9.3: جمع وطرح الجذور التربيعية

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• الجمع والطرح مثل الجذور التربيعية
• قم بإضافة وطرح الجذور التربيعية التي تحتاج إلى تبسيط

كن مستعدًا

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

1. إضافة: ⓐ$3x+9x$ ⓑ$5m+5n$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].
2. قم بالتبسيط:$\sqrt{50x^3}$.
   إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع [link].

نحن نعلم أنه يجب علينا اتباع ترتيب العمليات لتبسيط التعبيرات ذات الجذور التربيعية. الراديكالي هو رمز التجميع، لذلك نحن نعمل داخل الراديكالي أولاً. نحن نبسط$\sqrt{2+7}$ بهذه الطريقة:

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{2+7}}\\ {\text{Add inside the radical.}}&{\sqrt{9}}\\ {\text{Simplify.}}&{3}\\ \end{array}$$

لذلك إذا كان علينا أن نضيف$\sqrt{2}+\sqrt{7}$، يجب ألا ندمجها في جذر واحد.

$\sqrt{2}+\sqrt{7} \ne \sqrt{2+7}$

إن محاولة إضافة جذور مربعة ذات جذور مختلفة تشبه محاولة إضافة مصطلحات مختلفة.

$$\begin{array}{llll} {\text{But, just like we can}}&{x+x}&{\text{we can add}}&{\sqrt{3}+\sqrt{3}}\\ {}&{x+x=2x}&{}&{\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}}\\ \end{array}$$

إن إضافة جذور مربعة بنفس الجذر تشبه إضافة مصطلحات متشابهة. نسمي الجذور التربيعية بنفس الجذر مثل الجذور التربيعية لتذكيرنا بأنها تعمل بنفس المصطلحات المتشابهة.

تعريف: مثل الجذور المربعة

تسمى الجذور المربعة التي لها نفس الجذور مثل الجذور التربيعية.

نجمع ونطرح مثل الجذور التربيعية بنفس الطريقة التي نضيف ونطرح بها المصطلحات المتشابهة. نحن نعلم أن 3x+8x هو 11x. وبالمثل نضيف$3\sqrt{x}+8\sqrt{x}$ and the result is $11\sqrt{x}$.

الجمع والطرح مثل الجذور التربيعية

فكر في إضافة مصطلحات مماثلة مع المتغيرات كما تفعل في الأمثلة القليلة التالية. عندما يكون لديك مثل الجذور، يمكنك فقط إضافة أو طرح المعاملات. عندما لا تتشابه الراديكاليون، لا يمكنك الجمع بين المصطلحات.

مثال$\PageIndex{1}$

قم بالتبسيط:$2\sqrt{2}−7\sqrt{2}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{2}−7\sqrt{2}}\\ {\text{Since the radicals are like, we subtract the coefficients.}}&{−5\sqrt{2}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{2}$

قم بالتبسيط:$8\sqrt{2}−9\sqrt{2}$.

إجابة

$−\sqrt{2}$

مثال$\PageIndex{3}$

قم بالتبسيط:$5\sqrt{3}−9\sqrt{3}$.

إجابة

$−4\sqrt{3}$

مثال$\PageIndex{4}$

قم بالتبسيط:$3\sqrt{y}+4\sqrt{y}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{3\sqrt{y}+4\sqrt{y}}\\ {\text{Since the radicals are like, we add the coefficients.}}&{7\sqrt{y}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{5}$

قم بالتبسيط:$2\sqrt{x}+7\sqrt{x}$.

إجابة

$9\sqrt{x}$

مثال$\PageIndex{6}$

قم بالتبسيط:$5\sqrt{u}+3\sqrt{u}$.

إجابة

$8\sqrt{u}$

مثال$\PageIndex{7}$

قم بالتبسيط:$4\sqrt{x}−2\sqrt{y}$

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{4\sqrt{x}−2\sqrt{y}}\\ {\text{Since the radicals are not like, we cannot subtract them. We leave the expression as is.}}&{4\sqrt{x}−2\sqrt{y}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{8}$

قم بالتبسيط:$7\sqrt{p}−6\sqrt{q}$.

إجابة

$7\sqrt{p}−6\sqrt{q}$

مثال$\PageIndex{9}$

قم بالتبسيط:$6\sqrt{a}−3\sqrt{b}$.

إجابة

$6\sqrt{a}−3\sqrt{b}$

مثال$\PageIndex{10}$

قم بالتبسيط:$5\sqrt{13}+4\sqrt{13}+2\sqrt{13}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{5\sqrt{13}+4\sqrt{13}+2\sqrt{13}}\\ {\text{Since the radicals are like, we add the coefficients.}}&{11\sqrt{13}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{11}$

قم بالتبسيط:$4\sqrt{11}+2\sqrt{11}+3\sqrt{11}$.

إجابة

$9\sqrt{11}$

مثال$\PageIndex{12}$

قم بالتبسيط:$6\sqrt{10}+2\sqrt{10}+3\sqrt{10}$.

إجابة

$11\sqrt{10}$

مثال$\PageIndex{13}$

قم بالتبسيط:$2\sqrt{6}−6\sqrt{6}+3\sqrt{3}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{6}−6\sqrt{6}+3\sqrt{3}}\\ {\text{Since the first two radicals are like, we subtract their coefficients.}}&{−4\sqrt{6}+3\sqrt{3}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{14}$

قم بالتبسيط:$5\sqrt{5}−4\sqrt{5}+2\sqrt{6}$.

إجابة

$\sqrt{5}+2\sqrt{6}$

مثال$\PageIndex{15}$

قم بالتبسيط:$3\sqrt{7}−8\sqrt{7}+2\sqrt{5}$.

إجابة

$−5\sqrt{7}+2\sqrt{5}$

مثال$\PageIndex{16}$

قم بالتبسيط:$2\sqrt{5n}−6\sqrt{5n}+4\sqrt{5n}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{5n}−6\sqrt{5n}+4\sqrt{5n}}\\ {\text{Since the radicals are like, we combine them.}}&{−0\sqrt{5n}}\\ {\text{Simplify.}}&{0}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{17}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{7x}−7\sqrt{7x}+4\sqrt{7x}$.

إجابة

$−2\sqrt{7x}$

مثال$\PageIndex{18}$

قم بالتبسيط:$4\sqrt{3y}−7\sqrt{3y}+2\sqrt{3y}$.

إجابة

$−3\sqrt{y}$

عندما تحتوي الجذور على أكثر من متغير واحد، طالما أن جميع المتغيرات وأسسها متطابقة، فإن الجذور متشابهة.

مثال$\PageIndex{19}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{3xy}+5\sqrt{3xy}−4\sqrt{3xy}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{3xy}+5\sqrt{3xy}−4\sqrt{3xy}}\\ {\text{Since the radicals are like, we combine them.}}&{2\sqrt{3xy}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{20}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{5xy}+4\sqrt{5xy}−7\sqrt{5xy}$.

إجابة

$−2\sqrt{5xy}$

مثال$\PageIndex{21}$

قم بالتبسيط:$3\sqrt{7mn}+\sqrt{7mn}−4\sqrt{7mn}$.

إجابة

0

جمع وطرح الجذور التربيعية التي تحتاج إلى تبسيط

تذكر أننا نبسط دائمًا الجذور التربيعية عن طريق إزالة أكبر عامل مربع مثالي. في بعض الأحيان عندما نضطر إلى إضافة أو طرح جذور مربعة لا يبدو أنها تحتوي على جذور متشابهة، نجد مثل الجذور بعد تبسيط الجذور التربيعية.

مثال$\PageIndex{22}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{20}+3\sqrt{5}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{20}+3\sqrt{5}}\\ {\text{Simplify the radicals, when possible.}}&{\sqrt{4}·\sqrt{5}+3\sqrt{5}}\\ {}&{2\sqrt{5}+3\sqrt{5}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{5\sqrt{5}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{23}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{18}+6\sqrt{2}$.

إجابة

$9\sqrt{2}$

مثال$\PageIndex{24}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{27}+4\sqrt{3}$.

إجابة

$7\sqrt{3}$

مثال$\PageIndex{25}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{48}−\sqrt{75}$

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{48}−\sqrt{75}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\sqrt{16}·\sqrt{3}−\sqrt{25}·\sqrt{3}}\\ {}&{4\sqrt{3}−5\sqrt{3}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−\sqrt{3}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{26}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{32}−\sqrt{18}$.

إجابة

$\sqrt{2}$

مثال$\PageIndex{27}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{20}−\sqrt{45}$.

إجابة

$−\sqrt{5}$

مثلما نستخدم الخاصية الترابطية للضرب لتبسيط 5 (3x) والحصول على 15x، يمكننا التبسيط$5(3\sqrt{x})$ and get $15\sqrt{x}$. We will use the Associative Property to do this in the next example.

مثال$\PageIndex{28}$

قم بالتبسيط:$5\sqrt{18}−2\sqrt{8}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{5\sqrt{18}−2\sqrt{8}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{5·\sqrt{9}·\sqrt{2}−2·\sqrt{4}·\sqrt{2}}\\ {}&{5·3·\sqrt{2}−2·2·\sqrt{2}}\\ {}&{15\sqrt{2}−4\sqrt{2}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{11\sqrt{2}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{29}$

قم بالتبسيط:$4\sqrt{27}−3\sqrt{12}$.

إجابة

$6\sqrt{3}$

مثال$\PageIndex{30}$

قم بالتبسيط:$3\sqrt{20}−7\sqrt{45}$.

إجابة

$−15\sqrt{5}$

مثال$\PageIndex{31}$

قم بالتبسيط:$\frac{3}{4}\sqrt{192}−\frac{5}{6}\sqrt{108}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\frac{3}{4}\sqrt{192}−\frac{5}{6}\sqrt{108}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\frac{3}{4}\sqrt{64}·\sqrt{3}−\frac{5}{6}\sqrt{36}·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{3}{4}·8·\sqrt{3}−\frac{5}{6}·6·\sqrt{3}}\\ {}&{6\sqrt{3}−5\sqrt{3}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{\sqrt{3}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{32}$

قم بالتبسيط:$\frac{2}{3}\sqrt{108}−\frac{5}{7}\sqrt{147}$.

إجابة

$−\sqrt{3}$

مثال$\PageIndex{33}$

قم بالتبسيط:$\frac{3}{5}\sqrt{200}−\frac{3}{4}\sqrt{128}$.

إجابة

0

مثال$\PageIndex{34}$

قم بالتبسيط:$\frac{2}{3}\sqrt{48}−\frac{3}{4}\sqrt{12}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\frac{2}{3}\sqrt{48}−\frac{3}{4}\sqrt{12}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\frac{2}{3}\sqrt{16}·\sqrt{3}−\frac{3}{4}\sqrt{4}·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{2}{3}·4·\sqrt{3}−\frac{3}{4}·2·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{8}{3}\sqrt{3}−\frac{3}{2}\sqrt{3}}\\ {\text{Find a common denominator to subtract the coefficients of the like radicals.}}&{\frac{16}{6}\sqrt{3}−\frac{9}{6}\sqrt{3}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{7}{6}\sqrt{3}} \end{array}$$

مثال$\PageIndex{35}$

قم بالتبسيط:$\frac{2}{5}\sqrt{32}−\frac{1}{3}\sqrt{8}$

إجابة

$\frac{14}{15}\sqrt{2}$

مثال$\PageIndex{36}$

قم بالتبسيط:$\frac{1}{3}\sqrt{80}−\frac{1}{4}\sqrt{125}$

إجابة

$\frac{1}{12}[\sqrt{5}$

في المثال التالي، سنزيل العوامل الثابتة والمتغيرة من الجذور التربيعية.

مثال$\PageIndex{37}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{18n^5}−\sqrt{32n^5}$

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{18n^5}−\sqrt{32n^5}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\sqrt{9n^4}·\sqrt{2n}−\sqrt{16n^4}·\sqrt{2n}}\\ {}&{3n^2\sqrt{2n}−4n^2\sqrt{2n}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−n^2\sqrt{2n}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{38}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{32m^7}−\sqrt{50m^7}$.

إجابة

$−m^3\sqrt{2m}$

مثال$\PageIndex{39}$

قم بالتبسيط:$\sqrt{27p^3}−\sqrt{48p^3}$

إجابة

$−p^3\sqrt{p}$

مثال$\PageIndex{40}$

قم بالتبسيط:$9\sqrt{50m^2}−6\sqrt{48m^2}$.

إجابة

\[\begin{array}{ll} {}&{9\sqrt{50m^{2}}−6\sqrt{48m^{2}}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{9\sqrt{25m^{2}}·\sqrt{2}−6·\sqrt{16m^{2}}·\sqrt{3}}\\ {}&{9·5m·\sqrt{2}−6·4m·\sqrt{3}}\\ {}&{45m\sqrt{2}−24m\sqrt{3}}\\ \end{array}\]

مثال$\PageIndex{41}$

قم بالتبسيط:$5\sqrt{32x^2}−3\sqrt{48x^2}$.

إجابة

$20x\sqrt{2}−12x\sqrt{3}$

مثال$\PageIndex{42}$

قم بالتبسيط:$7\sqrt{48y^2}−4\sqrt{72y^2}$.

إجابة

$28y\sqrt{3}−24y\sqrt{2}$

مثال$\PageIndex{43}$

قم بالتبسيط:$2\sqrt{8x^2}−5x\sqrt{32}+5\sqrt{18x^2}$.

إجابة

$$\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{8x^2}−5x\sqrt{32}+5\sqrt{18x^2}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{2\sqrt{4x^2}·\sqrt{2}−5x\sqrt{16}·\sqrt{2}+5\sqrt{9x^2}·\sqrt{2}}\\ {}&{2·2x·\sqrt{2}−5x·4·\sqrt{2}+5·3x·\sqrt{2}}\\ {}&{4x\sqrt{2}−20x\sqrt{2}+15x\sqrt{2}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−x\sqrt{2}}\\ \end{array}$$

مثال$\PageIndex{44}$

قم بالتبسيط:$3\sqrt{12x^2}−2x\sqrt{48}+4\sqrt{27x^2}$

إجابة

$10x\sqrt{3}$

مثال$\PageIndex{45}$

قم بالتبسيط:$3\sqrt{18x^2}−6x\sqrt{32}+2\sqrt{50x^2}$.

إجابة

$−5x\sqrt{2}$

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية مع إضافة وطرح الجذور التربيعية.

• جمع/طرح الجذور التربيعية

مسرد المصطلحات

مثل الجذور المربعة

تسمى الجذور المربعة التي لها نفس الجذور مثل الجذور التربيعية.