Skip to main content
Query

8.2: الضرب متعدد الحدود

  • Page ID
    166942
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    يمكن تصنيف كثيرات الحدود على النحو التالي:

    • الموحددات إذا كانت تحتوي على مصطلح واحد.
    • المعادلات ذات الحدين إذا كانت تحتوي على فترتين.
    • ثلاثية الحدود إذا كانت تحتوي على ثلاثة مصطلحات.
    • كثيرات الحدود إذا كانت تحتوي على ثلاثة مصطلحات أو أكثر.

    لا توجد أمثلة أو واجبات منزلية في هذا القسم.

    ضرب وحيدين من الحدين

    تعريف: ضرب وحدتين

    لضرب وحدتين، اضرب الحدود معًا عن طريق جمع الأسس وضرب المعاملات الرقمية.

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/08:_عمليات_متعددة_الحدود/8.02:_الضرب_متعدد_الحدود), /content/body/div[1]/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    اضرب وحدتين:

    1. \((3x^2 )(6x^3 )\)
    2. \((4x)(x)\)
    3. \((−2x^3 )(−7x^4 )\)
    الحل
    1. \(\begin{array} &&(3x^2 )(6x^3 ) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(3)(6)(x^{2+3}) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents on the variables using the Product Rule for Exponents} \\ &18x^5 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&(4x)(x) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(4)(1)(x^{1+1}) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents. The coefficient on \(x\)هو\(1\)، والأس في كل منها\(x\) هو\(1\).}\\ &4x^2 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ النص {الحل}\ النهاية {المصفوفة}\)
    1. \(\begin{array} &&(−2x^3 )(−7x^4 ) &\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(−2)(−7)(x^{3+4}) &\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents.} \\ &14x^7 &\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    التمرين
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/08:_عمليات_متعددة_الحدود/8.02:_الضرب_متعدد_الحدود), /content/body/div[1]/section[3]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    اضرب وحدتين:

    1. \((−3x^4 )(9x^7 )\)
    2. \((2x)(2x)\)
    3. \((−4x^7 )(5x^5 )\)
    4. \((−6x^2 )(−x^2 )\)

    ضرب دالة كثيرة الحدود في معادلة أحادية الحد

    تعريف: ضرب كثير الحدود في معادلة أحادية الحد

    لضرب كثير الحدود في معادلة أحادية، اضرب جميع مصطلحات كثيرة الحدود في المعادلة الأحادية. احتفظ بأي طرح في كثير الحدود الأصلي باستخدام الحد الذي يلي الطرح كعلامة لمعامل الحد.

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/08:_عمليات_متعددة_الحدود/8.02:_الضرب_متعدد_الحدود), /content/body/div[2]/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    ضرب كثير الحدود بمعادلة أحادية:

    1. \(3x^2 (15x^2 − 5x)\)
    2. \(−7x(3x^2 − 2x + 9)\)
    3. \(5x(4x^3 − 2x^2 + x − 3)\)
    الحل
    1. \(\begin{array} &&3x^2 (15x^2 − 5x) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(3x^2 )(15x^2 ) + (3x^2 )(−5x) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply all terms of the polynomial by the monomial. Then simplify by multiplying the pairs of monomials.} \\ &45x^4 + (−15x^3 ) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &45x^4 − 15x^3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&−7x(3x^2 − 2x + 9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(−7x)(3x^2 ) + (−7x)(−2x) + (−7x)(9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents. The coefficient on \(x\)هو\(1\)، والأس في كل منها\(x\) هو\(1\).}\\\ &−21x^3+ 14x^2 − 63x &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ النص {الحل}\ النهاية {المصفوفة}\)
    1. \(\begin{array} &&5x(4x^3 − 2x^2 + x − 3) &\text{Example problem} \\ &(5x)(4x^3 ) + (5x)(−2x^2 ) + (5x)(x) + (5x)(−3) &\text{Multiply the coefficients and add the exponents.} \\ &20x^4 − 10x^3 + 5x^2 − 15x &\text{Solution} \end{array}\)
    التمرين
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/08:_عمليات_متعددة_الحدود/8.02:_الضرب_متعدد_الحدود), /content/body/div[2]/section[3]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    ضرب كثير الحدود بمعادلة أحادية:

    1. \((−6x)(x^2 − 3)\)
    2. \((3x^4 )(2x^2 − x − 5)\)
    3. \((−4x^5 )(x^4 − 3x^3 + 3x^2 − x − 7)\)
    4. \((x^2 )(−x^3 − 12)\)

    ضرب مقادير ذات الحدين

    تعريف: ضرب اثنين من الحدود

    لضرب اثنين من الحدين، استخدم تقنية FOIL للضرب: المصطلحات الأولى والمصطلحات الخارجية والمصطلحات الداخلية والمصطلحات الأخيرة. تضمن FOIL ضرب جميع المصطلحات في المعادلة ذات الحدين الأولى بجميع المصطلحات في المعادلة ذات الحدين الثانية. لا يهم ترتيب ضرب المصطلحات لأن الضرب تبادلي. احرص على الجمع بين أي مصطلحات مماثلة لتبسيط الحل بالكامل.

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/08:_عمليات_متعددة_الحدود/8.02:_الضرب_متعدد_الحدود), /content/body/div[3]/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    اضرب اثنين من الحدين:

    1. \((3x − 4)(2x + 5)\)
    2. \((5x^2 − 2)(5x^2 + 2)\)
    3. \((7x^3 − 4x^2 )(x − 5)\)
    الحل
    1. \(\begin{array} &&(3x − 4)(2x + 5) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(3x)(2x) + (3x)(5) + (−4)(2x) + (−4)(5) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &6x^2 + 15x + (−8x) + (−20) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &6x^2 + 7x − 20 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&(5x^2 − 2)(5x^2 + 2) &\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(5x^2 )(5x^2 ) + (5x^2 )(2) + (−2)(5x^2 ) + (−2)(2) &\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &25x^4 + 10x^2 + (−10x^2 ) + (−4) &\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &25x^4 − 4 &\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&(7x^3 − 4x^2 )(x − 5) &\text{Example problem} \\ &(7x^3 )(x) + (7x^3 )(−5) + (−4x^2 )(x) + (−4x^2 )(−5) &\text{FOIL the terms to multiply all terms in the first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &7x^4 + (−35x^3 ) + (−4x^3 ) + 20x^2 &\text{Combine like terms and simplify} \\ &7x^4 − 39x^3 + 20x^2 &\text{Solution} \end{array}\)
    التمرين
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/08:_عمليات_متعددة_الحدود/8.02:_الضرب_متعدد_الحدود), /content/body/div[3]/section[3]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    اضرب اثنين من الحدين:

    1. \((2x − 3)(6x + 5)\)
    2. \((3x^2 − 4)(3x^2 + 4)\)
    3. \((−4x^5 − 2)(7x^3 + 3)\)
    4. \((2x − 7)(3x − 8)\)

    ضرب كثيرات الحدود

    تعريف: ضرب كثيرات الحدود

    لضرب اثنين من كثيرات الحدود، استخدم خاصية التوزيع لضرب كل حد في كثير الحدود الأول في كل حد في كثير الحدود الثاني. ثم يتم دمج المصطلحات المتشابهة لتبسيط الحل.

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/08:_عمليات_متعددة_الحدود/8.02:_الضرب_متعدد_الحدود), /content/body/div[4]/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    اضرب اثنين من كثيرات الحدود:

    1. \((2x + 5)(3x^2 − 6x + 9)\)
    2. \((2x^2 + 4x − 5)(3x − 2)\)
    3. \((x^2 − x + 3)(2x^2 + 6x − 1)\)
    الحل
    1. \(\begin{array} &&(2x + 5)(3x^2 − 6x + 9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(2x)(3x^2 ) + (2x)(−6x) + (2x)(9) + (5)(3x^2 ) + (5)(−6x) + (5)(9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the} \\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &6x^3 + (−12x^2 ) + 18x + 15x^2 + (−30x) + 45 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &6x^3 + 3x^2 − 12x + 45 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&(2x^2 + 4x − 5)(3x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(2x^2 )(3x) + (2x^2 )(−2) + (4x)(3x) + (4x)(−2) + (−5)(3x) + (−5)(−2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the} \\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &6x^3 + (−4x^2 ) + 12x^2 + (−8x) + (−15x) + 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &6x^3 + 8x^2 − 23x + 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&(x^2 − x + 3)(2x^2 + 6x − 1) &\text{Example problem} \\ &(x^2 )(2x^2 ) + (x^2 )(6x) + (x^2 )(−1) + (−x)(2x^2 ) + (−x)(6x) + (−x)(−1) + (3)(2x^2 ) + (3)(6x) + (3)(−1) &\text{FOIL the terms to multiply all terms in the} \\ & & \text{first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &2x^4 + 6x^3 + (−1x^2 ) + (−2x^3 ) + (−6x^2 ) + x + 6x^2 + 18x + (−3) &\text{Combine like terms and simplify} \\ &2x^4 + 4x^3 − x^2 + 19x − 3 &\text{Solution} \end{array}\)
    التمرين
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/08:_عمليات_متعددة_الحدود/8.02:_الضرب_متعدد_الحدود), /content/body/div[4]/section[3]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    اضرب اثنين من كثيرات الحدود:

    1. \((x^2 − 2x − 1)(2x^2 − 7x − 8)\)
    2. \((3x^2 − 5)(x^2 + 4x − 3)\)
    3. \((4x^3 − 2x + 1)(6x^2 + 3)\)
    4. \((2x^3 − 3x + 4)(2x^2 − 8x + 2)\)