &\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents.} \\ &14x^7 &\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
اضرب وحدتين:
- \((−3x^4 )(9x^7 )\)
- \((2x)(2x)\)
- \((−4x^7 )(5x^5 )\)
- \((−6x^2 )(−x^2 )\)
ضرب دالة كثيرة الحدود في معادلة أحادية الحد
لضرب كثير الحدود في معادلة أحادية، اضرب جميع مصطلحات كثيرة الحدود في المعادلة الأحادية. احتفظ بأي طرح في كثير الحدود الأصلي باستخدام الحد الذي يلي الطرح كعلامة لمعامل الحد.
ضرب كثير الحدود بمعادلة أحادية:
- \(3x^2 (15x^2 − 5x)\)
- \(−7x(3x^2 − 2x + 9)\)
- \(5x(4x^3 − 2x^2 + x − 3)\)
الحل
- \(\begin{array} &&3x^2 (15x^2 − 5x) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(3x^2 )(15x^2 ) + (3x^2 )(−5x) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply all terms of the polynomial by the monomial. Then simplify by multiplying the pairs of monomials.} \\ &45x^4 + (−15x^3 ) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &45x^4 − 15x^3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
- \(\begin{array} &&−7x(3x^2 − 2x + 9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(−7x)(3x^2 ) + (−7x)(−2x) + (−7x)(9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents. The coefficient on \(x\)هو\(1\)، والأس في كل منها\(x\) هو\(1\).}\\\ &−21x^3+ 14x^2 − 63x &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ النص {الحل}\ النهاية {المصفوفة}\)
- \(\begin{array} &&5x(4x^3 − 2x^2 + x − 3) &\text{Example problem} \\ &(5x)(4x^3 ) + (5x)(−2x^2 ) + (5x)(x) + (5x)(−3) &\text{Multiply the coefficients and add the exponents.} \\ &20x^4 − 10x^3 + 5x^2 − 15x &\text{Solution} \end{array}\)
ضرب كثير الحدود بمعادلة أحادية:
- \((−6x)(x^2 − 3)\)
- \((3x^4 )(2x^2 − x − 5)\)
- \((−4x^5 )(x^4 − 3x^3 + 3x^2 − x − 7)\)
- \((x^2 )(−x^3 − 12)\)
ضرب مقادير ذات الحدين
لضرب اثنين من الحدين، استخدم تقنية FOIL للضرب: المصطلحات الأولى والمصطلحات الخارجية والمصطلحات الداخلية والمصطلحات الأخيرة. تضمن FOIL ضرب جميع المصطلحات في المعادلة ذات الحدين الأولى بجميع المصطلحات في المعادلة ذات الحدين الثانية. لا يهم ترتيب ضرب المصطلحات لأن الضرب تبادلي. احرص على الجمع بين أي مصطلحات مماثلة لتبسيط الحل بالكامل.
اضرب اثنين من الحدين:
- \((3x − 4)(2x + 5)\)
- \((5x^2 − 2)(5x^2 + 2)\)
- \((7x^3 − 4x^2 )(x − 5)\)
الحل
- \(\begin{array} &&(3x − 4)(2x + 5) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(3x)(2x) + (3x)(5) + (−4)(2x) + (−4)(5) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &6x^2 + 15x + (−8x) + (−20) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &6x^2 + 7x − 20 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
- \(\begin{array} &&(5x^2 − 2)(5x^2 + 2) &\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(5x^2 )(5x^2 ) + (5x^2 )(2) + (−2)(5x^2 ) + (−2)(2) &\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &25x^4 + 10x^2 + (−10x^2 ) + (−4) &\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &25x^4 − 4 &\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
- \(\begin{array} &&(7x^3 − 4x^2 )(x − 5) &\text{Example problem} \\ &(7x^3 )(x) + (7x^3 )(−5) + (−4x^2 )(x) + (−4x^2 )(−5) &\text{FOIL the terms to multiply all terms in the first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &7x^4 + (−35x^3 ) + (−4x^3 ) + 20x^2 &\text{Combine like terms and simplify} \\ &7x^4 − 39x^3 + 20x^2 &\text{Solution} \end{array}\)
اضرب اثنين من الحدين:
- \((2x − 3)(6x + 5)\)
- \((3x^2 − 4)(3x^2 + 4)\)
- \((−4x^5 − 2)(7x^3 + 3)\)
- \((2x − 7)(3x − 8)\)
ضرب كثيرات الحدود
لضرب اثنين من كثيرات الحدود، استخدم خاصية التوزيع لضرب كل حد في كثير الحدود الأول في كل حد في كثير الحدود الثاني. ثم يتم دمج المصطلحات المتشابهة لتبسيط الحل.
اضرب اثنين من كثيرات الحدود:
- \((2x + 5)(3x^2 − 6x + 9)\)
- \((2x^2 + 4x − 5)(3x − 2)\)
- \((x^2 − x + 3)(2x^2 + 6x − 1)\)
الحل
- \(\begin{array} &&(2x + 5)(3x^2 − 6x + 9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(2x)(3x^2 ) + (2x)(−6x) + (2x)(9) + (5)(3x^2 ) + (5)(−6x) + (5)(9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the} \\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &6x^3 + (−12x^2 ) + 18x + 15x^2 + (−30x) + 45 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &6x^3 + 3x^2 − 12x + 45 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
- \(\begin{array} &&(2x^2 + 4x − 5)(3x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(2x^2 )(3x) + (2x^2 )(−2) + (4x)(3x) + (4x)(−2) + (−5)(3x) + (−5)(−2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the} \\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &6x^3 + (−4x^2 ) + 12x^2 + (−8x) + (−15x) + 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &6x^3 + 8x^2 − 23x + 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
- \(\begin{array} &&(x^2 − x + 3)(2x^2 + 6x − 1) &\text{Example problem} \\ &(x^2 )(2x^2 ) + (x^2 )(6x) + (x^2 )(−1) + (−x)(2x^2 ) + (−x)(6x) + (−x)(−1) + (3)(2x^2 ) + (3)(6x) + (3)(−1) &\text{FOIL the terms to multiply all terms in the} \\ & & \text{first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &2x^4 + 6x^3 + (−1x^2 ) + (−2x^3 ) + (−6x^2 ) + x + 6x^2 + 18x + (−3) &\text{Combine like terms and simplify} \\ &2x^4 + 4x^3 − x^2 + 19x − 3 &\text{Solution} \end{array}\)
اضرب اثنين من كثيرات الحدود:
- \((x^2 − 2x − 1)(2x^2 − 7x − 8)\)
- \((3x^2 − 5)(x^2 + 4x − 3)\)
- \((4x^3 − 2x + 1)(6x^2 + 3)\)
- \((2x^3 − 3x + 4)(2x^2 − 8x + 2)\)