Skip to main content
Global

8.3: تحليل وإيجاد حلول متعددة الحدود (الأصفار)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    166941

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    هناك عدة طرق لإيجاد حلول لكثيرات الحدود التي تمثل ثلاثية الحدود في النموذج\(ax^2 + bx + c = 0\). وتسمى هذه الحلول أيضًا الأصفار الحقيقية لكثيرات الحدود.

    1. طريقة العوملة التجريبية: باستخدام هذه الطريقة، يكون الهدف هو إنشاء وحدتين عند ضربهما معًا، ينتج عنهما الرقم الثلاثي المعطى. يمكن أن تكون هذه الطريقة صعبة للغاية عندما تحتوي المعادلة الثلاثية المعطاة على قيم كبيرة لـ\(a\) و\(c\). بمجرد اكتمال العوملة، ابحث عن جميع الأصفار الحقيقية باستخدام خاصية العامل الصفري وتعيين كل عامل\(0\) مساويًا للحل\(x\).
    2. طريقة التحليل التجميعي: باستخدام هذه الطريقة، يكون الهدف هو إنشاء أربعة مصطلحات عن طريق تقسيم المدى المتوسط إلى فترتين، يكون\(a ∗ c\) لمعاملاتهما نتاج ومجموع\(b\). لا يهم ترتيب شروط المركز. بمجرد إنشاء المصطلحات الأربعة، قم بإقران المصطلحين الأولين بأقواس، وقم بإقران المصطلحين الثانيين بأقواس، وقم بحساب GCF من كلا الزوجين. والناتج ذو الحدين المتكررين هو عامل واحد، وتتحد عوامل GCF لتكوين المعادلة الثانية ذات الحدين. هذه هي أسهل طريقة لاستخدامها في أي معادلة ثلاثية الأبعاد للنموذج\(ax^2 + bx + c\)، ولكن قد تحتوي على القليل من منحنى التعلم. بمجرد اكتمال العوملة، ابحث عن جميع الأصفار الحقيقية باستخدام خاصية العامل الصفري وتعيين كل عامل\(0\) مساويًا للحل\(x\).
    3. الصيغة التربيعية: يمكن استخدام الصيغة التربيعية للعثور على الأصفار الحقيقية لثلاثية الحدود قابلة للتحليل. يرجى الاطلاع على جدول المحتويات للعثور على القسم الذي يشرح كيفية استخدام الصيغة التربيعية.
    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/08:_عمليات_متعددة_الحدود/8.03:_تحليل_وإيجاد_حلول_متعددة_الحدود_(الأصفار)), /content/body/section[1]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

    قم بتحليل التعبيرات باستخدام أي من الطرق التي تمت مناقشتها في هذا القسم (ستوضح هذه المشكلات النموذجية طريقة العامل حسب التجميع):

    1. \(4x^2 − 3x − 10\)
    2. \(8x^2 − 2x − 3\)
    3. \(12x − 14x^3 + 22x^2\)
    4. \(\dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4}\)
    5. \(\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)(2x + 1)^{-\frac{1}{2}}}{2x + 1}\)
    الحل
    1. \(\begin{array} &&4x^2 − 3x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &4x^2 − 3x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Product \(ac\)هو\(4∗(−10) = −40\)، سوم هو\(b = −3\). لاستخدام العامل عن طريق التجميع،}\\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\;\\\\\\\\\\\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\(−40\)\(−3\)\(8\) \(5\)مرشحون جيدون؛ نظرًا لأن المنتج يجب أن يكون سلبيًا، يجب أن تكون إحدى هذه القيم سالبة.}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\;\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ هو\(−40\) ومجموعها هو\(−3\).}\\ &\(−8\)\(5\) ; 4x^2 − 8x + 5x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ النص {أربعة شروط، مجموع الفترتين المتوسطتين هو المدى المتوسط الأصلي،\(−3x\)}\\ & (4x^2 − 8x) + (5x − 10) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\;\ x (x − 2) + 5 (x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\;\}\\ & (4x+ 5) (x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; تأكد من التحقق عن طريق FOIL.} \ end {مصفوفة}\)
    1. \(\begin{array} &&8x^2 − 2x − 3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &8x^2 − 2x − 3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Product \(ac\)هو\(8∗(−3) = −24\)، سوم هو\(b = −2\). لاستخدام العامل عن طريق التجميع،}\\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ النص {يلزم ضرب مصطلحين\(−24\) وسطيين في منتج أو إضافة مجموع قدره\(−2\).}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ النص {\(6\)\(4\)وهي جيدة المرشحون؛ بما أن المنتج يجب أن يكون سالبًا، يجب أن تكون إحدى هذه القيم سالبة.}\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\; النص {\(−6\)\(4\)وسيعمل النص الإيجابي، لأن منتجهم\(−24\) ومجموعه هو\(−2\).}\\ 8x^2+ 4x − 6x − 3\\؛\؛ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ النص {أربعة مصطلحات، مجموع الحدين المتوسطين هو المدى المتوسط الأصلي،\(−2x\).}\\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ النص {لا يهم ترتيب الحدين المتوسطين.}\\\ & (8x^2 + 4x) + (−6x − 3) &\;\;\;\;\;\ ;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ النص {إنشاء أزواج من المصطلحات. لاحظ الإضافة بين الأقواس؛}\\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ النص {كان الثالث من المصطلحات الأربعة سالبًا هنا، لذلك تبقى العلامة مع المصطلح.}\\ &4x (2x + + 1) + (−3) (2x + 1) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\ النص {ضع علامة على GCF من كل زوج - يوجد دائمًا عامل ذو حدين متكرر}\\ & (4x − 3) (2x + 1) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ تأكد من التحقق عن طريق FOIL.} \ end {مصفوفة}\)
    1. \(\begin{array} && 12x − 14x^3 + 22x^2 &\text{Example problem} \\ &−14x^3 + 22x^2 + 12x &\text{Reorder the terms in decreasing order of variable degree.} \\ &2x(−7x^2 + 11x + 6) &\text{Factor out the GCF so a trinomial results that can be factored using factor by grouping.} \\ & &\text{The GCF of \(2x\)سيتم تضمينها في الإجابة النهائية، لذلك لا تنسى ذلك.}\\ &−7x^2 + 11x + 6 &\ text {المنتج\(ac\) هو\(−7 ∗ 6 = −42\)، المجموع هو\(b = 11\). لاستخدام العامل عن طريق التجميع،}\\\ &\ text {هناك حاجة إلى مصطلحين وسطيين يتضاعفان في منتج ما\(−42\) ويضيفان إلى مجموع قدره\(11\).}\\ &\\ text {لا توجد أرقام تفي بكل من هذه المتطلبات،}\\\ &\ text {مما يعني أن الثلاثية لا يمكن حسابها في الاعتبار عوامل الأعداد الصحيحة.}\\ &−7x^2 + 11x + 6 &\ text {لإيجاد عوامل وأصفار كثير الحدود، استخدم الصيغة التربيعية.}\\ & &\ النص {Let\(a = −7\)\(b = 11\),}\\ &x =\ dfrac {−11 ±\ sqrt {11^2 − 4 (−7)\(c = 6\)}} {2 (−7)} {2 (−7)} {2 (−7)} {{2 (−7)} {{2 (−7)} {{2 (−7)} {{2 (−الصيغة التربيعية}\\ &x =\ dfrac {−11 ±\ sqrt {121 + 168}} {-14} و\ النص {تبسيط}\\ &x =\ dfrac {11 ±\ sqrt {289}} {14} و\ النص {يقسم\(−1\) عن جميع المصطلحات}\\ &x =\ dfrac {11 ±\ sqrt {289}} {14} = 2،\؛\\\ dfrac {11 −\ sqrt {289}} {14} = −\ dfrac {3} {7} &\ text {الإجابات الدقيقة للأصفار في شكل جذري، متبوعًا بالرقم الحقيقي النموذج.}\\ & (x − 2)،\؛\؛ (x + -\ dfrac {3} {7})\ النص {العوامل. احرص على إدراج الصحيح\(±\) في العوامل.}\\ &\ text {ابحث عن الحلول، ثم قم بإجراء هندسة عكسية لمعرفة العامل الذي سينتج هذا الحل.}\\\ &\ text {كان الحل الأول من الصيغة التربيعية هو\(x = 2\).}\\ & &\ text {A factor of \((x − 2)\)عند تعيينه مساويًا لـ\(0\) سيتم إنتاج الحل لـ\(x = 2\).}\\ & &\ text {كان الحل الثاني من الصيغة التربيعية هو\(x = −\dfrac{3}{7}\).}\\ & &\ text {\((x + −\dfrac{3}{7})\)سينتج عامل من شأنه أن ينتج الحل\(x = −\dfrac{3}{7}\).}\\\ &2x (x − 2) (x +\ dfrac {3} {7}) &\ text العوامل متعددة الحدود، بما في ذلك عامل GCF الأصلي الذي تم أخذه في الاعتبار في بداية هذه المشكلة.} \ end {مصفوفة}\)
    1. \(\begin{array} && \dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &\dfrac{2(x^2 + 1)[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{(x^2 + 1)(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Factor out the GCF from the numerator.} \\ &\dfrac{2\cancel{(x^2 + 1)}[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{\cancel{(x^2 + 1)}(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Remove common factors.} \\ &\dfrac{2[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Remove common factors.} \\ &\dfrac{2[−x^2 − 1 + 4x^2]}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &\dfrac{2(3x^2 − 1)}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Final answer.} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)(2x + 1)^{-\frac{1}{2}}}{2x + 1} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} −\dfrac{(x + 2)}{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}}}{2x + 1} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Write the expression with a positive exponent (move it to the denominator).} \\ &\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)}{\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}}{2x + 1}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Write the numerator with a common denominator.} \\ &\dfrac{2x + 1 − x − 2}{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} (2x + 1)} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplified.} \\ &\dfrac{2x + 1 − x − 2}{(2x + 1)^{\frac{3}{2}}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Final answer.} \end{array}\)
    التمرين
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/08:_عمليات_متعددة_الحدود/8.03:_تحليل_وإيجاد_حلول_متعددة_الحدود_(الأصفار)), /content/body/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

    عامل باستخدام أي طريقة تمت مناقشتها في هذا القسم:

    1. \(5x^2 − 23x − 10\)
    2. \(8x^2 + 2x − 3\)
    3. \(3x^2 − 7x − 6\)
    4. \(10x^2 + 13x − 5\)
    5. \(12x^5 − 17x^4 + 6x^3\)
    6. \(\dfrac{(2x^2 − 1)^2 (−2) + (2x)2(2x^2 − 1)(2x)}{(2x^2 − 1)^4}\)
    7. \(\dfrac{2(2x − 3)^{\frac{1}{3}} − (x − 1)(2x − 3)^{-\frac{2}{3}}}{2x − 3^{\frac{2}{3}}}\)

    صيغة تربيعية

    تعريف: الصيغة التربيعية

    تُستخدم الصيغة التربيعية لحل (أو إيجاد الأصفار) لكثيرات الحدود (المعادلة التربيعية) من الدرجة\(2\) الموجودة في الصورة\(ax^2 + bx + c = 0\). الصيغة التربيعية هي:

    \[x = \dfrac{−b ± \sqrt{b^2 − 4ac}}{2a} \nonumber \]

    أين\(a\)\(b\)،،\(c\) وهي معاملات الشكل القياسي للمعادلة التربيعية،\(ax^2 + bx + c = 0\).

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/08:_عمليات_متعددة_الحدود/8.03:_تحليل_وإيجاد_حلول_متعددة_الحدود_(الأصفار)), /content/body/div/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

    بالنسبة للوظائف التالية، ابحث عن جميع أصفار\(f\) استخدام الصيغة التربيعية. عبِّر عن الإجابة النهائية في صورة إجابات دقيقة (بصيغة جذرية) وأيضًا كأرقام عشرية، مقرَّبة إلى خانة الألف.

    1. \(f(x) = −2x^2 + 4x − 1\)
    2. \(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x\)
    الحل
    1. مجموعة\(f(x) = 0: −2x^2 + 4x − 1 = 0\). تتم كتابة هذه الوظيفة في النموذج\(ax^2 + bx + c = 0\)، مع\(a = −2\)،\(b = 4\) و\(c = −1\).

    استبدال هذه القيم\(a\)\(b\)\(c\) وفي الصيغة التربيعية بهذه القيم:

    \(\begin{array} &&x = \dfrac{−4 ± \sqrt{4^2 − 4(−2)(−1)}}{2(−2)} &\;\;\;\;\;\text{Quadratic Formula} \\ &x = \dfrac{−4 ± \sqrt{(16 − 8)}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{−4 ± \sqrt{8}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{−4 ± 2 \sqrt{2}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify the radical} \\ &x = \dfrac{2 ± \sqrt{2}}{2} &\;\;\;\;\;\text{Exact answers in radical form} \\ &x = \dfrac{2 − \sqrt{2}}{2} ,\;\; x = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{2} &\;\;\;\;\;\text{Exact answers written as two roots} \\ &x = 0.293 \text{ and } x = 1.707 &\;\;\;\;\;\text{Approximation answers rounded to the thousandths place} \end{array}\)

    1. الدالة\(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x\) هي دالة مكعبة. احسب جميع الحدود الثلاثة قبل استخدام المعادلة التربيعية على العامل الثلاثي:\(x(x^2 − 3x − 4) = 0\), مع\(a = 1\),\(b = −3\) و\(c = −4\).\(x\)

    لا تنس\(x\) أن ما تم أخذه في الاعتبار هو الجذر، أي\(x = 0\).

    استبدال هذه القيم\(a\)\(b\)\(c\) وفي الصيغة التربيعية بهذه القيم:

    \(\begin{array} &&x = \dfrac{3 ± \sqrt{(−3)2 − 4(1)(−4)}}{2(1)} &\text{Quadratic Formula} \\ &x = \dfrac{3 ± \sqrt{(16 + 9)}}{2} &\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{3 ± \sqrt{25}}{2} &\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{3 ± 5}{2} &\text{Simplify further} \\ &x = \dfrac{3 − 5}{2} ,\;\;x = \dfrac{−2}{2} ,\;\; x = −1 &\text{Second root (first root is \(x = 0\))}\\ &x =\ dfrac {3 + 5} {2}،\؛\؛ x =\ dfrac {8} {2}،\؛\؛\؛ x = 4\\ النص {الجذر الثالث}\ النهاية {المصفوفة}\)

    هناك ثلاثة حلول، أو جذور الدالة التكعيبية\(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x: x = 0\)،\(x = −1\) و\(x = 4\).

    التمرين
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/08:_عمليات_متعددة_الحدود/8.03:_تحليل_وإيجاد_حلول_متعددة_الحدود_(الأصفار)), /content/body/div/section[3]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

    بالنسبة للوظائف التالية، ابحث عن جميع أصفار\(f\) استخدام الصيغة التربيعية. عبِّر عن الإجابة النهائية في صورة إجابات دقيقة (بصيغة جذرية) وأيضًا كأرقام عشرية، مقرَّبة إلى خانة الألف.

    1. \(f(t) = 9t^3 − 18t^2 + 6t\)
    2. \(f(x) = x^5 − 4x^4 − 32x^3\)
    3. \(f(x) = 18 − 3x − 2x^2\)
    4. \(f(x) = 12x^2 + 11x − 5\)
    5. \(f(x) = 3x^2 − 6x + 2\)